专题02 复数中的最值与范围5种重难点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题02 复数中的最值与范围问题5种重难点常考题型 题型一：利用复数的类型及复数相等求最值与范围问题 题型二：利用复数的几何意义求最值与范围问题 题型三：利用复数的模求最值与范围问题 题型四：利用复数与其他章节的融合求最值与范围问题 题型五：利用复数与数学文化的融合求最值与范围问题 题型一：利用复数的类型及复数相等求最值与范围问题 1．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2.（多选）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（  ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 3.已知复数，，若z为虚数，则x的取值范围为_________； 4.已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 题型二：利用复数的几何意义求最值与范围问题 5．已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6.已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 7.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 8.已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 9.已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 题型三：利用复数的模求最值与范围问题 10．已知复数满足，当的虚部取最大值时，（  ） A． B． C． D． 11.已知复数，．若， 则的最大值为（  ） A． B． C．1 D． 12.已知复数满足，则复数的模的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 13.设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（  ） A．+i B．+i C．i D．i 14.已知设，则，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 15.已知复数z满足，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C． D． 16.（多选）已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（  ） A．点的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 17.已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是 . 18.若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 19.复数，满足，，则的最小值为 . 20.已知复数满足，则的最小值为_________ . 21.已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 22.已知关于的方程有实数根. (1)求实数的值； (2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值. 题型四：利用复数与其他章节的融合求最值与范围问题 23．已知复数，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 24.复数满足条件，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 25.（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 26.已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为 ． 27.已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 28.已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 题型五：利用复数与数学文化的融合求最值与范围问题 29．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 30.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 31.任何一个复数z=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ＋isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 32.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 33.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 34.（多选）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（  ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 35.在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解． (1)若，且（a，，i是虚数单位），求； (2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 复数中的最值与范围问题5种重难点常考题型 题型一：利用复数的类型及复数相等求最值与范围问题 题型二：利用复数的几何意义求最值与范围问题 题型三：利用复数的模求最值与范围问题 题型四：利用复数与其他章节的融合求最值与范围问题 题型五：利用复数与数学文化的融合求最值与范围问题 题型一：利用复数的类型及复数相等求最值与范围问题 1．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【解析】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 2.（多选）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（  ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 【答案】ACD 【分析】由复数的概念逐项判断即可. 【解析】由题设，，则，， 所以A正确，B错误； 由的根为，故z是该方程的一个根，C正确； 由，则，故最小正整数n为3时，，正确. 故选：ACD 3.已知复数，，若z为虚数，则x的取值范围为_________； 【答案】 【分析】利用复数有相关概念列式求解. 【解析】（由z为虚数，得，解得， 所以x的取值范围为. 故答案为： 4.已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用复数相等条件列式求解. 【解析】复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 题型二：利用复数的几何意义求最值与范围问题 5．已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【解析】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 6.已知复数（i是虚数单位），若z所对应的点在复平面的第二象限内，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义列出不等式组，求解即可得到答案. 【解析】由题意，复数对应的点在第二象限，需满足： 解得且，故的取值范围为. 故答案为：. 7.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复数的几何意义可得，从而求出a的取值范围． 【解析】∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 8.已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)且；(2) 【分析】（1）由虚数的概念列方程求解即可； （2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解. 【解析】（1）因为复数虚数，所以 解得，且 （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解之得，得． 所以实数的取值范围为 9.已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【解析】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 题型三：利用复数的模求最值与范围问题 10．已知复数满足，当的虚部取最大值时，（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，令，由条件可得，代入计算，即可得到结果. 【解析】令，，则，，∴，∴，，∴， 故选：B. 11.已知复数，．若， 则的最大值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】（1）由复数的几何意义，列不等式，即可求解； （2）有复数模的公式，得到，再结合基本不等式，即可求解的最大值. 【解析】（1）由题意知， 解得， 故实数的范围为 ． （2）， 所以， 所以， 故． 当且仅当， 所求最大值为． 故选：A 12.已知复数满足，则复数的模的最小值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果. 【解析】因为，所以．又，所以复数的模的最小值为1． 故选：B. 13.设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（  ） A．+i B．+i C．i D．i 【答案】A 【分析】复数的模转化为距离，是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案． 【解析】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离， 要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点． 点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以． 故对应的复数为． 故选：A 14.已知设，则，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由，可得，再利用复数模的公式求解。 【解析】由，可得，可令， 则 （为锐角，且） 由，可得 则的最小值为3. 故选：A 15.已知复数z满足，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义知点到点和的距离相等，表示点到点的距离，进而问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值。 【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 16.（多选）已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（  ） A．点的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用复数的几何意义即可逐项判断。 【解析】A：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，因此本选项结论正确； B：因为，所以，因此本选项结论正确； C，D：设，在复平面内对应的点为，设 因为，所以点到点的距离为1，因此点是在以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点距离， 因此， ，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确， 故选：ABC 17.已知复数，，如果，那么实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，利用模的计算公式列不等式求解实数a的取值范围. 【解析】，， 又因为，所以，解得. 故答案为： 18.若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果. 【解析】复数满足，即 即复数对应的点到点的距离满足 设，表示复数对应的点到点的距离 数形结合可知的最大值 故答案为： 19.复数，满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【解析】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 20.已知复数满足，则的最小值为_________ . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义知表示复平面内点到与的距离和，进而求解 【解析】设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和； 显然当，即时， 故答案为： 21.已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【解析】（1）若是纯虚数，则，解得； （2） 是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 22.已知关于的方程有实数根. (1)求实数的值； (2)若复数满足，求当为何值时，有最小值，并求出的最小值. 【答案】(1)；(2)当时，有最小值为 【分析】（1）根据复数相等的条件列式可求出结果； （2）设，代入可得复数对应的点的轨迹是圆，根据复数的模的几何意义可求出结果. 【解析】（1）因为是方程的实数根， 所以，即， 所以，解得， （2）设，由，得， 得，整理得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，    当复数对应的点在的延长线上时，取最小值， 因为，圆的半径，所以的最小值为. 此时复数对应的点与关于原点对称，则. 题型四：利用复数与其他章节的融合求最值与范围问题 23．已知复数，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【解析】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 24.复数满足条件，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的模的公式及基本不等式求解。 【解析】由且，得， ∴，整理得， ∴， 当且仅当，即，时，取得最小值. 故选：C 25.（多选）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用复数的几何意义、复数的模的公式及向量知识求解。 【解析】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确； 对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆， 设， 则， 因为，可得，故B正确； 对于C， ，取，显然，但，故C错误； 对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误. 故选：AB. 26.已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【解析】∵复数的实部为2， ∴，即． 则， 当且仅当，即，时取等号， ∴所求最小值为． 故答案为：． 27.已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解， （2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解. 【解析】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. （2）因为 ， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 28.已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)角；(2)；(3) 【分析】(1)利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解 (2)由向量的数量积运算结合两角差的正弦整理，再由角度的范围求出相位范围后即可求出的取值范围 (3)利用向量数量积的坐标运算进行化简等式，转化为和三角函数的表达式，求出三角函数的整体范围后再计算表达式的范围，进而求出最后结果 【解析】（1），，由，得，， 又， （2）由复数的坐标表示得，，， 则，又， ，当时，取最大值为4， 当时，取最小值为， 所以的取值范围为 （3）由题意得，，，， 又，， 化简得，，由小问2的结论可得，， 当，得 恒成立， 当，得，或， 综合所述，的取值范围为 题型五：利用复数与数学文化的融合求最值与范围问题 29．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用复数的模的公式进而求解 【解析】根据题意，，故， 又，故，故的最小值为. 故选：C. 30.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义指知表示点到三顶点、、的距离之和，进而求解 【解析】设，则表示点到三顶点、、的距离之和. 依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则. 此时. 故选：B. 31.任何一个复数z=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ＋isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由棣莫弗定理及复数的相关概念即可求解. 【解析】由棣莫弗定理可得， 因为复数为纯虚数， 所以且， 所以， 得， 因为，所以正整数m的最小值为4， 故选：B 32.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 【答案】D 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【解析】对于A：，则复数为纯虚数，故A错误； 对于B：，因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C：，， ，， 因此的面积为， 因为， 所以面积的最大值为，故C错误； 对于D： ， 所以 ，故D正确. 故选：D 33.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（  ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解析】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 34.（多选）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（  ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】由新定义、复数的概念及几何意义、复数莫得公式逐项判断即可. 【解析】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误； B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确； C：若为虚数，且，设，则， 所以，所以，故C正确； D：设， 根据复数的新定义有， 所以，且， 所以， 所以是， 所以，故D正确； 故选：BCD. 35.在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解． (1)若，且（a，，i是虚数单位），求； (2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】由新定义、复数的概念及相等条件判断即可. 【解析】（1）由z是方程的根，， 解得． 因为，所以，所以， 则， 所以解得 所以． （2）因为，所以． 又， 所以． 因为，， 所以解得， 所以实数t的取值范围为． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $