期中复习课件03：因数与倍数-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

因数与倍数 五年级下册数学苏教版 考点梳理 例题讲解 提升练习 期中冲刺 · 高效复习 · 巩固提升 1.7.2013 同学们好，今天我们将一起复习五年级下册数学的一个重要单元——因数与倍数。这份课件将帮助大家梳理核心考点，通过经典例题加深理解，并进行当堂练习巩固所学知识。希望大家在这次复习中有所收获！ ‹#› 目录 核心考点梳理 回顾本单元的十个核心知识点，夯实基础。 经典例题讲解 通过十个典型例题及变式训练，深入理解解题方法。 当堂巩固练习 通过针对性练习题检验学习效果，查漏补缺。 课堂小结 总结本单元的重点内容，构建完整知识体系。 1.7.2013 本次复习课主要分为四个部分。首先，我们会一起梳理本单元的十个核心考点；接着，通过经典例题和变式训练来巩固解题思路；然后是当堂练习时间；最后进行课堂小结。希望大家紧跟节奏，积极思考。 ‹#› 考点一：因数和倍数的认识 核心定义 在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 相互依存关系 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。例如：可以说“12是3的倍数”，但不能说“12是倍数”。 研究范围 仅在非0自然数范围内讨论因数和倍数。 1.7.2013 我们首先来看第一个考点：因数和倍数的认识。大家要记住，因数和倍数是在整数除法中产生的概念，而且它们是相互依存的，不能分开说。同时，我们只在非0的自然数里讨论它们。 ‹#› 考点二：找一个数的因数及因数的特征 找因数的方法 1. 乘法算式法： 将这个数写成两个整数相乘的形式，所有乘数都是该数的因数。 2. 除法算式法： 用该数依次除以1,2,3,…，若商是整数且没有余数，除数和商都是因数。 因数的特征 1. 数量与范围： 个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 2. 分布规律： 因数具有对称性，通常成对出现。 记忆口诀：因数因数真亲密，最小一，最大己；乘法除法来找你，成对出现不分离。 1.7.2013 接下来我们学习如何找一个数的因数。有两种方法，乘法法和除法法，大家可以选择自己喜欢的方法。因数有几个重要特征：数量是有限的，最小的因数是1，最大的因数就是它自己。 ‹#› 考点三：找一个数的倍数及倍数的特征 找倍数的方法 用这个数依次乘 1, 2, 3, …，所得的积都是该数的倍数。例如：3的倍数就是 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9…… 倍数的特征 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。且倍数一定大于或等于它本身。 记忆口诀：最小倍数是自己，最大倍数无限大，个数无限要牢记。 1.7.2013 找倍数就比较简单了，用这个数去乘1、2、3……得到的数都是它的倍数。和因数不同，一个数的倍数有无限多个，最小的倍数就是它自己，没有最大的倍数。 ‹#› 考点四：倍数和因数的综合应用 1. 判断因数倍数关系 根据定义判断两个数是否存在因数或倍数关系。例如：24÷4=6，则24是4和6的倍数，4和6是24的因数。 2. 解决基础问题 结合因数和倍数的概念，分析简单数量关系。例如：“一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可能是多少？” 1.7.2013 学会了找因数和倍数，我们就要会综合运用它们。比如判断两个数之间的关系，或者解决一些简单的问题，像找出一个数，它既是某个数的倍数，又是另一个数的因数。 ‹#› 考点五：2、3、5的倍数特征 2的倍数特征 个位上是0, 2, 4, 6, 8的数。 5的倍数特征 个位上是0 或 5的数。 3的倍数特征 各位上的数字之和是3的倍数。 同时是2和5的倍数 个位上是0的数。 记忆口诀：判断2、5看个位，判断3看和，个位是0则同时满足2和5。 1.7.2013 接下来是非常重要的知识点：2、3、5的倍数特征。判断一个数是不是2或5的倍数，看个位就可以了。而判断是不是3的倍数，需要把所有数位上的数字加起来，看和是不是3的倍数。大家一定要记牢这些特征。 ‹#› 考点六：奇数与偶数的认识 基本定义 是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做奇数。 个位特征 偶数个位为0, 2, 4, 6, 8；奇数个位为1, 3, 5, 7, 9。 运算性质 加法：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数 乘法：奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数 1.7.2013 根据是不是2的倍数，我们把自然数分成了奇数和偶数。偶数就是双数，奇数就是单数。它们之间还有一些有趣的运算规律，比如奇数加奇数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数等等，这些规律可以帮助我们快速判断计算结果的奇偶性。 ‹#› 考点七：质数与合数的认识 核心定义解析 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。 例：2, 3, 5, 7 合数：除了1和它本身还有别的因数的数。 例：4, 6, 8, 9 特殊数字 1：既不是质数也不是合数。 100以内常见质数（共25个） 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79 83, 89, 97 记忆口诀与技巧： 二三五七和十一，十三后面是十七，还有十九别忘记； 二三九，三一七，四一四三四十七；五三九，六一七，七一七三七十九；八三八九九十七。 1.7.2013 我们还可以根据因数的个数来给自然数分类。只有1和它本身两个因数的数叫质数，除了1和它本身还有其他因数的数叫合数。特别要注意，1既不是质数也不是合数。大家最好能记住100以内的质数，这对我们以后的学习很有帮助。 ‹#› 考点八：质因数与分解质因数 质因数的定义 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。例如：12 = 2 × 2 × 3，其中2和3是12的质因数。 分解质因数的概念 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，这个过程叫做分解质因数。它是研究数论性质的重要手段。 核心方法：短除法 步骤：1. 用质数作除数去除合数；2. 除到商是质数为止；3. 把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 1.7.2013 接下来是分解质因数。任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这就是分解质因数。最常用的方法是短除法，大家要掌握这个方法，步骤是用质数去除，直到商也是质数为止。 ‹#› 考点九：最大公因数与最小公倍数 最大公因数（GCD） 定义：几个数公有的因数叫做公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。 求法：列举法、短除法。 最小公倍数（LCM） 定义：几个数公有的倍数叫做公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。 求法：列举法、短除法。 特殊情况速记 互质数：最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积。 倍数关系：较小数是最大公因数，较大数是最小公倍数。 1.7.2013 最大公因数和最小公倍数是本单元的难点，也是重点。我们要学会用列举法或短除法来求几个数的最大公因数和最小公倍数。同时，记住两种特殊情况：互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；成倍数关系的两个数，小数是最大公因数，大数是最小公倍数。 ‹#› 考点十：用最大公因数或最小公倍数解决实际问题 最大公因数 适用场景：解决“最多能分成多少组”、“最大正方形边长”等问题，即求“最多”或“最大”。 最小公倍数 适用场景：解决“至少经过多少时间再次同时发生”、“至少需要多少物品”等问题，即求“至少”或“再次”。 通用解题步骤 1. 分析题意定需求 2. 计算相应数值 3. 检验结果合理性 核心技巧：紧扣关键词！求“最多”、“最大”通常用最大公因数；求“至少”、“再次同时”通常用最小公倍数。 1.7.2013 学习了最大公因数和最小公倍数，我们就要用它们来解决实际问题。关键是要分清什么时候用最大公因数，什么时候用最小公倍数。一般来说，求“最大”“最多”的时候用最大公因数，求“最小”“至少”的时候用最小公倍数。 ‹#› 例题讲解：因数和倍数的认识 例题 1 下面各组数中，两个数是因数和倍数关系的是（ ）。 A．14和56 B．4和17 C．1.8和0.6 D．4和0.8 思路分析 根据定义，因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，且被除数能被除数整除。 A选项：56÷14=4，商是整数，符合因数倍数关系。 B选项：17不能被4整除，商不是整数，不符合。 C、D选项：涉及小数，因数倍数关系不考虑小数，直接排除。 正确答案：A（牢记：因数和倍数是在非零自然数范围内研究的） 1.7.2013 现在我们来看第一个例题，考察大家对因数和倍数关系的理解。 首先，我们要记住，因数和倍数的关系只在整数范围内讨论，所以C和D选项因为涉及小数，可以直接排除。 然后看A和B，只有A选项中的56能被14整除，商是整数且没有余数，所以它们是因数和倍数关系。而17除以4有余数，因此不是。 ‹#› 变式训练1 题目：a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（ ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 分析：根据定义，若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。题目中a能被b整除，所以b是a的因数。 答案：B 1.7.2013 这道题很直接，a除以b等于13，说明a能被b整除，所以b是a的因数，a是b的倍数。大家要分清谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 ‹#› 变式训练2 题目：在 3，0.3，5，0.5，15，0.15 中，( ) 是 ( ) 和 ( ) 的倍数，( ) 和 ( ) 是 ( ) 的因数。 分析：首先排除小数，剩下 3、5、15。因为 3 × 5 = 15，所以 15 是 3 和 5 的倍数，3 和 5 是 15 的因数。 答案：15 是 3 和 5 的倍数，3 和 5 是 15 的因数。 1.7.2013 这道题需要我们从一组数中找出因数和倍数的关系。首先，我们要排除小数，因为因数和倍数只在整数范围内讨论。然后看剩下的3、5、15，很明显，3乘5等于15，所以15是3和5的倍数，3和5是15的因数。 ‹#› 例题讲解：找一个数的因数及因数的特征 例题2：下面的数中，因数个数最多的是（ ）。 A．36 B．40 C．48 D．50 解题思路：分别找出每个数的因数并计数 36 的因数 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 共 9 个 40 的因数 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 共 8 个 48 的因数 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 共 10 个 (最多) 50 的因数 1, 2, 5, 10, 25, 50 共 6 个 答案：C（因为 48 的因数个数最多，有 10 个） 1.7.2013 这道题需要我们找出每个选项的因数个数，然后进行比较。我们可以用乘法算式法，一对一对地找，这样不容易遗漏。通过列举，我们发现48的因数有10个，是最多的。 ‹#› 变式训练1 题目：6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样的数叫做完全数（也叫完美数）。下面的数也有这样的特点的完美数是（）。 A．8 B．12 C．20 D．28 分析：找出每个选项的因数，将除它本身外的所有因数相加： 8: 1+2+4=7 (≠8) | 12: 1+2+3+4+6=16 (≠12) | 20: 1+2+4+5+10=22 (≠20) |28: 1+2+4+7+14=28 答案：D 1.7.2013 这道题介绍了一个新的概念——完全数，就是除了它本身以外的所有因数相加，结果等于它自己。我们需要逐个检查选项，找出符合条件的那个数。通过计算，我们发现28符合这个特点，所以它是一个完全数。 ‹#› 变式训练2 题目：五年级（1）班有40人，如果所有同学站成方队表演体操，每行人数同样多，至少4人，最多12人。利用“因数和倍数”知识，你可以列举出几种站队的方法？ 分析：每行人数是40的因数，且需满足4 ≤ 每行人数 ≤ 12。40的因数有1,2,4,5,8,10,20,40。符合条件的因数有4,5,8,10。 答案：4种方法： 每行4人，站10行 每行5人，站8行 每行8人，站5行 每行10人，站4行 1.7.2013 这是一道实际应用问题。站成方队，每行人数要一样多，说明每行人数是40的因数。我们先找出40的所有因数，然后根据题目要求“至少4人，最多12人”来筛选，最后得到4种站队方法。 ‹#› 例题讲解：找一个数的倍数及倍数的特征 例题3：7的倍数有 ( ) 个，其中最小的是 ( )。 思路分析 一个数的倍数个数是无限的，因为可以用这个数分别乘1、2、3……得到无限多个结果。 正确答案 最小的倍数是它本身。所以答案是：无数；7 知识点总结：一个数没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。 1.7.2013 这道题考察的是倍数的基本特征。我们知道，一个数的倍数有无限多个，因为我们可以一直乘下去。而最小的倍数就是它自己，所以7的最小倍数是7。 ‹#› 变式训练1 题目：100以内8的倍数有 ( ) 个。 分析思路： 用8依次乘1, 2, 3…，直到乘积超过100为止。 计算过程：8×1=8, 8×2=16, …, 8×12=96, 8×13=104（超过100）。 答案：12个 1.7.2013 这道题要求找出100以内8的倍数有多少个。我们可以用8去乘1、2、3……，直到乘积超过100为止，看看一共乘了多少次，就有多少个倍数。计算下来，8乘12等于96，是100以内最大的倍数，所以一共有12个。 ‹#› 变式训练2 题目 《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是( )，最小倍数是( )。 分析 一个数的最小因数是1，最小倍数是它本身。 答案 1；72 1.7.2013 这道题很简单，考察的是因数和倍数的基本特征。任何一个非0自然数，它的最小因数都是1，最小倍数都是它自己。所以72的最小因数是1，最小倍数是72。 ‹#› 例题讲解：倍数和因数的综合应用 例题 4：一个数既是 36 的因数，又是 9 的倍数，这个数可能是 ( )。 思路分析 第一步：先找出 36 的所有因数：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 第二步：从因数中筛选出 9 的倍数：9, 18, 36 正确答案 9、18、36 1.7.2013 这道题需要我们找出一个数，它既是36的因数，又是9的倍数。我们可以分两步走，先找出36的所有因数，然后从这些因数里筛选出是9的倍数的数，这样就得到了答案。 ‹#› 变式训练1 题目：既是75的因数，又是15的倍数，这个数可能是 ( ) 或 ( )。 分析：75的因数有 1, 3, 5, 15, 25, 75。其中是15的倍数的有 15 和 75。 答案：15；75 1.7.2013 这道题和例题类似，我们先找出75的所有因数，然后看哪些是15的倍数。通过筛选，我们发现15和75符合条件。 ‹#› 变式训练2 题目 一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是( )，它的因数有( )。 分析 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以这个数是32。32的因数有1, 2, 4, 8, 16, 32。 答案 32；1、2、4、8、16、32 1.7.2013 这道题告诉我们一个数的最大因数是32，那么这个数就是32本身。一个数的最小倍数也是它本身，所以最小倍数是32。然后我们再找出32的所有因数即可。 ‹#› 例题讲解：2、3、5的倍数特征 例题5：一个四位数是 462□，要使它是 5 的倍数，□里可以填( )；要使它是 3 的倍数，□里可以填( )。 5的倍数分析 特征：个位必须是 0 或 5。 结论：□里可以填0 或 5 3的倍数分析 特征：各位数字之和是3的倍数。4+6+2=12。 结论：□里可以填0、3、6、9 答案：要使它是5的倍数，□里可以填0，5；要使它是3的倍数，□里可以填0，3，6，9。 1.7.2013 这道题考察我们对2、3、5倍数特征的掌握。要使这个数是5的倍数，个位必须是0或5。要使它是3的倍数，我们需要把已知数位上的数字加起来，再看个位填什么数字能让总和是3的倍数。 ‹#› 变式训练1 题目：用1～5这五个自然数连续不断地排成一个二十位数1234512345…，这个二十位数一定是（ ）。 A．2、3的倍数 B．2、5的倍数 C．3、5的倍数 D．2、3、5的倍数 分析思路 个位是5，故为5的倍数，但不是2的倍数（排除A、B、D）。 数字和：(1+2+3+4+5)×4 = 60，60是3的倍数，故为3的倍数。 正确答案 C 1.7.2013 这道题有点复杂，我们来一步步分析。首先看这个二十位数的个位是5，所以它是5的倍数，但不是2的倍数，这样就可以排除A、B、D选项。再看各位数字之和，1到5的和是15，二十位数里有4组1到5，总和是60，60是3的倍数，所以这个数也是3的倍数。因此，正确答案是C。 ‹#› 变式训练2 题目：从 0、1、3、8 中选出三个数字，组成一个既是 2 的倍数，又有因数 3 的最小三位数是 ( )，最大三位数是 ( )。 思路分析： 条件：个位必须是 0 或 8（2的倍数），且各位数字之和是 3 的倍数。 组合：可选组合为 (0,1,8) 和 (1,3,8)。 最值：最小选 1 开头，最大选 8 开头，再按规则排列。 答案：最小三位数是108，最大三位数是810。 1.7.2013 这道题要求组成的三位数既是2的倍数，又有因数3，也就是这个数要同时满足2和3的倍数特征。我们先找出符合条件的数字组合，然后再从中找出最小和最大的三位数。最小的是108，最大的是810。 ‹#› 例题讲解：奇数与偶数的认识 例题6：1＋3＋5＋…＋27＋29的和是（ ）。 A．偶数 B．倍数 C．奇数 D．质数 思路分析 这是15个奇数相加。根据运算性质，奇数个奇数相加的和是奇数。 正确答案 C．奇数 1.7.2013 这道题是求1到29之间所有奇数的和。我们可以用运算性质来快速判断，不需要一个个加起来。15个奇数相加，奇数个奇数相加的结果是奇数，所以答案是C。 ‹#› 变式训练1 题目：5个连续的偶数的和是100，其中最小的是( )，最大的是( )。 分析：5个连续偶数的和是100，中间的那个偶数就是它们的平均数，即100÷5=20。最小的偶数是20-2-2=16，最大的偶数是20+2+2=24。 答案：16；24 1.7.2013 这道题是关于连续偶数的和。5个连续偶数的和是100，那么中间的那个数就是它们的平均数，也就是20。知道了中间的数，我们就可以往前推两个数，往后推两个数，得到最小和最大的偶数。 ‹#› 变式训练2 题目：从三个数字 3，5，6 中选出两个，按要求组成两位数。 • 最大的奇数：( ) • 最小的偶数：( ) • 最大的3的倍数：( ) • 最小的5的倍数：( ) • 既是2的倍数，又是3的倍数：( ) 思路解析 • 最大奇数：个位为5，十位选最大6 → 65 • 最小偶数：个位为6，十位选最小3 → 36 • 最大3倍数：数字和需为3的倍数 (3+6=9)，组成最大数 → 63 • 最小5倍数：个位为5，十位选最小3 → 35 • 2和3倍数：个位为6且数字和为3的倍数 → 36 参考答案 奇数：65 偶数：36 3的倍数：63 5的倍数：35 2和3倍数：36 熟练掌握奇数、偶数及倍数的特征是解决此类问题的关键 1.7.2013 这道题要求我们用给定的数字组成符合不同条件的两位数。我们需要根据奇数、偶数、3的倍数、5的倍数的特征来逐一分析，找出符合条件的数字。 ‹#› 例题讲解：质数与合数的认识 例题7：一个两位数，十位是最小的合数，个位是最小的质数，这个数是 ( )，这个数的因数有 ( ) 个。 分析思路：最小的合数是 4，最小的质数是 2，因此该数为 42。接着分解质因数：42 = 2 × 3 × 7，所以因数有 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42。 正确答案：这个数是42，它的因数共有8个。 1.7.2013 这道题需要我们记住最小的质数和最小的合数。最小的质数是2，最小的合数是4，所以这个两位数是42。然后我们再找出42的所有因数，数一下个数是8个。 ‹#› 变式训练1 题目 如果 △ 表示一个质数，○ 表示一个合数，那么下面的（）的结果一定是合数。 A．△＋○　　　B．○－△　　　C．△×○　　　D．○÷△ 解析 质数 × 合数的结果，除了1和它本身，至少还有这个质数和合数作为因数，所以一定是合数。 其他选项可举例排除，如 2+4=6（合数），3+4=7（质数），故A不一定。 答案 C 1.7.2013 这道题考察质数和合数的运算性质。我们可以通过举例来判断。质数乘合数的结果，肯定除了1和它本身还有其他因数，所以一定是合数。而其他选项的结果可能是质数，也可能是合数，不一定。 ‹#› 变式训练2 题目：在括号里填合适的质数。 46＝(        )×(        )             30＝(        )×(        )×(        ) 14＝(        )×(        )              25＝(        )＋(        ) 解析 答案  2     23     2     3     5      2     7     2     23 （1）46÷2＝23，2是质数，23是质数，所以46＝2×23； （2）30÷2＝ 15，15÷3＝5，2、3、5都是质数，所以30＝2×3×5； （3）14÷2＝7，2是质数，7是质数，所以14＝2×7； （4）25是奇数，根据奇数＝偶数＋奇数，而既是偶数又是质数的数只有2，25－2＝23，2是质数，23是质数，所以25＝2＋23。 1.7.2013 ‹#› 例题讲解：质因数与分解质因数 例题8：18的因数有( )，质因数有( )，把18分解质因数是( )。 思路分析： 18的因数：18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，因此18的因数有（1、2、3、6、9、18）。质因数：从因数中找出质数，2和3是质数，因此质因数有（2、3）。分解质因数：18＝2×9＝2×3×3，因此（18＝2×3×3）。 计算结果： 1、2、3、6、9、18 2、3 18＝2×3×3 1.7.2013 这道题要求我们分解质因数，最常用的方法是短除法。我们用质数去除这个数，直到商也是质数为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来。大家要熟练掌握短除法的步骤。 ‹#› 变式训练1 题目：一个数的最小倍数是18，把它分解质因数是( )。 分析：一个数的最小倍数是18，这个数是18，把它分解质因数是18＝2×3×3。 答案：18＝2×3×3 1.7.2013 这道题反过来考我们，告诉我们质因数，求这个数。我们只需要把这些质因数相乘，得到的积就是这个数。所以2乘3乘5等于30。 ‹#› 变式训练2 题目：48的因数有( )，其中( )是质数，( )是合数。48分解质因数是( )。 分析思路： 利用乘法算式找出48的因数，质数：一个数除了1和它本身，没有其他因数的数是质数；合数：一个数除了1和它本身，还有其它因数的数是合数，1既不是质数，也不是合数，据此找出其中的质数和合数；最后用短除法把48持续分解，直到所有因数都是质数，将其写成质数相乘的形式完成质因数分解。 最终答案： 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48 2，3 4，6，8，12，16，24，48 48＝2×2×2×2×3 1.7.2013 这道题继续练习短除法分解质因数。大家要注意，每次都要用质数去除，除到商是质数为止。分解完后，检查一下所有的因数是不是都是质数。 ‹#› 例题讲解：最大公因数与最小公倍数 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （10，35）＝              （13，91）＝         （11，12）＝ [10，35]＝                 [13，91]＝           [11，12]＝ 分析思路： 求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 5；13；1； 70；91；132 最终答案： 1.7.2013 ‹#› 变式训练1 题目：两个自然数的积是432，它们的最大公因数是12，则它们的最小公倍数是（    ）。 A．12 B．420 C．36 D．无法确定 分析：两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积，两个自然数的积÷最大公因数＝最小公倍数。 答案：C 1.7.2013 这道题考察互质数的性质。如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。这个规律大家一定要记住。 ‹#› 变式训练2 题目：求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和30      10和9       26和39 分析：两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；两个互质数的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，它们公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来就是它们的最小公倍数。 答案：5，30；1，90；13，78 1.7.2013 这道题考察成倍数关系的两个数的性质。如果a是b的倍数，那么b就是它们的最大公因数，a就是它们的最小公倍数。这个规律也很重要。 ‹#› 例题讲解：用最大公因数或最小公倍数解决实际问题 例题10：有一块长方形木板，长80厘米，宽60厘米。把它锯成最大的面积相等的小正方形木板，不许有剩余，可以锯成多少个小正方形？ 分析思路： 根据题意，要锯成最大的面积相等的小正方形木板且没有剩余，小正方形的边长必须是长方形的长和宽的最大公因数。因此，需要求出长80厘米和宽60厘米的最大公因数，作为小正方形的边长。然后，计算长边和宽边分别能锯成的段数，相乘即得总个数。据此解答。 答案：80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5 所以80和60的最大公因数是：2×2×5＝4×5＝20 （80÷20）×（60÷20）＝4×3＝12（个） 答：可以锯成12个小正方形。 1.7.2013 这道题是用最大公因数解决实际问题。要裁成面积尽可能大的正方形且没有剩余，正方形的边长就是长方形长和宽的最大公因数。求出边长后，用长方形的面积除以正方形的面积，就得到了个数。 ‹#› 变式训练1 题目 某农场对一片长24米、宽18米的长方形土地进行规划，要把它分成完全相同的正方形土地（边长是整米数），且划分后没有剩余，正方形土地边长最大是( )米。 分析 要解决这个问题，我们需要找到长方形长和宽的最大公因数，因为正方形的边长必须同时整除长方形的长和宽，才能保证划分后没有剩余，而最大的正方形边长就是长和宽的最大公因数。 答案 6 1.7.2013 这道题是用最小公倍数解决实际问题。两人再次在起点相遇的时间，就是他们跑一圈所用时间的最小公倍数。所以我们需要求出4和6的最小公倍数，是12分钟。 ‹#› 变式训练2 题目 小明的爷爷喜欢养花。爷爷说：“兰花要4天浇一次水，君子兰要6天浇一次水。”如果3月2日爷爷同时给这两种花浇了水。那么至少3月几日爷爷应同时再给这两种花浇水？ 分析 求出兰花和君子兰浇水间隔时间的最小公倍数是同时浇水的间隔时间，起点时间＋经过时间＝终点时间。公有质因数和各自独有的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 答案 4＝2×2，6＝2×3，2×2×3＝12（天） 3月2日＋12天＝3月14日 答：至少3月14日爷爷应同时再给这两种花浇水。 1.7.2013 这道题也是用最大公因数解决问题。要把两根铁丝截成同样长的小段，且每段最长，这个长度就是两根铁丝长度的最大公因数。求出每段长度后，再分别计算两根铁丝能截成多少段，相加就是总段数。 ‹#› 当堂巩固练习 1. 一个数既是12的倍数，又是12的因数，这个数是( )。 2. 100以内既是3的倍数，又是5的倍数的最大奇数是( )。 3. 把20分解质因数是( )。 4. 已知a=2×2×3，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5. 把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余，最少可以剪多少个？ 1.7.2013 好了，知识点和例题都讲完了，现在是大家大展身手的时候了。这里有五道练习题，涵盖了我们今天复习的主要内容，请大家独立完成，检验一下自己的学习成果。 ‹#› 当堂巩固练习答案 答案：12解析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 答案：75解析：既是3的倍数又是5的倍数，个位是0或5，且各位数字之和是3的倍数。100以内最大的奇数是75。 答案：20 = 2 × 2 × 5解析：用短除法分解质因数。 答案：6；60解析：最大公因数是公有的质因数的乘积(2×3)；最小公倍数是公有的和各自独有的质因数的乘积(2×3×2×5)。 答案：20个解析：正方形的边长是30和24的最大公因数6。(30÷6)×(24÷6)=5×4=20个。 1.7.2013 大家都做完了吗？现在我们来核对一下答案。请大家仔细对照自己的解题过程，看看哪里出错了，及时纠正。如果还有不清楚的地方，可以提出来我们一起讨论。 ‹#› 课堂小结 因数与倍数 相互依存，研究范围是非0自然数。 倍数特征 个位判断2、5的倍数，数字和判断3的倍数。 奇数与偶数 根据是否是2的倍数划分，掌握运算性质。 质数与合数 根据因数个数划分，1既不是质数也不是合数。 分解质因数 把合数写成质数相乘的形式，常用短除法。 公因数与公倍数 掌握求法和特殊情况，能解决实际问题。 核心提示：概念是基础，特征是关键，应用是目的。请大家课后结合具体题目巩固这些知识点。 1.7.2013 今天的复习课接近尾声了。我们一起回顾了因数与倍数单元的核心知识，包括因数倍数的概念、2、3、5的倍数特征、奇数偶数、质数合数、分解质因数以及最大公因数和最小公倍数的应用。希望大家通过这次复习，对这些知识点有了更清晰的理解和掌握。 ‹#› 谢谢观看 祝同学们学习进步！ 愿这份复习课件能帮助大家更好地掌握因数与倍数的知识，在期中考试中取得优异成绩！ 1.7.2013 今天的课就到这里，谢谢大家的认真听讲！希望这份复习课件能帮助大家更好地掌握因数与倍数的知识，祝同学们在期中考试中取得优异的成绩！下课！ ‹#› $