河北丰润车轴山中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

河北省唐山市丰润区车轴山中学2025-2026高二上期中考试 数学 一、单选题 1．已知直线过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 5．“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的等价条件得到方程，解出后再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】若“直线 与直线 相互垂直”， 则，该方程恒成立，则， 则可以推出，则充分性成立， 无法推出，则必要性不成立， 则“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 6．圆与圆有三条公切线，则半径 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据公切线条数可知两圆外切，可知圆心距等于两圆半径之和，从而构造出方程求得结果. 【详解】两圆公切线有且仅有三条    两圆外切 由圆的方程可知，两圆圆心分别为：，；半径分别为：和 两圆圆心距，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数值，关键是能够根据公切线条数确定两圆的位置关系. 7．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 8．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为 【答案】B 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 线段的最大值为，故B正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：B 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距是 C．过点且在轴截距相等的直线方程为 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 【答案】ABD 【分析】利用变换主元法确定直线过定点可判定A项；利用截距的定义可判定B项；分类讨论截距是否为零结合截距式可判定C项；利用直线平行的充要条件及距离公式可判定D项. 【详解】对于A，由，显然时，恒成立， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确； 对于C，若截距均为0，则该直线为； 若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得， 即，故C错误； 对于D，由两直线平行可知， 此时方程可化为，故两直线距离为， 故D正确. 故选：ABD 10．关于空间向量，下列说法错误的是（    ） A．对于任意的空间向量，都有 B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】ABD 【分析】根据空间向量数量积公式判断AB，根据空间直线与平面的位置关系判断CD. 【详解】选项A，是一个数，表示与共线的向量，同理表示与共线的向量， 与不一定共线，所以，即向量不满足结合律，A说法错误； 选项B：因为，所以若，则与共线或夹角为锐角，B说法错误； 选项C：因为是直线的方向向量，是平面的法向量， 且，所以，C说法正确； 选项D：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 若，则或，若，则， 所以是的必要不充分条件，D说法错误； 故选：ABD 11．在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（   ） A．点B到平面的距离是 B．平面与平面垂直 C．记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D．若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 【答案】ABD 【分析】利用等体积法判断A，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量判断B，利用向量的夹角公式判断C，设，求出平面的法向量，利用求出的轨迹方程，进而得到与六个面的交线判断D. 【详解】选项A：因为四棱柱是正四棱柱，且底面边长为， 所以， 又因为是等腰三角形，， 所以底边上的高为， 设点B到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点B到平面的距离是，A说法正确； 选项B：以为坐标原点，分别为轴建立如题所示坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面和平面的法向量分别为，， 则，， 取，， 因为，所以平面与平面垂直，B说法正确； 选项C：底面中心，则， 又，所以， ，， 所以直线与直线所成角的余弦值，C说法错误； 选项D：若为线段的中点，则， 因为，，， 设平面的法向量，则，取平面的法向量， 设，则， 若平面，则， 整理得的轨迹方程为， 因为点在正四棱柱表面上运动， ，，， 所以6个表面方程及交线如下： ①下底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ②上底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ③后面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ④前面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑤左侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑥右侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； 由图象可得依次连接，形成一个闭合的六边形，D说法正确； 故选：ABD 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 【答案】 【分析】先根据对称关系得到点的坐标，再应用两点距离公式即可求出，两点间的距离． 【详解】又，则 点关于y轴对称的点为， 又，则， 所以，两点间的距离为． 故答案为：． 13．由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________． 【答案】 【分析】利用切线长定理，结合点到直线距离公式计算作答. 【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离， 于是得，当且仅当垂直于直线时取“=“， 所以线段的最小长度为. 故答案为： 14．已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 【答案】， 【分析】设出圆心和半径，根据弦长得到方程，求出，得到圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的半径为， 故圆的方程为， 圆心到的距离为， 所以直线上截得弦长为， 故，解得， 故此圆的方程为或. 故答案为：， 四、解答题 15．已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【详解】（1）， ， 设， ， 的值为2． （2）由（1），则， ， ， ． 16．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边AB所在直线的方程； (2)AC边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据两点式即可求解直线方程， （2）根据斜率公式以及点斜式方程即可求解， （3）根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由两点式得边AB所在直线方程为，即． （2）因为，AC的中点， 所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为，即． （3）点C到边AB的距离为，， ． 17．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)3. 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦值.. （3）利用空间向量的距离公式，结合锥体体积公式求解. 【详解】（1）在直四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得，由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. （2）由（1）知平面的法向量为，而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）由（1）知平面的法向量为，而点，则， 点到平面的距离为，又， 则点到直线距离， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. 18．如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）， 则 . 故. 19．已知点，，曲线上任意一点满足 (1)求曲线的方程； (2)设点，过定点的直线与曲线相交于不同两点，，直线无论如何转动，轴都平分，请求出点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由，可得，化简即可得出； （2）设存在定点满足条件，分两种情况讨论，当直线斜率不存在，且点在圆内时，显然成立；当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，，直线的方程与圆的方程联立化为：，由无论直线如何旋转，轴都平分，可得，可得，利用根与系数的关系代入即可得出结果． 【详解】（1）设， ，，， ， 则曲线的方程：． （2）当直线与轴垂直，且在圆内时，易得关于轴对称，故必有轴平分． 当直线斜率存在时，设存在定点满足条件，设直线的方程为． 设，． 联立则， ， 判别式，，， 无论直线如何运动，轴都平分，则， ， ， ， ， 化为：，． 直线，可得直线经过定点， 存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，，无论直线如何旋转，轴都平分．    试卷第2页，共16页 试卷第3页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省唐山市丰润区车轴山中学2025-2026高二上期中考试 数学 一、单选题 1．已知直线过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 5．“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．圆与圆有三条公切线，则半径 A．5 B．4 C．3 D．2 7．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距是 C．过点且在轴截距相等的直线方程为 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 10．关于空间向量，下列说法错误的是（    ） A．对于任意的空间向量，都有 B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 11．在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（   ） A．点B到平面的距离是 B．平面与平面垂直 C．记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D．若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 13．由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________． 14．已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 四、解答题 15．已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边AB所在直线的方程； (2)AC边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)的面积． 17．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 18．如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 19．已知点，，曲线上任意一点满足 (1)求曲线的方程； (2)设点，过定点的直线与曲线相交于不同两点，，直线无论如何转动，轴都平分，请求出点坐标． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $丰润区2025一2026学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.己知直线过点A(1,0),B10.-√)，则直线的倾斜角为 B. C. D. 2π 4 3 3 2.在空间四边形PABC中，PB-AB-CA= A.AP B.PC C.AB D.AC 3.若{a,,c,构成空间的一个基底，则下列向量共面的是 A.B,a-B,a+c B.a,a+b,a+c C.a-B,a+B,c D.b,a,a+b 4.如图，空间四边形0ABC中，O1=a,O丽=6，OC=G,点M在0A上，且OM=2O, 3 点N为BC中点，则M等于 A.1a+26-c .,151 B.-2a+6+。 222 32 2a+26+ 2 D.号a+62 5.“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-v+1=0相互垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.圆x2+4x+y2=0与圆(x-2)2+(y-3)2=r2有三条公切线，则半径r= A.5 B.4 C.3 D.2 高二数学试卷（第1页共4页) 7.若圆x2+0y-2)2=r2(r>0)上到直线y=、3x-2的距离为1的点有且仅有2个，则r的 取值范围是 A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+o) 8.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为AA,CC的中点，O为底面ABCD 的中心，点P在正方体的表面上运动，且满足NP⊥MO,则下列说法正确的是 A.点P可以是棱BB的中点 D C B.点P轨迹的长度为1+√2 C.点P的轨迹是平行四边形 M D D.点P轨迹所围成的图形面积为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9下列说法正确的是 A.直线mx-y+1-m=0必过定点(1,1) B.直线y=3x-2在y轴上的截距是-2 C.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0 D.已知直线3x+4y-1=0与直线6x+my-12=0平行，则平行线间的距离是2 10.关于空间向量，下列说法错误的是 A.对于任意的空间向量a,6,c,都有(ac=a仍c) B.若空间向量a,b满足a.b>0,则a与b的夹角为锐角 C.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则“m⊥”是“l∥a”的充要条件 D.若m=(2,4,-2)是直线1的方向向量，n=(-1.-2,1)是平面a的法向量，则1⊥a 高二数学试卷（第2页共4页） 11.在正四棱柱ABCD-48GD中，底面边长为√2，侧棱长为1，则下列结论正确的是 A.点B到平面ACA的距腐是y 2 B.平面BCD与平面B,CD垂直 C.记底面ABCD的中心为O,则直线D,0与直线BC所成角的余弦值为 3 D.若F为线段AB的中点，点P在正四棱柱表面上运动，若PF∥平面ACD,则点P 的轨迹是六边形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系中，已知A(2,11),B(1,2,3),点A关于y轴对称的点为C,则B, C两点间的距离为 13.由直线x+y+6=0上一点P向圆C:(x-3)2+(y+5)2=4引切线，则切线长的最小 值为 14.已知一个圆与y轴相切，在直线y=x上截得弦长为2√7，且圆心在直线x-3y=0上， 则此圆的方程为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知ā=(x,-1,3),b=(1,2,-1),c=(1,0,)且c/2a+6 (1)求实数x的值； (2)诺(a-1.a+),求实数1的值. 高二数学试卷（第3页共4页） 16.(15分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C-8,0),求： (I)求AB所在直线的方程： (2)求AC边上的高所在直线的方程； (3)求△ABC面积. 17.(15分) 如图，在直四棱柱ABCD-ABGD中，侧棱AA的长为3，底面ABCD是边长为2的 正方形，E是棱BC的中点. (I)证明：BDI1平面CDE; (2)求平面C,DE与平面ABCD的夹角的余弦值； (3)求三棱锥A,-CDE的体积. 18.如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°， ∠BA4=60°，∠DA4=60°，M,N分别为D,C,C,B,的中点. 求证：(I)MN⊥AC (2)求41C与BC所成角的余弦值. 19.(17分) 已知点A(1,0),B(4,0),曲线C上任意一点P满足||=2P4, (1)求曲线C的方程； (2)设点D(3,0),过定点2的直线1与曲线C相交于不同两点E,F，直线1无论如何 转动，x轴都平分∠EDF,请求出点坐标. 高二数学试卷（第4页共4页）