第二单元 圆柱和圆锥（期中复习讲义）基础版（导图+15个考点真题讲练+提优练 共65题）-2025-2026学年苏教版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年苏教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 圆柱和圆锥【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+15个考点讲练+真题提优练 共65题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 圆柱的认识及特征 考点讲练九 立体图形的切拼（圆柱） 考点讲练二 圆锥的认识及特征 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 考点讲练三 圆柱的展开图 考点讲练十一 圆锥的体积（容积） 考点讲练四 圆柱的侧面积 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 考点讲练五 圆柱的表面积 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 考点讲练六 组合体的表面积（圆柱） 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥) 考点讲练七 圆柱的体积 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点讲练八 圆柱的容积 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 考点讲练一 圆柱的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）生活中把火腿肠沿不同的方向切一刀，截面会出现不同的形状。在数学中一个圆柱体的截面有( )。（填图形名称，写出两种。） 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）爸爸给乐乐买了一个生日礼物，用彩带捆扎这个礼物盒（如图），彩带至少长( )厘米。（打结处需要长25厘米的彩带） 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·四川内江·期中）把一张长方形纸按如图所示方法剪开后，正好可以做成一个圆柱，做成的圆柱的底面直径和底面周长分别是多少？ 考点讲练二 圆锥的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）将如图所示图形以3cm长的边为轴旋转一周，得到一个圆锥，它的高是______cm，底面积是______cm2，体积是______cm3。 【变式1】（难度：☆☆）（24-25六年级下·江西赣州·期中）如图，有一面带有圆形和长方形洞的艺术墙。下面哪个图形既能塞住圆形洞，又能塞住长方形洞？（    ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北承德·期中）如图所示，这个圆锥的高（    ）。 A．小于8cm B．等于8cm C．大于8cm D．不能确定 考点讲练三 圆柱的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）用一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒。有( )种卷法，底面周长和高各是( )或( )。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南南阳·期中）计划做一个无盖的圆柱塑料鱼缸。现有下面几块材料。（单位：分米） （1）要想做这个塑料鱼缸，可以选________号。 （2）算一算这个鱼缸的体积是多少？（接头处忽略不计） 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）下边圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个( )形，这个图形的长是( )cm，宽是( )cm。 考点讲练四 圆柱的侧面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）．（24-25六年级下·广东中山·期中）一个圆柱的底面直径是2cm，高是6cm，它的侧面面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【变式1】（难度：☆☆☆）．（24-25六年级上·河南商丘·期中）一台压路机的滚筒长3米，直径是1.2米。 （1）如果它滚动30圈，会前进多少米？ （2）当它滚动30圈时，所压路面的面积是多少平方米？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）罐头厂要做一种圆柱形的罐头包装盒（不考虑预留物料损耗等），已知罐头盒的底面半径是4厘米，高是6厘米，同时要在盒外面贴一圈高4厘米的商标。（π取3） （1）一个罐头盒需要商标纸多少平方厘米？ （2）已知罐头盒的成本为每平方厘米0.01元，商标的成本为每平方厘米0.02元，每个罐头盒的人工费为0.68元，求一个贴有商标的罐头盒定价为多少元时，其利润率为10%？ 考点讲练五 圆柱的表面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个圆柱的底面半径是5cm，若高增加3cm，则表面积增加（    ）cm2。 A．30 B．31.4 C．94.2 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）工人师傅准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块（取π≈3）。 （1）如果给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，需要刷漆的面积约是多少平方分米？（得数保留整数） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？ 【变式2】（难度：☆☆）（24-25六年级下·江苏淮安·期中）如图所示，把底面半径5厘米、高8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的长是( )厘米，宽是( )厘米，高是( )厘米，长方体的表面积比圆柱体多( )平方厘米。 考点讲练六 组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的表面积。 【变式1】（难度：☆☆☆）．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）一个宝箱的下半部分是一个棱长为30厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半，乐乐要给宝箱涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？ 考点讲练七 圆柱的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·四川内江·期中）一个圆锥的底面积是31.4cm2，高是3cm，体积是( )cm3，与这个圆锥等底等高的圆柱的体积是( )cm3。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·四川内江·期中）把一段圆柱体钢材制成一个最大的圆锥，切削掉的部分重80千克，则原来圆柱体钢材重( )千克。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 考点讲练八 圆柱的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北唐山·期中）一个圆柱形容器从里面量，底面半径是1分米，高是4.5分米，它的容积是多少立方分米？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·安徽黄山·期中）登高望远。 古人云“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”，为了满足登山需求，聪聪带了两个圆柱形水杯，大水杯内直径16厘米，高30厘米，小水杯内直径8厘米，高30厘米。聪聪认为：小水杯与大水杯高相等，小水杯的内直径刚好是大水杯的一半，如果装满水，小水杯的装水量也刚好是大水杯的一半。聪聪的想法对吗？为什么？ 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·贵州铜仁·期中）一个圆柱形油桶，从里面量，底面直径是60厘米，高是80厘米。 （1）圆柱形油桶的容积是多少升？ （2）如果1升柴油重0.85千克，这个油桶可以装柴油多少千克？ （3）做这样一个油桶，至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留一位小数） 考点讲练九 立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东菏泽·期中）如下图，把圆柱的底面平均分成16份切开后，拼成近似的长方体。（    ）发生了变化。 A．高 B．底面积 C．体积 D．表面积 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【变式2】（难度：☆☆）（24-25六年级下·广西贵港·期中）曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积大。( )（判断对错） 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图，圆锥形玻璃容器内装满水，如果将这些水全部倒入圆柱形容器中，（    ）正好装满。（玻璃厚度忽略不计） A．B． C． D． 【变式2】（难度：☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）下面的圆锥与圆柱（    ）的体积相等。 A． B． C． D． 考点讲练十一 圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西榆林·期中）长方体、正方体、圆柱和圆锥都可以用“底面积×高”来计算体积。( )（判断对错） 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方分米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广西防城港·期中）一个圆锥形沙堆，底面半径是3米，高是2米，用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少米？ 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·陕西渭南·期中）在手工课上，甜甜用一块体积是75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个高是9厘米的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）平方厘米。 A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）一个杯子最上面部分是圆柱，中间部分是圆锥，下面是实心的杯挺和底座（如图）。一个底部内直径是10厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把这些水全部倒入图中的杯子里，圆锥顶点到水面的高度是多少厘米？（π取3） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·江苏南京·期中）有一个圆锥形的模具，底面直径是16厘米，高是1分米，沿着底面直径切开，表面积增加80平方厘米。( )（判断对错） 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆）（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）计算组合体的体积。（单位：cm） 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东济宁·期中）求体积。 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·吉林松原·期中）蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是( )m3。 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·湖北十堰·期中）妈妈有一个20克的金手镯，把这个金手镯放入底面半径是5厘米的圆柱形量杯中，金手镯被水浸没，水面上升了0.04厘米。妈妈说这个金手镯是“空心”的。请你结合下面的资料，说明这个金手镯为什么是“空心”的。（已知20克纯金的体积大约是1.0352立方厘米） 阿基米德鉴别皇冠 国王命阿基米德鉴别皇冠是不是纯金的。阿基米德在洗澡时受到启发，把质量。相等、材质一样的两块金属分别浸没在同一个装有水的容器中，水面上升的高度是一样的。他将皇冠和同质量的金子分别浸没在水中，结果放入皇冠排出的水量比金子的大，这表明皇冠掺假。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·安徽黄山·期中）开心购物。 歙县徽州古城是一个充满地方特色和历史韵味的旅游目的地。在这里，游客可以体验到徽州古城的历史风貌，同时也能购买各种具有地方特色的纪念品和手工艺品。聪聪在这里买了一只茶宠（如图），他想测量这只茶宠的体积，在一个圆柱形玻璃杯里装一些水，放入茶宠，下面是他记录的一些数据。根据问题选择需要的信息，进行解答。（玻璃杯厚度忽略不计） ①玻璃杯的底面直径是2分米。 ②茶宠的高度是5厘米。 ③玻璃杯的高度是3分米。 ④将茶宠浸没水中后，水面上升了4厘米。（水未溢出） （1）计算茶宠的体积需要的信息有（    ）。（填序号） （2）列式解答。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山西太原·期中）如图，我们在推导梯形的面积时，用两个完全相同的梯形拼成了平行四边形。运用这个推导思路，可以求出图中立体图形的体积是( )立方分米。（接头处忽略不计） 1．（24-25六年级上·四川内江·期中）下图中的正方体、圆柱和圆锥底面积相等，高也相等。下面说法正确的是（    ）。 A．圆柱的体积比正方体的体积小一些 B．圆锥的体积最大 C．圆柱的体积与圆锥的体积相等 D．圆锥的体积是正方体的 2．（24-25六年级下·广东中山·期中）下面图形中，（    ）是圆柱的展开图。 A． B． C． 3．（24-25六年级下·山东枣庄·期中）工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥（如下图）这堆沙子的体积大约是（    ）立方米。 A．12.56 B．6.28 C．9.42 4．（24-25六年级下·北京·期中）《九章算术》中记载了圆柱体积计算方法“周自相乘，以高乘之，十二而一”。意思是，用底面周长的平方乘高，再除以12，就是圆柱的体积。这种方法与现在的计算方法是一致的，只不过取π的近似值为3。如果一个圆柱的底面半径是2dm，高是6dm，按照古人的方法，计算出的圆柱体积是（    ）。 A．36dm3 B．72dm3 C．144dm3 D．216dm3 6．（24-25六年级下·河南郑州·期中）图中数据为几个立体图形相应的底面直径和高，圆柱（    ）与左面圆锥的体积相等。（单位：cm） A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25六年级上·广西防城港·期中）一个橘子浸没在盛有200mL水的量杯中，这个橘子的体积是( )立方厘米。如果不让水溢出，这个量杯最多能放( )个这样的橘子。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积分别相等。如果圆锥的高是9dm，那么圆柱的高是( )dm。 9．（24-25六年级下·江苏徐州·期中）圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多14立方米，这个圆柱的体积是( )立方米，圆锥的体积是( )立方米。 10．（24-25六年级上·四川内江·期中）用一张长25.12cm，宽12.56cm的长方形纸围成一个圆柱，有两种围法。一种围法圆柱的高是( )cm，底面周长是( )cm；另一种围法圆柱的高是( )cm，底面积是( )cm2。 11．（24-25六年级下·北京·期中）计算圆柱的表面积。（单位：cm） 12．（24-25六年级上·四川内江·期中）下面是一个圆柱的展开图，求这个圆柱的体积。（单位：厘米） 13．（24-25六年级下·山东青岛·期中）一台压路机的前轮是圆柱形的，轮宽2米，直径0.8米。前轮滚动一周，压过的路面是多少平方米？ 14．（24-25六年级下·山东潍坊·期中）四边形ABCD是一个直角梯形，以AB所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到一个立体图形，求这个立体图形的体积？ 15．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一瓶装满的矿泉水，小明喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，已知这个矿泉水瓶的内直径是6厘米，小明喝了多少毫升水？ 16．（25-26六年级上·广东中山·期中）一个圆锥形沙堆，高3米，占地面积15平方米。将这堆沙铺在宽6米的路上，平均铺5厘米厚，能铺多少米？ 17．（24-25六年级下·江苏淮安·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其形状上半部分呈圆柱状，下方呈圆锥状，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转，乐趣无穷。经过测试，圆柱体积与圆锥体积比是4∶1时，陀螺会转得又稳又快。如图，圆锥的底面直径是6厘米，高是5厘米，请你算一算，圆柱的高是多少厘米时能使陀螺转得又快又稳？（结果保留两位小数） 18．（24-25六年级下·河北保定·期中）一个圆柱形通风管，底面直径是30厘米，长1.2米，做10个这样的通风管，至少需要多少平方米的铁皮？ 19．（24-25六年级下·河北保定·期中）一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 20．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个瓶子，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），它的容积为1256毫升。瓶子正放时，瓶内水面高度为20厘米，瓶子倒放时，无水部分高度为5厘米。瓶内水的体积是多少毫升？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 圆柱和圆锥【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+15个考点讲练+真题提优练 共65题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 圆柱的认识及特征 考点讲练九 立体图形的切拼（圆柱） 考点讲练二 圆锥的认识及特征 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 考点讲练三 圆柱的展开图 考点讲练十一 圆锥的体积（容积） 考点讲练四 圆柱的侧面积 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 考点讲练五 圆柱的表面积 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 考点讲练六 组合体的表面积（圆柱） 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥) 考点讲练七 圆柱的体积 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点讲练八 圆柱的容积 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 考点讲练一 圆柱的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）生活中把火腿肠沿不同的方向切一刀，截面会出现不同的形状。在数学中一个圆柱体的截面有( )。（填图形名称，写出两种。） 【答案】圆形、长方形 【思路引导】圆柱体的截面形状取决于切割方向。平行于底面切割得到圆形，沿高垂直切割得到长方形。 【规范解答】根据分析可知，生活中把火腿肠沿不同的方向切一刀，截面会出现不同的形状。在数学中一个圆柱体的截面有圆形、长方形。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）爸爸给乐乐买了一个生日礼物，用彩带捆扎这个礼物盒（如图），彩带至少长( )厘米。（打结处需要长25厘米的彩带） 【答案】545 【思路引导】观察图形可知，捆扎圆柱形礼物盒至少需要彩带的长度＝8条直径＋8条高＋打结处用的长度，据此解答。 【规范解答】50×8＋15×8＋25 ＝400＋120＋25 ＝545（厘米） 彩带至少长545厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·四川内江·期中）把一张长方形纸按如图所示方法剪开后，正好可以做成一个圆柱，做成的圆柱的底面直径和底面周长分别是多少？ 【答案】圆柱的底面直径为4dm，底面周长为12.56dm 【思路引导】由题意知题中所给长方形的长为圆柱的底面直径＋底面周长，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的底面直径为2r，底面周长为2πr，以此列出方程，解得方程，进而可求得圆柱的底面直径和底面周长。 【规范解答】解：设圆柱的底面半径是dm。 底面直径：（dm） 底面周长：（dm） 答：做成的圆柱的底面直径为4dm，底面周长为12.56dm。 考点讲练二 圆锥的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）将如图所示图形以3cm长的边为轴旋转一周，得到一个圆锥，它的高是______cm，底面积是______cm2，体积是______cm3。 【答案】 3 50.24 50.24 【思路引导】将一个三角形绕其中一条直角边旋转一周，得到一个圆锥，绕哪条边旋转，哪条边就是高，另一条直角边为底面半径；已知该图形以3cm长的边为轴旋转一周，因此圆锥的高就是3cm；另一条直角边长4cm，因此该圆锥的底面半径是4cm，根据圆的面积公式计算出圆锥的底面积；再根据“圆锥的体积＝×底面积×高”计算出该圆锥的体积。据此解答。 【规范解答】该图形以3cm长的边为轴旋转一周，得到一个圆锥，它的高是3cm； 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） ×50.24×3＝50.24（cm3） 因此，该圆锥的底面积是50.24cm2，体积是50.24cm3。 【变式1】（难度：☆☆）（24-25六年级下·江西赣州·期中）如图，有一面带有圆形和长方形洞的艺术墙。下面哪个图形既能塞住圆形洞，又能塞住长方形洞？（    ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【思路引导】根据立体图形的特征，看哪个图形既能塞住圆形洞，又能塞住长方形洞。 长方体的特征：长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。 正方体的特征：正方体的6个面都是完全一样的正方形。 圆柱的特征：圆柱是由三个面围成的，上下两个底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，从侧面看通常是长方形或正方形。 圆锥的特征：圆锥是由两个面围成的，底面是一个圆，侧面是一个曲面，从侧面看为三角形。 【规范解答】A．长方体的每个面都是长方形，可以塞住长方形洞；长方体没有圆形的面，所以不能塞住圆形洞。 B．正方体既没有圆形的面，也没有长方形的面，所以不能塞住这两种洞。 C．圆柱的底面是圆形，可以塞住圆形洞；从侧面看，圆柱的侧面是一个长方形，可以塞住长方形洞。 D．圆锥的底面是圆形，可以塞住圆形洞；圆锥没有长方形的面，所以不能塞住长方形洞。 综上所述，圆柱既能塞住圆形洞，又能塞住长方形洞。 故答案为：C 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北承德·期中）如图所示，这个圆锥的高（    ）。 A．小于8cm B．等于8cm C．大于8cm D．不能确定 【答案】A 【思路引导】由圆锥的高、底面半径和8cm边围成的直角三角形，其8cm的边为直角三角形的斜边，圆锥的高看作直角三角形的一条直角边，圆锥的底面半径看作直角三角形的另一条直角边，直角三角形的三条边斜边最长，据此解答。 【规范解答】如图所示，这个圆锥的高小于8cm。 故答案为：A 考点讲练三 圆柱的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）用一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒。有( )种卷法，底面周长和高各是( )或( )。 【答案】 两/2 30厘米和20厘米 20厘米和30厘米 【思路引导】根据题意，用一张长方形纸卷成圆柱，可以卷成两种形状不同的圆柱，一个圆柱是把长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高；另一个圆柱是把长方形的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高；据此解答。 【规范解答】用一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒。有（两）种卷法，底面周长和高各是（30厘米和20厘米）或（20厘米和30厘米）。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南南阳·期中）计划做一个无盖的圆柱塑料鱼缸。现有下面几块材料。（单位：分米） （1）要想做这个塑料鱼缸，可以选________号。 （2）算一算这个鱼缸的体积是多少？（接头处忽略不计） 【答案】（1）⑤⑦ （2）28.26立方分米 【思路引导】（1）根据侧面展开图⑦和⑧的相关数据，先分别计算出它们对应的底面半径，再进行配对即可； （2）根据（1）可知，这个鱼缸底面半径是1.5分米，高是4分米，将数据代入圆柱的体积公式中，求出鱼缸的体积即可。 【规范解答】（1）以⑦号图形的长边为底面周长时，底面半径为： 9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（分米） 以⑧号图形的长边为底面周长时，底面半径为： 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 所以，要想做这个塑料鱼缸，可以选⑤⑦。 （2）3.14×1.52×4 ＝3.14×2.25×4 ＝7.065×4 ＝28.26（立方分米） 答：这个鱼缸的体积是28.26立方分米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东清远·期中）下边圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个( )形，这个图形的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 长方 18.84 3 【思路引导】圆柱的侧面沿虚线（圆柱的高）剪开后，得到的图形是长方形。长方形的长等于圆柱的底面周长，已知圆柱底面直径为6cm，根据圆的周长公式C＝πd可计算出圆柱的底面周长，即为长方形的长；长方形的宽等于圆柱的高，由图可知圆柱的高为3cm，所以长方形的宽是3cm。 【规范解答】将圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个长方形。 3.14×6＝18.84（cm） 因此，这个图形的长是18.84cm，宽是3cm。 考点讲练四 圆柱的侧面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）．（24-25六年级下·广东中山·期中）一个圆柱的底面直径是2cm，高是6cm，它的侧面面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 37.68 18.84 【思路引导】圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×2×6 ＝6.28×6 ＝37.68（cm2） 3.14×（2÷2）2×6 ＝3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝3.14×6 ＝18.84（cm3） 一个圆柱的底面直径是2cm，高是6cm，它的侧面面积是37.68cm2，体积是18.84cm3。 【变式1】（难度：☆☆☆）．（24-25六年级上·河南商丘·期中）一台压路机的滚筒长3米，直径是1.2米。 （1）如果它滚动30圈，会前进多少米？ （2）当它滚动30圈时，所压路面的面积是多少平方米？ 【答案】（1）113.04米；（2）339.12平方米 【思路引导】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，求出压路机滚筒的底面周长，然后再乘滚动的圈数即可。 （2）根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，求出滚筒的侧面积，然后再乘滚动的圈数即可。 【规范解答】（1）3.14×1.2×30＝113.04（米） 答：会前进113.04米。 （2）3.14×1.2×3×30＝339.12（平方米） 答：压路面的面积是339.12平方米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）罐头厂要做一种圆柱形的罐头包装盒（不考虑预留物料损耗等），已知罐头盒的底面半径是4厘米，高是6厘米，同时要在盒外面贴一圈高4厘米的商标。（π取3） （1）一个罐头盒需要商标纸多少平方厘米？ （2）已知罐头盒的成本为每平方厘米0.01元，商标的成本为每平方厘米0.02元，每个罐头盒的人工费为0.68元，求一个贴有商标的罐头盒定价为多少元时，其利润率为10%？ 【答案】（1）96平方厘米 （2）5.5元 【思路引导】（1）要在盒外面贴一圈高4厘米的商标，商标纸的面积是高为4厘米的圆柱侧面积。圆柱侧面积公式为S＝2πrh（r为底面半径，h为圆柱的高）。已知r＝4厘米，h＝4厘米，π＝3，把数据代入公式计算即可。 （2）圆柱的表面积公式为S＝2πr2＋2πrh（其中r为底面半径，h为圆柱的高）。已知r＝4厘米，h＝6厘米，π＝3，则罐头盒的表面积为：2×3×42＋2×3×4×6＝2×3×16＋2×3×4×6＝96＋144＝240平方厘米。 罐头盒的成本为每平方厘米0.01元，所以罐头盒的成本为0.01×240＝2.4元；商标的成本为每平方厘米0.02元，商标纸面积为96平方厘米，所以商标的成本为0.02×96＝1.92元；再加上人工费0.68元，总成本为2.4＋1.92＋0.68＝5元。已知利润率为10%，把成本看作单位“1”，根据“定价＝成本×（1＋利润率）”，把数据代入计算即可。 【规范解答】（1）2×3×4×4＝96（平方厘米） 答：一个罐头盒需要商标纸96平方厘米。 （2）2×3×42＋2×3×4×6 ＝2×3×16＋2×3×4×6 ＝96＋144 ＝240（平方厘米） 0.01×240＝2.4（元） 0.02×96＝1.92（元） 2.4＋1.92＋0.68＝5（元） 把成本看作单位“1”。 5×（1＋10%） ＝5×（1＋0.1） ＝5×1.1 ＝5.5（元） 答：一个贴有商标的罐头盒定价为5.5元时，其利润率为10%。 考点讲练五 圆柱的表面积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个圆柱的底面半径是5cm，若高增加3cm，则表面积增加（    ）cm2。 A．30 B．31.4 C．94.2 【答案】C 【思路引导】圆柱的高增加时，底面积不变，表面积增加部分为侧面积的增加量。圆柱侧面积公式为：S＝2πrh（r为半径，h为高，π取3.14），把半径5cm和高增加量3cm代入公式计算即可。 【规范解答】2×3.14×5×3＝94.2（cm2） 所以表面积增加94.2cm2。 故答案为：C 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）工人师傅准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块（取π≈3）。 （1）如果给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，需要刷漆的面积约是多少平方分米？（得数保留整数） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？ 【答案】（1）21平方分米 （2）3.84立方米 【思路引导】（1）根据题意，给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，代入数据计算，再相加，即是需要刷漆的面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出做一个圆柱形木块需要木料的体积，再乘500，即是做500个圆柱形木块一共需要木料的体积；最后根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位。 【规范解答】（1）3×1.6×4＋3×（1.6÷2）2 ＝3×1.6×4＋3×0.82 ＝3×1.6×4＋3×0.64 ＝19.2＋1.92 ≈21（平方分米） 答：需要刷漆的面积约是21平方分米。 （2）3×（1.6÷2）2×4 ＝3×0.82×4 ＝3×0.64×4 ＝7.68（立方分米） 7.68×500＝3840（立方分米） 3840立方分米＝3.84立方米 答：做这些圆柱形木块一共需要3.84立方米的木料。 【变式2】（难度：☆☆）（24-25六年级下·江苏淮安·期中）如图所示，把底面半径5厘米、高8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的长是( )厘米，宽是( )厘米，高是( )厘米，长方体的表面积比圆柱体多( )平方厘米。 【答案】 15.7 5 8 80 【思路引导】一个圆柱切开拼成一个近似长方体，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的长等于圆柱的底面周长2πr的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个长方形的面积（即左右面的面积），用“宽×高×2”代入数据计算即可求解。 【规范解答】长：2×3.14×5÷2 ＝6.28×5÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（厘米） 表面积多了：5×8×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） 这个长方体的长是15.7厘米，宽是5厘米，高是8厘米，长方体的表面积比圆柱体多80平方厘米。 考点讲练六 组合体的表面积（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】270.72cm2 【思路引导】由图可知，该图形有5个面，包括两个相同的圆，半径为6cm；两个相同的长方形，长10cm，宽6cm；一个圆柱的侧面，底面半径是6cm，高是10厘米。 根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以4乘2计算出两个圆的面积； 根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积，再乘2计算出两个长方形的面积； 根据圆柱的侧面积S侧＝2πrh计算出圆柱的侧面积，再除以4计算出圆柱的侧面积； 最后将三部分相加即可。 【规范解答】3.14×62÷4×2 ＝3.14×36÷4×2 ＝113.04÷4×2 ＝28.26×2 ＝56.52（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 2×3.14×6×10÷4 ＝6.28×6×10÷4 ＝37.68×10÷4 ＝376.8÷4 ＝94.2（cm2） 56.52＋120＋94.2 ＝176.52＋94.2 ＝270.72（cm2） 所以该图形的表面积是270.72cm2。 【变式1】（难度：☆☆☆）．（24-25六年级下·山东菏泽·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】471平方厘米；706.5立方厘米 【思路引导】由图可知，该组合体由大圆柱和小圆柱两部分组成，组合体的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积，“”“”把图中的数据代入公式计算； 组合体的体积＝大圆柱的体积＋小圆柱的体积，“”把图中的数据代入公式计算，即可求得。 【规范解答】表面积： ＝ ＝ ＝ ＝（平方厘米） 体积： ＝ ＝ ＝ ＝（立方厘米） 所以，该图形的表面积是471平方厘米，体积是706.5立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东潍坊·期中）一个宝箱的下半部分是一个棱长为30厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半，乐乐要给宝箱涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【答案】6619.5平方厘米 【思路引导】根据题意，宝箱的下半部分是一个棱长为30厘米的正方体，只有5个面涂油漆；上半部分是圆柱的一半，涂油漆的面包括两个半圆和圆柱侧面的一半，其中两个半圆可以组成一个圆； 下半部分正方体涂油漆的面积＝正方体5个面的面积＝5a2，上半部分半圆柱涂油漆的面积＝圆的面积＋圆柱侧面积的一半＝πr2＋πdh÷2，代入数据计算求解。 【规范解答】30×30×5 ＝900×5 ＝4500（平方厘米） 3.14×（30÷2）2＋3.14×30×30÷2 ＝3.14×152＋3.14×30×30÷2 ＝3.14×225＋3.14×30×30÷2 ＝706.5＋1413 ＝2119.5（平方厘米） 一共：4500＋2119.5＝6619.5（平方厘米） 答：涂油漆的面积是6619.5平方厘米。 考点讲练七 圆柱的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·四川内江·期中）一个圆锥的底面积是31.4cm2，高是3cm，体积是( )cm3，与这个圆锥等底等高的圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 31.4 94.2 【思路引导】已知圆锥的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出这个圆锥的体积； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此解答。 【规范解答】圆锥的体积： ×31.4×3＝31.4（cm3） 圆柱的体积： 31.4×3＝94.2（cm3） 一个圆锥的底面积是31.4cm2，高是3cm，体积是（31.4）cm3，与这个圆锥等底等高的圆柱的体积是（94.2）cm3。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·四川内江·期中）把一段圆柱体钢材制成一个最大的圆锥，切削掉的部分重80千克，则原来圆柱体钢材重( )千克。 【答案】120 【思路引导】根据题意，要将圆柱体钢材制成最大的圆锥，此圆锥与圆柱必然等底等高。由圆柱和圆锥的体积关系可知，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，那么切削掉部分的体积就是圆柱体积的1－＝。因为钢材的重量与体积成正比，所以切削掉部分的重量也占圆柱重量的。已知切削掉的部分重80千克，先求出1份的重量，再求出圆柱的总重量，据此解答。 【规范解答】80÷（3－1）×3 ＝80÷2×3 ＝40×3 ＝120（千克） 所以，原来圆柱体钢材重120千克。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【思路引导】已知圆柱体玻璃器皿的底面半径是6厘米，当把圆锥体铅锤浸没在水中，水面下降了0.5厘米，水面下降部分水的体积等于圆锥的体积，根据圆柱体积公式即可计算出圆锥体铅锤的体积； 已知圆锥体铅锤的高为9厘米，根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥体铅锤的体积乘3除以高可得到圆锥体铅锤的底面积。据此解答。 【规范解答】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥体铅锤的底面积是18.84平方厘米。 考点讲练八 圆柱的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北唐山·期中）一个圆柱形容器从里面量，底面半径是1分米，高是4.5分米，它的容积是多少立方分米？ 【答案】14.13立方分米 【思路引导】已知圆柱形容器的底面半径和高，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出它的容积。 【规范解答】3.14×12×4.5 ＝3.14×1×4.5 ＝14.13（立方分米） 答：它的容积是14.13立方分米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·安徽黄山·期中）登高望远。 古人云“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”，为了满足登山需求，聪聪带了两个圆柱形水杯，大水杯内直径16厘米，高30厘米，小水杯内直径8厘米，高30厘米。聪聪认为：小水杯与大水杯高相等，小水杯的内直径刚好是大水杯的一半，如果装满水，小水杯的装水量也刚好是大水杯的一半。聪聪的想法对吗？为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【思路引导】根据圆柱体积＝底面积×高，分别计算出两个水杯的容积，用大水杯容积÷2，看是否等于小水杯容积即可。 【规范解答】大水杯：3.14×（16÷2）2×30 ＝3.14×82×30 ＝3.14×64×30 ＝6028.8（立方厘米） 小水杯：3.14×（8÷2）2×30 ＝3.14×42×30 ＝3.14×16×30 ＝1507.2（立方厘米） 6028.8÷2＝3014.4（立方厘米） 3014.4＞1507.2 答：聪聪的想法不对。因为大水杯装水量的一半比小水杯的容积大。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·贵州铜仁·期中）一个圆柱形油桶，从里面量，底面直径是60厘米，高是80厘米。 （1）圆柱形油桶的容积是多少升？ （2）如果1升柴油重0.85千克，这个油桶可以装柴油多少千克？ （3）做这样一个油桶，至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留一位小数） 【答案】（1）226.08升 （2）192.168千克 （3）207.2平方分米 【思路引导】（1）先把60厘米和80厘米的单位转化为“分米”，再根据“”求出圆柱形油桶的容积，最后把体积单位转化为容积单位； （2）由题意可知，这个油桶的容积是226.08升，每升柴油重0.85千克，这个油桶可以装柴油的质量＝这个油桶的容积×每升柴油的质量； （3）求做油桶需要铁皮的面积就是求圆柱的表面积，把题目中的数据代入“”求出圆柱的表面积，即需要铁皮的面积，据此解答。 【规范解答】（1）60厘米＝6分米 80厘米＝8分米 3.14×（6÷2）2×8 ＝3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（立方分米） 226.08立方分米＝226.08升 答：圆柱形油桶的容积是226.08升。 （2）226.08×0.85＝192.168（千克） 答：这个油桶可以装柴油192.168千克。 （3）3.14×6×8＋2×3.14×（6÷2）2 ＝3.14×6×8＋2×3.14×32 ＝3.14×6×8＋2×3.14×9 ＝3.14×（6×8＋2×9） ＝3.14×（48＋18） ＝3.14×66 ≈207.2（平方分米） 答：至少需要铁皮207.2平方分米。 考点讲练九 立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东菏泽·期中）如下图，把圆柱的底面平均分成16份切开后，拼成近似的长方体。（    ）发生了变化。 A．高 B．底面积 C．体积 D．表面积 【答案】D 【思路引导】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么这个长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，长方体的底面积等于圆柱的底面积，拼成的长方体的体积等于圆柱的体积；拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（长方体的左右面），长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；据此解答。 【规范解答】A．把圆柱切拼成近似的长方体，长方体的高等于圆柱的高，高不变； B．把圆柱切拼成近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，底面积不变； C．把圆柱切拼成近似的长方体，长方体的体积等于圆柱的体积，体积不变； D．把圆柱切拼成近似的长方体，长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积，表面积发生了变化。 故答案为：D 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）如图，一个圆柱形木材被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，若将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】87.92立方厘米 【思路引导】圆柱被截去5厘米后，表面积比原来减少了62.8平方厘米，表面积减少的部分即为截去圆柱部分的侧面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”，用62.8除以5即可计算出圆柱的底面周长；再根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，计算出圆柱的底面半径； 已知原来圆柱的高是21厘米，将与原来完全一样的圆柱形木材削成一个最大的圆锥，则圆锥与原来圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。 【规范解答】62.8÷5÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） ×3.14×22×21 ＝×3.14×4×21 ＝87.92（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是87.92立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆）（24-25六年级下·广西贵港·期中）曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 2 37.68 【思路引导】把圆柱转化成近似的长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱的底面半径，长方体的高＝圆柱的高，圆柱底面周长的一半÷圆周率＝底面半径，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算， 【规范解答】6.28÷3.14＝2（dm） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm3） 原来这个圆柱的底面半径是2dm，体积是37.68dm3。 考点讲练十 圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。比较两者体积差，圆柱体积比圆锥大（3－1）倍，据此判断。 【规范解答】设圆锥的体积为V，则与它等底等高的圆柱体积为3V。 圆柱体积比圆锥大：3V－V＝2V 2V÷V＝2 即圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积大2倍。 原题说法错误。 故答案为：× 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图，圆锥形玻璃容器内装满水，如果将这些水全部倒入圆柱形容器中，（    ）正好装满。（玻璃厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此判断A、B两个选项； 对于C、D两个选项，根据圆锥的体积＝÷3求出题干中圆锥的体积，根据圆柱的体积＝求出C、D两个选项中圆柱的体积，再进行比较判断即可解答。 【规范解答】A．圆柱的底面直径与圆锥的底面直径相等，高也相等，所以将圆锥内的水全部倒入圆柱形容器中，圆柱形容器内的水是圆柱形容器高的，不能倒满； B．圆柱的底面直径与圆锥的底面直径相等，高等于5cm，是圆锥形玻璃容器的5÷15＝，所以全部倒入圆柱形容器中，正好倒满； C．圆锥形容器的体积＝××15÷3＝××15÷3＝ （），圆柱的体积＝××10＝××10＝×9×10＝90＝ （）， ＞ ，所以将这些水全部倒入圆柱形容器中，水会溢出，不能正好倒满； D．圆锥形容器的体积＝××15÷3＝××15÷3＝ （），圆柱的体积＝××15＝××15＝ （）， ＞ ，所以将这些水全部倒入圆柱形容器中，水会溢出，不能正好倒满。 故答案为：B 【变式2】（难度：☆☆）（24-25六年级下·山东枣庄·期中）下面的圆锥与圆柱（    ）的体积相等。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据圆锥与圆柱的体积公式及它们之间的关系（等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的），可知：当圆锥和圆柱的体积相等，且底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的；当圆锥和圆柱的体积相等，且高相等时，圆柱的底面积是圆锥底面积的，即可解答。 【规范解答】A．这个圆柱的底面直径是9，与给出的圆锥的底面直径相等，即底面积相等，而两个图形的高也相等，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，可知它们的体积是不相等的； B．圆柱与圆锥的高相等，圆柱的底面直径是3，是圆锥的底面直径的，根据圆的面积公式可知，圆柱的底面积是圆锥底面积的，所以它们的体积是不相等的； C．圆柱与圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，可知它们的体积相等； D．圆柱与圆锥的底面积相等，但圆柱的高不是圆锥高的，所以它们的体积是不相等的。 故答案为：C 考点讲练十一 圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西榆林·期中）长方体、正方体、圆柱和圆锥都可以用“底面积×高”来计算体积。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】长方体、正方体、圆柱的体积公式均为底面积乘高，而圆锥的体积公式为底面积乘高再乘。因此，圆锥的体积不能用“底面积×高”直接计算。 【规范解答】长方体体积：底面积（长×宽）×高，符合公式； 正方体体积：底面积（棱长×棱长）×高，符合公式； 圆柱体积：底面积（圆面积）×高，符合公式； 圆锥体积：底面积×高×，不能用“底面积×高”直接计算； 因此，原说法错误。 故答案为：× 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方分米。 【答案】 188.4 376.8 【思路引导】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【规范解答】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广西防城港·期中）一个圆锥形沙堆，底面半径是3米，高是2米，用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少米？ 【答案】0.942米 【思路引导】沙子从“圆锥形”变为“长方体”，形状改变但体积始终不变，即：圆锥形沙堆的体积＝长方体沙坑中沙子的体积。 已知圆锥形沙堆底面半径是3米，高是2米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（其中r是底面半径，h是高，π取3.14）；把数据代入公式计算即可得出圆锥形沙堆的体积。 用这堆沙去填一个长5米，宽4米的长方体沙坑，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高（此处“高”即沙坑中沙子的厚度）。那么高＝体积÷长÷宽，把求得的圆锥形沙堆的体积和长方体的长、宽代入公式计算即可解答。 【规范解答】×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝18.84（立方米） 18.84÷5÷4＝0.942（米） 答：沙坑里沙子的厚度是0.942米。 考点讲练十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·陕西渭南·期中）在手工课上，甜甜用一块体积是75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个高是9厘米的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）平方厘米。 A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24 【答案】C 【思路引导】把一个圆柱的橡皮泥捏成圆锥，圆柱和圆锥的体积相同，因此，圆锥的体积也是75.36立方厘米，已知圆锥的高是9厘米，根据圆锥的体积公式可知，已知体积和高，求底面积，需先用体积×3，再除以高即可。 【规范解答】75.36×3÷9 ＝226.08÷9 ＝25.12（平方厘米） 故答案为：C 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）一个杯子最上面部分是圆柱，中间部分是圆锥，下面是实心的杯挺和底座（如图）。一个底部内直径是10厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把这些水全部倒入图中的杯子里，圆锥顶点到水面的高度是多少厘米？（π取3） 【答案】13厘米 【思路引导】根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出瓶子里水的体积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出杯子圆锥部分的体积，再用水的体积－杯子圆锥部分的体积，求出剩下的体积，再根据高＝剩下的体积÷杯子最上面部分的圆柱的底面积，求出它的高度，再加上圆锥部分的高度，即可解答。 【规范解答】3×（10÷2）2×7 ＝3×52×7 ＝3×25×7 ＝75×7 ＝525（立方厘米） 3×（10÷2）2×9× ＝3×52×9× ＝3×25×9× ＝75×9× ＝675× ＝225（立方厘米） （525－225）÷[3×（10÷2）2] ＝300÷[3×52] ＝300÷[3×25] ＝300÷75 ＝4（厘米） 4＋9＝13（厘米） 答：圆锥顶点到水面的高度是13厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 【答案】0.96厘米 【思路引导】铁锤取出后水面下降的体积等于圆锥形铁锤的体积。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。已知圆锥形铁锤底面直径是8厘米，则底面半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，代入公式可得：×3.14×42×18＝6×3.14×16＝301.44立方厘米。 圆柱形容器底面直径是20厘米，那么半径为20÷2＝10厘米，已知下降的水的体积是301.44立方厘米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14），则h＝V÷π÷r2，把数据代入公式计算即可得出水面下降了多少厘米。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×18 ＝×3.14×16×18 ＝6×3.14×16 ＝301.44（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 301.44÷3.14÷102 ＝96÷100 ＝0.96（厘米） 答：容器中的水面下降了0.96厘米。 考点讲练十三 立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·江苏南京·期中）有一个圆锥形的模具，底面直径是16厘米，高是1分米，沿着底面直径切开，表面积增加80平方厘米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】已知圆锥的高是1分米，因为1分米＝10厘米，所以圆锥的高h＝10厘米，底面直径d＝16厘米。沿着底面直径切开圆锥，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积。根据三角形面积公式S＝ah÷2（其中a为底，h为高），把数据代入公式即可解答，进而判断该题是否正确。 【规范解答】1分米厘米 ＝80×2 ＝160（平方厘米） 表面积增加160平方厘米，而不是80平方厘米。 故答案为：× 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 3 6 56.52 【思路引导】以正方体的棱长为底面直径和高的圆锥是正方体内最大的圆锥，则圆锥的底面直径是6厘米，高是6厘米，最后利用“”求出这个圆锥的体积，据此解答。 【规范解答】6÷2＝3（厘米） ＝ ＝ ＝56.52（立方厘米） 分析可知，这个圆锥的底面半径是3厘米，高是6厘米，体积是56.52立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆）（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 12.56 25.12 【思路引导】根据题意可知，圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，增加两个底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高的三角形面积和；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积；三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，代入数据，求出底，也就是圆锥的底面直径；根据圆的面积＝π×半径2，据此求出圆锥的底面面积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出圆锥的体积。 【规范解答】24÷2÷6×2 ＝12÷6×2 ＝2×2 ＝4（cm） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 12.56×6× ＝75.36× ＝25.12（cm3） 把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是12.56cm2，体积是25.12cm3。 考点讲练十四 组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）计算组合体的体积。（单位：cm） 【答案】301.44立方厘米 【思路引导】这个组合体的体积等圆下面圆柱的体积加上上面圆锥的体积。圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3。 【规范解答】 ＝200.96＋100.48 ＝301.44（立方厘米） 所以这个组合体的体积是301.44立方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东济宁·期中）求体积。 【答案】25.12dm3 【思路引导】观察图形可知，该图形是由圆柱和圆锥组成，且等底等高。在等底等高的圆柱和圆锥中，圆锥体积是圆柱体积的。圆柱的底面半径为1dm，高为6dm，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算即可得出圆柱的体积，然后把圆柱体积乘得出圆锥体积，最后把圆柱和圆锥体积相加即可得出组合图形的体积。 【规范解答】3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝18.84（dm3） 18.84×＝6.28（dm3） 18.84＋6.28＝25.12（dm3） 该图形的体积是25.12dm3。 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·吉林松原·期中）蒙古包也称“毡包”，是蒙古族的传统民居。如图，蒙古包可以看作是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包内的空间大约是( )m3。 【答案】65.94 【思路引导】求这个蒙古包内的空间，也就是求圆柱和圆锥体积和，根据圆柱体积公式，和圆锥体积公式，将相关数据代入计算即可。 【规范解答】 （） 所以，这个蒙古包内的空间大约是65.94。 考点讲练十五 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·湖北十堰·期中）妈妈有一个20克的金手镯，把这个金手镯放入底面半径是5厘米的圆柱形量杯中，金手镯被水浸没，水面上升了0.04厘米。妈妈说这个金手镯是“空心”的。请你结合下面的资料，说明这个金手镯为什么是“空心”的。（已知20克纯金的体积大约是1.0352立方厘米） 阿基米德鉴别皇冠 国王命阿基米德鉴别皇冠是不是纯金的。阿基米德在洗澡时受到启发，把质量。相等、材质一样的两块金属分别浸没在同一个装有水的容器中，水面上升的高度是一样的。他将皇冠和同质量的金子分别浸没在水中，结果放入皇冠排出的水量比金子的大，这表明皇冠掺假。 【答案】见详解 【思路引导】金手镯的体积是3.14立方厘米，而20克纯金的体积应为1.0352立方厘米，实际体积大于纯金体积，说明是空心的。 根据阿基米德原理，物体浸没水中排开水的体积等于物体体积。通过计算金手镯排开水的体积（即水面上升部分的体积），并与纯金体积对比，若排开体积更大，则说明手镯含有空心部分。 【规范解答】圆柱形量杯的底面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 水面上升的体积（即金手镯的体积）： 体积＝底面积×上升高度＝78.5×0.04＝3.14（立方厘米） 对比纯金体积 已知20克纯金的体积为1.0352立方厘米，而金手镯的实际体积为3.14立方厘米。 由于3.14立方厘米＞1.0352立方厘米， 说明金手镯排开的水量超过纯金应有的体积，因此含有空心部分。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·安徽黄山·期中）开心购物。 歙县徽州古城是一个充满地方特色和历史韵味的旅游目的地。在这里，游客可以体验到徽州古城的历史风貌，同时也能购买各种具有地方特色的纪念品和手工艺品。聪聪在这里买了一只茶宠（如图），他想测量这只茶宠的体积，在一个圆柱形玻璃杯里装一些水，放入茶宠，下面是他记录的一些数据。根据问题选择需要的信息，进行解答。（玻璃杯厚度忽略不计） ①玻璃杯的底面直径是2分米。 ②茶宠的高度是5厘米。 ③玻璃杯的高度是3分米。 ④将茶宠浸没水中后，水面上升了4厘米。（水未溢出） （1）计算茶宠的体积需要的信息有（    ）。（填序号） （2）列式解答。 【答案】（1）①④ （2）1256立方厘米 【思路引导】（1）根据不规则物体的体积测量方法，需要的信息有，玻璃杯的底面半径（或直径），以及物体浸没水中，水面升高的高度，据此解答。 （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出茶宠的体积，注意单位名数的换算。 【规范解答】（1）计算茶宠的体积需要的信息有：玻璃杯的底面直径2分米；将茶宠浸没水中后，水面上升了4厘米。 计算茶宠的体积需要的信息有①④。 （2）2分米＝20厘米 3.14×（20÷2）2×4 ＝3.14×102×4 ＝3.14×100×4 ＝314×4 ＝1256（立方厘米） 答：茶宠的体积是1256立方厘米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山西太原·期中）如图，我们在推导梯形的面积时，用两个完全相同的梯形拼成了平行四边形。运用这个推导思路，可以求出图中立体图形的体积是( )立方分米。（接头处忽略不计） 【答案】628 【思路引导】把两个完全一致的立体图形正反相接能够拼成一个圆柱，其底面直径是8分米，高是（10＋15）分米，根据圆柱的体积公式，求出拼成圆柱的体积，再除以2就是图中立体图形的体积，据此解答。 【规范解答】 （立方分米） 图中立体图形的体积是628立方分米。 1．（24-25六年级上·四川内江·期中）下图中的正方体、圆柱和圆锥底面积相等，高也相等。下面说法正确的是（    ）。 A．圆柱的体积比正方体的体积小一些 B．圆锥的体积最大 C．圆柱的体积与圆锥的体积相等 D．圆锥的体积是正方体的 【答案】D 【思路引导】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，其中“棱长×棱长”就是正方体的底面积，所以正方体的体积＝底面积×高； 圆柱的体积V＝πr2h，其中“πr2”就是圆柱的底面积，所以圆柱的体积＝底面积×高； 圆锥的体积公式V＝πr2h，其中“πr2”就是圆锥的底面积，所以圆锥的体积＝×底面积×高； 综上所述，底面积相等，高也相等时，圆锥的体积＝正方体的体积＝圆柱的体积，据此得解。 【规范解答】因为正方体、圆柱和圆锥底面积相等，高也相等，所以圆锥的体积＝正方体的体积＝圆柱的体积。 A．圆柱的体积与正方体的体积相等，原选项说法错误； B．圆锥的体积最小，原选项说法错误； C．圆柱的体积与圆锥的体积不相等，原选项说法错误； D．圆锥的体积是正方体的，原选项说法正确。 故答案为：D 2．（24-25六年级下·广东中山·期中）下面图形中，（    ）是圆柱的展开图。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。 【规范解答】A．3.14×3＝9.42；4≠9.42，所以不是圆柱的展开图。 B．3.14×4＝12.56；12≠12.56，所以不是圆柱的展开图。 C．3.14×2＝6.28；6.28＝6.28，所以是圆柱的展开图。 是圆柱的展开图。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·山东枣庄·期中）工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥（如下图）这堆沙子的体积大约是（    ）立方米。 A．12.56 B．6.28 C．9.42 【答案】B 【思路引导】由图可知，圆锥形沙子的底面直径是4米，则底面半径为4÷2＝2米，高为1.5米。根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（r是底面半径，h是圆锥的高，π取3.14），把数据代入公式计算即可得出这堆沙子的体积。 【规范解答】4÷2＝2（米） ×3.14×22×1.5 ＝×3.14×4×1.5 ＝×18.84 ＝6.28（立方米） 这堆沙子的体积大约是6.28立方米。 故答案为：B 4．（24-25六年级下·北京·期中）《九章算术》中记载了圆柱体积计算方法“周自相乘，以高乘之，十二而一”。意思是，用底面周长的平方乘高，再除以12，就是圆柱的体积。这种方法与现在的计算方法是一致的，只不过取π的近似值为3。如果一个圆柱的底面半径是2dm，高是6dm，按照古人的方法，计算出的圆柱体积是（    ）。 A．36dm3 B．72dm3 C．144dm3 D．216dm3 【答案】B 【思路引导】按照古人的计算方法，先计算出圆柱的底面周长，再根据体积＝底面周长2×高÷12，据此求出圆柱的题意。 【规范解答】3×2×2 ＝6×2 ＝12（dm） 12×12×6÷12 ＝144×6÷12 ＝864÷12 ＝72（dm3） 如果一个圆柱的底面半径是2dm，高是6dm，按照古人的方法，计算出的圆柱体积是72dm3。 故答案为：B 5．（24-25六年级下·江苏淮安·期中）将一个圆柱的侧面剪开，不可能得到的图形是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【答案】D 【思路引导】将圆柱的侧面展开时，可先沿高的方向，或其它方向，剪开，再将侧面展开。本题中也可将给出的图围起来，看看能不能围成圆柱。 【规范解答】圆柱的侧面展开图可以是长方形，正方形，平行四边形等，但不能是等腰梯形。 故答案为：D 6．（24-25六年级下·河南郑州·期中）图中数据为几个立体图形相应的底面直径和高，圆柱（    ）与左面圆锥的体积相等。（单位：cm） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】已知圆锥的底面直径是6cm，高是9cm，先计算出半径为6÷2＝3cm，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积； 已知圆柱①底面直径是6cm，高是9cm；圆柱②底面直径是2cm，高是9cm；圆柱③底面直径是6cm，高是3cm；圆柱④底面直径是2cm，高是3cm；分别用直径长度除以2计算出半径长度，再根据圆柱体积公式分别计算出4个圆柱的体积；再进行比较，确定与圆锥体积相等的圆柱。 【规范解答】×3.14×（6÷2）2×9 ＝×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝3.14×3×9 ＝9.42×9 ＝84.78（cm3） ①3.14×（6÷2）2×9 ＝3.14×32×9 ＝3.14×9×9 ＝28.26×9 ＝254.34（cm3） 254.34≠84.78 所以圆柱①与左面圆锥体积不相等。 ②3.14×（2÷2）2×9 ＝3.14×12×9 ＝3.14×1×9 ＝28.26（cm3） 28.26≠84.78 所以圆柱②与左面圆锥体积不相等。 ③3.14×（6÷2）2×3 ＝3.14×32×3 ＝3.14×9×3 ＝28.26×3 ＝84.78（cm3） 84.78＝84.78 所以圆柱③与左面圆锥体积相等。 ④3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×3 ＝3.14×1×3 ＝9.42（cm3） 9.42≠84.78 所以圆柱④与左面圆锥体积不相等。 故答案为：C 7．（24-25六年级上·广西防城港·期中）一个橘子浸没在盛有200mL水的量杯中，这个橘子的体积是( )立方厘米。如果不让水溢出，这个量杯最多能放( )个这样的橘子。 【答案】 100 2 【思路引导】根据排水法，橘子浸没在量杯中，上升的水的体积就是橘子的体积。量杯原来盛的水的体积是200毫升，橘子浸没后，水面上升到300毫升处，说明一个橘子的体积是100毫升，也就是100立方厘米。这个量杯的容积最大是400毫升，原来的水体积是200毫升，最多还可以盛200毫升的水的体积，所以最多能放2个这样的橘子。 【规范解答】300－200＝100（毫升） 100毫升＝100立方厘米 （400－200）÷100 ＝200÷100 ＝2（个） 所以，这个橘子的体积是100立方厘米；最多能放2个这样的橘子。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积分别相等。如果圆锥的高是9dm，那么圆柱的高是( )dm。 【答案】3 【思路引导】当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍，据此解答即可。 【规范解答】（分米） 所以如果圆锥的高是9dm，那么圆柱的高是3dm。 9．（24-25六年级下·江苏徐州·期中）圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多14立方米，这个圆柱的体积是( )立方米，圆锥的体积是( )立方米。 【答案】 21 7 【思路引导】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥体的体积看作1倍数，则圆柱体的体积是3倍数，那么相差（3－1）倍数，再根据“一个圆柱体积比它等底等高的圆锥体积多14立方米”即可求出1倍数，即圆锥体的体积，再乘3可得圆柱体积。 【规范解答】圆锥的体积：14÷（3－1） ＝14÷2 ＝7（立方米） 圆柱的体积：7×3＝21（立方米） 10．（24-25六年级上·四川内江·期中）用一张长25.12cm，宽12.56cm的长方形纸围成一个圆柱，有两种围法。一种围法圆柱的高是( )cm，底面周长是( )cm；另一种围法圆柱的高是( )cm，底面积是( )cm2。 【答案】 12.56 25.12 25.12 12.56 【思路引导】根据题意，用一张长方形纸围成一个圆柱，有两种围法： 围法一：把长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高； 围法二：把长方形的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高；根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积。 【规范解答】围法一：圆柱的高是12.56cm，底面周长是25.12cm； 围法二：圆柱的高是25.12cm，底面周长是12.56cm； 圆柱的底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（cm） 圆柱的底面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 综上可知，用一张长25.12cm，宽12.56cm的长方形纸围成一个圆柱，有两种围法。一种围法圆柱的高是（12.56）cm，底面周长是（25.12）cm；另一种围法圆柱的高是（25.12）cm，底面积是（12.56）cm2。 11．（24-25六年级下·北京·期中）计算圆柱的表面积。（单位：cm） 【答案】471cm2 【思路引导】根据圆柱的表面积的计算方法：圆柱的表面积＝2个底面积＋侧面积，再分别根据圆的面积公式S＝πr2及侧面积公式S＝Ch＝πdh，通常π取值3.14，代入数据计算即可。 【规范解答】3.14×（10÷2）2×2＋3.14×10×10 ＝3.14×52×2＋31.4×10 ＝3.14×25×2＋314 ＝157＋314 ＝471（cm2） 圆柱的表面积是471cm2。 12．（24-25六年级上·四川内江·期中）下面是一个圆柱的展开图，求这个圆柱的体积。（单位：厘米） 【答案】75.36立方厘米 【思路引导】根据题图可知圆柱的高为6厘米，圆柱的底面周长为12.56厘米。根据圆柱的底面周长，也就是底面圆的周长＝2πr，即可求得圆柱的底面半径。根据圆柱的体积＝πr2h，即可求得这个圆柱的体积。 【规范解答】12.56÷2÷3.14 ＝6.28÷3.14 ＝2（厘米） 3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方厘米） 这个圆柱的体积是75.36平方厘米。 13．（24-25六年级下·山东青岛·期中）一台压路机的前轮是圆柱形的，轮宽2米，直径0.8米。前轮滚动一周，压过的路面是多少平方米？ 【答案】5.024平方米 【思路引导】压路机的前轮是圆柱形，轮宽相当于圆柱的高，前轮滚动一周时，压过的路面是一个长方形。这个长方形就是圆柱的侧面。 已知前轮直径为0.8米，轮宽（即圆柱的高）为2米，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh（π取3.14，d为直径，h为高），把数据代入计算即可。 【规范解答】3.14×0.8×2＝5.024（平方米） 答：压过的路面是5.024平方米。 14．（24-25六年级下·山东潍坊·期中）四边形ABCD是一个直角梯形，以AB所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到一个立体图形，求这个立体图形的体积？ 【答案】113.04立方厘米 【思路引导】旋转后得到的立体图形是由一个圆柱和一个圆锥组成的。圆柱的底面半径是BC的长度（3厘米），高是CD的长度（3厘米）。圆锥的底面半径也是BC的长度（3厘米），高是AB－CD的长度（6－3＝3厘米）。所以圆柱和圆锥的等底等高，在圆柱和圆锥的等底等高时圆锥的体积是圆柱体积的，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径3厘米，高3厘米代入公式计算得出圆柱的体积，再乘得出圆锥的体积。把两者体积相加即可得出旋转后立体图形的体积。 【规范解答】3.14×32×3＝3.14×9×3＝84.78（立方厘米） 84.78×＝28.26（立方厘米） 84.78＋28.26＝113.04（立方厘米） 答：立体图形的体积是113.04立方厘米。 15．（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）一瓶装满的矿泉水，小明喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，已知这个矿泉水瓶的内直径是6厘米，小明喝了多少毫升水？ 【答案】282.6毫升 【思路引导】因为瓶子的容积是固定的，正放时有水部分和倒置后无水部分的形状可看作圆柱，已知内直径是6厘米，那么半径为6÷2＝3厘米。倒置后无水部分高为10厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式计算然后换算单位即可。 【规范解答】6÷2＝3（厘米） 3.14×32×10＝3.14×9×10＝282.6（立方厘米） 1立方厘米＝1毫升 282.6立方厘米＝282.6毫升 答：小明喝了282.6毫升水。 16．（25-26六年级上·广东中山·期中）一个圆锥形沙堆，高3米，占地面积15平方米。将这堆沙铺在宽6米的路上，平均铺5厘米厚，能铺多少米？ 【答案】50米 【思路引导】首先根据圆锥的体积公式：V＝Sh，计算出这堆沙的体积，把这堆沙平铺在路面上，只是形状改变了沙的体积没变。由长方体的公式：V＝Sh，用体积除以底面积就是铺的长度；由此解答； 【规范解答】 （立方米） 5÷100＝0.05（米） （米） 答：能铺50米。 17．（24-25六年级下·江苏淮安·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其形状上半部分呈圆柱状，下方呈圆锥状，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转，乐趣无穷。经过测试，圆柱体积与圆锥体积比是4∶1时，陀螺会转得又稳又快。如图，圆锥的底面直径是6厘米，高是5厘米，请你算一算，圆柱的高是多少厘米时能使陀螺转得又快又稳？（结果保留两位小数） 【答案】6.67厘米 【思路引导】如图所示，圆柱与圆锥底面半径是相等的。先根据计算出圆锥的体积，圆柱体积与圆锥体积比是4∶1时，那么圆柱的体积是它的4倍。根据求出圆柱的高，据此解答。 【规范解答】（厘米） （厘米） 答：圆柱的高约是6.67厘米时能使陀螺转得又快又稳。 18．（24-25六年级下·河北保定·期中）一个圆柱形通风管，底面直径是30厘米，长1.2米，做10个这样的通风管，至少需要多少平方米的铁皮？ 【答案】 11.304平方米 【思路引导】分析题目，先根据1米＝100厘米，把30厘米换算成以米为单位，圆柱形通风管只需要计算侧面积，圆柱的侧面积＝πdh，据此求出做一个圆柱形通风管需要多少平方米的铁皮，再乘个数即可求出需要铁皮的总面积。 【规范解答】30厘米＝0.3米 3.14×0.3×1.2＝1.1304（平方米） 1.1304×10＝11.304（平方米） 答：至少需要铁皮11.304平方米。 19．（24-25六年级下·河北保定·期中）一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 【答案】188.4立方厘米 【思路引导】当把钢材竖着拉出水面6厘米时，拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，拉出钢材的部分是一个圆柱，根据圆柱的体积公式：（其中是底面半径，是高），可得拉出钢材部分的体积，因为拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，用拉出钢材部分的体积除以水面下降的高度，即可求出容器的底面积，已知当钢材全部浸入水中时，水面上升5厘米，钢材的总体积等于水面上升5厘米水的体积，再根据圆柱的体积公式：（其中是底面积，是高），即可求出钢材的体积。 【规范解答】拉出钢材部分的体积： （立方厘米） 容器的底面积：（平方厘米） 钢材的体积：（立方厘米） 答：这段钢材的体积是188.4立方厘米。 20．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个瓶子，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），它的容积为1256毫升。瓶子正放时，瓶内水面高度为20厘米，瓶子倒放时，无水部分高度为5厘米。瓶内水的体积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【思路引导】因为瓶子的容积不变，瓶子里的水的体积不变，所以正放和倒放时空余部分的容积相等；将正放与倒放的空余部分交换一下位置，可以看出瓶子的容积相当于底面积不变，高为（20＋5）厘米的圆柱的体积，那么瓶中的水的体积占整个瓶子容积的20÷（20＋5）＝； 已知瓶子的容积为1256毫升，根据求一个数的几分之几是多少，用瓶子的容积乘，即可求出瓶内水的体积。 【规范解答】20÷（20＋5） ＝20÷25 ＝ 1256×＝1004.8（毫升） 答：瓶内水的体积是1004.8毫升。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $