第七章 复数全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

第七章 复数全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（5分）（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一下·天津·月考）已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 8．（5分）（24-25高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·湖北·期中）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则实数或 D．若复数满足，则 10．（6分）（24-25高一下·河北邢台·期中）已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 11．（6分）（24-25高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·云南昆明·期中）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为_________. 13．（5分）（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为_________． 14．（5分）（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·天津·期末）已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 16．（15分）（24-25高一下·河北雄安·月考）已知复数，且是实数. (1)求a的值； (2)若，且，求m的取值范围. 17．（15分）（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. (1)求； (2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 18．（17分）（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知关于的实系数一元二次方程， (1)若，是该方程的两个根，求的值； (2)若该方程有两个虚根且．求的值． 19．（17分）（24-25高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】由复数相等的条件即可求解. 【解答过程】因为， 所以，. 故选：B. 2．（5分）（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【解答过程】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 3．（5分）（24-25高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断. 【解答过程】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 4．（5分）（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由复数的几何意义求解即可. 【解答过程】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 5．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【解答过程】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 6．（5分）（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解答过程】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 7．（5分）（24-25高一下·天津·月考）已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】C 【解题思路】首先展开复数的乘积，利用实部为求出的值，再代入计算虚部、模、共轭复数和对应点的象限，逐一验证选项即可. 【解答过程】由的实部为可得，， 解得，则. 复数的虚部为，故A错误； 复数的共轭复数，故B错误； ，故C正确； z在复平面内对应的点为，在第三象限，故D错误. 故选：C. 8．（5分）（24-25高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·湖北·期中）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数，则实数或 D．若复数满足，则 【答案】AD 【解题思路】A选项，可判断；B选项，举出反例可判断；C选项，得到方程组，求出可判断；D选项，，从而根据模长公式得到方程，化简得可判断. 【解答过程】对于A选项，，则，故A正确； 对于B选项，不妨设，故，但，故B错误； 对于C选项，复数，则， 解得，故C错误； 对于D选项，复数满足，即， 即，化简得，故D正确. 故选：AD. 10．（6分）（24-25高一下·河北邢台·期中）已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 【答案】ACD 【解题思路】根据复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义和向量夹角的计算等知识，分别对各选项进行计算分析判断. 【解答过程】因为，所以， ，， 所以，A选项正确； ，，C选项正确； 对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误； 即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点，即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确； 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】ABD 【解题思路】对于A，B，由代入运算即可判断，对于C，代入，得其对应的点坐标，进行判断即可；对于D，将代入化简，再求即可判断. 【解答过程】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·云南昆明·期中）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为_________. 【答案】 【解题思路】先根据复数类型计算求参得出复数，再应用共轭复数定义求解. 【解答过程】因为为纯虚数， 所以解得， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为_________． 【答案】 【解题思路】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即可. 【解答过程】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转， 可得， 所以，所得的向量对应的复数虚部为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为__________． 【答案】 【解题思路】设，，，根据复数乘方运算得，从而根据复数的模运算法则得到在复平面内对应的点组成的集合. 【解答过程】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·天津·期末）已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入，根据共轭复数的概念求解即可； （2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可； （3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得的不等式，求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以共轭复数 （2）， 因为复数z是纯虚数，所以， 解得， 所以； （3）因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限 所以，即 即，所以 所以，实数m的取值范围是. 16．（15分）（24-25高一下·河北雄安·月考）已知复数，且是实数. (1)求a的值； (2)若，且，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出的表达式，令虚部等于0，即可求出a的值； （2）由（1）可知或，分别求出和，再解不等式，即可求出m的取值范围. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 因为是实数，所以，解得； （2）由（1）可知或， 当时，， 所以，. 因为，所以， 整理可得，即或    ， 解得或. 当时，同理可解得或. 综上，m的取值范围是. 17．（15分）（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. (1)求； (2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）先利用复数除法运算和乘法运算，求解，然后设出，再根据为实数求解即可； （2）先根据题（1）条件求出、两点坐标，再求解，然后根据，利用三角形面积公式求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以， 设，所以， 因为为实数，所以即，所以， （2）因为，， 所以对应点坐标，， 所以，， 因为，， 所以、与轴所成角相等，设为， 所以，，， 所以， 所以. 18．（17分）（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知关于的实系数一元二次方程， (1)若，是该方程的两个根，求的值； (2)若该方程有两个虚根且．求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，方程为，利用韦达定理即可求解； （2）设，由得，又由即可求解. 【解答过程】（1）当时，，由韦达定理有， 所以， （2）由题意可设， 所以， 即，由是方程的两根虚根， 所以， 所以解得， 所以. 19．（17分）（24-25高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)的最大值是3，最小值是0. 【解题思路】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【解答过程】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $