期中模拟试卷·基础巩固卷（范围：第1章 整式的乘除～第3章 概率初步）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟试卷 （基础巩固卷） 北师大版 考试范围：第1章 整式的乘除~第3章 概率初步；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．上海港口2025年集装箱吞吐量为4900万标准箱，请用科学记数法表示4900万为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 4．若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 7．已知，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．2或 D．10 8．定义一种新的运算：一般地，如果，那么叫做以为底的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且 ，那么会有．求（    ） A．21 B．19 C．17 D．15 9．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（    ）度时，与平行． A． B． C． D． 10．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②④ D．①②④ 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．计算的值等于_________． 12．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 13．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 14．如图，直线，，，的角平分线与的角平分线交于点．则______°； 15．如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，若，则图中阴影部分的面积和为______． 16．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： (1)； (2)； 18．（6分）求相应代数式的值： (1)已知：，，求的值； (2)已知：，求的值． 19．（8分）如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 20．（8分）某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在书画区域的次数 落在书画区域的频率 (1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）； (2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误） (3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？ 21．（10分）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．现有若干块如图所示的正方形或长方形纸片． (1)①借助图1写出一个我们学过的乘法公式：________； ②借助图2直接写出长方形的面积：________； (2)若图2中长方形的面积为50，其中阴影部分的面积为30，求的值； (3)若共有A型纸片10张，B型纸片10张，C型纸片20张，现在用2张A型纸片，x张B型纸片，y张C型纸片按图3所示方法拼成一个大的长方形，则的最大值为________． 22．（10分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 207 334 537 2010 摸到白球的频率 (1)填空：______，______；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是______． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 23．（12分）如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形．    (1)根据图和图，写出，，之间的一个等量关系________． (2)利用（）中的结论解决下列问题，，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求的值．（）． 24．（12分）已知：如图1直线，被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、． ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，则 度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟试卷 （基础巩固卷） 北师大版 考试范围：第1章 整式的乘除~第3章 概率初步；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的基本运算，根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，逐个判断选项即可得到正确结果． 【详解】根据幂的运算法则逐一判断： 对于A，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∵ ，∴ A错误； 对于B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∵，∴ B错误； 对于C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∵ ，∴ C正确； 对于D，幂的乘方，底数不变，指数相乘，∵ ，∴ D错误． 2．上海港口2025年集装箱吞吐量为4900万标准箱，请用科学记数法表示4900万为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将4900万换算为普通整数，再根据科学记数法的要求（，为整数）改写即可得到结果． 【详解】解：4900万． 3．如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内错角的定义判断即可． 【详解】解：由图得，和是内错角的是， 4．若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式为，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，是完全平方形式，不符合平方差公式结构， ∴该选项错误； B、，符合平方差公式结构， ∴该选项正确； C、，不存在完全相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不符合平方差公式结构， ∴该选项错误； D、，是完全平方形式， ∴该选项错误． 5．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 【答案】D 【分析】先判断出试验结果的概率，再逐一分析即可． 【详解】解：由图知，试验结果在附近波动，即其概率． A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故本选项不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面向上的概率是，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项符合题意． 7．已知，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．2或 D．10 【答案】B 【分析】先根据已知条件得到的值，再计算，开方得到的所有可能值，最后代入目标式计算即可． 【详解】解：∵， 展开得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 8．定义一种新的运算：一般地，如果，那么叫做以为底的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且 ，那么会有．求（    ） A．21 B．19 C．17 D．15 【答案】C 【分析】把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 9．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（    ）度时，与平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，都与地面l平行，得，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的判定，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， 要使，则， ， ， ． 10．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，角平分线的性质，垂直的定义以及角的和差，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 但不一定等于，也不一定等于， ∴平分，平分都不一定正确，则③和④都错误； 综上，正确的选项是①②． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．计算的值等于_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方的逆运算进行计算，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 12．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 【答案】 【分析】根据频率稳定在左右，得到概率为，进而得到黑色部分的总面积比上正方形的面积为，进行求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴点落入黑色部分的概率为， ∴黑色部分的总面积． 13．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】由题意得：，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 14．如图，直线，，，的角平分线与的角平分线交于点．则______°； 【答案】 【分析】过点作，过点作，过点作，根据平行线的判定和性质得出，，，，，结合题意求出，，根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，过点作，如图： ∵，，，， ∴， ∴，，，，， ∴， 即， ∴． ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 15．如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，若，则图中阴影部分的面积和为______． 【答案】 【分析】根据阴影部分的面积等于个三角形的面积和，列出代数式并进行化简，最后将整体代入求出结果． 【详解】解：图中阴影部分的面积为， ， ， ， ， ． 将代入，原式． 16．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】过点作，可得，依次计算角度、、、、，即可得出结果． 【详解】解：过点作，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．（6分）求相应代数式的值： (1)已知：，，求的值； (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把转化为，再利用的值求出的值，然后根据，代入数值计算结果； （2）先把等式左右两边都化为以为底的幂，根据同底数幂相等则指数相等列方程求出，再按幂的运算法则化简代数式，最后代入的值计算结果． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ． （2）解：已知， ，， ，解得， ， 当，． 19．（8分）如图，直线与相交于点，，射线在内． (1)当，射线平分时，求的度数； (2)若与互补，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）先由得，结合求出的度数，再由平分，得到的度数，接着通过求出，最后根据对顶角相等，由得到的度数； （2）先由与互补，得，再结合与互为邻补角，根据同角的补角相等推出，同时减去后，得到，从而得到． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． （2）解：．理由如下： 因为与互补， 所以． 因为， 所以． 所以， 即． 所以． 20．（8分）某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在书画区域的次数 落在书画区域的频率 (1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）； (2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误） (3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？ 【答案】(1)295，0.6，0.6， (2)错误 (3)480张 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的乘法计算、频数与频率的关系，熟练掌握频率与概率的关系，以及利用概率进行简单计算是解题的关键． （1）先利用频率公式计算总数，再根据总数和频率求出对应频数与频率；最后用频率估计概率． （2）先判断书画和手工的概率大小，再分别计算两人都得书画奖品、两人都得手工奖品的概率，比较大小后判断正误． （3）用总人数乘以书画奖品的概率，得到送出书画奖品的估计数量． 【详解】（1）解：， 当次数很大时，频率将会接近0.6，获得书画奖品的概率约是0.6， 故答案为：295，0.6，0.6； （2）解：（书画），（手工）， （两人都书画）， （两人都手工）， ， 该说法错误， 故答案为：错误； （3）解：张 答：估计本次义卖活动共送出480张书画奖品． 21．（10分）以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．现有若干块如图所示的正方形或长方形纸片． (1)①借助图1写出一个我们学过的乘法公式：________； ②借助图2直接写出长方形的面积：________； (2)若图2中长方形的面积为50，其中阴影部分的面积为30，求的值； (3)若共有A型纸片10张，B型纸片10张，C型纸片20张，现在用2张A型纸片，x张B型纸片，y张C型纸片按图3所示方法拼成一个大的长方形，则的最大值为________． 【答案】(1)①；② (2)的值为7 (3)28 【分析】（1）①根据图1用两种方法表示大正方形面积即可；②由①同理即可求解； （2）根据题意可得长方形总面积，阴影面积，得，空白面积，则，进而即可求解； （3）由大长方形面积的两种表示，得，，将变形为，列举的取值，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由图可得，图1的大正方形边长为， ∴其面积为， 同时可拆分为1个A型纸片、1个B型纸片、2个C型纸片， ∴乘法公式为：； ②长方形的长为，宽为， ∴其面积为， 同时可拆分为2个A型纸片、2个B型纸片、5个C型纸片， ∴； （2）解：∵长方形总面积为50， ∴， ∵阴影部分面积为30，对应个A型纸片和个B型纸片， ∴， ∴， ∴空白部分面积为，对应个C型纸片， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由图可得，拼成的大长方形面积为， 大长方形长为、宽为， ∴ ， ∴（B型纸片），且；（C型纸片），且， ∴ ， ∴当时，n的值为1至9（当时，，舍去）， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至5， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至3， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至2， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当时，n的值为1至2， ∵要使最大， ∴，， ∴； 当m的值为6至10时，， ∵要使最大， ∴，， ∴； ∴的最大值为． 【点睛】本题核心是数形结合的面积法，通过两种方法计算图形面积建立代数等式，小问3需将合理变形，结合约束条件列举求最值，关键是几何与代数的转化思想． 22．（10分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小颗做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 207 334 537 2010 摸到白球的频率 (1)填空：______，______；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是______． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)，摸到白球的概率估计值为 (2)B (3)需要往盒子里再放入65个白球 【分析】（1）先根据频数和频率的关系求出a、b的值，再通过大量重复实验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此即可求解； （2）先求出每种情况下的概率即可比较可能性大小； （3）先求出原来盒子中的白球有个，设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为，根据题意列方程求出即可． 【详解】（1）解：， 若从盒子里随机摸出一只球，摸到白球的概率估计值为； （2）解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率是． C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是； 故最有可能的是B； （3）解：若盒子中一共有100个球，摸到白球的概率的估计值， 则盒子中的白球有个， 设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入65个白球． 23．（12分）如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形．    (1)根据图和图，写出，，之间的一个等量关系________． (2)利用（）中的结论解决下列问题，，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求的值．（）． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （）利用（）的结论进行解答即可； （）设，，则，根据，图中阴影部分面积为，可得，，由（）可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由（）可得，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设，，则， ∵，图中阴影部分面积为， ∴，， 由（）可得，； ∴， ∵， ∴，即， ∴的值为． 24．（12分）已知：如图1直线，被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线，上，连接、． ① 度； ②若平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，则 度． 【答案】(1)见解析 (2)①360；②，见解析 (3)30 【分析】（1）首先证明，即可证得； （2）①作，由平行线的性质得到，，又因为，结合图形即可求解； ②作，由平行线的性质得到，，得到，同理可证：，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质得到，然后推出，然后结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点E作，如图 ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴． ②结论：．理由如下： 过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3中，设，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $