专题10 余弦函数的图像与性质12大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题10 余弦函数的图像与性质（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、余弦函数图象的应用 题型二、求cosx型三角函数的单调性 题型三、利用余弦函数的单调性求参数 题型四、解余弦不等式 题型五、求cosx（型）函数的值域 题型六、求含cosx的二次式 的最值 题型七、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 题型八、求余弦（型）函数的奇偶性 题型九、求含cosx的函数的奇偶性 题型十、由余弦（型）函数 的奇偶性求参数 题型十一、求余弦（型）函数的最小正周期 题型十二、利用cosx（型）函数的对称性求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求cosx型三角函数的单调性 掌握“整体代换法”求y = Acos（wx+φ）的单调区间，能求指定区间内余弦型函数的单调区间 高频基础考点，填空题型为主，易错点为x系数为负时单调性判断颠倒 利用余弦函数的单调性求参数 能根据余弦型函数在指定区间的单调性或值域，求ω、φ等参数的取值范围，能解决集合元素个数与参数的关系问题 填空压轴常考点，难度中等偏上，易错点为临界值的取舍错误 求cosx（型）函数的值域 掌握余弦函数及余弦型函数的值域与最值，能结合指数函数、解三角形等知识求复合函数的值域，能解决方程有解的参数范围问题 基础必考点，填空、解答题均有考查，常以解答题第一小问形式出现 求含cosx的二次式的最值 掌握换元法求含cosx的二次函数的最值，能根据cosx的取值范围确定二次函数的最值，能结合函数零点个数求参数 中档必考点，填空、解答题均有考查，易错点为忽略换元后变量的取值范围 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 能根据余弦型函数在指定区间的值域、最值或零点个数，求A、ω、φ等参数的取值范围，能解决不等式恒成立问题 填空压轴必考点，难度中等偏上，常结合恒成立问题综合考查 求余弦（型）函数的奇偶性 掌握余弦函数的奇偶性，能根据定义判断余弦型函数的奇偶性，能结合奇偶性、周期性、单调性综合判断函数性质 基础考点，选择、填空题型为主，易错点为忽略函数定义域关于原点对称的前提 求余弦（型）函数的最小正周期 掌握余弦型函数的最小正周期公式，能求复杂余弦型函数的最小正周期，能结合周期解决函数最值、零点相关问题 基础必考点，填空小题为主，易错点为周期公式中ω的绝对值遗漏 知识点01 余弦函数的图像 1．余弦函数 对于任意一个给定的实数 ，都有唯一确定的余弦值 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数，记作 ．余弦函数的定义域是实数集 ． 2．余弦函数的图像 3．余弦曲线 余弦函数 的图像通常称为余弦曲线． 4．五点法作余弦函数的图像 ． 知识点02 余弦函数的性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 最大值 当且仅当 最小值 当且仅当 奇偶性 偶函数 单调增区间 单调减区间 题型一、余弦函数图象的应用 【典例01】（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________. 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）函数的零点是______. 题型二、求cosx型三角函数的单调性 解｜题｜技｜巧 求三角函数的单调区间通常先将其化归为单调的三角函数，形如 或 ，然后求单调区间即可．当然也可以画出草图直接写单调区间。 【典例02】（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为_______． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是__________． 【变式2】（24-25高一下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为_________． 【变式3】（23-24高一下·上海·期中），的单调减区间是______. 题型三、利用余弦函数的单调性求参数 【典例03】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【变式1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【变式3】设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型四、解余弦不等式 【典例04】（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为__________. 【变式2】已知函数的表达式是，若，且成立，则的取值范围是_________． 【变式3】在中，若，则的最大值是____． 题型五、求cosx（型）函数的值域 解｜题｜技｜巧 （1）求 ，可换元令 ，求 的范围，而后画图看图写最值与值域；（2）解决 函数的最值问题主要是利用余弦函数的有界性以及复合函数的有关性质。这类问题通常是用配方法求最值，但要注意分类讨论； （3）求函数 的值域或最值时，通过换元，令 ，将原函数转化为关于 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可。求解过程中要注意 的有界性． 【典例05】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______. 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）已知、满足，则_____． 【变式3】（24-25高三上·上海·期中）已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为__________. 【变式4】（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 题型六、求含cosx的二次式的最值 【典例06】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的最小值为______. 【变式2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 题型七、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【典例07】（24-25高一下·上海青浦·期中）已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式1】（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）设，若，则的最大值等于__________． 【变式3】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 【变式4】已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为__________. 题型八、求余弦（型）函数的奇偶性 【典例08】下列函数中是偶函数，以为最小正周期，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在下列函数中，既是上的严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是________函数（填“奇”或“偶”） 【变式3】设函数，若，则_____________． 【变式4】给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 题型九、求含cosx的函数的奇偶性 【典例09】（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 题型十、由余弦（型）函数 的奇偶性求参数 【典例10】（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则______． 【变式1】函数（其中）为奇函数，则____________； 【变式2】已知函数是偶函数，则的取值是______ 题型十一、求余弦（型）函数的最小正周期 解｜题｜技｜巧 余弦型函数的周期性与正弦型函数类似，方法一：化成单一三角函数 ，可以直接用公式 ；方法二：用周期定义，结合三角公式；方法三：画图直接观察． 【典例11】（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______． 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）函数 的最小正周期是_____. 【变式3】（23-24高一下·上海奉贤·期中）若函数满足，则__________. 【变式4】（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是_____. ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 题型十二、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【典例12】（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为______. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则__________． 【变式3】函数的图象关于原点对称，则_________ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．在中，若，则三角形为钝角三角形 B．半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2 C．若且，则 D．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为 2．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是________． 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 4．（24-25高一下·上海·期中）设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 5．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 2．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 3．（24-25高一下·上海·期中）若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 4．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. (1)判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； (2)已知与是一对“共零函数”，求的值； (3)已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 试卷第1页，共3页 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 余弦函数的图像与性质（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、余弦函数图象的应用 题型二、求cosx型三角函数的单调性 题型三、利用余弦函数的单调性求参数 题型四、解余弦不等式 题型五、求cosx（型）函数的值域 题型六、求含cosx的二次式 的最值 题型七、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 题型八、求余弦（型）函数的奇偶性 题型九、求含cosx的函数的奇偶性 题型十、由余弦（型）函数 的奇偶性求参数 题型十一、求余弦（型）函数的最小正周期 题型十二、利用cosx（型）函数的对称性求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求cosx型三角函数的单调性 掌握“整体代换法”求y = Acos（wx+φ）的单调区间，能求指定区间内余弦型函数的单调区间 高频基础考点，填空题型为主，易错点为x系数为负时单调性判断颠倒 利用余弦函数的单调性求参数 能根据余弦型函数在指定区间的单调性或值域，求ω、φ等参数的取值范围，能解决集合元素个数与参数的关系问题 填空压轴常考点，难度中等偏上，易错点为临界值的取舍错误 求cosx（型）函数的值域 掌握余弦函数及余弦型函数的值域与最值，能结合指数函数、解三角形等知识求复合函数的值域，能解决方程有解的参数范围问题 基础必考点，填空、解答题均有考查，常以解答题第一小问形式出现 求含cosx的二次式的最值 掌握换元法求含cosx的二次函数的最值，能根据cosx的取值范围确定二次函数的最值，能结合函数零点个数求参数 中档必考点，填空、解答题均有考查，易错点为忽略换元后变量的取值范围 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 能根据余弦型函数在指定区间的值域、最值或零点个数，求A、ω、φ等参数的取值范围，能解决不等式恒成立问题 填空压轴必考点，难度中等偏上，常结合恒成立问题综合考查 求余弦（型）函数的奇偶性 掌握余弦函数的奇偶性，能根据定义判断余弦型函数的奇偶性，能结合奇偶性、周期性、单调性综合判断函数性质 基础考点，选择、填空题型为主，易错点为忽略函数定义域关于原点对称的前提 求余弦（型）函数的最小正周期 掌握余弦型函数的最小正周期公式，能求复杂余弦型函数的最小正周期，能结合周期解决函数最值、零点相关问题 基础必考点，填空小题为主，易错点为周期公式中ω的绝对值遗漏 知识点01 余弦函数的图像 1．余弦函数 对于任意一个给定的实数 ，都有唯一确定的余弦值 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数，记作 ．余弦函数的定义域是实数集 ． 2．余弦函数的图像 3．余弦曲线 余弦函数 的图像通常称为余弦曲线． 4．五点法作余弦函数的图像 ． 知识点02 余弦函数的性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 最大值 当且仅当 最小值 当且仅当 奇偶性 偶函数 单调增区间 单调减区间 题型一、余弦函数图象的应用 【典例01】（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】分析可知有两解，以为整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海杨浦·期中）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特殊角的三角函数值、余弦函数图象的应用 【分析】，故，但时，与不一定相等，得到答案. 【详解】，故，充分性成立， 当时，与不一定相等，比如， ，但与不相等，必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期中）设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________. 【答案】 【知识点】余弦函数图象的应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】直接解方程即可得 【详解】令，则有或， 解得或， 又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，， 所以，，，，，，，， 故，. 所以即， 则，解得， 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）函数的零点是______. 【答案】/ 【知识点】求函数的零点、余弦函数图象的应用 【分析】直接解方程即可. 【详解】令， 得， 即函数的零点是. 故答案为：. 题型二、求cosx型三角函数的单调性 解｜题｜技｜巧 求三角函数的单调区间通常先将其化归为单调的三角函数，形如 或 ，然后求单调区间即可．当然也可以画出草图直接写单调区间。 【典例02】（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为_______． 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出． 【详解】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是__________． 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性列式求出递增区间. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海·期中），的单调减区间是______. 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据给定条件，直接写出函数的单调减区间. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求单调减区间是. 故答案为： 题型三、利用余弦函数的单调性求参数 【典例03】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______. 【答案】 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值. 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、cosx（型）函数对称性的其他应用 【分析】分析得当且时，恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值． 【详解】， 当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减， 所以在半个周期内有个不同的值， 再根据对称性得在1个周期内有个不同的值， 由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为， 故选：B． 【变式3】设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 题型四、解余弦不等式 【典例04】（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】解正弦不等式、解余弦不等式、二倍角的正弦公式 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解正弦不等式、解余弦不等式 【分析】结合对数函数的定义和三角函数的性质即可解得定义域. 【详解】由对数函数的定义可知底数大于0且不为1，且真数大于0，结合三角函数的性质可得： . 故答案为：. 【变式2】已知函数的表达式是，若，且成立，则的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、解余弦不等式、二倍角的正弦公式、根据函数的单调性解不等式 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，再利用此性质脱去法则“f”，并解三角不等式作答. 【详解】函数的定义域为R，，即是R上的偶函数， 当时，，函数在上都是增函数，因此在上单调递增， 而，因此， 即，整理得，又，即， 于是或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3】在中，若，则的最大值是____． 【答案】 【知识点】解余弦不等式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解 【详解】结合正弦定理得，即， 所以， 因为，所以，则的最大值是． 故答案为： 题型五、求cosx（型）函数的值域 解｜题｜技｜巧 （1）求 ，可换元令 ，求 的范围，而后画图看图写最值与值域；（2）解决 函数的最值问题主要是利用余弦函数的有界性以及复合函数的有关性质。这类问题通常是用配方法求最值，但要注意分类讨论； （3）求函数 的值域或最值时，通过换元，令 ，将原函数转化为关于 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可。求解过程中要注意 的有界性． 【典例05】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求cosx(型)函数的值域 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解. 【详解】由得， 因为，所以， 所以，故， 所以，故. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】参变分离可得在上有解，根据余弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为关于的方程在上有解， 所以在上有解， 又，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）已知、满足，则_____． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx(型)函数的值域、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据题意整理可得，结合正、余弦函数的有界性可得，即可得结果. 【详解】因为，则， 整理可得， 因为，可得， 即，可得， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·上海·期中）已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围）、求cosx(型)函数的值域 【分析】根据与的终边关于原点对称求解出的终边对应的角度范围求解； 【详解】因为，与的终边关于原点对称， 所以的终边对应的角度范围为， 的取值范围为. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx(型)函数的值域、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解， （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可. 【详解】（1）当时, , 当时, ,则, 故, 因此 （2）当时, , 故,即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 题型六、求含cosx的二次式的最值 【典例06】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含cosx的二次式的最值、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的最小值为______. 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的值域即可得到结果. 【详解】， 令，则， 则， 当时，有最小值为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【答案】答案见解析 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解. 【详解】， 令， 则， 当时，取最大值，此时，由于，则或， 当时，取最小值，此时，由于，则， 综上可得，当或时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求含cosx的二次式的最值、二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）, 令，由可得， 则，， 对称轴为，图象开口向下， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为. 题型七、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【典例07】（24-25高一下·上海青浦·期中）已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】讨论、，结合正余弦函数的性质研究不等式恒成立确定有序实数对的个数. 【详解】由，，任意实数均有， 当时，任意实数均有，且，则符合题意； 任意实数均有，即， ，，当且仅当任意实数均有，则， 当时，， 则，解得，则符合题意； 当时，， 则，可得解得，则符合题意， 综上所述，满足条件的有序实数对为，共有3个. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、二倍角的余弦公式 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）设，若，则的最大值等于__________． 【答案】6 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的有界性求出的所有值，进而求出比值的最大值. 【详解】由，得，则，同理， 于是，而， 因此，解得， 又，则， 要最大，则同号，且最小，最大， 所以当时，取得最大值6. 故答案为：6 【变式3】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4】已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为__________. 【答案】 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意可求，进而利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】函数，当函数值为时，则， 所以，则， 故自变量的取值集合为. 故答案为：. 题型八、求余弦（型）函数的奇偶性 【典例08】下列函数中是偶函数，以为最小正周期，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】A.利用的性质判断；B.利用的性质判断；C.作出的图象判断；D. 作出的图象判断. 【详解】A. 是奇函数，以2为最小正周期，故错误； B. 是偶函数，以2为最小正周期，在上为减函数，故错误； C. 的图象如图所示：    由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为增函数，故正确； D. 的图象如图所示：    由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为减函数，故错误； 故选：C 【变式1】在下列函数中，既是上的严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由周期性排除一个选项，由奇偶性排除一个选项，再由单调性排除一个选项，得正确选项． 【详解】选项ABC中函数的最小正周期都是，而选项D中函数不是周期函数， 其图象如下所示：   排除D； 易知函数是奇函数，排除A； 时，，则是减函数，排除B； 根据函数在上严格单调递增，且其最小正周期为， 则在在上严格单调递增，其最小正周期为， 且，又因为其定义域为，则其为偶函数，故C正确， 故选：C． 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是________函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 【变式3】设函数，若，则_____________． 【答案】104 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】令，易证为奇函数，根据，可得，再根据，由此即可求出结果. 【详解】函数的定义域为，令， 则，即，所以为奇函数； 因为，所以，则， 所以. 故答案为：104 【变式4】给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【知识点】判断元素与集合的关系、函数周期性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 题型九、求含cosx的函数的奇偶性 【典例09】（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、求含cosx的函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据奇偶性定义、三角函数的单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，因为时， ，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，因为时， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递增，故C正确； 对于D，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递减，故D错误. 故选：C. 【变式1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】应用诱导公式化简函数式，结合余弦函数性质判断奇偶性即可. 【详解】由，故该函数为偶函数. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断； （2）根据奇偶函数的定义判断. 【详解】（1）定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数. 题型十、由余弦（型）函数 的奇偶性求参数 【典例10】（23-24高一下·上海·期中）已知函数是奇函数，则______． 【答案】 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据函数对称性解得，结合题中的范围分析求解. 【详解】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 【变式1】函数（其中）为奇函数，则____________； 【答案】/ 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式求解作答. 【详解】函数是奇函数，则，而， 所以. 故答案为： 【变式2】已知函数是偶函数，则的取值是______ 【答案】 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据余弦函数的性质求得的值. 【详解】令，则，所以的值为. 故答案为：. 题型十一、求余弦（型）函数的最小正周期 解｜题｜技｜巧 余弦型函数的周期性与正弦型函数类似，方法一：化成单一三角函数 ，可以直接用公式 ；方法二：用周期定义，结合三角公式；方法三：画图直接观察． 【典例11】（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【详解】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______． 【答案】1 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦函数的周期结合题意，列式求解，即得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得. 故答案为：1 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）函数 的最小正周期是_____. 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由题意利用余弦型函数的周期性，得出结论． 【详解】由余弦函数的周期公式， 得到函数 的最小正周期是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海奉贤·期中）若函数满足，则__________. 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】求出函数周期，利用公式即可得到的值. 【详解】因为函数满足， 故的周期为，故，其中为正整数，故， 而，故. 故答案为： 【变式4】（24-25高一下·上海杨浦·期中）下列函数 的最小正周期是 的序号是_____. ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【答案】 ②⑤ 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】应用诱导公式及二倍角公式，同角三角函数关系，正弦及余弦函数的周期判断各个选项即可. 【详解】① ① 不正确； ② ，函数周期为 ，②正确； ③ ，，所以最小正周期不是 ，③不正确； ④ ④不正确 ； ⑤ ，函数周期为 ，⑤正确. 故答案为：②⑤. 题型十二、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【典例12】（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据是奇函数求出，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若是奇函数，则， 因为为的真子集， 所以“”是“是奇函数”的充分非必要条件. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）已知，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为______. 【答案】 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】根据，集合有6个元素，利用和差化积进行求解，利用函数的性质求解. 【详解】由， 设， 则 所以函数，最小正周期, 由集合有6个元素，则可得到在半个周期内存在6个不同的值，即 化简，即， 又由，， 所以，即, 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要运用和差化积的求解公式，再运用三角函数的性质进行求解. 【变式2】（23-24高一下·上海·期中）设函数的一个对称中心是，则__________． 【答案】/ 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式3】函数的图象关于原点对称，则_________ 【答案】 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦型函数的对称性可得出结果. 【详解】函数的图象关于原点对称，则. 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．在中，若，则三角形为钝角三角形 B．半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2 C．若且，则 D．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、求cosx(型)函数的值域、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由正余弦定理可判断A，由弧长公式可判断B，由余弦函数图象性质可判断C，由旋转公式可判断D. 【详解】对A，，则， 令， ，由余弦定理得最大角为钝角，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，则，故C错误； 对D，设点在角的终边上，且，则，， 点在角的终边上，且， 于是点的坐标满足：，， 所以，故D正确. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是________． 【答案】①② 【知识点】正弦函数图象的应用、余弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项． 【详解】对于③，因为， 当时， ， 当时，， 所以，函数为周期函数， 作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为，③对； 对于①，由图可知，函数的值域为，①错； 对于②，由图可知，当且仅当或时， 函数取得最大值1，②错； 对于④，由图可知，当且仅当时，，④对． 故答案为：①②． 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用函数周期的定义判断①②即可. 【详解】对于①，设，该函数的定义域为， 因为， 故函数是周期函数，①对； 对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 若函数是周期函数，设为该函数的一个周期， 则存在非零整数、，使得，，可得，所以，， 因为为无理数，而为有理数，故等式不成立， 所以函数不是周期函数，②错. 故选：C. 4．（24-25高一下·上海·期中）设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】已知对任意都有成立，说明是函数的最小值，是函数的最大值，而的最小值就是半个周期. 【详解】对于余弦函数，其周期公式为， 因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值， 根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为, 已知，则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海普陀·期中）设常数，已知函数，其中. (1)当时，求在上的取值范围； (2)若为偶函数，求的值； (3)若，求方程在区间上的解. 【答案】(1)； (2)； (3)或或或. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、三角恒等变换的化简问题、给值求角型问题 【分析】（1）结合二倍角公式化简函数解析式可得，结合正弦函数性质求结论； （2）根据函数的偶函数定义列关系式，结合三角形的函数的性质化简即可求出； （3）先求出的值，化简方程，结合特殊值的三角函数解方程可得结论． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上的取值范围为， （2）因为， 所以， 因为为偶函数，所以， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，，或，， 所以，，或，， 因为， 所以或或或. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【知识点】余弦函数图象的应用、求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断. 【详解】函数， 对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确； 对于②：由于，，，， 故函数在上不是单调增函数，故②错误； 对于③：函数的最大值为1，若， 则， 所以，，， 故；故③正确； 对于④：当时，， 由于，即，解得或， 所以函数有两个零点，故④错误． 故选：B. 2．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”； (1)已知，判断它是否为“函数”； (2)若函数是“函数”，当，，求在上的解. (3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由. 【答案】(1)是“函数” (2) (3)是，，， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx(型)函数的值域、辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）根据函数新定义列式计算判断即可； （2）根据函数新定义结合正弦函数余弦函数值域计算求解； （3）应用辅助角公式结合新定义列式计算求参. 【详解】（1）若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立， 即，即对任意的实数恒成立， 则， 解得， 所以是“函数” （2）因为函数是“函数”，所以， 由于当，， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 当，则，所以， 则， 所以当，， 令，则， 所以或，即或， 因为，所以 故在上的解为. （3）由题可得：， 则，其中，且， 由于，可化为， 即 由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有： 解得：， 由，解得： 所以函数为“函数，其中，，. 3．（24-25高一下·上海·期中）若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 【答案】(1)证明见解析 (2)假命题，答案见解析 (3)答案见解析，值域为，最大值为，最小值为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义 【分析】（1）利用正弦函数性质和余弦函数性质结合周期性的定义求解即可. （2）先判断原命题是假命题，再利用正弦函数的性质证明即可. （3）利用诱导公式求出，再利用正弦函数和余弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由正弦函数性质得， 由余弦函数性质得， 则 故是的周期. （2）该命题是假命题，令， 由正弦函数性质得与最小正周期均为， 但最小正周期为，故原命题为假命题. （3）由已知结合诱导公式得， 得到， 由正弦函数和余弦函数性质得 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 故由正弦函数性质得， 令，由余弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减；故 而，故值域为， 且的最大值为，最小值为. 4．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对 “共零函数”. (1)判断与是否为 “共零函数”，并说明理由； (2)已知与是一对“共零函数”，求的值； (3)已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对 “共零函数”，求的值. 【答案】(1)不是； (2)； (3). 【知识点】求函数的零点、利用cosx（型）函数的对称性求参数、由对数（型）的单调性求参数、函数新定义 【分析】（1）根据指数函数、余弦函数的性质，应用方程法求零点，结合新定义判断即可； （2）由正余弦型函数的性质求零点，再根据已知得，，即可得参数值； （3）根据“共零函数”的定义分别求得、，结合的单调性即可得. 【详解】（1）由指数函数的单调性知，在R上单调递增，且存在唯一零点， 由余弦函数的性质知，的零点为， 所以与不是 “共零函数”. （2）由，则，即， 由，则，即， 又与是一对“共零函数”，则，， 所以，即，； （3）由，则， 又与是一对“共零函数”，则， 所以， 由，则， 由与也是一对 “共零函数”，则， 所以，即， 由在上单调递增，故，则. 试卷第1页，共3页 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $