期中复习课件02：圆柱和圆锥-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

期中复习课件02：圆柱和圆锥 六年级下册数学苏教版 1.7.2013 同学们好，今天我们来复习六年级下册数学的另一个重要单元——圆柱和圆锥。这份课件将帮助大家系统梳理核心考点，通过丰富的例题和练习加深理解，希望大家能有所收获。 ‹#› 目录 核心考点梳理（10个考点） 例题讲解与变式训练（10个例题，20个变式训练） 当堂巩固练习 课堂小结 1.7.2013 本次复习课内容较多，主要分为四个部分：首先，我们会一起梳理本单元的十个核心考点；接着，通过十个典型例题和二十个变式训练来巩固所学；然后，进行当堂巩固练习；最后，我们会对本节课的内容进行总结。 ‹#› 考点一：圆柱的认识及特征 定义：圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形底面和一个连接底面的曲面（侧面）围成的几何体。 组成部分： 底面：两个完全相同的圆形，所在平面相互平行。 侧面：一个光滑的曲面，连接两个底面的边缘。 高：两个底面之间的垂直距离，有无数条，且所有高的长度相等。 核心特征： 底面是全等的圆，半径决定底面大小。 侧面展开后为长方形（或正方形），长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高。 上下底面圆心的连线垂直于底面。 1.7.2013 首先我们来看第一个考点：圆柱的认识及特征。大家要记住，圆柱有两个完全相同的圆形底面和一个曲面侧面。它的高有无数条，并且都相等。特别重要的是，圆柱的侧面展开后是一个长方形，这个长方形的长就是底面的周长，宽就是圆柱的高。 ‹#› 考点二：圆锥的认识及特征 定义：由一个圆形底面和一个顶点，以及连接顶点与底面圆周上任意一点的曲面（侧面）围成的几何体。 组成部分： 底面：一个圆形。 侧面：一个曲面，展开后为扇形。 高：从顶点到底面圆心的垂直距离，只有一条。 特征： 底面是一个圆，半径决定底面大小。 侧面展开图的扇形半径等于圆锥的母线（顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 高与底面圆心和顶点共线，且垂直于底面。 1.7.2013 接下来是考点二：圆锥的认识及特征。圆锥有一个圆形底面和一个顶点，侧面是曲面，展开后是一个扇形。和圆柱不同，圆锥的高只有一条，就是从顶点到底面圆心的垂直距离。 ‹#› 考点三：圆柱的展开图 侧面展开图特征 沿高剪开：侧面展开为一个长方形（或正方形） 长 = 圆柱底面周长 (C=2πr 或 C=πd) 宽 = 圆柱的高 (h) 特殊情况：若C=h，则为正方形 表面展开图构成 由两个圆形底面和一个侧面展开图组成 侧面图通常为长方形（或正方形） 两个圆形分别位于长方形的上下两边 关键公式记忆： 长方形的长 = 底面周长 = 2πr = πd | 长方形的宽 = 圆柱的高 = h （注意：只有当底面周长等于高时，侧面展开图才是正方形） 1.7.2013 考点三是圆柱的展开图。我们重点掌握侧面展开图，沿高剪开后是一个长方形，它的长是底面周长，宽是圆柱的高。如果底面周长和高相等，那展开图就是一个正方形。 ‹#› 考点四：圆柱的侧面积 定义理解 圆柱侧面的面积，不包括两个底面。展开后通常是一个长方形或正方形。 核心公式 侧面积 = 底面周长 × 高 字母表示：S侧 = C × h 公式拓展与推导 由于底面周长 C = 2πr（r为半径） 或 C = πd（d为直径），代入核心公式可得： S侧 =2πrh或 S侧 =πdh 1.7.2013 考点四是圆柱的侧面积计算。侧面积就是侧面的面积，不包括上下两个底面。计算公式很简单，就是底面周长乘以高，大家要记住这个公式和它的字母表达式。 ‹#› 考点五：圆柱的表面积 定义理解 圆柱的表面积是指其侧面积与两个底面面积之和。即：所有面的面积总和。 计算公式 表面积 =侧面积 + 2×底面积 字母表示：S表 = S侧 + 2S底 深度推导与变形 结合底面积公式 S底 = πr² 和侧面积公式 S侧 = 2πrh，可得： S表 = 2πrh + 2πr² =2πr(h + r) 1.7.2013 考点五是圆柱的表面积。表面积就是圆柱所有面的面积总和，包括侧面和两个底面。所以计算公式就是侧面积加上两个底面积的和。大家要熟练掌握这个公式的推导和应用，特别是最后的变形公式 2πr(h + r)，在已知半径和高的情况下计算非常快捷。 ‹#› 考点六：圆柱的体积 体积定义 圆柱所占空间的大小，即为圆柱的体积。 计算公式 体积 = 底面积 × 高 字母表示形式 V = S底 × h = πr²h （其中 S底 为底面积，h 为高，r 为底面半径） 1.7.2013 考点六是圆柱的体积。体积就是物体所占空间的大小。圆柱的体积计算公式是底面积乘以高，这个公式非常重要，大家一定要牢记。 ‹#› 考点七：圆柱的容积 容积定义 圆柱形容器所能容纳物体的体积。计算方法与体积公式相同，但关键在于： 测量数据时必须从容器内部量取（如内半径、内高）。 常用单位及换算 常用单位：升（L）、毫升（mL） 换算关系： 1升 =1立方分米 (1L = 1dm³) 1毫升 =1立方厘米 (1mL = 1cm³) 易错点提示： 在解决实际问题时，务必看清题目要求。如果题目要求计算“容积”或“能装多少水”，必须使用内部尺寸；如果题目只给了外部尺寸且无壁厚说明，通常默认按体积计算。 1.7.2013 考点七是圆柱的容积。容积和体积的计算方法一样，但测量数据时要从容器的内部量。容积的单位是升和毫升，大家要记住它们和体积单位的换算关系。 ‹#› 考点八：圆柱与圆锥体积的关系 等底等高条件 前提：底面半径（或直径）相等，且高相等。 • 圆锥体积 = 圆柱体积 × • 圆柱体积 = 圆锥体积 ×3倍 非等底等高情况 体积关系不满足上述倍数关系。 需根据具体的底面积和高，分别代入公式进行计算。 V圆柱 = Sh V圆锥 = Sh 易错点提示：看到圆锥体积就除以3是错误的，必须确认前提条件“等底等高”。 1.7.2013 考点八是圆柱和圆锥体积的关系，这是本单元的重点和难点。大家一定要记住，在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，反过来，圆柱体积是圆锥的三倍。如果不是等底等高，就不能用这个关系了。 ‹#› 考点九：圆锥的体积 定义解析 圆锥所占空间的大小，即物体在三维空间中占据的容积。 计算公式 体积 = × 底面积 × 高 字母：V = S底 h = πr²h 核心推导与记忆技巧 圆锥体积是等底等高圆柱体积的 。记忆时注意不要漏掉系数“”，这是考试中常见的易错点。 1.7.2013 考点九是圆锥的体积。根据我们上一个考点学到的关系，圆锥的体积就是等底等高圆柱体积的三分之一。所以它的计算公式就是三分之一乘以底面积乘以高。 ‹#› 考点十：圆锥的容积 核心定义与测量 圆锥形容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，需从容器内部测量底面半径（或直径）和高。 常用单位与换算 与容积单位一致，常用升（L）、毫升（mL），计算结果需根据实际需求换算单位。 💡 总结：容积计算看内部，体积公式同样用，单位注意L和mL。 1.7.2013 最后一个考点是圆锥的容积。和圆柱的容积类似，圆锥的容积计算方法和体积一样，只是要从容器内部测量数据。单位也同样使用升和毫升。 ‹#› 例题讲解：题型一（圆柱的认识及特征） 例题1：用一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒。有( )种卷法，底面周长和高各是( )或( )。 解题思路与步骤 方法一：以长为底 底面周长 =30cm(长方形的长) 高 =20cm(长方形的宽) 方法二：以宽为底 底面周长 =20cm(长方形的宽) 高 =30cm(长方形的长) 答案：有两种卷法。底面周长和高分别是30厘米和20厘米，或者20厘米和30厘米。 1.7.2013 现在我们来看第一个例题，这是一道关于圆柱认识的基础题。用一张长方形纸卷圆柱，有几种卷法呢？我们可以把长方形的长当作底面周长，宽当作高；也可以把宽当作底面周长，长当作高。所以有两种卷法，对应的底面周长和高分别是30厘米和20厘米，或者20厘米和30厘米。 ‹#› 变式训练1 题目 圆柱的上、下两个面叫做( )，它们是( )的两个圆，它的侧面是一个( )面，圆柱有( )条高。 答案 底面，完全相同，曲，无数。 解析 这道题直接考察圆柱的基本特征，需要准确记忆圆柱各部分的名称和特点。 1.7.2013 这是第一道变式训练，考察大家对圆柱基本概念的记忆。圆柱的上下两个面叫底面，它们是完全相同的圆。侧面是一个曲面，圆柱有无数条高。这些都是我们考点一里学过的内容，大家要记牢。 ‹#› 变式训练2 题目：将如图的长方形旋转一周得到的图形是( )，这个图形的底面直径是( )cm，高是( )cm。 答案：圆柱，10，2。 解析：长方形绕着一条边旋转一周会形成一个圆柱。图中长方形的长是5cm，绕着宽（2cm）旋转，那么长5cm就成了圆柱的底面半径，所以直径是10cm，宽2cm就是圆柱的高。 立体几何初步 · 旋转体 1.7.2013 这道题考察的是平面图形旋转成立体图形。长方形绕着一条边旋转一周，会得到一个圆柱。从图上看，长方形的长是5厘米，宽是2厘米。绕着宽旋转，那么长5厘米就成了圆柱底面的半径，所以直径是10厘米，宽2厘米就是圆柱的高。 ‹#› 例题讲解：题型二（圆锥的认识及特征） 例题2：如图所示，若以此三角形的短边为轴旋转一周，可以得到一个( )，它的底面直径是( )cm，高是( )cm。 分析：直角三角形绕着一条直角边旋转一周会形成一个圆锥。 确定旋转轴：三角形的短边是3cm，以此为轴旋转。 确定参数：另一条直角边8cm为底面半径（直径16cm），旋转轴3cm为圆锥的高。 答案：圆锥，16，3。 1.7.2013 接下来看题型二的例题。这是一个直角三角形，以它的短边3厘米为轴旋转一周，会得到什么立体图形呢？没错，是圆锥。旋转轴3厘米就是圆锥的高，另一条直角边8厘米就成了圆锥底面的半径，所以底面直径是16厘米。 ‹#› 变式训练1 题目 圆锥的底面是一个( )形，圆锥的侧面展开后是一个( )。从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高，用字母( )表示。 答案 圆，扇形，顶点，底面圆心，h。 解析 这道题考察圆锥的基本特征，需要准确记忆圆锥各部分的名称和特点。 1.7.2013 这道变式训练考察圆锥的基本概念。圆锥的底面是一个圆形，侧面展开后是一个扇形。圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，用字母h表示。这些都是考点二的核心内容。 ‹#› 变式训练2 题目：下面四个图形旋转后，哪一个会得到圆锥？（） A B C D 答案 D 解析 圆锥是由直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的。选项A是长方形，旋转得到圆柱；选项B是半圆，旋转得到球；选项C是直角梯形，旋转得到圆台；只有选项D是直角三角形，旋转后得到圆锥。 1.7.2013 这道题让我们判断哪个图形旋转后能得到圆锥。我们知道，圆锥是由直角三角形旋转得到的。看四个选项，A是长方形，旋转成圆柱；B是半圆，旋转成球；C是梯形，旋转成圆台；只有D是直角三角形，旋转后得到圆锥。所以答案是D。 ‹#› 例题讲解：题型三（圆柱的展开图） 例题3：下列图中，圆柱的展开图正确的是（）。（单位：cm） 选项 A 选项B 选项 C 选项 D 分析思路 圆柱的侧面展开图是长方形，其长必须等于底面圆的周长。 计算周长 已知直径 d=3cm，周长 C = πd = 3.14×3 =9.42cm。 对比选项 观察选项，只有选项A中的长方形长为9.42cm，与计算结果一致。 正确答案 A 1.7.2013 现在我们看题型三的例题，判断哪个是正确的圆柱展开图。关键是看侧面长方形的长是否等于底面圆的周长。底面直径是3厘米，周长就是3.14乘以3，等于9.42厘米。看四个选项，只有A选项的长方形长是9.42厘米，所以正确答案是A。 ‹#› 变式训练1 题目：圆柱的侧面展开图不可能是（）。 A．梯形 B．平行四边形 C．正方形 D．长方形 答案与解析 答案：A 解析：圆柱的侧面沿高展开是长方形或正方形，不沿高斜着剪开是平行四边形，但无论如何都不可能是梯形。 1.7.2013 这道题问我们圆柱的侧面展开图不可能是什么形状。我们知道，沿高剪是长方形或正方形，斜着剪是平行四边形。所以，不可能是梯形，答案选A。 ‹#› 变式训练2 题目描述 一张长方形铁皮，按图剪下阴影部分，恰好能制成一个圆柱，圆柱的体积是 ( ) 立方分米。 答案与解析 答案：100.48 立方分米 解析：设直径为d，由 πd + d = 16.56 解得 d=4分米。高 h=2d=8分米，半径 r=2分米。体积 V = 3.14×2²×8 = 100.48 (dm³)。 解题关键：利用“长方形铁皮总长 = 底面周长 + 直径”建立方程求解半径与高 1.7.2013 这道题稍微复杂一些，需要我们根据图形信息来求圆柱的体积。从图中可以看出，长方形的长加上圆的直径等于16.56分米。我们设直径为d，那么方程就是πd + d = 16.56，解出来d等于4分米。这样，圆柱的高就是8分米，半径是2分米。最后用体积公式计算，得到体积是100.48立方分米。 ‹#› 例题讲解：题型四（圆柱的侧面积） 例题4：做10节长1米、底面半径为6厘米的圆柱形烟囱管。至少需要铁皮多少平方厘米？ 思路分析：烟囱无底无盖，仅需计算圆柱的侧面积。 单位换算：长度 1 米 =100 厘米（统一单位为厘米）。 单节面积：S侧 = 2πrh = 2 × 3.14 × 6 × 100 =3768 平方厘米。 总面积：3768 × 10 =37680 平方厘米。 答：至少需要铁皮 37680 平方厘米。 1.7.2013 题型四是圆柱的侧面积计算。这道题求做烟囱需要的铁皮，因为烟囱是通的，所以只需要算侧面积。首先统一单位，把1米换成100厘米。然后用侧面积公式算出一节的面积，再乘以10，就得到总共需要的铁皮面积了。 ‹#› 变式训练1 题目：求以长方形的宽为轴旋转一周得到的几何体的侧面积。 答案：301.44 平方厘米 解析： 以宽为轴旋转得到圆柱，长方形的长 8cm 是底面半径，宽 6cm 是高。 侧面积公式：S侧 = 2πrh = 2 × 3.14 × 8 × 6 = 301.44平方厘米。 1.7.2013 这道题让我们求旋转后圆柱的侧面积。以宽为轴旋转，那么长方形的长8厘米就成了底面半径，宽6厘米就是高。直接代入侧面积公式计算就可以了。 ‹#› 变式训练2 题目：一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米，前轮滚动30周，压路的面积是多少平方米？ 答案：226.08平方米 解析：压路的面积就是前轮滚动30周的侧面积之和。 ① 先算侧面积：S侧 = πdh = 3.14 × 1.2 × 2 = 7.536 (平方米) ② 再算30周的面积：7.536 × 30 = 226.08 (平方米) 核心思路：压路机滚动一周的压路面积 = 圆柱的侧面积 1.7.2013 这道题是侧面积的实际应用。压路机前轮滚动一周的压路面积就是它的侧面积。我们先算出侧面积，再乘以滚动的周数30，就得到总的压路面积了。 ‹#› 例题讲解：题型五（圆柱的表面积） 例题5：求该圆柱的表面积 已知条件：底面直径 d = 4dm，高 h = 10dm，π 取 3.14。 1. 计算侧面积：S侧 = πdh = 3.14 × 4 × 10 = 125.6 (dm²) 2. 计算底面积：S底 = πr² = 3.14 × (4÷2)² = 12.56 (dm²) 3. 计算表面积：S表 = S侧 + 2S底 = 125.6 + 2×12.56 最终答案：该圆柱的表面积为150.72 平方分米 (dm²) 💡 解题思路总结：圆柱表面积 = 侧面积 + 两个底面积，注意区分直径与半径的关系。 1.7.2013 题型五是圆柱的表面积计算。这道题给出了圆柱的直径和高，我们需要先算出侧面积，再算出两个底面积，最后把它们加起来就是表面积了。大家要注意步骤，先算侧面积，再算底面积，最后求和。特别要注意题目给的是直径，计算底面积时要先除以2得到半径。 ‹#› 变式训练1 题目描述 如图，一个无盖铁皮水桶，李师傅用卷尺测量出这个水桶的底面直径和高。他做一个这样的水桶至少需要多少铁皮？（结果精确到十分位） 计算过程与答案 3.14×（3÷2）2＋3.14×3×5 ＝3.14×1.52＋9.42×5 ＝3.14×2.25＋47.1 ＝7.065＋47.1 ＝54.2（平方分米） 思路解析 由题意可知，一个无盖的圆柱体铁皮水桶需要铁皮的面积，就是圆柱的一个底面积加上圆柱的侧面积，根据无盖圆柱的表面积公式：S＝πr2＋πdh（π取3.14），代入数值计算，并按要求保留小数即可。 1.7.2013 这道题是求无盖水桶的表面积，也就是侧面积加上一个底面积。大家要注意审题，是“无盖”的，所以只需要一个底面。根据图中的数据，代入公式计算即可。 ‹#› 变式训练2 题目：为了参加“六一”儿童节的服装表演，六（1）班同学准备自己动手用硬纸片做40个礼帽（如图，单位厘米），至少要用硬纸片多少平方分米？ 答案：1632.8平方分米 解析：礼帽下面大圆的半径：（20＋20＋20）÷2＝（40＋20）÷2＝60÷2＝30（厘米） 礼帽上面圆柱的底面周长：3.14×20＝62.8（厘米） （3.14×30×30＋62.8×20）×40＝（94.2×30＋1256）×40＝（2826＋1256）×40＝4082×40＝163280（平方厘米） 163280平方厘米＝1632.8平方分米 答：至少要用硬纸片1632.8平方分米。 1.7.2013 这道题求的是有盖油桶的表面积，所以需要计算侧面积和两个底面积。直接代入公式计算就可以得到结果。 ‹#› 例题讲解：题型六（圆柱的体积） 例题：计算下面圆柱的表面积和体积。（图中单位：cm） 思路分析：圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱的体积＝底面积×高；代入数据计算即可。 代入计算：表面积：（4÷2）2×3.14×2＋4×3.14×8＝22×3.14×2＋12.56×8＝4×3.14×2＋100.48＝12.56×2＋100.48＝25.12＋100.48＝125.6（cm2） 体积：（4÷2）2×3.14×8＝22×3.14×8＝4×3.14×8＝12.56×8＝100.48（cm3） 最终答案：125.6cm2；100.48cm3。 ★ 提示：计算时注意半径的平方运算，以及π取3.14进行计算。 1.7.2013 题型六是圆柱的体积计算。这道题直接给出了半径和高，我们只需要把数值代入体积公式V=πr²h，就能算出体积了。 ‹#› 变式训练1 题目：乐乐有一个圆柱，它的底面半径是2dm，侧面积是226.08dm2，圆柱的高是( )dm，体积是( )dm3。 答案：18 226.08 解析：根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的周长＝2πr（r为圆的半径），用圆柱的侧面积除以底面周长，求出高，再根据圆柱的体积公式V = πr²h（h为圆柱的高，r为底面圆的半径）求出圆柱的体积。据此解答。 1.7.2013 这道题是已知体积和半径，求高。我们可以把体积公式变形，得到高等于体积除以底面积。代入数值计算，就能求出高是15分米。 ‹#› 变式训练2 题目描述 如图，一个圆柱形食品罐，沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为471平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是多少立方厘米？（π值取3.14） 答案与解析 答案：1177.5 立方厘米 解析：471÷15＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2＝10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＝3.14×25×15＝78.5×15＝1177.5（立方厘米） 答：这个食品罐的体积是1177.5立方厘米。 提示：计算容积时，若容器壁厚度忽略不计，通常使用从容器内部测量的数据进行计算。 1.7.2013 这道题求的是容器的容积，计算方法和体积一样，只是数据要从里面量。题目已经给出了内部的直径和高，我们直接代入体积公式计算即可。 ‹#› 例题讲解：题型七（圆柱的容积） 例题7：一种没有盖的圆柱形铁皮水桶，从里面量，底面直径是4分米，高是3分米。做一个这样的水桶大约用铁皮多少平方分米？如果把这个铁皮水桶装满水，能装多少升？ 思路分析：（1）分析题目，根据圆柱的表面积公式可知：铁皮的面积＝πdh＋π（d÷2）2，据此代入数据列式计算； （2）圆柱的体积＝π（d÷2）2h，据此求出圆柱的体积，再根据1立方分米＝1升把单位换算成升即可。 4×3.14×3＋3.14×（4÷2）2＝12.56×3＋3.14×22＝37.68＋3.14×4＝37.68＋12.56＝50.24（平方分米） 3.14×（4÷2）2×3＝3.14×22×3＝3.14×4×3＝12.56×3＝37.68（立方分米） 37.68立方分米＝37.68升 答：做一个这样的水桶大约用铁皮50.24平方分米，能装37.68升水。 1.7.2013 题型七是圆柱的容积计算。这道题先算出体积是62800立方厘米，然后要把单位换算成升，因为1升等于1000立方厘米，所以结果是62.8升。 ‹#› 变式训练1 题目 根据中国学龄儿童膳食指南建议：每日喝水应不少于1500毫升。笑笑每天用底面直径6厘米，杯子内高10厘米的圆柱形水杯喝满6杯水。笑笑每天饮水量( )（填“达到了”或“没达到”）要求。 答案 达到了 解析 6÷2＝3（厘米） 3.14×32×10＝3.14×9×10＝28.26×10＝282.6（立方厘米） 282.6×6＝1695.6（立方厘米） 1695.6立方厘米＝1695.6毫升 1695.6＞1500，所以笑笑每天饮水量达到了要求。 1.7.2013 这道题分两步，先算粮囤的容积，也就是体积，得到31.4立方米。然后根据每立方米稻谷的重量，算出总重量是15700千克，再换算成吨，就是15.7吨。 ‹#› 变式训练2 题目：一个圆柱形状的水池，底面直径10米，深2米。 (1)在水池的侧面和底面都抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ (2)池内最多能容水多少立方米？ （1）10÷2＝5（米） 3.14×10×2＋3.14×52＝3.14×10×2＋3.14×25＝62.8＋78.5＝141.3（平方米） 答：抹水泥部分的面积是141.3平方米。 （2）10÷2＝5（米） 3.14×52×2＝3.14×25×2＝157（立方米） 答：池内最多能容水157立方米。 数学思维训练 · 圆柱与圆锥 1.7.2013 这道题求饮料瓶的容积，单位是毫升。因为1立方厘米等于1毫升，所以算出体积是282.6立方厘米，也就是282.6毫升。 ‹#› 例题讲解：题型八（圆柱与圆锥体积的关系） 例题8：一个圆柱体木块，削去12立方分米，正好削成一个与它等底等高的圆锥体，这个圆锥体的体积是( )立方分米，原来圆柱的体积是( )立方分米。 解题思路与步骤 圆柱的体积： 12÷（1－）＝12÷＝12×＝18（立方分米） 圆锥的体积：18÷3＝6（立方分米） 最终答案： 6 18。 1.7.2013 题型八考察的是圆柱和圆锥的体积关系。题目明确说了等底等高，所以圆锥的体积就是圆柱体积的三分之一。用24乘以三分之一，得到8立方分米。 ‹#› 变式训练1 题目：一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是36立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 答案： 27 9 解析：圆锥的体积：36÷（1＋3）＝36÷4＝9（立方厘米） 圆柱的体积：9×3＝27（立方厘米） 1.7.2013 这道题反过来，已知圆锥体积，求等底等高的圆柱体积。圆柱体积是圆锥的3倍，所以用12乘以3，得到36立方厘米。 ‹#› 变式训练2 题目 如图是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的零件，求它的体积。 答案 解析 如图，圆柱、圆锥的底面半径相等都是2cm，圆柱、圆锥的高相等都是3cm，圆柱的体积公式是 ，据此可以求出圆柱的体积。等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一，据此圆锥体积可求，组合图形的体积是两部分体积之和，据此解答。 （cm3） 1.7.2013 这道题是体积和底面积都相等的情况，这时候圆锥的高是圆柱高的3倍。所以用圆柱的高6厘米乘以3，得到圆锥的高是18厘米。 ‹#› 例题讲解：题型九（圆锥的体积） 求圆锥的体积。 思路分析：需要先根据圆锥底面直径求出半径，直接使用圆锥体积公式进行计算。 公式：V = πr²h 代入计算：底面半径r＝8÷2＝4厘米。将半径 r=4cm，高 h=9cm 代入公式。 V = × 3.14 × 4² × 9 = × 3.14 × 16 × 9 最终答案：计算结果为 150.72 立方厘米。 答：它的体积是150.72立方厘米。 1.7.2013 题型九是圆锥的体积计算。这道题直接给出了半径和高，我们代入圆锥体积公式V=1/3πr²h，就能算出体积是56.52立方厘米。大家要记住公式里的三分之一。 ‹#› 变式训练1 题目：一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重750千克，这堆小麦大约重多少吨？ 答案：4.71吨 12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（米） 3.14×22×1.5×＝3.14×4×1.5×＝（3.14×4）×（1.5×）＝12.56×0.5＝6.28（立方米） 6.28×750＝4710（千克） 4710千克＝4.71吨 答：这堆小麦大约重4.71吨。 1.7.2013 这道题是已知圆锥的体积和半径，求高。我们把体积公式变形，得到高等于3倍的体积除以底面积。代入数值计算，就能求出高是4.5分米。 ‹#› 变式训练2 题目：一个圆锥形沙堆高2.7米，底面积是15平方米。如果用这堆沙子去填一个长7.5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？ 答案：45厘米 解析： ×15×2.7＝5×2.7＝13.5（立方米） 13.5÷（7.5×4）＝13.5÷30＝0.45（米） 0.45米＝0.45×100＝45厘米 答：沙坑里沙子的厚度是45厘米。 1.7.2013 这道题没有直接给出半径，而是给了底面周长。我们需要先根据周长算出半径是3米，然后再代入圆锥体积公式计算，得到体积是18.84立方米。 ‹#› 例题讲解：题型十（圆锥的容积） 题目：传统竹编工艺有着悠久的历史，富含着劳动人民辛勤劳作的结晶。如图，一个高为3分米的圆锥形竹编斗笠，如果将这个斗笠从顶点向下垂直切开。纵切片的面积是9平方分米，这个斗笠的容积是多少立方分米？ 从顶点向下垂直切开，纵切片是一个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥高的三角形，三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，据此求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的容积＝底面积×高×，据此求出这个斗笠的容积。 9÷3×2＝3×2＝6（分米） 3.14×（6÷2）2×3×＝3.14×32×3×＝3.14×9×3×＝28.26×3×＝84.78×＝28.26（立方分米） 答：这个斗笠的容积是28.26立方分米。 答案：28.26立方分米 1.7.2013 最后一个例题是圆锥的容积计算。这道题先算出麦堆的容积是6.28立方米，然后根据每立方米小麦的重量，算出总重量是4710千克。 ‹#› 变式训练1 题目：如图是一个高为18厘米的密闭容器，乐乐将容器倒过来后，水面高度是( )厘米。 答案：6厘米 解析：10－6＋6× ＝10－6＋2 ＝6（厘米） 答：水面高度是6厘米。 1.7.2013 这道题求圆锥形漏斗的容积，单位是毫升。我们先算出体积是94.2立方厘米，因为1立方厘米等于1毫升，所以容积就是94.2毫升。 ‹#› 变式训练2 题目 在一个底面直径18厘米的圆柱形容器中盛满水，水中浸没一个底面半径是3厘米的圆锥形铁锤（如图一），当铁锤被取出后，容器中的水面下降了2厘米（如图二）。这个圆锥形铁锤体积是多少立方厘米？ 答案 508.68立方厘米 解析 1.7.2013 这道题是熔铸问题，关键是体积不变。我们先算出圆锥形钢坯的体积，这个体积就是圆柱形钢坯的体积。然后用体积除以圆柱的底面积，就能求出圆柱的高是7.5厘米。 ‹#› 当堂巩固练习 1. 圆柱表面积计算 一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是5厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 2. 圆锥高的计算 一个圆锥的体积是62.8立方分米，底面直径是4分米，它的高是多少分米？ 3. 水池容积计算 一个圆柱形水池，从里面量底面半径是4米，池深2米，这个水池最多能装水多少立方米？ 4. 等底等高体积差 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差18立方分米，这个圆锥的体积是多少立方分米？ 请大家独立完成以上四道题，检验学习成果。注意计算时保留π的取值或最终小数精度。 1.7.2013 现在是当堂巩固练习时间，请大家独立完成这四道题，检验一下今天的学习成果。这些题目涵盖了我们今天复习的主要知识点，做完后我们会公布答案和解析。 ‹#› 当堂巩固练习 - 答案与解析 答案：87.92 平方厘米 解析：先求半径 r = 12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2cm，再算表面积 S = 2πrh + 2πr² = 87.92cm²。 答案：15 分米 解析：先求半径 r = 4 ÷ 2 = 2dm，再根据 V = πr²h 求高 h = 3V ÷ (πr²) = 15dm。 答案：100.48 立方米 解析：求容积，V = πr²h = 3.14 × 4² × 2 = 100.48m³。 答案：9 立方分米 解析：等底等高时，圆柱体积比圆锥大 2 倍，所以圆锥体积 = 18 ÷ 2 = 9dm³。 1.7.2013 好，我们来核对答案。第一题求表面积，先算半径，再代入公式。第二题求圆锥的高，先算半径，再变形公式求解。第三题求水池容积，直接用体积公式。第四题利用等底等高时体积相差2倍的关系来解。大家都做对了吗？ ‹#› 课堂小结 几何特征 圆柱：2个底面，侧面是曲面，高无数条。 圆锥：1个底面，1个顶点，高只有1条。 表面积计算 公式：表面积 = 侧面积 + 2×底面积。 注意：实际应用中需区分有盖和无盖情况。 体积计算 圆柱：底面积 × 高。 圆锥： × 底面积 × 高。 容积计算 计算方法与体积相同，但需从容器内部测量数据，注意体积单位与容积单位的换算。 体积关系 在等底等高的条件下，圆锥的体积是圆柱体积的。 1.7.2013 最后，我们来总结一下今天复习的内容。我们重点掌握了圆柱和圆锥的特征、表面积、体积和容积的计算方法，以及它们在等底等高条件下的体积关系。希望通过今天的复习，大家对圆柱和圆锥这一单元有了更清晰的认识和更熟练的掌握。 ‹#› 复习结束，谢谢观看！ 期待下次课程与您相遇 1.7.2013 今天的圆柱和圆锥复习课就到这里，感谢大家的参与，希望同学们都有所收获！下课！ ‹#› $