第七章 复数全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

第七章 复数全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【解题思路】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【解答过程】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A. 2．（5分）（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【解答过程】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 3．（5分）（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【解答过程】由题意得，故D正确. 故选：D. 4．（5分）（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是虚数单位，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】复数，则，代入已知条件根据复数相等求解. 【解答过程】设，则， 所以， 即， 由复数相等得， 解得，所以， 故选：A． 5．（5分）（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数乘法的三角表示公式计算即可. 【解答过程】因为，所以 . 故选：C. 6．（5分）（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【解答过程】若复数(是虚数单位)是纯虚数， 则，解得. 故选：A. 7．（5分）（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解. 【解答过程】， 故选：B. 8．（5分）（24-25高一下·云南·期中）若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】方法一：将代入方程中化简可求出，然后解方程求解即可；方法二：根据实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数求解. 【解答过程】因为是方程的一个根， 则，即， 则，所以， 所以方程为， 所以方程的根为， 所以方程的另外一个根为， 方法二：因为实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数， 所以方程的另一个根为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【解题思路】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案 【解答过程】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 10．（6分）（25-26高一下·全国·单元测试）设，是复数，则下列命题中的真命题有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由得到，故，从而得到结论；对于B，根据共轭复数的定义求解；对于C，设，，，，，，根据复数的模的定义得解；对于D，根据复数的模的定义求解． 【解答过程】对于A，若，则，，所以为真； 对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真； 对于C，设，，，，，， 若，则，，， 所以为真； 对于D，若，， 则为真，而，，所以为假． 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据实系数一元二次方程根的性质判断各个选项即可. 【解答过程】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，A选项正确；B选项错误； ，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为三角形式：___________． 【答案】 【解题思路】根据复数三角式的形式进行求解即可. 【解答过程】，设该复数的辐角主值为， 因为复数在复平面上的对应点的坐标为，它在第二象限， 且，所以， 所以 . 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一下·河北邯郸·月考）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________. 【答案】2 【解题思路】根据纯虚数的定义求解即可. 【解答过程】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________. 【答案】 【解题思路】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【解答过程】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·全国·单元测试）设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 【答案】(1)或． (2) 【解题思路】（1）由对数的性质及复数的分类，列式求解即可； （2）由纯虚数的概念列式求解即可. 【解答过程】（1）要使复数为实数， 需满足， 解得或． 即当或时，是实数． （2）要使复数为纯虚数， 需满足， 即 解得， 即当时，是纯虚数． 16．（15分）（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【解题思路】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 17．（15分）（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【答案】(1) (2) (3)． 【解题思路】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （3）由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数. 【解答过程】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ， ∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． 18．（17分）（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由实系数方程的虚根成对的特点与韦达定理计算即得； （2）根据复数的几何意义利用（1）的结论数形结合计算即可. 【解答过程】（1）由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. （2）因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 19．（17分）（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【解答过程】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 2．（5分）（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是虚数单位，满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 7．（5分）（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·云南·期中）若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 10．（6分）（25-26高一下·全国·单元测试）设，是复数，则下列命题中的真命题有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（6分）（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为三角形式：___________． 13．（5分）（25-26高一下·河北邯郸·月考）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________. 14．（5分）（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·全国·单元测试）设复数，当为何值时： (1)是实数？ (2)是纯虚数？ 16．（15分）（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 17．（15分）（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 18．（17分）（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 19．（17分）（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $