专题02 整式乘法（期中真题汇编，江苏专用）七年级数学下学期

专题02 整式乘法 4大高频考点概览 考点01 乘法公式的逆用与恒等式证明 考点02 整式乘法与方程、不等式的综合 考点03 整式乘法与拼图面积（数形结合） 考点04 整式乘法与几何最值 一、选择题地 城 考点01 乘法公式的逆用与恒等式证明 1．（2025春•淮安区校级期中）若m2﹣n2＝4，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2025春•常熟市校级月考）已知x+y＝5，x﹣y＝2，则x2﹣y2等于（　　） A．12 B．7 C．10 D．6 3．（2025春•镇江期中）已知a+b＝5，ab＝3，则（a+1）（b+1）＝（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．9 4．（2025春•泰州校级月考）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，下列数中是“幸福数”的是（　　） A．42 B．68 C．126 D．32 5．（2025春•泰州校级月考）下列运算正确的是（　　） A．（m+n）2＝m2+n2 B．﹣2m2•m3＝2m5 C．（﹣a2b）3＝﹣a6b3 D．（b+2a）（a+2b）＝b2﹣4a2 6．（2024秋•如皋市期末）若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式（1﹣x）（1﹣y）的值等于（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 二、填空题 7．18×（3+1）×（32+1）×（34+1）…（364+1）+9＝　 ． 8．（2025春•江苏校级期中）聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x﹣4），由于聪聪将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为5x2﹣34x+24，则这道题的正确结果是 　 　 ． 9．（2025•泰兴市一模）已知x+y＝5，xy＝4，则代数式x2+y2的值为　 　 ． 10．（2025春•南京市秦淮区校级期中）已知，则　 　 ． 11．（2025春•南京市秦淮区期末）若x+y＝m，x﹣y＝n，则xy＝　 　 ．（用含有m，n的式子表示，结果需化简） 12．（2025春•泰州市姜堰区期中）若等式（x﹣s）（3x+t）＝3x2+mx﹣n恒成立．无论t为何值，2m+3n的值始终为一个定值，则这个定值为　 　 ． 13．（2025春•扬州市仪征市期中）若（x+3）（x2+9）（x﹣3）＝xn﹣81，则n＝　 　 ． 三、详解题 14．（2025春•镇江市丹阳市期中）回答下列问题： （1）计算： ①（x+2）（x+3）＝ 　 ； ②（x+2）（x﹣3）＝ 　 ； ③（x﹣2）（x+3）＝ 　 ． （2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+　 　 x+ab； （3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+7．求m的所有可能值． 15．（2025秋•江苏省校级期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： （1）【观察】①（x﹣1）（x+1）＝ 　 ； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝　 ： ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 ；……… （2）【猜想】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝　 ； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值． 16．（2025春•镇江市期末）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数． （1）A•B+13的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除． 地 城 考点02 整式乘法与方程、不等式的综合 一、选择题 1．（2025春•常州校级期中）在运用乘法公式计算（x﹣y）（﹣x+y）时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣y）2 B．（x﹣y）（x+y） C．（y﹣x）（y+x） D．﹣（x﹣y）2 2．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 3．（2025春•邗江区校级期中）若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则mn的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．10 D．﹣10 4．（2025春•锡山区期末）若（x+a）（bx﹣2）展开后不含x的一次项，且常数项为﹣2，则a+b的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 5．（2025春•秦淮区校级期中）若（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，则a2+b2的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 6．（2025秋•江阴市期末）（x+m）与（x﹣3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 　 　 ． 7．（2025春•宿迁市期中）若M＝20252﹣2024×2026，N＝20252﹣4050×2026+20262，则M　 　 N（填“＞”“＜”或“＝”）． 8．（2025春•淮安市校级月考）若（x﹣m）（x+2）＝x2+nx﹣8，则m﹣n的值为　 　 ． 9．（2025春•南京市建邺区校级期中）若x2﹣5x﹣2＝0，则（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝　 　 ． 10．（2025春•苏州市姑苏区期末）已知a2﹣a＝10，那么代数式（a+3）（a﹣4）的值为 　 　 ． 11．（2025春•扬州市期中）若（y2+ay）（2y﹣4）的结果中不含y2项，则a的值为 　 　 ． 12．（2025春•泰州市姜堰区期末）若（x﹣5）（x+3）＝x2﹣mx﹣15，则m为 　 　 ． 13．（2025春•扬州市期末）若（x﹣3）2+（x﹣7）2＝30，则（x﹣5）2的值为　 　 ． 14.（2025春•扬州市期末）设M＝（x+3）（x﹣7），N＝（x+1）（x﹣5），则M与N的大小关系为 ． 3、 详解题 15．（2025春•扬州市邗江区期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将4块小长方形拼成一个如图2的“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒等式　 ． （2）利用（1）中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若xy＝4，x+y＝6，则（x﹣y）2＝　 　 ； 【类比应用】②若x满足（x﹣2）（5﹣x）＝2，求（2x﹣7）2的值． 【知识迁移】 （3）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，E，D分别是AB，AC上的点，其中∠ABC＝90°，∠AED＝90°，EB＝2，△ADB的面积是，求梯形EBCD的面积． 地 城 考点03 整式乘法与拼图面积（数形结合） 一、选择题 1．（2025春•江阴市期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、b（a＞b），现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（　　） A．29 B．25 C．18 D．24 2．（2025春•无锡市锡山区期中）将如图1的5张长为3，宽为1的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，则S1﹣S2的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 3．（2025春•南京市校级期末）我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 二、填空题 4．（2025秋•江苏省校级月考）如图，在一个长为（4m+n），宽为（m+4n）的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 　 ． 5．（2025秋•江苏省校级月考）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 　 　 ． 6．（2025春•江阴市校级月考）如图，长方形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH．若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17cm2，则长方形ABCD的面积是 　 cm2． 7．（2025春•扬州市校级月考）如图，若要拼一个长为2a+b、宽为3a+2b的长方形，则需要C类纸片的张数为　 　 ． 8．（2025春•南京市鼓楼区期末）如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是 ． 三、详解题 9．（2025春•泰州市靖江市校级月考）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请详解下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 ． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： ①若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝36，求a2+b2+c2的值； ②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝16，x2+4y2+9z2＝56，求2xy﹣3xz﹣6yz的值． 10．（2025春•苏州市工业园区校级期中）将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形ABCD和正方形EFGH． 观察与发现 （1）请你观察图2直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系式为 　 ； 运用与探究 （2）根据（1）的结论，解决下列问题：2x+3y＝7，xy＝2，求2x﹣3y的值； 实践与拓展 （3）将两个正方形ABCD、EFGH按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，BE＝4，求图中阴影部分面积和． 11．（2025春•苏州市工业园区校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作可以得到一个公式： 　 ； （2）利用你得到的公式，计算下列各式： ①20252﹣2024×2026； ②102﹣92+82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12． 12．（2025春•宿迁市校级月考）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论． 初步应用 （1）如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：　（ （用图中字母表示）；如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：　 　 （用图中字母表示）． 深入探究 （2）仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）2； 拓展延伸 借助以上探究经验，解决下列问题： （3）若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m＝y+n＝z+p＝t，请通过构造图形比较px+my+nz与t2的大小（画出图形，并说明理由）． 13．（2025春•泰州市期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，在学习《整式乘法》时，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 【课本回顾】如图1，验证的是多项式乘以多项式的法则（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，当把法则中的字母特殊化，使得b＝d时，如图2，得到公式（a+d）（c+d）＝_____________ ； 【自主探究】如图3，4个完全相同的长方形围成一个正方形．用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积，代数式1：　 ，代数式2：　 ；根据代数式1、2，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立的理由． 【知识运用】若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的关系式，计算（2x+3y）2的值； 【知识延伸】已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值． 地 城 考点04 整式乘法与几何最值 一、选择题 1．（2025•南京模拟）当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 2．（2025春•江阴市校级月考）若三角形的底边长为4a+1，该底边上的高为4a﹣1，则此三角形的面积为（　　） A． B．16a2﹣8a﹣1 C．16a2+16a+1 D．16a2﹣1 二、填空题 3.（2025春•镇江市期末）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，△CDB的面积为3.5，则AB的长为 　 　 ． 4．（2025春•盐城市月考）如图，点D是线段AE上一点，以AD，DE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AE＝10，两个正方形的面积之和S1+S2＝60，则△CDE的面积为 　 　 ． 5.（2025春•兴化市期中）小明同学在计算（a1x+b1）（a2x+b2）时发现一次项（a1b2+a2b1）x可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算（2x+1）（x+2）时一次项为2x•2+x•1＝5x．仿照小明的方法，计算（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为 　 　 （用含n的代数式表示）． 6.（2025春•扬州市期末）如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接AE，DG，EG．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为　 　 ． 7．（2025春•南京市建邺区校级期末）如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP、PB为边，在线段AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．若AP＝m，BP＝n，m+n＝6，mn＝7，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 三、详解题 8．（2025秋•南京市期末）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大； ②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若0＜a＜b，则　 　 组同学的想法正确．（填“①”或“②”） 9．（2025春•南京市江宁区校级月考）如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG拼在一起，其中a＞b，B，C，E三点在同一直线上．设图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2． （1）试通过计算说明，S1的值与a的大小无关； （2）①S2＝　 （用含a，b的代数式表示）； ②若a﹣b＝2，a2+b2＝7，则的值为　 　 ． 10．（2025春•泰州市校级月考）一个正方形边长为m+4（m为常数且m＞0），记它的面积为S1，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为S2． （1）求S2（用含m的代数式表示）； （2）小丽说无论m为何值，S1和S2的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ （3）将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为S3，若存在常数a，使得不论m为何值，S2﹣S3﹣am始终是一个定值，求a的值． 11．（2025春•宿迁市校级期中）【探索】（1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　 ；根据（1）的结论，若x+y＝4，xy＝1，则（x﹣y）2的值是　 　 ． 【应用】（2）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED 和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，AC＝16米，求种草区域的面积和． 【拓展】（3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为a，宽为b）拼成如图4所示的大长方形，记长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2，若不论AB的长为何值时，S1﹣S2永远为定值，求a与b之间的数量关系． 2 / 8 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C．（﹣a2b）3＝﹣a6b3 D．（b+2a）（a+2b）＝b2﹣4a2 【答案】C 【分析】根据完全平方公式，单项式乘单项式，积的乘方，多项式乘多项式进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：根据完全平方公式，单项式乘单项式，积的乘方，多项式乘多项式逐项分析判断如下： A、（m+n）2＝m2+2mn+n2≠m2+n2，故该选项不符合题意； B、﹣2m2•m3＝﹣2m5≠2m5，故该选项不符合题意； C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故该选项符合题意； D、（b+2a）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab≠b2﹣4a2，故该选项不符合题意； 故选C． 6．（2024秋•如皋市期末）若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式（1﹣x）（1﹣y）的值等于（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再变形，最后求出答案即可． 【详解】解：∵x+y＝1，xy＝﹣2， ∴（1﹣x）（1﹣y） ＝1﹣y﹣x+xy ＝1﹣（x+y）+xy ＝1﹣1+（﹣2） ＝﹣2， 故选A． 二、填空题 7．18×（3+1）×（32+1）×（34+1）…（364+1）+9＝　 ． 【答案】3130 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式＝9×（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）…（364+1）+9 ＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）…（364+1）×9+9 ＝（34﹣1）×（34+1）…（364+1）×9+9 ＝（364﹣1）（364+1）×9+9 ＝（3128﹣1）×9+9 ＝9×（3128﹣1+1） ＝32×3128 ＝3130． 故答案为3130． 8．（2025春•江苏校级期中）聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x﹣4），由于聪聪将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为5x2﹣34x+24，则这道题的正确结果是 　 　 ． 【答案】5x2+26x﹣24 【分析】根据题意，按照多项式乘多项式的计算方法，将（x﹣m）（5x﹣4）展开得5x2﹣（4+5m）x+4m＝5x2﹣34x+24，然后求出m＝6，将m＝6代入正确式子得（x+6）（5x﹣4）展开得（x+6）（5x﹣4）＝5x2+26x﹣24，据此详解． 【详解】解：（x﹣m）（5x﹣4） ＝5x2﹣4x﹣5mx+4m ＝5x2﹣（4+5m）x+4m， ＝5x2﹣34x+24； 所以4+5m＝34，4m＝24， 即m＝6， （x+m）（5x﹣4） ＝（x+6）（5x﹣4） ＝5x2﹣4x+30x﹣24 ＝5x2+26x﹣24． 故答案为5x2+26x﹣24． 9．（2025•泰兴市一模）已知x+y＝5，xy＝4，则代数式x2+y2的值为　 　 ． 【答案】17 【分析】由x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，再代入x+y＝5，xy＝4计算即可． 【详解】解：x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝52﹣2×4 ＝25﹣8 ＝17， 故答案为17． 10．（2025春•南京市秦淮区校级期中）已知，则　 　 ． 【答案】7 【分析】将两边分别平方，从而可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴， 故答案为7． 11．（2025春•南京市秦淮区期末）若x+y＝m，x﹣y＝n，则xy＝　 　 ．（用含有m，n的式子表示，结果需化简） 【答案】 【分析】将x+y＝m，x﹣y＝n两边分别乘方并利用完全平方差展开，然后将两式相减求得xy的值即可． 【详解】解：∵x+y＝m，x﹣y＝n， ∴（x+y）2＝m2，（x﹣y）2＝n2， ∴x2+2xy+y2＝m2①，x2﹣2xy+y2＝n2②， ①﹣②得：4xy＝m2﹣n2， 则xy， 故答案为：． 12．（2025春•泰州市姜堰区期中）若等式（x﹣s）（3x+t）＝3x2+mx﹣n恒成立．无论t为何值，2m+3n的值始终为一个定值，则这个定值为　 　 ． 【答案】4 【分析】利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项可得3x2+（t﹣3s）x﹣st＝3x2+mx﹣n，则m＝t﹣3s，n＝st，然后用含s，t的代数式表示出2m+3n后并整理，根据无论t为何值，2m+3n的值始终为一个定值求得s的值，进而求得答案． 【详解】解：（x﹣s）（3x+t） ＝3x2+tx﹣3sx﹣st ＝3x2+（t﹣3s）x﹣st ＝3x2+mx﹣n， 则m＝t﹣3s，n＝st， 那么2m+3n＝2t﹣6s+3st＝（3s+2）t﹣6s， ∵无论t为何值，2m+3n的值始终为一个定值， ∴3s+2＝0， 解得：s， 则（3s+2）t﹣6s＝0﹣6×（）＝4， 即这个定值为4， 故答案为4． 13．（2025春•扬州市仪征市期中）若（x+3）（x2+9）（x﹣3）＝xn﹣81，则n＝　 　 ． 【答案】4 【分析】利用平方差公式计算后即可求得答案． 【详解】解：（x+3）（x2+9）（x﹣3） ＝（x+3）（x﹣3）（x2+9） ＝（x2﹣9）（x2+9） ＝x4﹣81， 则n＝4， 故答案为4． 三、详解题 14．（2025春•镇江市丹阳市期中）回答下列问题： （1）计算： ①（x+2）（x+3）＝ 　 ； ②（x+2）（x﹣3）＝ 　 ； ③（x﹣2）（x+3）＝ 　 ． （2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+　 　 x+ab； （3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+7．求m的所有可能值． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+7，结合a、b都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①（x+2）（x+3） ＝x2+2x+3x+6 ＝x2+5x+6． ②（x+2）（x﹣3） ＝x2﹣3x+2x﹣6 ＝x2﹣x﹣6． ③（x﹣2）（x+3） ＝x2+3x﹣2x﹣6 ＝x2+x﹣6． 故答案为：①x2+5x+6；②x2﹣x﹣6；③x2+x﹣6； （2）原式＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab． 故答案为：（a+b）； （3）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+7， ∴m＝a+b，ab＝7， ∵a、b都是整数，7＝1×7＝（﹣1）×（﹣7）， ∴或或或， ∴m＝a+b＝1+7＝8或m＝a+b＝﹣1﹣7＝﹣8． 15．（2025秋•江苏省校级期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： （1）【观察】①（x﹣1）（x+1）＝ 　 ； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝　 ： ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 ；……… （2）【猜想】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝　 ； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值． 【分析】（1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）设x＝5，n＝2024，则（5﹣1）（52024+52023+52022+⋯+5+1）＝52025﹣1，即可求解． 【详解】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x（x2+x+1）﹣（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x（x3+x2+x+1）﹣（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， 故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1； （2）由（1）得，（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1， 故答案为：xn+1﹣1； （3）设x＝5，n＝2024， 根据（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1 则（5﹣1）（52024+52023+52022+⋯+5+1）＝52025﹣1， ∴． 16．（2025春•镇江市期末）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数． （1）A•B+13的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除． 【分析】（1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据平方差公式解析计算得出A2﹣B2＝24t即可求解． 【详解】（1）解：A•B+13的值不可能为负数，理由如下： ∵A•B+13＝（2t+3）（2t﹣3）+13＝4t2﹣9+13＝4t2+4， ∴4t2≥0， ∴4t2+4＞0 ∴A•B+13的值不可能为负数； （2）证明：A2﹣B2＝（2t+3）2﹣（2t﹣3）2＝24t， ∵t是整数， ∴24t一定能被24整除， ∴当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除． 地 城 考点02 整式乘法与方程、不等式的综合 一、选择题 1．（2025春•常州校级期中）在运用乘法公式计算（x﹣y）（﹣x+y）时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣y）2 B．（x﹣y）（x+y） C．（y﹣x）（y+x） D．﹣（x﹣y）2 【答案】D 【分析】把原式提出负号进行变形即可求出． 【详解】解：原式＝﹣（x﹣y）（x﹣y） ＝﹣（x﹣y）2． 故选D． 2．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 【答案】A 【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可． 【详解】解：M﹣N＝（x﹣3）（x﹣4）﹣[（x﹣1）（x﹣6）+4] ＝x2﹣7x+12﹣（x2﹣7x+10） ＝x2﹣7x+12﹣x2+7x﹣10， ＝2＞0， ∴M＞N． 故选A． 3．（2025春•邗江区校级期中）若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则mn的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．10 D．﹣10 【答案】C 【分析】根据多项式的乘法法则展开对比得到n+3＝m，3n＝﹣15，求出m、n的值，即可得到答案． 【详解】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（n+3）x+3n，（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15， ∴n+3＝m，3n＝﹣15， 解得m＝﹣2，n＝﹣5． ∴mn＝（﹣2）×（﹣5）＝10， 故选C． 4．（2025春•锡山区期末）若（x+a）（bx﹣2）展开后不含x的一次项，且常数项为﹣2，则a+b的值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则把（x+1）（bx﹣2）展开，再根据（x+a）（bx﹣2）展开后不含x的一次项，且常数项为﹣2，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入a+b即可． 【详解】解：（x+a）（bx﹣2） ＝bx2﹣2x+abx﹣2a ＝bx2+（ab﹣2）x﹣2a， ∵（x+a）（bx﹣2）展开后不含x的一次项，且常数项为﹣2， ∴， 由①得：a＝1， 把a＝1代入b＝2， ∴a+b＝1+2＝3， 故选A． 5．（2025春•秦淮区校级期中）若（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，则a2+b2的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据完全平方公式得到a2+2ab+b2＝10①，a2﹣2ab+b2＝2②，然后把两个等式相加即可得出结论． 【详解】解：由题意可得：a2+2ab+b2＝10①，a2﹣2ab+b2＝2②， ①+②得，2a2+2b2＝12， ∴a2+b2＝6， 故选A． 二、填空题 6．（2025秋•江阴市期末）（x+m）与（x﹣3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为 　 　 ． 【答案】3 【分析】先展开．再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解：（x+m）•（x﹣3） ＝x2﹣3x+mx﹣3m ＝x2+（m﹣3）x﹣3m， ∵（x+m）与（x﹣3）的乘积中不含x的一次项， ∴m﹣3＝0， ∴m＝3． 故答案为3． 7．（2025春•宿迁市期中）若M＝20252﹣2024×2026，N＝20252﹣4050×2026+20262，则M　 　 N（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＝ 【分析】将M，N分别利用平方差公式及完全平方公式计算后比较大小即可． 【详解】解：M＝20252﹣2024×2026 ＝20252﹣（2025﹣1）×（2025+1） ＝20252﹣20252+1 ＝1， N＝20252﹣4050×2026+20262 ＝20252﹣2×2025×2026+20262 ＝（2025﹣2026）2 ＝1， 则M＝N， 故答案为＝． 8．（2025春•淮安市校级月考）若（x﹣m）（x+2）＝x2+nx﹣8，则m﹣n的值为　 　 ． 【答案】6 【分析】将（x﹣m）（x+2）利用多项式乘多项式法则展开后求得n，n的值，然后将其代入m﹣n中计算即可． 【详解】解：（x﹣m）（x+2） ＝x2+2x﹣mx﹣2m ＝x2+（2﹣m）x﹣2m ＝x2+nx﹣8， 则2m＝8，n＝2﹣m， 解得：m＝4，n＝﹣2， 那么m﹣n＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6， 故答案为6． 9．（2025春•南京市建邺区校级期中）若x2﹣5x﹣2＝0，则（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝　 　 ． 【答案】48 【分析】由已知条件易得x2﹣5x＝2，将原式分组为[（x﹣1）（x﹣4）][（x﹣2）（x﹣3）]，然后利用多项式乘多项式法则计算后再代入数值计算即可． 【详解】解：∵x2﹣5x﹣2＝0， ∴x2﹣5x＝2， ∴（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4） ＝[（x﹣1）（x﹣4）][（x﹣2）（x﹣3）] ＝（x2﹣5x+4）（x2﹣5x+6） ＝（2+4）×（2+6） ＝6×8 ＝48， 故答案为48． 10．（2025春•苏州市姑苏区期末）已知a2﹣a＝10，那么代数式（a+3）（a﹣4）的值为 　 　 ． 【答案】-2 【分析】根据多项式乘多项式法则去掉括号，再合并同类项进行化简，然后把a2﹣a＝10代入进行计算即可． 【详解】解：∵a2﹣a＝10， ∴（a+3）（a﹣4） ＝a2﹣4a+3a﹣12 ＝a2﹣a﹣12 ＝10﹣12 ＝﹣2， 故答案为﹣2． 11．（2025春•扬州市期中）若（y2+ay）（2y﹣4）的结果中不含y2项，则a的值为 　 　 ． 【答案】2 【分析】现对原式展开，再进行合并同类项，最后是y2项的系数为0即可求得． 【详解】解：（y2+ay）（2y﹣4） ＝2y3﹣4y2+2ay2﹣4ay ＝2y3+（2a﹣4）y2﹣4ay， ∵（y2+ay）（2y﹣4）的结果中不含y2项， ∴2a﹣4＝0， ∴a＝2． 故答案为2． 12．（2025春•泰州市姜堰区期末）若（x﹣5）（x+3）＝x2﹣mx﹣15，则m为 　 　 ． 【答案】2 【分析】根据多项式乘多项式法则计算（x﹣5）（x+3），然后根据已知条件求出m． 【详解】解：（x﹣5）（x+3） ＝x2+3x﹣5x﹣15 ＝x2﹣2x﹣15， ∵（x﹣5）（x+3）＝x2﹣mx﹣15， ∴m＝2， 故答案为2． 13．（2025春•扬州市期末）若（x﹣3）2+（x﹣7）2＝30，则（x﹣5）2的值为　 　 ． 【答案】11 【分析】利用完全平方公式将已知条件展开后计算可得x2﹣10x＝﹣14，然后将（x﹣5）2展开后代入数值计算即可． 【详解】解：∵（x﹣3）2+（x﹣7）2＝30， ∴x2﹣6x+9+x2﹣14x+49＝30， ∴2x2﹣20x＝﹣28， 则x2﹣10x＝﹣14， 那么（x﹣5）2 ＝x2﹣10x+25 ＝﹣14+25 ＝11， 故答案为11． 14.（2025春•扬州市期末）设M＝（x+3）（x﹣7），N＝（x+1）（x﹣5），则M与N的大小关系为 ． 【答案】M＜N 【分析】利用作差法求出M﹣N的结果即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知， M﹣N＝（x+3）（x﹣7）﹣（x+1）（x﹣5） ＝x2+3x﹣7x﹣21﹣（x2+x﹣5x﹣5） ＝x2+3x﹣7x﹣21﹣x2﹣x+5x+5 ＝﹣16＜0， ∴M＜N． 故答案为M＜N． 3、 详解题 15．（2025春•扬州市邗江区期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将4块小长方形拼成一个如图2的“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒等式　 ． （2）利用（1）中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若xy＝4，x+y＝6，则（x﹣y）2＝　 　 ； 【类比应用】②若x满足（x﹣2）（5﹣x）＝2，求（2x﹣7）2的值． 【知识迁移】 （3）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，E，D分别是AB，AC上的点，其中∠ABC＝90°，∠AED＝90°，EB＝2，△ADB的面积是，求梯形EBCD的面积． 【分析】（1）根据题意用两种方式表达空白部分的面积，即可得到恒等式； （2）①根据（1）得到的恒等式直接代入求值即可； ②先运用整体思想，把x﹣2，5﹣x看着一个整体，得到完全平方公式变形的形式即可求解； （3）根据题意得到各个部分的值，最后根据变形求出答案即可． 【详解】解：（1）由题意和图可知，整个正方形的面积为（a+b）2，阴影部分的面积为（a﹣b）2，所以空白部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2， 空白部分的面积还可以表示为4ab， 则恒等式为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）①∵xy＝4，x+y＝6， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣16＝20， 故答案为：20； ②令a＝x﹣2，b＝5﹣x， 由题意可知a+b＝3，a﹣b＝（x﹣2）﹣（5﹣x）＝2x﹣7， ∴（a﹣b）2＝（2x﹣7）2， ∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴9﹣（a﹣b）2＝8， ∴（a﹣b）2＝1， ∴（2x﹣7）2＝1， （3）设AE＝ED＝m，AB＝BC＝n， 由题意可知n﹣m＝2，， ∴mn＝15， ∵（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn， ∴（m+n）2﹣4＝60， ∴（m+n）2＝64， ∴m+n＝8（负值已舍去）， ∴梯形的面积为：， 答：梯形EBCD的面积为8． 地 城 考点03 整式乘法与拼图面积（数形结合） 一、选择题 1．（2025春•江阴市期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、b（a＞b），现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（　　） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】根据图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．可得（a﹣b）2＝1，（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，进而求出a﹣b，ab，再根据（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab求出a+b的值，用代数式表示图3中阴影部分的面积代入计算即可． 【详解】解：∵图1中阴影部分的面积为1． ∴（a﹣b）2＝1， 即a﹣b＝1，a﹣b＝﹣1（舍去）， ∵图2中阴影部分的面积为12． ∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝12， 即ab＝6， ∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25， ∴a+b＝5，a+b＝﹣5（舍去）， ∴图3中阴影部分的面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2 ＝4a2+4ab+b2﹣3a2﹣2b2 ＝a2﹣b2+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝5×1+4×6 ＝29． 故选A． 2．（2025春•无锡市锡山区期中）将如图1的5张长为3，宽为1的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，则S1﹣S2的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，分别表示出两个长方形的长、宽，由得到AD＝BC，得到AF﹣GC＝1，从而表示出S1﹣S2，得到结果． 【详解】解：∵图1的5张长为3，宽为1的小长方形， ∴AE＝3，NG＝3，AD＝AF+FD＝AF+2，BC＝BG+GC＝3+GC， ∵AD＝BC， ∴AF+2＝3+GC， 即AF﹣GC＝1， ∴S1＝AE•AF＝3AF，S2＝NG•GC＝3GC， ∴S1﹣S2＝3AF﹣3GC＝3（AF﹣GC）＝3， 故选D． 3．（2025春•南京市校级期末）我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】C 【分析】根据左边图形的面积等于右边图形的面积列式整理即可得解． 【详解】解：左边图形的面积：（a﹣b）（a+b）， 右边图形的面积：a2﹣b2， ∴（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2， 故选C． 二、填空题 4．（2025秋•江苏省校级月考）如图，在一个长为（4m+n），宽为（m+4n）的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 　 ． 【答案】4m2+17mn 【分析】用长方形木板的面积减去4个边长为n的正方形面积即可得到答案． 【详解】解：阴影部分面积为：（4m+n）（m+4n）﹣4n2 ＝4m2+mn+16mn+4n2﹣4n2 ＝4m2+17mn． 故答案为4m2+17mn． 5．（2025秋•江苏省校级月考）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 　 　 ． 【答案】95 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由题意可得（a﹣b）2＝5，2ab＝45，由（a+b）2＝a2+2ab+b2代入计算即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1中阴影正方形的边长为a﹣b， ∴面积为（a﹣b）2＝5， ∵图2中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝45， ∴a2﹣2ab+b2＝a2﹣45+b2＝5， ∴a2+b2＝50， ∴图2中大正方形的面积为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝50+45＝95． 故答案为95． 6．（2025春•江阴市校级月考）如图，长方形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH．若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17cm2，则长方形ABCD的面积是 　 cm2． 【答案】4 【分析】设AB＝xcm，CD＝ycm，根据题意列代数表示长方形的面积求解． 【详解】解：设AB＝xcm，CD＝ycm，则x+y＝5， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25， 由题意得：x2+y2＝17， ∴2xy＝8， ∴xy＝4， 故答案为4． 7．（2025春•扬州市校级月考）如图，若要拼一个长为2a+b、宽为3a+2b的长方形，则需要C类纸片的张数为　 　 ． 【答案】7 【分析】先求出拼成的长方形的面积，为（2a+b）×（3a+2b）＝6a2+7ab+2b2，因为C类纸片的面积是a×b＝ab，所以需要C类纸片的张数为7ab÷ab＝7，据此详解． 【详解】解：A类纸片的面积是a×a＝a2， B类纸片的面积是b×b＝b2， C类纸片的面积是a×b＝ab， （2a+b）×（3a+2b） ＝6a2+4ab+3ab+2b2 ＝6a2+7ab+2b2， 7ab÷ab＝7， 答：需要C类纸片的张数为7． 故答案为7． 8．（2025春•南京市鼓楼区期末）如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是 ． 【答案】a2+8a 【分析】用代数式表示所拼成的长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：拼成的长方形的长为a+4+4＝a+8，宽为a，所以面积为a（a+8）＝a2+8a． 故答案为：a2+8a． 三、详解题 9．（2025春•泰州市靖江市校级月考）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请详解下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 ． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： ①若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝36，求a2+b2+c2的值； ②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝16，x2+4y2+9z2＝56，求2xy﹣3xz﹣6yz的值． 【分析】（1）通过不同的方法计算图2中几何图形的面积即可建立等式； （2）①由已知可得（a+b+c）2＝100，2ab+2ac+2bc＝72，再利用（1）中得到的结论计算即可求解； ②由已知可得2x+2y﹣3z＝24，即得x+2y﹣3z＝4，进而得到（x+2y﹣3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz）＝16，即可得到2（2xy﹣3xz﹣6yz）＝16﹣（x2+4y2+9z2）＝﹣40，即可求解． 【详解】解：（1）根据图2可知，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∴a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac） ＝102﹣2×36 ＝100﹣72 ＝28； ②∵2x×4y÷8z＝16， ∴2x×22y÷23z＝24， 即2x+2y﹣3z＝24， ∴x+2y﹣3z＝4， ∴（x+2y﹣3z）2 ＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz） ＝16， 又∵x2+4y2+9z2＝56， ∴2（2xy﹣3xz﹣6yz） ＝16﹣（x2+4y2+9z2） ＝16﹣56 ＝﹣40， ∴2xy﹣3xz﹣6yz＝﹣20． 10．（2025春•苏州市工业园区校级期中）将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形ABCD和正方形EFGH． 观察与发现 （1）请你观察图2直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系式为 　 ； 运用与探究 （2）根据（1）的结论，解决下列问题：2x+3y＝7，xy＝2，求2x﹣3y的值； 实践与拓展 （3）将两个正方形ABCD、EFGH按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，BE＝4，求图中阴影部分面积和． 【分析】（1）用代数式表示图2中各个部分的面积即可； （2）根据（2x﹣3y）2＝（2x+3y）2﹣24xy进行计算即可； （3）设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b，由题意得，a﹣b＝4，a2+b2＝106，根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，求出ab，再根据（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab求出a+b，由S阴影＝S△BCF+S△DFG（a+b）（a﹣b）代入计算即可． 【详解】解：（1）图2整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，四个长方形的面积和为4ab， 所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）∵2x+3y＝7，xy＝2， ∴（2x﹣3y）2＝（2x+3y）2﹣24xy＝49﹣48＝1， ∴2x﹣3y＝±1； （3）设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b，由题意得， a﹣b＝AB﹣AE＝BE＝4，a2+b2＝106， ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即16＝106﹣2ab， ∴ab＝45， 又∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝16+180＝196，而a＞b＞0， ∴a+b＝14， ∴S阴影＝S△BCF+S△DFG a（a﹣b）b（a﹣b） （a+b）（a﹣b） 14×4 ＝28． 11．（2025春•苏州市工业园区校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作可以得到一个公式： 　 ； （2）利用你得到的公式，计算下列各式： ①20252﹣2024×2026； ②102﹣92+82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12． 【分析】（1）用代数式表示图1剩余部分的面积以及图2的面积即可； （2）①根据平方差公式将原式化为20252﹣（2025﹣1）（2025+1）即可； ②分组后，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）图1中从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）①原式＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣20252+1＝1；②（102﹣92）+（82﹣72）+（62﹣52）+（42﹣32）+（22﹣12） ＝（10﹣9）（10+9）+（8﹣7）（8+7）+（6﹣5）（6+5）+（4﹣3）（4+3）+（2﹣1）（2+1） ＝10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 ＝55． 12．（2025春•宿迁市校级月考）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论． 初步应用 （1）如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：　（ （用图中字母表示）；如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：　 　 （用图中字母表示）． 深入探究 （2）仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）2； 拓展延伸 借助以上探究经验，解决下列问题： （3）若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m＝y+n＝z+p＝t，请通过构造图形比较px+my+nz与t2的大小（画出图形，并说明理由）． 【分析】（1）根据长方形的面积可得结论；图中大正方形的面积可以用正方形的面积公式来求，也可把正方形分成四个小图形分别求出面积再相加，即可详解 （2）直接作图即可得出（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac成立； （3）作图即可得结论． 【详解】解：（1）图1整体上是长为a+b，宽为c+d的长方形，因此面积为（a+b）（c+d），拼成图1的四个部分的面积和为ac+ad+bc+bd， 所以有（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd， 图1整体上是边长为a+b，因此面积为（a+b）2，拼成图2的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）如图， 整体上是边长为a+b+c的正方形， 则面积为（a+b+c）2， 拼成图3的九个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （3）如图， px+my+nz＜t2，理由如下： 由图知，大正方形的边长为x+m＝y+n＝z+p＝t，则面积为t2， 故px+my+nz＜t2． 13．（2025春•泰州市期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，在学习《整式乘法》时，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 【课本回顾】如图1，验证的是多项式乘以多项式的法则（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，当把法则中的字母特殊化，使得b＝d时，如图2，得到公式（a+d）（c+d）＝_____________ ； 【自主探究】如图3，4个完全相同的长方形围成一个正方形．用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积，代数式1：　 ，代数式2：　 ；根据代数式1、2，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立的理由． 【知识运用】若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的关系式，计算（2x+3y）2的值； 【知识延伸】已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值． 【分析】【课本回顾】用两种方法表示图2的面积即可； 【自主探究】用两种方法表示图3的面积即可； 【知识运用】根据【自主探究】的结论进行计算即可； 【知识延伸】设a＝x﹣2013，b＝x﹣2025，由题意得a﹣b＝2，a2+b2＝10，根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2可求出ab的值，再根据（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，求出（a+b）2，再根据（x﹣2024）2＝[（a+b）]2进行计算即可． 【详解】解：【课本回顾】 图2整体上长为a+d，宽为c+d的长方形，因此面积为（a+d）（c+d），拼成图2的四个部分的面积和为ac+ad+cd+d2， 所以有（a+d）（c+d）＝ac+ad+cd+d2， 故答案为：ac+ad+cd+d2； 【自主探究】 方法1：图3整体上长为a+b正方形，因此面积为（a+b）2，中间空白小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，阴影部分可以看作这两个正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，方法2：图3的四个阴影部分的面积为4ab，所以有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2，4ab；验证的乘法公式为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； 【知识运用】 ∵2x﹣3y＝5，xy＝1， ∴（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+24xy ＝25+24 ＝49； 【知识延伸】 设a＝x﹣2013，b＝x﹣2025，则a﹣b＝2，a2+b2＝（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10， ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴4＝10﹣2ab， 解得ab＝3， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+12＝16， ∵a＝x﹣2013，b＝x﹣2025， ∴（a+b）＝x﹣2024， ∴（x﹣2024）2＝[（a+b）]24． 地 城 考点04 整式乘法与几何最值 一、选择题 1．（2025•南京模拟）当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而求出答案． 【详解】解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）] ＝8n， 故当n是正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数． 故选D． 2．（2025春•江阴市校级月考）若三角形的底边长为4a+1，该底边上的高为4a﹣1，则此三角形的面积为（　　） A． B．16a2﹣8a﹣1 C．16a2+16a+1 D．16a2﹣1 【答案】A 【分析】根据三角形的面积公式得出，然后再根据平方差公式进行计算，得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意，得三角形的面积 ． 故选A． 二、填空题 3.（2025春•镇江市期末）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE．若这两个等腰直角三角形的面积和为11，△CDB的面积为3.5，则AB的长为 　 　 ． 【答案】6 【分析】由等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE的面积和为11，△CDB的面积为3.5，设AC＝CD＝x，CE＝CB＝y，得x2+y2＝11×2，xy＝3.5×2＝7，得AB2＝（x+y）2＝x2+y2+2xy＝36，即可得AB＝6． 【详解】解：由等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE的面积和为11，△CDB的面积为3.5， 设AC＝CD＝x，CE＝CB＝y， 得x2+y2＝11×2，xy＝3.5×2＝7， 得AB2＝（x+y）2＝x2+y2+2xy＝36， 得AB＝6． 故答案为6． 4．（2025春•盐城市月考）如图，点D是线段AE上一点，以AD，DE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AE＝10，两个正方形的面积之和S1+S2＝60，则△CDE的面积为 　 　 ． 【答案】10 【分析】设AD＝CD＝a，DE＝b，根据题意得到a+6＝10，a2+b2＝60，利用完全公式求得ab＝20，进而利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：设AD＝CD＝a，DE＝b， ∵AE＝10，S1+S2＝60， ∴a+b＝10，a2+b2＝60， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴100＝60+2ab， 解得ab＝20， ∴S△CDECD•DEab＝10． 故答案为10． 5.（2025春•兴化市期中）小明同学在计算（a1x+b1）（a2x+b2）时发现一次项（a1b2+a2b1）x可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算（2x+1）（x+2）时一次项为2x•2+x•1＝5x．仿照小明的方法，计算（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为 　 　 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】先通过不完全归纳法找到几个一次两项式相乘，展开式中xn﹣1项的系数规律，再运用得结论． 【详解】解：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，展开式中xn﹣1项的系数为1+2＝3， （x+1）（x+2）（x+3）＝x3+6x2+11x+6，展开式中xn﹣1项的系数为1+2+3＝6， （x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝x4+10x3+35x2+50x+24，展开式中xn﹣1项的系数为1+2+3+4＝10， ∴（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为： 1+2+3+4+…+n﹣1+n •n ． 故答案为：． 6.（2025春•扬州市期末）如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接AE，DG，EG．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为　 　 ． 【答案】16 【分析】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则CD＝aCE＝b，可得DE＝b﹣a，再由阴影部分的面积为8，可得，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b， 则CD＝a，CE＝b， ∴DE＝b﹣a， ∵阴影部分的面积为8， ∴，即， ∴b2﹣a2＝16， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为16， 故答案为16． 7．（2025春•南京市建邺区校级期末）如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP、PB为边，在线段AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．若AP＝m，BP＝n，m+n＝6，mn＝7，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 【答案】13 【分析】根据m+n＝6，mn＝7求出m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝36﹣14＝22，再根据阴影部分的面积为m2+n2（m+n）•m（m+n）•n，即（m2+n2）mn代入计算即可． 【详解】解：∵点M是线段AB的中点，AP＝m，BP＝n， ∴AM＝BM（m+n）， ∵m+n＝6，mn＝7， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝36﹣14＝22， ∴阴影部分的面积为m2+n2（m+n）•m（m+n）•n ＝m2+n2m2mnmnn2 （m2+n2）mn 227 ＝13． 故答案为13． 三、详解题 8．（2025秋•南京市期末）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大； ②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若0＜a＜b，则　 　 组同学的想法正确．（填“①”或“②”） 【分析】（1）用含a，b的式子表示出图形的长和宽，再利用多项式乘多项式求解； （2）结合：0＜a＜b，计算这两个建筑物的占地面积之差，即可求解． 【详解】解：（1）回字形福建土楼占地面积为： （3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（b+a）＝5a2+4ab； 山西大院占地面积为： （a+a+b）（2a+b+a+a）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）（4a+b）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）•3a ＝6a2+3ab； （2）这两个建筑物的占地面积之差 5a2+4ab﹣6a2﹣3ab ＝﹣a2+ab ＝a（b﹣a）， ∵0＜a＜b， ∴a（b﹣a）＞0， ∴回字形福建土楼的占地面积更大， 即①组同学的想法正确， 故答案为①． 9．（2025春•南京市江宁区校级月考）如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG拼在一起，其中a＞b，B，C，E三点在同一直线上．设图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2． （1）试通过计算说明，S1的值与a的大小无关； （2）①S2＝　 （用含a，b的代数式表示）； ②若a﹣b＝2，a2+b2＝7，则的值为　 　 ． 【分析】（1）利用正方形的性质以及平行线的性质可得S阴影部分＝S1＝S△CEG即可； （2）①根据S2＝S阴影部分＝S△ADG+S△FDG（a+b）（a﹣b）即可； ②根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2求出ab，再根据（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab求出a+b的值即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接AC，则AC∥EG， ∴S阴影部分＝S1＝S△CEGb2， 即S1的值与a的大小无关； （2）解：①S2＝S阴影部分＝S△ADG+S△FDG DG•ADDG•FG a（a﹣b）b（a﹣b） a2b2， 故答案为：a2b2； ②∵a﹣b＝2， ∴a2﹣2ab+b2＝4， 又∵a2+b2＝7， ∴ab， ∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+6＝10， ∴a+b， ∴S2（a+b）（a﹣b）2， ∴（）2＝10． 故答案为：10． 10．（2025春•泰州市校级月考）一个正方形边长为m+4（m为常数且m＞0），记它的面积为S1，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为S2． （1）求S2（用含m的代数式表示）； （2）小丽说无论m为何值，S1和S2的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ （3）将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为S3，若存在常数a，使得不论m为何值，S2﹣S3﹣am始终是一个定值，求a的值． 【分析】（1）根据题意得出长方形的两条边长，求出长方形的面积即可； （2）求出S1﹣S2，然后进行判断即可； （3）表示出S3，然后求出S2﹣S3﹣am＝（2﹣a）m+3，根据不论m为何值，S2﹣S3﹣am始终是一个定值，得出2﹣a＝0，求出a的值即可． 【详解】解：（1）m+4+2＝m+6，m+4﹣2＝m+2， ∴； （2）同意；理由如下： ＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣12 ＝4， ∴S1与S2的差都不变． （3）∵， ∴S2﹣S3﹣am ＝m2+8m+12﹣m2﹣6m﹣9﹣am ＝（2﹣a）m+3， 由条件可知2﹣a＝0， 解得：a＝2． 11．（2025春•宿迁市校级期中）【探索】（1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　 ；根据（1）的结论，若x+y＝4，xy＝1，则（x﹣y）2的值是　 　 ． 【应用】（2）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED 和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，AC＝16米，求种草区域的面积和． 【拓展】（3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为a，宽为b）拼成如图4所示的大长方形，记长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2，若不论AB的长为何值时，S1﹣S2永远为定值，求a与b之间的数量关系． 【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；然后根据题意得到（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，将x+y＝4，xy＝1代入求解即可； （2）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b，由题意得，a+b＝16，a2+b2＝218，根据代入计算即可． （3）根据长方形的面积得，结合S1﹣S2永远为定值，整理得，根据AB＝CE+3b，则2b﹣a＝0，即可作答． 【详解】解：（1）图1中4个小长方形的面积为4ab， 图②中4个小长方形的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； ∵x+y＝4，xy＝1， 根据题意得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∴42﹣（x﹣y）2＝4×1， ∴（x﹣y）2＝12； 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，12； （2）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b， 由题意得a+b＝AE+CE＝AC＝16， ∴，即a2+b2＝218， ∴S种草区域 ＝ab ＝19， 即种草区域的面积和为19． （3）由条件可知， ∴， ∵不论AB的长为何值时，S1﹣S2永远为定值，且AB＝CE+3b， ∴S1﹣S2的值与CE无关， ∴2b﹣a＝0， 即a与b之间的数量关系为a＝2b． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $