精品解析：河北省强基联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025—2026学年上学期高二期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平行直线与之间的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 3 7. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 11. 已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 面积的最小值为2. C. D. 可能为直角. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则______. 13. 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 14. 点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，为其前n项和，， （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证：. 16. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 17. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l经过点且与圆C相切，求直线l的方程； （3）若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值. 18. 如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. （1）设点为棱的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期高二期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平行直线与之间的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由两条平行直线的距离公式直接可得. 【详解】因为直线与平行， 所以由平行线间的距离公式可得. 故选：B. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线性质可得、，即可得解. 【详解】由，则，解得，，故. 故选：B. 3. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C 4. 已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】即①，②， ①－②化简可得直线的方程为. 故选:A. 5. 在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得. 【详解】在平行六面体中，，， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 6. 已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【详解】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 7. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 故选：D. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从而得到，再由椭圆的定义，即可求出、，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形， 因为的面积为，所以的面积为， 所以，即． 又因为，所以，， 在中，，则，所以. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式结合等差中项列方程求解. 【详解】由题意，，由等比数列通项公式可得， 由于等比数列每一项都不是，故， 即，解得或. 故选：AD 10. 如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利用空间向量垂直、夹角、距离等公式计算即可逐一验证判断. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，因， 则，故，A正确； 对于B，，， 设平面AEF的法向量为， 则故可取， 因，则，又平面AEF， 故平面AEF，故B正确； 对于C，因， 则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为， 则点到平面AEF的距离为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 面积的最小值为2. C. D. 可能为直角. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断. 【详解】 对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为等差数列，为其前n项和，若，，则______. 【答案】28 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式和下标和性质求解. 【详解】因为等差数列的前项和为，，， 故. 故答案为：28. 13. 已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离：；若内含：， 综上：. 故答案为：. 14. 点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，为其前n项和，， （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求出，进而求出通项公式； （2）由（1）求出通项，利用裂项相消法求得，得证. 【小问1详解】 由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）可得， 故. 因为，所以，得证. 16. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 17. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l经过点且与圆C相切，求直线l的方程； （3）若直线与圆C相交于E、F两点，且，求实数a的值. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设，根据列式求出，进而求得圆心坐标和半径，得解； （2）分直线斜率存在和不存在讨论，结合直线和圆相切列式求解； （3）由题可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列式求解. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3， 所以直线符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，圆的圆心为，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即， 解得或，所以实数的值为或. 18. 如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. （1）设点为棱的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由已知，，可知，则， 又矩形中有，且， 平面，所以平面， 又， 则平面，所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面，所以平面. （2） （3）存在，点与点重合 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）假设存在，设，由空间向量计算线面夹角，解方程求参数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则， 即为平面的一个法向量， 因为， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则， 即为平面的一个法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，故. 【小问3详解】 存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 理由如下： 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于. 设， 则. 所以 . 所以，解得或(舍去)， 因此，线段上存在一点，当点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值等于. 19. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）由（i）， 直线的方程为 直线的方程为． 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足，从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. 【小问1详解】 由题意可知，因为，所以. 设，则，所以， 又，所以. 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：，解得或； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $