河北省衡水市2025-2026学年高二上学期第三次调研考试数学试题

2025~2026学年度第一学期高二年级三调考试 数学试卷 1. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知数列1，，，则是这个数列的( ) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 2．椭圆的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 3．已知为抛物线上一点，点A到抛物线C焦点的距离为2，则 ( ) A.2 B.1 C. D.4 4．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C的方程为( ) A. B. C. D. 5．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 6．双曲线的两个焦点分别是与,焦距为8;M是双曲线上的一点,且,则的值为( ). A.9 B.1 C.1或9 D.2 7．已知直线与圆相交于A,B两点,则当取最小值时, ( ) A.1 B.-1 C. D.2 8．抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则 ( ) A.2 B. C.8 D.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．关于空间向量,以下说法正确的是( ) A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面 B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面 C.已知向量组是空间的一个基底,则也是空间的一个基底 D.若,则是钝角 10．圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是( ) A.直线AB的方程为 B. C.线段AB的垂直平分线方程为 D.点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为 11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是( ) A. B. C. D.的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若,,且,则的值是____. 13．抛物线的准线方程是______. 14．双曲线的一条渐近线方程为,则其离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（13分）已知圆与y轴相切于点，圆心在经过点与点的直线l上. (1)求圆的方程； (2)圆与圆相交于M，N两点，求两圆的公共弦的直线方程. 16．（15分）如图，在棱长为3的正方体中，E，F分别是AB，BC上的点且. (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 17．（15分）已知点,,中恰有两个点在抛物线上, （1）求E的标准方程; （2）若点,在E上,且,证明:直线过定点. 18．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为,焦距为. （1）求C的方程; （2）过点作直线与双曲线C相交于M,N两点,且A为线段的中点,求这条直线的方程. 19．（17分）己知椭圆的左右焦点分别为,直线与椭圆交于两点, 为坐标原点. (1)若直线过点,且求k的值; (2)若以为直径的圆过原点,试探究点到直线的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 一、单选（5×8=40分) 1.答案：B 解析：数列1，V5,5,…,V2n-1,…通项公式为an=V2n-1, 当V11=2n-1,解得n=6,故选：B. 2.答案：C 解析：因为椭圆方程为二+号-1所以子=16：？=9：所以 c2=a2-bP=16-9=7所以焦点坐标为(0，±V万)故选：C 3.答案：A 解析：因为A(1,m)到抛物线C焦点的距离为2，所以由抛物线定义知， 2=1+号，解得p=2,故选：A. 4.答案：C 解析：因为(-4)2+3=25>1所以点C(-4,3)在圆x2+y2=1的外 部，设以C(4,3)为圆心的圆的半径为：乃则r-1=√(-4)2+32=5 解得r=6,所以所求圆的方程为：(x+4)2+(y-3)2=36选：C 5.答案：D 解析：m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以m的取值范围是(3,5) 故选：D 6.答案：A 解析：因为2c=8所以c=4所以=c2-b2=16-12=4得a=2根 据双曲线定义可得MF-MF=2a=4所以15-MF=4,解得 MF=1或MF=9当MF=1时MF+MF=6<8不合题意，故舍 去，当MF=9时MFl+MF=14>8满足题意，综上MF=9 故选：A 7.答案：B 解析：直线：x+ym+1=0化简为m(x-1)+(y+1)=0,即直 线1恒过定点P(1-1).当0P1AB时，AB取得最小值 ko=型=-1则直线1的斜率为-m=1,解得m=-1故选B 8.答案：A 解析：双曲线号.号=1的蒲近线方程为y=±号x,抛物线y2=2px>0) 的准线方程为x=号，设A在x轴上方，则A(号号p),8（号，号p) 4y2, FA+F+h-要p+要p+号p=45,p=2 二、多选(6×3=18分) 9.答案：ABC 解析：对于A,因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确： 对于B,因为O=OA+O克+O心且言+青+专=1，所以PA,B,C四点 共面，B正确： 对于C,因为言石是空间中的基底，所以6不共面且都不为，假设 +共面，则京=石+4（元+）即“=0，则=司与其为基底矛盾， (λ=0 所以6+不共面，所以言+石+元己+}也是空间的基底，C正确： 对于D,若a.6<0,则<36>是钝角或是180°，D错误， 故选：ABC 10.答案：ACD 解析：01：(x-1)+y2=1,01(1,0),r1=1; 02:(x+1)2+(y-4)2=9,02(-1,4),r2=3. 对于A,由x2+y2-2x=0与x2+y2+2x-8y=0,两式作差可得 4x-8y=0,即x-2y=0:公共弦AB所在直线方程为x-2y=0,故A 正确； 对于B,圆心01到直线x-2y=0的距离d=言，半径为r=1,则 1A81=2-(店)-5，故B销误： 对于C,圆01的圆心为01(1,0)，圆02的圆心02(-1,4)，k0,0,=-2, ·AB的中垂线的斜率为-2，可得AB的中垂线方程为y-0=-2×(x-1), 即2x+y-2=0,故C正确； 对于D,P为圆O1上一动点，圆心01到弦AB:x-2y=0的距离为， 半径=1，则P到直线AB的距离的最大值为1+号，D正确， 故选：ACD 11.答案：ABD 解析：对于A,设FF2=2c,因为F1,F2是椭圆 等+苦=1a1>b>0)的焦点，所以a,2-b:2=c2:义因为P:P,是双 曲线需-(>>0)的维点，所以g+=所以 a12-b12=a22+b22,故A正确； 对于B,由题意可得IPF1+|PF2=2a1,两式平方整理得 I川PF1-PF2=2a2 |PF12+|PF22=2a12+2a22,在△PF1F2中，由∠F1PF2=号， 、|PF1|PF2=a12-a22 得cos2RPP2=PP=22=即a2+3a2=4c2,又 XPFPF 2a12a23 由12-b12-c2,a22+b22=c2,可得c2+b2+3(c2-b2)=4c2,解得 b12=3b22,故B正确； 对于C,由B可得a2+32=4c2,即+=4即导+寻=4，故 C错误； 对于D,由C可得寺+寻=4，所以+经=(+)（京+是） =(第+器+4)≥(25+4)=1+，当且仅当=1+5， 4 5=3+5时等号成立，即G+6的最小值为1+县，故D正确 4 2 故选：ABD, 三、填空(5×3=15分) 12.答案：-2或1 13.答案：y=言 解析：由y=2x2得抛物线方程为x2=y,所以p=,所以抛物线y=2x2 的准线方程是y=-号=-言，故答案为y=。 10 14.答案： 3 解析：双曲线琴兰=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=专x 则=专离心率e==层=学=V1+=1+()了-四 故答案为：V10 3 四、解答题（共77分) 15.答案：(1)(x-4)2+(y-3)2=16;(6分) (2)3x+4y-9=0（13分) 解析：(1)经过点(2,1)与点(-2，-3)的直线方程为 线=影→y=x-1.由题意可得，圆心在直线y=3上， y=3 由气y=x-1，解得圆心坐标为(4,3)，故圆C的半径为4， 则圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16:(6分) (2):圆C1方程(x-4)2+(y-3)2=16即x2+y2-8x-6y+9=0, 圆C2:x2+y2-2x+2y-9=0, 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y-9=0.（13分) 16.答案：(1)见解析（6分) (2)号(15分) 解析：(1)如图建系：A(3,0,3),F(1,3,0),C(0,3,3),E(3,20) A=（23,-3,cE=31,-3 AF.CE=-6-3+9=0,故AF1CE(6分) (2)B(3,3,3),BE=(0,-1,-3),BE=(0,-1,-3), 8F=（-2,0-3) 设平面BEF的一个法向量为方=(x,y,z) 8Eǜ=0→{y+3z=0 g=0 (2x+3z=0 令z=-2则=(3,6，-2) 设平面BEF的一个法向量为i=(0,0,1), 设平面BEF与平面BEF夹角为日，易知： 日为锐角 故cos0= 剑 9+36+4XⅪ 即平自BEF与平自BEF夹角的余弦值为号.(15分) 17.答案：(1)x2=8y(6分) (2)证明见详解.（15分) 解析：(1)将A(-4,2)代入抛物线方程E.:-42=4p,解得p=4, 将82，)代入地物线方程E:2=16p解得p 将C(4,2)代入抛物线方程E:42=4p,解得p=4, 根据题意可知p=4, .E的标准方程为E:x2=8y(6分) (2)xX2=-16,∴x≠x2,.设直线MW:y=x+b, 则联立方程组得+b,即x-8x-8站=0， x2=8y 2= -8b =-16,.b=2,.MN:y=kx+2, 直线MN过动点(0,2).(15分) 18.答案：(1)器号-1(6分) (2)3x-2y-16=0(17分) 解析：(1)由题意知， 2c=4W5 ,解得 名= c2=a2+b2 平=16F=4c2=20故双曲线C的方程为器-斧-1 (6分) (2)①当过点A的直线斜率不存在时，若点A为MN的中点， 则点A必在x轴上，这与A(6,1)矛盾； ②当过点A的直线斜率存在时，设斜率为k(k≠0)，则直线方程为 y-1=k(x-6), 设M(&y1),N(xy2),因为点A(6,1)为线段MN的中点， 所以x1+2=12y1+y2=2 因为MN在双面线器等=1上所以y好16， 3-4y3=16 则（为-x2)(x1+x2)+4(y2y1)(y2+y1)=0, 所以k=器=数=烧=寻 4y+yi) 则所求直线方程为y-1=号(x-6)即3x-2y.16=0.经检验此时直线 与双曲线有两个交点，满足题意.（17分) 19.答案：(1)k=±1(8分) (2)0到直线AB的距离是定值为d=5(17分) 解析：(1)因为直线过点(-2,0)，所以m=2k即直线1的方程为 y=k(x+2).A (X1 y),B(x2 y2) [y=k(x+2), 联立x+2y-8=0整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0. -8k2 8k2-8 1+2k2,书3= 1+2k2由弦长公式 1+k22 1AB1=1+k十x4xx网=9，代入整理得1+2正解得 k2=1 k=±1(8分) (2)设直线1方程y=kx+m,A(xy),B(x2V2) y=kx+m 联立x2+2y2-8=0整理得(2k2+1)x2+4kx+2㎡-8=0. 8+为3= 舞名x=号 22-8 以AB为直径圆过原点0，O1.O=0:0A.0B=X1x2+yy2=0 将y1=k1+my2=kx2+m代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(名+x2)+m2=0.将 X+为=铅，X=代入 整理得3m2=8k+8. 设点0到直线AB的距离为d,于是dP=群：=号， 故0到直线AB的距离是定值为d=9(17分)