精品解析：辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题

2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合或，再根据补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】，解得或， 则或，则， 故， 故选：A. 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出复数的代数形式，再根据纯虚数的概念列式求解. 【详解】, 因为复数为纯虚数， ，解得 故选：A. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 4. 数据68，70，80，88，89，90，96，98的第30百分位数为（ ）． A. 70 B. 75 C. 80 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】把给定的由小到大排列的数据，根据第p百分位数的定义求解作答. 【详解】依题意，，所以所求第30百分位数为80. 故选：C 5. 抛物线的准线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线属于标准式，由得，准线方程为，故准线方程为 6. 已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，代入，即可求解. 【详解】由函数与互为反函数， 若的反函数为，则. 故选：C. 7. 设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线有公共点，利用点到直线的距离公式列不等式，即可求得答案. 【详解】连接，则.圆的圆心为，半径为； 又，所以四边形为正方形，所以， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 则该圆与直线有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：C 8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断A；利用平方平均数与算术平均数之间关系即可判断BD；利用平方和公式因式分解，再配凑代入即可判断C. 【详解】对于A，由，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C， 因为 ， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式逐项计算判断. 【详解】对于A，若与互斥，则，A正确； 对于B，若与相互独立，则，B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，则，C正确； 对于D，若与相互独立，则，D正确. 故选：ACD 11. 设数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. 对任意的， D. 对任意的， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式求出首项，再逐项分析计算得解. 【详解】因为，所以数列是公差的等差数列， 因为，所以，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，由可知，在或时取最小值， 且，因此的最小值为，故对任意正整数有，故C正确； 对于D，由等差数列的性质得，，成等差数列，则，故D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中，角A，B，C满足，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，利用三角函数的最值的求法求得的最小值. 【详解】依题意，， ， ，由正弦定理得， 所以，所以为锐角，且. ，由于且， 所以且， 所以， 所以，当，是等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用正弦定理或余弦定理来求角时，要注意角的范围，如，则可能是或.求解含角的表达式的最值或范围时，首先将表达转化为一个角的形式，如转化为等形式，再根据的范围求得的范围. 13. 二项式的展开式中的系数为__________.（用数字作答）. 【答案】45 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，即可求出展开式中的项系数. 【详解】展开式的通项为，令得 所以展开式中的系数为. 故答案为：45. 14. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2．记该棱台内能容纳的最大的球为球，在该棱台内且在球外能容纳的最大的球为球，则球的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过上下底面的半径与棱长求出三棱台的高，并通过比较高与上底面外接圆的直径来确定球应与下底面与三个侧面相切，再通过与下面的切点和与侧面的切点找到两个直角三角形，通过三角函数值最终确定球的半径，再将几何体补充成正四面体，进而确定球的半径，进而求出球体积. 【详解】由题得上底面的外接圆半径为，下底面的外接圆半径为， 则底面外接圆半径差，所以棱台的高， 因为，即高大于外接圆的直径，所以可得球应与下底面与三个侧面相切， 设球与下底面相切于点，与侧面相切于点，取的中点，取的中点，连接，连接，过点向底面作垂线交于点，如下图： 在梯形中，，易得梯形的高为，即， 可得，设圆的半径为，球的半径为， 在中，，故， 易得，设，则有，解得，则， 在等边三角形中，，则，易得， 所以有，则， 把此棱台补成棱锥， 可发现该棱锥是棱长为3的正四面体． 正四面体的高． 根据正四面体的对称性，可知球应位于棱台下底面的一个角处．因为，所以球的半径为． 所以球的体积为. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是数列的前n项和，． （1）求的通项公式. （2）已知是等差数列的前n项和，且数列也是等差数列. （i）求的公差； （ii）数列满足，，，证明：． 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）， 由于，则，则， 故， 因此， 由于，则， 裂项求和得： 因此，， 因为，故，则. 故原命题得证. 【解析】 【分析】（1）通过给定的和式关系，利用前项和与前项和的差求通项，需注意首项的验证. （2）（i）利用等差数列前项和的表达式，结合新数列也是等差数列的条件，通过二次项系数为零求公差. （ii）通过递推关系化简数列的通项，利用裂项相消法求和，再证明不等式. 【小问1详解】 设. 当时，. 当时，， 化简得：，故. 验证时，，符合条件. 因此，通项公式为. 【小问2详解】 （i）设等差数列的首项为，公差为，则前项和. 数列为等差数列，其通项为： 等差数列的通项应为关于的一次函数， 故二次项系数必须为零： （ii）略 16. 已知向量，，函数． （1）求函数的解析式，并求当时，的值域； （2）若，且，求的值． （3）将函数的图象横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，且图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1），值域 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简，利用正弦函数的单调性求解值域； （2）由，得，结合角的范围求得，又利用两角和的正弦公式结合二倍角公式求解； （3）根据三角函数图像的变换规律可得的表达式，结合的范围求得的值域，结合的单调性即可求得答案. 【小问1详解】 ， 当时，则，所以， 所以的值域为. 【小问2详解】 由（1），，即， 又，则，又， 所以，故， 所以，， . 【小问3详解】 由题意，可得， ，，所以， 且在上单调递增，在上单调递减，，，， 若函数在上恰有一个零点，即方程恰有一根， 所以的取值范围为. 17. 已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 【答案】（1）取中点Q，连接，，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 则， 又平面， 平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点Q，连接，利用基本事实4及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. （3）取中点R，根据平面性质确定较小部分几何体为三棱台，然后利用棱台体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，， ，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 由， ， 又平面的一个法向量为 ， 平面与平面夹角为， 则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为 ； 【小问3详解】 取中点R，由（1）知，所以B，M，N，R四点共面， 所以四边形为梯形， 设，则平面，平面， 所以平面平面， 所以直线，所以直线，直线，直线共点S， 所以为三棱台，显然为体积较小部分， 因为，，高， 所以其体积为： . 18. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的方程. （2）设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点. （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线过定点. 【答案】（1）. （2）（i）2； （ii） 由上知直线， 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，可得. 因为，所以， 设，则， 又，所以， 即. 同理可得. 直线的方程为， 联立直线与椭圆的方程，即， 消去，可得， 所以，则. 直线的方程为， 由对称性可知：若直线过定点，则定点必在轴上. 令，得 ，（将代入即可） 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求得的值. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立可得横坐标差的绝对值的最大值，从而可得面积的最大值；（ii）联立直线与椭圆的方程，将点的坐标用点的坐标表示，同理可将的坐标用点的坐标表示，联立直线与椭圆的方程，将的坐标用点的坐标表示，在直线的方程中令，得到纵截距，化简即可得到定点. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为. 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）如图，由（1）可知. 由题可知直线的斜率存在，设直线， 联立直线与椭圆的方程，即，消去，可得， 则，由，可得，异号， 所以 ， 当且仅当，即时“”成立. 又的面积， 所以的面积， 即面积的最大值为2. （ii）略 19. 已知 （1）设，求的极值． （2）若在上恒成立，求的取值范围． （3）若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明． 【答案】（1）极小值，没有极大值 （2） （3）没有，证明：由（2）可知，在上恒成立， 令，则， 所以， 将上述式子相加得 由于没有上界，故也没有上界. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的极值. （2）构造函数，利用导数以及不等式恒成立的知识求得的取值范围. （3）根据（1）的结论，利用放缩法、综合法证得没有上界. 【小问1详解】 ， 令，解得. 所以在上单调递减； 在上，单调递增； 所以函数有极小值，没有极大值． 【小问2详解】 依题意，在上恒成立， 设，， 当时，单调递增，，不符合题意. 当时，， 令，解得， 即使，在上，单调递增； 在上，单调递减，不符合题意； 当时，单调递减，，符合题意； 综上：. 【小问3详解】 略 【点睛】本题涵盖了导数应用、单调性分析、不等式恒成立及放缩法等知识点，能够有效考查学生的综合能力. 通过不等式在区间上的恒成立条件，构造辅助函数，再利用单调性分析得出适合的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 数据68，70，80，88，89，90，96，98的第30百分位数为（ ）． A. 70 B. 75 C. 80 D. 88 5. 抛物线的准线方程为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 11. 设数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. 对任意的， D. 对任意的， 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中，角A，B，C满足，则的最小值为______． 13. 二项式的展开式中的系数为__________.（用数字作答）. 14. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2．记该棱台内能容纳的最大的球为球，在该棱台内且在球外能容纳的最大的球为球，则球的体积为___________． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是数列的前n项和，． （1）求的通项公式. （2）已知是等差数列的前n项和，且数列也是等差数列. （i）求的公差； （ii）数列满足，，，证明：． 16. 已知向量，，函数． （1）求函数的解析式，并求当时，的值域； （2）若，且，求的值． （3）将函数的图象横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，且图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围． 17. 已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 18. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的方程. （2）设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点. （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线过定点. 19. 已知 （1）设，求的极值． （2）若在上恒成立，求的取值范围． （3）若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $