专题8.2 圆锥及其侧面展开图（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题8.2 圆锥及其侧面展开图（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 圆锥及其有关概念】 2 【题型2 求圆锥侧面积】 2 【题型3 求圆锥表面积】 3 【题型4 求圆锥高】 4 【题型5 求圆锥底面半径】 4 【题型6 求圆锥体积】 5 【题型7 圆柱与圆锥体积的关系】 5 【题型8 组合体的表面积与体积】 6 【题型9 圆柱与圆锥的综合应用】 8 知识点1 圆锥的认识 1. 由一个圆形底面和1个曲面侧面组成． 2. 顶点到底面圆心距离为高（1条）． 3. 由直角三角形以一条直角边为轴旋转一周形成． 知识点2 圆锥的表面积 1. 表面积=侧面积＋底面积． 2. 侧面积=πrl（l＝母线，即顶点到底面圆周点的线段）． 3. 底面积=． 4. 无盖物体表面积只需计算侧面积． 知识点3 圆锥体积 1. 等底等高时，圆锥体积=圆柱体积． 2. 体积V=×底面积×高=Sh=h． 知识点4 圆柱与圆锥的关联 1. 等底等高时，V圆锥=V圆柱． 2. 等积等底时，h圆锥=3h圆柱． 3. 等积等高时，S圆锥=3S圆柱． 【题型1 圆锥及其有关概念】 【例1】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，就得到一个（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 【变式1-1】下列说法中，正确的有（    ）个． ①圆柱、圆锥的底面都是圆；②将圆锥沿高切开后，得到的截面是三角形；③圆锥的侧面展开图是扇形，不能是半圆；④圆锥与圆柱都有无数条高． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】剪开得到的图形是（    ） A． B． C． 【变式1-3】“纸上得来终觉浅”，实践方能出真知。一个直角三角形，三条边的长分别为3厘米、4厘米、5厘米。如果以这个三角形较长的直角边为轴，旋转一周形成的圆锥的底面直径是( )厘米，高是( )厘米． 【题型2 求圆锥侧面积】 【例2】（24-25九年级上·云南西双版纳·期末）若某圆锥模型的母线长为，底面圆半径为，则该圆锥模型的侧面积是______． 【变式2-1】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如果某圆锥形纸帽的底面直径为，沿侧面剪开后所得扇形的半径为，则该圆锥纸帽的侧面积为___________（结果保留）． 【变式2-2】（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026六年级下·上海·专题练习）如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为（  ） A． B． C． D． 【题型3 求圆锥表面积】 【例3】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是_____． 【变式3-2】一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是________ 【变式3-3】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是_____． 【题型4 求圆锥高】 【例4】（24-25六年级下·上海·开学考试）一个长方体和一个圆锥体，他们的底面积和体积都相等，如果长方体的高是9厘米，圆锥体的高是___厘米． 【变式4-1】把一块长3.14分米、宽2分米、高6分米的长方体钢坯熔铸成底面半径是3分米的圆锥，这个圆锥的高是（    ） A．12分米 B．2分米 C．1.33分米 D．4分米 【变式4-2】一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆锥的底面积是圆柱的底面积的，如果圆锥的高是，那么圆柱的高是________． 【变式4-3】一个圆锥形麦堆，底面半径是2米，高是米，如果把这些小麦装入一个圆柱形粮囤里，只占粮囤容积的，已知粮囤底面积是9平方米，粮囤的高是多少米？（取） 【题型5 求圆锥底面半径】 【例5】（25-26九年级上·云南昆明·月考）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式5-1】（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 【变式5-2】过圆心的三条半径将半径为的圆分割成了面积之比为的三个扇形，分别以这三个扇形为侧面展开图的圆锥的底面圆的半径之和为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-3】斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【题型6 求圆锥体积】 【例6】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一个圆锥的底面直径是10厘米，高是15厘米，它的体积是（    ）立方厘米． A． B． C．1570 【变式6-1】求下列图形的体积．（单位：m） 说明求一个不规则物体的体积怎么求？ 【变式6-2】一个圆锥，底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，那么它的体积（    ）。 A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的8倍 D．缩小到原来的 【变式6-3】谷场上有一个圆锥形谷堆，谷堆的底面半径是5分米，高3分米，这个圆锥形谷堆的体积是( )立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重( )千克。 【题型7 圆柱与圆锥体积的关系】 【例7】一个圆柱的体积是立方米，与它等底等高的圆锥的体积是______立方米． 【变式7-1】（25-26六年级上·全国·课后作业）两个大小相同的量杯中，都盛有水．将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱零件的体积是( )，圆锥零件的体积是( )． 【变式7-2】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是24立方厘米，它们的体积之差是（    ）立方厘米．    A．6 B．8 C．12 D．18 【变式7-3】已知圆柱与圆锥的高相等，它们的底面直径比是，则它们的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【题型8 组合体的表面积与体积】 【例8】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，一个装满玉米的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱底面的半径是，高是，圆锥的高是．（取） (1)求这个粮囤能装多少立方米的玉米？ (2)若每立方米玉米重吨，这囤玉米有多少吨？ (3)在（2）的条件下，粮库欲将这些玉米运往食品加工厂，甲、乙两个运输队承担此次运输任务，已知甲运输队每天比乙运输队多运送，在运输过程中，甲乙两运输队合运天后，甲运输队有其他任务，剩下由乙运输队单独运送天，恰好运完．求甲、乙两运输队每天各运送多少吨玉米？ 【变式8-1】（25-26六年级上·全国·课后作业）求组合图形的体积．（单位：） 【变式8-2】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 【变式8-3】（24-25六年级下·上海浦东新·期末）（本题结果保留） 大家都知道圆柱和圆锥这两个立体图形可以看成由一个平面几何图形绕着某条直线旋转一定角度构造而成，学校“深度探索”小组在学完这一章后自然想到：如果改变平面几何图形或者改变直线的位置或者改变旋转的角度，会得到怎样有趣的立体图形呢？ (1)小张用一个平面几何图形绕着某条直线旋转一周发现了下面这个立体图形，请你把小张所用的平面几何图形和其所绕的直线画出来． (2)小查用下面的直角绕着所在的直线旋转，已知长，长，的长度为，求扫过所形成的立体图形的表面积． (3)小戚用下面的长方形绕着直线旋转一周，与直线平行且相距，已知长，长，求长方形扫过所形成的立体图形的表面积和体积． (4)请发挥你的想象力构造出一种不同于上面的立体图形，说出你的构造方法：是由什么平面图形绕着哪条直线（可画出示意图）旋转多少度所成，并求出你所构造的立体图形的体积或表面积． 【题型9 圆柱与圆锥的综合应用】 【例9】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）如图，有一个圆锥形谷堆，如果把这些稻谷倒入一个圆柱形粮仓中，刚好装满．这个圆柱形粮仓的占地面积是多少平方米？ 【变式9-1】（25-26七年级上·湖北襄阳·开学考试）如图中，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满（）杯． A．2 B．3 C．6 D．9 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）将一个圆柱形木块平均切成四块（图），表面积增加平方厘米；平均切成三块（图），表面积增加平方厘米．这个圆柱的底面半径和高分别为多少厘米？若要在该圆柱内削出一个最大的圆锥（图），则这个圆锥的体积是多少立方厘米（取）？ 【变式9-3】（25-26六年级上·全国·课后作业）一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水．将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）．这个圆锥形铁块的体积是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 圆锥及其侧面展开图（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 圆锥及其有关概念】 2 【题型2 求圆锥侧面积】 3 【题型3 求圆锥表面积】 5 【题型4 求圆锥高】 7 【题型5 求圆锥底面半径】 9 【题型6 求圆锥体积】 11 【题型7 圆柱与圆锥体积的关系】 13 【题型8 组合体的表面积与体积】 15 【题型9 圆柱与圆锥的综合应用】 19 知识点1 圆锥的认识 1. 由一个圆形底面和1个曲面侧面组成． 2. 顶点到底面圆心距离为高（1条）． 3. 由直角三角形以一条直角边为轴旋转一周形成． 知识点2 圆锥的表面积 1. 表面积=侧面积＋底面积． 2. 侧面积=πrl（l＝母线，即顶点到底面圆周点的线段）． 3. 底面积=． 4. 无盖物体表面积只需计算侧面积． 知识点3 圆锥体积 1. 等底等高时，圆锥体积=圆柱体积． 2. 体积V=×底面积×高=Sh=h． 知识点4 圆柱与圆锥的关联 1. 等底等高时，V圆锥=V圆柱． 2. 等积等底时，h圆锥=3h圆柱． 3. 等积等高时，S圆锥=3S圆柱． 【题型1 圆锥及其有关概念】 【例1】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，就得到一个（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 【答案】B 【分析】根据圆锥的认识，为轴的那条直角边是旋转后的圆锥的高，另一条直角边是旋转后的圆锥的底面半径，据此解答． 【详解】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，就得到一个圆锥． 故答案为：B 【变式1-1】下列说法中，正确的有（    ）个． ①圆柱、圆锥的底面都是圆；②将圆锥沿高切开后，得到的截面是三角形；③圆锥的侧面展开图是扇形，不能是半圆；④圆锥与圆柱都有无数条高． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】圆柱的特征：一个侧面、两个圆形底面、无数条高；圆锥的特征：一个侧面、一个圆底面、一个顶点、一条高。根据圆柱与圆锥的特征进行判断． 【详解】圆柱、圆锥的底面都是圆。圆柱有两个圆形底面，圆锥有一个圆形底面，所以这句是对的． 将圆锥沿高切开后，得到的截面是三角形。将圆锥沿高切开后，得到的截面是一个等腰三角形，所以这句是对的． 圆锥的侧面展开图是扇形，不能是半圆。半圆也是扇形，所以这句是错的． 圆锥与圆柱都有无数条高。圆锥只有一条高，所以这句是错的． 故答案为：B 【变式1-2】剪开得到的图形是（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】圆锥侧面剪开后，得到的图形是一个扇形。据此解题． 【详解】 剪开得到的图形是 故答案为：C 【变式1-3】“纸上得来终觉浅”，实践方能出真知。一个直角三角形，三条边的长分别为3厘米、4厘米、5厘米。如果以这个三角形较长的直角边为轴，旋转一周形成的圆锥的底面直径是( )厘米，高是( )厘米． 【答案】 6 4 【分析】以较长直角边为轴旋转，则该直角边为圆锥的高，另一条直角边为圆锥的底面半径。 【详解】已知直角三角形三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米，因为5＞4＞3，所以5为斜边，较长直角边为4厘米，另一条直角边为3厘米． 另一条直角边3厘米，就是圆锥的底面半径3厘米，直径为2×3＝6（厘米）。以较长直角边4厘米为轴旋转一周，那么圆锥的高为4厘米． 【题型2 求圆锥侧面积】 【例2】（24-25九年级上·云南西双版纳·期末）若某圆锥模型的母线长为，底面圆半径为，则该圆锥模型的侧面积是______． 【答案】 【分析】直接使用圆锥侧面积公式(其中为底面圆半径，为母线长)，计算即可． 【详解】解：已知圆锥的母线长，底面圆半径． ∴圆锥侧面积． 【变式2-1】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如果某圆锥形纸帽的底面直径为，沿侧面剪开后所得扇形的半径为，则该圆锥纸帽的侧面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键．首先求得圆锥的底面周长，然后利用圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥底面直径， ∴底面半径，底面周长， ∵侧面剪开后所得扇形的半径， ∴侧面积． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面周长求出底面半径，再利用勾股定理求出母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为 ， ∴圆锥的底面半径， ∵圆锥的高， ∴圆锥的母线长， ∴该吊灯外罩的侧面积． 【变式2-3】（2026六年级下·上海·专题练习）如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为，下面圆锥的侧面积为，即可得出答案． 【详解】解：两个圆锥的底面圆相同， 可设底面圆的周长为， 上面圆锥的侧面积为：，下面圆锥的侧面积为：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 故选：C． 【题型3 求圆锥表面积】 【例3】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理易得AB的长，利用直角三角形的面积的不同求法求得AB边上的高，那么所求几何体为两个圆锥的组合体，表面积为底面半径为2.4，母线长为3，4的两个圆锥的侧面积的和． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=5， ∴AB边上的高为3×4÷5=2.4， ∴所得几何体的表面积是×2π×2.4×3+×2π×2.4×4=16.8π=． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算；得到几何体的组成是解决本题的突破点；圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的表面积，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式．根据圆锥表面积公式，，其中为底面半径，为母线长． 【详解】解：由题意，得：，， ∴，， ∴． 故答案为． 【变式3-2】一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是________ 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得圆锥的表面积． 【详解】解：侧面积是：， 底面圆半径为：， 底面积， 故圆锥的表面积是：， 故答案为： 【变式3-3】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可．掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：， 则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为， 则圆锥的底面积为 ， 该圆锥的表面积是． 故答案为：． 【题型4 求圆锥高】 【例4】（24-25六年级下·上海·开学考试）一个长方体和一个圆锥体，他们的底面积和体积都相等，如果长方体的高是9厘米，圆锥体的高是___厘米． 【答案】 【分析】本题考查了长方体和圆锥体积公式的应用．由于长方体体积是，圆锥的体积是，如果长方体的高是厘米，圆锥的底面积和体积分别相等时，高是不等的，圆锥的高是长方体高的倍． 【详解】解：（厘米） 答：圆锥的高是厘米． 故答案为：． 【变式4-1】把一块长3.14分米、宽2分米、高6分米的长方体钢坯熔铸成底面半径是3分米的圆锥，这个圆锥的高是（    ） A．12分米 B．2分米 C．1.33分米 D．4分米 【答案】D 【分析】首先求出长方体的体积，然后根据圆锥的体积公式求解即可． 【详解】长方体的体积为立方分米， ∵把长方体钢坯熔铸成底面半径是3分米的圆锥， ∴这个圆锥的高是分米． 故选：D． 【点睛】此题考查了长方体的体积，圆锥的体积，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式4-2】一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆锥的底面积是圆柱的底面积的，如果圆锥的高是，那么圆柱的高是________． 【答案】10 【分析】本题考查了圆柱与圆锥的关系，圆柱的体积公式：体积=底面积×高；圆锥的体积公式：体积=底面积×高；由圆锥的体积与圆柱的体积比是，进而求出圆柱的高，据此解答． 【详解】解：设圆柱的高是， 圆锥的底面积是，则圆柱的底面积， ， ， ， ， ， 所以圆柱的高是． 故答案为：10． 【变式4-3】一个圆锥形麦堆，底面半径是2米，高是米，如果把这些小麦装入一个圆柱形粮囤里，只占粮囤容积的，已知粮囤底面积是9平方米，粮囤的高是多少米？（取） 【答案】米 【分析】本题主要考查了圆锥的体积公式，圆柱的体积公式，根据圆锥的体积公式求出圆锥体积，根据把这些小麦装入一个圆柱形粮囤里，只占粮囤容积的，求出粮囤的容积，再根据圆柱的体积公式求出粮囤的高即可． 【详解】解： （米）， 答：粮囤的高是米． 【题型5 求圆锥底面半径】 【例5】（25-26九年级上·云南昆明·月考）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积求出扇形的半径，根据圆锥底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由题意，得， 解得（舍去负根）； ∵， 解得； 故该圆锥的底面圆的半径为1. 【变式5-1】（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，以正方形纸片的顶点A为圆心，长为半径画弧，用这个纸片制作一个无底的圆锥．若正方形的边长为1，则圆锥底面的半径为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键． 根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 【变式5-2】过圆心的三条半径将半径为的圆分割成了面积之比为的三个扇形，分别以这三个扇形为侧面展开图的圆锥的底面圆的半径之和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的弧长，圆锥的底面圆的半径，由圆的半径求出圆的周长，根据面积比可得三个扇形的弧长，即可求出以这三个扇形为侧面展开图的圆锥的底面圆的半径，进而求解，理解圆锥的底面圆的等于扇形的弧长是解题的关键． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的周长为， ∵过圆心的三条半径将圆分割成了面积之比为的三个扇形 ∴三个扇形的弧长为， 即三个圆锥的底面圆的周长分别为， ∴底面圆的半径分别为， ∴以这三个扇形为侧面展开图的圆锥的底面圆的半径之和为， 故选：． 【变式5-3】斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 故选：B． 【题型6 求圆锥体积】 【例6】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一个圆锥的底面直径是10厘米，高是15厘米，它的体积是（    ）立方厘米． A． B． C．1570 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的体积公式，根据圆锥的体积公式计算即可，熟知圆锥的体积公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的体积是：， 故选：A． 【变式6-1】求下列图形的体积．（单位：m） 说明求一个不规则物体的体积怎么求？ 【答案】它的体积是立方米，见解析 【分析】根据圆锥的体积计算公式即可解答；根据题意可把不规则的物体放在装有水的规则容器里，即可解答． 【详解】解： （立方米） 答：它的体积是立方米．只要把不规则的物体放在装有水的规则容器里，水就会上升，水上升后比原来多出来的体积，就是不规则物体的体积． 【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握圆锥的体积计算公式是解题的关键． 【变式6-2】一个圆锥，底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，那么它的体积（    ）。 A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的8倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】用假设法赋值，根据圆锥的体积＝，分别求出现在的体积和原来的体积，再相除即可解答。 【详解】假设圆锥原来的底面直径是2，则半径是2÷2＝1，底面直径扩大到原来的4倍后是2×4＝8，半径是8÷2＝4，高是4，则缩小到原来的后是4×＝2。 ××2＝ ×16×2＝ ×32＝ ××4＝ ×1×4＝ ×4＝ ÷（ ）＝ ÷÷（ ÷）＝÷＝×＝8 它的体积扩大到原来的8倍． 【变式6-3】谷场上有一个圆锥形谷堆，谷堆的底面半径是5分米，高3分米，这个圆锥形谷堆的体积是( )立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重( )千克。 【答案】 78.5 62.8 【分析】根据圆锥的体积＝，代入数据求出圆锥形谷堆的体积是多少立方分米，根据1立方米＝1000立方分米，把立方分米化成立方米，再乘每立方米小麦的重量即可求出谷堆的重量是多少千克。 【详解】×3.14××3 ＝×3×（3.14×） ＝×3×（3.14×25） ＝×3×78.5 ＝1×78.5 ＝78.5（立方分米） 78.5立方分米＝0.0785立方米 0.0785×800＝62.8（千克） 这个圆锥形谷堆的体积是78.5立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重62.8千克． 【题型7 圆柱与圆锥体积的关系】 【例7】一个圆柱的体积是立方米，与它等底等高的圆锥的体积是______立方米． 【答案】 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，已知圆柱的体积，求圆锥的体积，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答． 【详解】解：（立方米）． 答：圆锥的体积是立方米． 故答案为：． 【点睛】理解掌握等底等高的圆锥的体积和圆柱体积之间的关系是解答关键． 【变式7-1】（25-26六年级上·全国·课后作业）两个大小相同的量杯中，都盛有水．将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱零件的体积是( )，圆锥零件的体积是( )． 【答案】 【分析】本题考查了规则物体（圆柱、圆锥）的排水法体积测量，熟知圆柱、圆锥体积公式是解题的关键． 水面上升的体积就是放入水中零件的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的倍，通过甲量杯求出圆柱形零件的体积，再用圆柱形零件的体积除以，就是圆锥形零件的体积． 【详解】解： 圆柱形零件的体积是，圆锥形零件的体积是． 故答案为①，②． 【变式7-2】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是24立方厘米，它们的体积之差是（    ）立方厘米．    A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和就是圆锥体积的倍，由此可以求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积，然后求出它们的体积差即可． 【详解】解：圆锥的体积： （立方厘米）， 它们的体积差： （立方厘米）； 所以它们的体积差是12立方厘米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系的灵活运用，掌握求解的方法是关键． 【变式7-3】已知圆柱与圆锥的高相等，它们的底面直径比是，则它们的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积，圆柱的体积为，圆锥的体积为，利用公式求解即可． 【详解】解：根据题意，设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，圆锥的底面半径为，底面积为，高为，则， ∴， ，， ，即它们的体积之比是． 故选：B． 【题型8 组合体的表面积与体积】 【例8】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，一个装满玉米的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱底面的半径是，高是，圆锥的高是．（取） (1)求这个粮囤能装多少立方米的玉米？ (2)若每立方米玉米重吨，这囤玉米有多少吨？ (3)在（2）的条件下，粮库欲将这些玉米运往食品加工厂，甲、乙两个运输队承担此次运输任务，已知甲运输队每天比乙运输队多运送，在运输过程中，甲乙两运输队合运天后，甲运输队有其他任务，剩下由乙运输队单独运送天，恰好运完．求甲、乙两运输队每天各运送多少吨玉米？ 【答案】(1)立方米 (2)吨 (3)乙运输队每天运送吨玉米，甲运输队每天运送吨玉米 【分析】（1）根据题中所给粮囤组成：一个圆柱和一个圆锥，分别求出圆柱和圆锥的体积求和即可； （2）由（1）中求得的粮囤体积，结合每立方米玉米重量，相乘即可得到答案； （3）根据题意，找等量关系列一元一次方程求解即可解决问题． 【详解】（1）解：圆柱体积：；圆锥体积：， 这个粮囤的总体积：， 答：粮囤能装立方米玉米； （2）解：总重量：（吨）， 答：这囤玉米有吨； （3）解：设乙运输队每天运送吨玉米，则甲运输队每天运送吨玉米， 根据题意得，解得， （吨）， 答：乙运输队每天运送吨玉米，甲运输队每天运送吨玉米． 【变式8-1】（25-26六年级上·全国·课后作业）求组合图形的体积．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查了组合体的体积（圆柱、圆锥）、圆锥的体积（容积）、圆柱的体积，熟练掌握以上体积公式是解题的关键． 观察图形可知，该组合图形的体积＝中间圆柱的体积＋两边的两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，据此代入数值进行计算即可． 【详解】解： 【变式8-2】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查了圆锥和圆柱的表面积，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．利用扇形的面积公式即可求得内面的面积，利用圆面积公式求得底面的面积，然后利用矩形的面积公式求得外侧面的面积，三个的和就是表面积． 【详解】解： 【变式8-3】（24-25六年级下·上海浦东新·期末）（本题结果保留） 大家都知道圆柱和圆锥这两个立体图形可以看成由一个平面几何图形绕着某条直线旋转一定角度构造而成，学校“深度探索”小组在学完这一章后自然想到：如果改变平面几何图形或者改变直线的位置或者改变旋转的角度，会得到怎样有趣的立体图形呢？ (1)小张用一个平面几何图形绕着某条直线旋转一周发现了下面这个立体图形，请你把小张所用的平面几何图形和其所绕的直线画出来． (2)小查用下面的直角绕着所在的直线旋转，已知长，长，的长度为，求扫过所形成的立体图形的表面积． (3)小戚用下面的长方形绕着直线旋转一周，与直线平行且相距，已知长，长，求长方形扫过所形成的立体图形的表面积和体积． (4)请发挥你的想象力构造出一种不同于上面的立体图形，说出你的构造方法：是由什么平面图形绕着哪条直线（可画出示意图）旋转多少度所成，并求出你所构造的立体图形的体积或表面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查的知识点有将一个图形旋转一定的度数、圆锥、圆柱的体积和表面积计算．记住圆锥、圆柱的体积公式和表面积公式是求解的关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据题意得出直角绕着所在的直线旋转，形成的立体图形是底面半径为的一个半圆锥，再根据半圆锥的表面积半圆锥的侧面积竖面等腰三角形面积底面半圆面积，解答即可． （3）画出直线，分两种情况分别求解即可． （4）根据三角形与正方形的特征，以为轴，旋转一周，可得到一个圆锥与圆柱的组合体，根据圆锥的体积公式即可求出这个圆锥的体积；根据圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积；二者相加就是几何体的体积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：直角绕着所在的直线旋转，形成的立体图形是底面半径为的一个半圆锥， 半圆锥的侧面积， 半圆锥的表面积． （3）解：如图，直线有图中两种位置， 图1中，长方形扫过所形成的立体图形的表面积， 长方形扫过所形成的立体图形的体积； 图2中，长方形扫过所形成的立体图形的表面积， 长方形扫过所形成的立体图形的体积； （4）解：如图，将如下图形绕所在直线旋转一周形成一个由底面相同的圆锥和圆柱组成的立体图形． 则该立体图形体积 ．（答案不唯一，合理即可） 【题型9 圆柱与圆锥的综合应用】 【例9】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）如图，有一个圆锥形谷堆，如果把这些稻谷倒入一个圆柱形粮仓中，刚好装满．这个圆柱形粮仓的占地面积是多少平方米？ 【答案】这个圆柱形粮仓的占地面积是平方米 【分析】本题主要考查了圆锥和圆柱的体积公式的实际应用． 根据圆锥的体积公式(圆锥的体积=底面积高)先求出这些稻谷的体积，再利用圆柱的体积公式(圆柱的体积=底面积高)即可求出它的占地面积． 【详解】解：， ． 答：这个圆柱形粮仓的占地面积是平方米． 【变式9-1】（25-26七年级上·湖北襄阳·开学考试）如图中，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满（）杯． A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查圆柱体积公式，圆锥体积公式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意知道瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，设瓶底的面积为S，瓶子内液体的高度为，则锥形杯子的高度为h，先根据圆柱的体积公式求出圆柱形瓶内液体的体积，再算出锥形杯子的容积，进而得出答案． 【详解】解：设圆柱形瓶子的底面积是S， 圆柱形瓶内液体的体积：， 锥形杯子的容积：， 倒满杯子的个数：（杯）， 答：能倒满6杯． 故选：C． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）将一个圆柱形木块平均切成四块（图），表面积增加平方厘米；平均切成三块（图），表面积增加平方厘米．这个圆柱的底面半径和高分别为多少厘米？若要在该圆柱内削出一个最大的圆锥（图），则这个圆锥的体积是多少立方厘米（取）？ 【答案】这个圆柱的底面半径为厘米，高为厘米，这个圆锥的体积是立方厘米． 【分析】本题考查了圆的面积公式，圆锥体积公式，长方形面积公式，由平均切成三块（图），表面积增加平方厘米，则圆柱的底面积为平方厘米，从而得到圆柱的底面半径为厘米，圆柱的底面直径为厘米，由将一个圆柱形木块平均切成四块（图），表面积增加平方厘米，得圆柱的高为厘米，然后通过圆锥体积公式即可求解，熟练掌握公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平均切成三块（图），表面积增加平方厘米， ∴圆柱的底面积为（平方厘米）， ∴圆柱的底面半径厘米，所以圆柱的底面直径为厘米， ∵将一个圆柱形木块平均切成四块（图），表面积增加平方厘米， ∴圆柱的高为（厘米）， ∴这个圆锥的体积是（立方厘米）， 答：这个圆柱的底面半径为厘米，高为厘米，这个圆锥的体积是立方厘米． 【变式9-3】（25-26六年级上·全国·课后作业）一个底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装有水．将等底等高的一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块同时放入这个容器中，水面上升到9厘米（如图）．这个圆锥形铁块的体积是多少？ 【答案】314立方厘米 【分析】本题考查了不规则物体的体积算法、圆柱与圆锥体积的关系． 通过观察可知，物体的体积上升部分水的体积，上升部分水的体积容器的底面积上升部分的高度，根据圆柱的体积公式：，代入数据即可求出上升部分水的体积，即两个铁块的体积，根据等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，圆柱体积看作3份，圆锥体积看作1份，用上升部分水的体积除以即可求出圆锥形铁块的体积． 【详解】解： （立方厘米） （立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是314立方厘米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $