第七章 复数（思维导图+知识清单+四大易错点总结）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

该高中数学复数单元复习讲义通过思维导图、知识清单系统构建知识体系，梳理复数的概念、几何意义、四则运算及三角表示，用表格对比复数分类、三角表示要素等核心内容，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于四大易错点总结，结合典例（如实部虚部辨析）和跟踪训练（如复平面内点的象限判断），培养数学思维与符号表达能力。分层练习满足不同学生需求，助力自主复习，为教师精准教学提供支持。

第七章 复数（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 7.1 复数的概念 【知识点1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【知识点2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 【知识点3 复数的模及模的几何意义】 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 7.2 复数的四则运算 【知识点1 复数的加、减运算及其几何意义】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【知识点2 复数的乘、除运算】 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 2．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 4．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 6．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 7.3 复数的三角表示 【知识点1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【易错点1 混淆复数的实部、虚部等基本概念】 易错点分析：混淆了复数的实部、虚部、实数、虚数、纯虚数等基本概念，导致计算结果错误. 【注】：(1)复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (2)复数的分类：对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 【典例1】（2025高一下·全国·专题练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】B 【解题思路】利用复数的虚部与实部的定义求解. 【解答过程】复数的实部为，虚部为， 故选：B. 【跟踪训练1.1】（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【解答过程】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C. 【跟踪训练1.2】（24-25高一下·贵州毕节·期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数虚部的概念得解. 【解答过程】因为， 所以复数的虚部为. 故选：A. 【跟踪训练1.3】（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【答案】C 【解题思路】根据复数的概念即可求解. 【解答过程】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：C. 【跟踪训练1.4】（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【解题思路】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【解答过程】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数. 【易错点2 复数的几何意义应用错误】 易错点分析：没有正确理解复数的几何意义，没有弄清复数与复平面内的点、平面向量之间的对应关系，导致错误. 【注】：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离. 【典例2】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【解答过程】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·福建南平·期末）若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A，由虚部定义可得答案；对于B，由复数坐标表示可得答案；对于C，由共轭复数定义可得答案；对于D，由复数模计算公式可得答案. 【解答过程】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，对应的点为，在第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【跟踪训练2.2】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【解答过程】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 【跟踪训练2.3】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【解答过程】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 【跟踪训练2.4】（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【解题思路】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； （4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. 【解答过程】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 【易错点3 复数加减法的几何意义】 易错点分析：没有弄清复数加减法的几何意义，导致计算结果错误. 【注】：(1)根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差. (2)求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则. (3)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行. 【典例3】（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据复数加减的几何意义可求. 【解答过程】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 【跟踪训练3.1】（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为，，，若，则=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【跟踪训练3.2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解答过程】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【跟踪训练3.3】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解题思路】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【解答过程】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 【跟踪训练3.4】（2025高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解， （2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. （2）因为 ， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 【易错点4 复数范围内方程的根】 易错点分析：没有弄清复数范围内方程的根和实数范围内方程的根的区别和求解方法，导致计算结果错误. 【注】：(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【典例4】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】利用实系数一元二次方程两虚根共轭，得到方程另一根，最后利用韦达定理得到答案. 【解答过程】是方程的一个根，是方程的另一个根. 则由韦达定理得：，解得：， 故选：B. 【跟踪训练4.1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解答过程】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 【跟踪训练4.2】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】由求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，结合列方程求出的值. 【解答过程】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B. 【跟踪训练4.3】（24-25高一下·上海·期末）已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据实系数一元二次方程有虚根，判别式小于0求解； （2）根据实系数一元二次方程，可利用韦达定理可构造方程组求得，得解. 【解答过程】（1）时，关于的方程在复数集中有两个虚根， 所以，解得， 即的取值范围为. （2）是关于的实系数方程的一个根， 是另一个根， ，解得. 【跟踪训练4.4】（24-25高一下·上海·月考）关于x的方程的两根分别为， (1)若，求实数p的值； (2)若，求实数p的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）把代入方程可求得p值； （2）根据方程中进行讨论结合可求得p值． 【解答过程】（1）把代入关于x的方程得：， 解得：，的值为 （2）关于x的方程的两根分别为、， ，， 当即或时， 由得：，解得：； 当即时，方程解为， 又，，解得： 故p的值为：或 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 7.1 复数的概念 【知识点1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【知识点2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 【知识点3 复数的模及模的几何意义】 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 7.2 复数的四则运算 【知识点1 复数的加、减运算及其几何意义】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 【知识点2 复数的乘、除运算】 1．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 2．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 3．复数的运算的解题策略 (1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 4．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 5．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 6．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 7.3 复数的三角表示 【知识点1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【知识点2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【易错点1 混淆复数的实部、虚部等基本概念】 易错点分析：混淆了复数的实部、虚部、实数、虚数、纯虚数等基本概念，导致计算结果错误. 【注】：(1)复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (2)复数的分类：对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 【典例1】（2025高一下·全国·专题练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【跟踪训练1.1】（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练1.2】（24-25高一下·贵州毕节·期中）设（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．4 C． D． 【跟踪训练1.3】（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【跟踪训练1.4】（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【易错点2 复数的几何意义应用错误】 易错点分析：没有正确理解复数的几何意义，没有弄清复数与复平面内的点、平面向量之间的对应关系，导致错误. 【注】：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离. 【典例2】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪训练2.1】（24-25高一下·福建南平·期末）若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【跟踪训练2.2】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【跟踪训练2.3】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.4】（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【易错点3 复数加减法的几何意义】 易错点分析：没有弄清复数加减法的几何意义，导致计算结果错误. 【注】：(1)根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差. (2)求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则. (3)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行. 【典例3】（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练3.1】（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为，，，若，则=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【跟踪训练3.2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.3】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【跟踪训练3.4】（2025高一下·全国·专题练习）已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【易错点4 复数范围内方程的根】 易错点分析：没有弄清复数范围内方程的根和实数范围内方程的根的区别和求解方法，导致计算结果错误. 【注】：(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【典例4】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（    ） A．4 B． C．2 D． 【跟踪训练4.1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.2】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练4.3】（24-25高一下·上海·期末）已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 【跟踪训练4.4】（24-25高一下·上海·月考）关于x的方程的两根分别为， (1)若，求实数p的值； (2)若，求实数p的值． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $