专题03 图形的变换（期中真题汇编，江苏专用）七年级数学下学期

专题03 图形的变换 4大高频考点概览 考点01 平移与面积计算综合 考点02 轴对称与角度、边长的计算 考点03 旋转与全等、求值综合 考点04 三种变换的综合应用 地 城 考点01 平移与面积计算综合 一、选择题 1．（2025秋•扬州市期末）如图△ABC的边BC的长为4cm，将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．6cm2 2．（2025春•宿迁市期中）学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•淮安市期中）如图，直角三角形ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的是（　　） A．BE＝EC B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AC∥DF 二、填空题 4．（2025春•连云港市校级期中）如图所示，将周长为13的△ABC沿直角边CB所在直线向右平移m个单位，得到△A′B′C′．则有下列结论：①AC∥A′C′且AC＝A′C′；②AA′∥BB′且AA′＝BB′；③△ADA′和△BDC′的周长和为13；④S四边形ACC′A′＝S四边形A′DBB′；⑤若AC＝6，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为6，以上结论正确的有　 　 ．（填序号） 5．（2025春•扬州市期末）如图，△ABC的边长AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜6cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　 　 cm． 6．（2025春•南京市期中）如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　 　 ． 三、详解题 7．（2025春•常熟市校级月考）已知：如图把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A′B′C′． （1）画出图中△A′B′C′； （2）连接A′、A、C、C′，则A′A、CC′的关系为 　 ； （3）求四边形A′ACC′的面积为　 　 ． 8．（2025春•江苏校级期中）如图，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）直接写出图中与AB相等的线段． （2）若AB＝3，则AE等于　 　 ． （3）若∠ABC等于75°，求∠CFE的度数． 9． （2025春•苏州市期中）如图1．AM∥BN，点D，点C分别在射线AM，BN上，且∠BAD＝∠BCD． （1）求证：AB∥DC； （2）连接AC，作∠EAC＝∠DAC，AE交BN于点E，作∠BAE的平分线AF交BN于点F（如图2），将CD沿AM方向水平向右平移． ①在CD的移动过程中，∠AEB与∠ACB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数量关系，并证明；若变化，试说明理由； ②当CD运动到∠ACD＝∠AFB时，求证：∠FAE＝∠ACB． 10．（2025春•南京市建邺区校级期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． （1）画出平移后的△DEF． （2）连接AD，CF，则这两条线段之间的关系是 　 　 ． （3）在直线l上画出所有的格点P，使得由点D、E、F、P四点围成的四边形的面积为9． 11．（2025春•无锡市校级月考）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用无刻度的直尺画图并详解下列问题． （1）画出三角形A′B′C′； （2）连接AA′，CC′，那么AA′与CC′的关系是　 　 ，线段AC扫过的图形的面积为　 　 ； （3）确定格点Q，使三角形ABQ的面积和三角形ABC的面积相等，这样的Q点有　 　 个．（点Q异于点C） 12．（2025秋•南京市鼓楼区校级月考）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），则点A的坐标为　 　 ； （2）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的△A′B′C′； （3）在（1），（2）的条件下，若线段AC上有一点P（m，n），则平移后的对应点P′的坐标为　 　 ． 地 城 考点02 轴对称与角度、边长的计算 一、选择题 1．（2025秋•南京市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝2cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　）cm． A．8 B．10 C．12 D．14 2.（2025秋•苏州市期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2025秋•泰州市校级月考）如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在AC，BC两边垂直平分线的交点处，那么超市（　　） A．距离A小区较近 B．距离B小区较近 C．距离C小区较近 D．与A，B，C小区的距离相等 4．（2025秋•淮安市月考）如图，棋盘上有若干个棋子，其中白棋A和白棋B的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（3，0），如果再放入一棋使之与白棋A、白棋B、黑棋C构成一个轴对称图形，这个棋所放的位置可以是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（3，﹣2） D．（3，1） 二、填空题 5．（2025秋•苏州市期末）如图，AC垂直平分线段BD，若AB＝3cm，CD＝4cm，则四边形ABCD的周长为　 　 cm． 6．（2025秋•南京市期末）如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　 　 cm． 7．（2025春•连云港市校级期中）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝8，PN＝10，MN＝13，则线段QR的长为　 　 ． 8．（2025秋•扬州市江都区月考）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝4，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为　 　 ． 9．（2025秋•南京市鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为　 　 ． 3、 详解题 10．（2025春•常州市校级期中）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． （1）若ED＝15，BF＝9，求EF的长； （2）连接BD，则BD和直线AN的关系为 ． 11．（2025秋•镇江市句容市月考）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝CE； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，则DC的长为 　 　 cm． 12．（2025秋•江苏省校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上． （2）若△AFN的周长为8cm，若△PBC的周长为18cm，求PA的长． 地 城 考点03 旋转与全等、求值综合 一、选择题 1．（2025秋•无锡市期末）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到三角形EDC．若∠ACB＝30°，∠BCE＝100°，则α的值为（　　） A．60° B．70° C．40° D．100° 2．（2025秋•盐城市期末）如图，格点三角形甲逆时针旋转90°后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 3．（2025秋•扬州市期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，连接AB'，若∠A′B′A＝25°，则∠B的大小为（　　） A．20° B．45° C．70° D．65° 4．（2025春•镇江市期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025春•苏州市工业园区校级期中）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N'，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 二、填空题 6．（2025•南京市一模）如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，点B在边DE上，AE与BC交于点G．若∠ABC＝65°，则∠EAC＝ 　 　 °． 7．（2025秋•盐城市期末）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝　 　 ． 8．（2025春•泰州市期中）如图，△ABC旋转后到达△ADE的位置，∠C＝90°，若AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，则BD的长度是　 　 cm． 三、详解题 9．（2025秋•泰州市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称． （1）画出对称中心E，并写出点E的坐标； （2）画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A3B3C3． 10．（2025秋•江苏省校级期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段AB关于直线BD对称的线段为BE． （1）线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，在图1中画出线段BE、BF； （2）线段BC绕点B顺时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段BF，若D，B，F三点共线，则∠ABD与∠CBF的关系为 　 　 （用等式表示）． 11．（2025春•江苏校级月考）如图，正方形ABCD中，点E是线段CD延长线上一点，连接AE，AB＝m，DE＝n． （1）将线段AE沿着射线AB方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段AE扫过的平面部分的面积为 ． （2）将三角形ADE绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 12．（2025春•徐州市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在AC上，延长DE交AB于点F．试判断AB与DF的位置关系，请说明理由． 13．（2025春•南京市鼓楼区校级月考）如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形写出关于旋转的3条不同的性质． 文字语言 符号语言 ① （1）　 　 ． （2）　 ． ② （3）　 　 ． （4） ． ③ （5）　 　 ． （6）　 ． 14．（2025春•徐州市期中）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△DBE，分别连接DC，AD，AC，CE，∠BCD＝30°． （1）求∠DCE的度数； （2）若DC＝3，BC＝4，求AC的长． 地 城 考点04 三种变换的综合应用 一、选择题 1．（2025春•宿迁市期中）如图，锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（　　） A．15° B．30° C．45° D．90° 2．（2025•江苏省校级模拟）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 二、填空题 3．（2025秋•扬州市月考）如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝　 　 ． 4．（2025秋•南京市鼓楼区期末）在△ABC中，AC，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠C＝m°，则∠AOB的度数为 　 　 （用含m的代数式表示）． 5．（2025秋•扬州市期中）在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，且DE＝3，则AD+AE＝　 　 ． 6．（2025秋•南京市鼓楼区校级月考）如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝12cm，则△PMN的周长是 　 ． 7．（2025秋•苏州市姑苏区校级期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝61°，则∠2＝　 　 ． 三、详解题 8．（2025春•南京市期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点　 　 中心对称； （4）若P（a，b）是△A1B1C1边A1B1上的任意一点，则其在△A2B2C2边上的对应点的坐标为　 　 ． 9．（2025春•江苏校级月考）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC绕着点B顺时针方向旋转90°． （1）请在图中画出旋转后的△A'BC'； （2）再在图中画出△ABC的高CD； （3）在图中能使S△ABP＝S△ABC的格点P的个数有 　 　 个（点P异于C）． 10．（2025春•如皋市校级月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，3），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，△ABC的面积为　 　 ； （2）如图2，将点B向右平移至点D（5，5）． ①若线段AC的长为5，求点D到直线AC的距离； ②点P是x轴上一动点，若△PAO的面积等于3，请求出点P的坐标． 11．（2025春•江阴市期中）如图1，点O为直线AB上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点O处，直角边OD，OE分别在射线OA，OB上，且∠COD＝60°，∠EOF＝45°． （1）将图1中的三角板OEF绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得OF落在射线OB上，此时三角板OEF旋转的角度为 　 　 度． （2）继续将图2中的三角板OEF绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得OF在∠AOC的内部，试探究∠AOE与∠COF之间满足什么等量关系，并说明理由． （3）在上述直角三角板OEF从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒6°的速度旋转，当直角三角板OEF的边所在的直线恰好平行于直角三角板DOC的一边时，直接写出此时三角板OEF绕点O的运动时间t（t＞0）的值． 12．（2025春•南京市建邺区校级期中）如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图2，线段AG上有点P，满足ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG． ①若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，则的值是 　 　 ． ②若∠DCH＝30°，将△ABP绕点B旋转α（0°＜α＜180°），当α＝ 　 　 °时，△ABP的一边与CH平行． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的变换 4大高频考点概览 考点01 平移与面积计算综合 考点02 轴对称与角度、边长的计算 考点03 旋转与全等、求值综合 考点04 三种变换的综合应用 地 城 考点01 平移与面积计算综合 一、选择题 1．（2025秋•扬州市期末）如图△ABC的边BC的长为4cm，将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．6cm2 【答案】A 【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积详解即可． 【详解】解：由平移可知，三角形A′B′C′的面积＝三角形ABC的面积， ∴阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2）． 故选A． 2．（2025春•宿迁市期中）学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质得出修建小路后剩余草坪面积等于矩形的面积﹣小路的面积详解． 【详解】解：A、B、D三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长﹣小路的宽）×长方形的宽， 而C方案的小路的模块比其他三种方案多1个以小路的宽度为边长的正方形的面积， 故选C． 3．（2025春•淮安市期中）如图，直角三角形ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的是（　　） A．BE＝EC B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AC∥DF 【答案】A 【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案． 【详解】解：∵Rt△ABC沿直线边BC所在的直线向右平移得到△DEF， ∴∠D＝∠A，BC＝EF，AC∥DF， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC， ∴BE＝CF， 但不能得出BE＝EC， 故选A． 二、填空题 4．（2025春•连云港市校级期中）如图所示，将周长为13的△ABC沿直角边CB所在直线向右平移m个单位，得到△A′B′C′．则有下列结论：①AC∥A′C′且AC＝A′C′；②AA′∥BB′且AA′＝BB′；③△ADA′和△BDC′的周长和为13；④S四边形ACC′A′＝S四边形A′DBB′；⑤若AC＝6，m＝2，则AB边扫过的图形的面积为6，以上结论正确的有　 　 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】利用平移的性质即可判断结论①②③；利用平移可得S△ABC＝S△A′B′C′，根据S四边形ACC′D＝S△ABC﹣S△BC′D，S四边形A′DBB′＝S△A′B′C′﹣S△BC′D，即可判断结论④；根据AB边扫过的图形的面积等于BB′×AC，即可判断结论⑤．解题的关键是掌握平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行（或共线）且相等． 【详解】解：由题意可得：AC∥A′C′且AC＝A′C′；AA′∥BB′且AA′＝BB′；S△ABC＝S△A′B′C′， 故结论①②正确； ∵将△ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到△A′B′C′位置， ∴AA′＝CC′，A′C′＝AC， ∴△ADA′和△BDC′的周长和为：AA′+AD+A′D+BD+DC′+BC′＝AC+BC+AB＝13（cm）， 故结论③正确； ∵S△ABC＝S△A′B′C′， 又∵S四边形ACC′D＝S△ABC﹣S△BC′D，S四边形A′DBB′＝S△A′B′C′﹣S△BC′D， ∴S四边形ACC′D＝S四边形A′DBB′＜S四边形ACC′A′， 故结论④错误； 根据平移可知，BB′＝m＝2， 则AB边扫过的图形的面积为： S四边形ABB′A′＝BB′×AC＝2×6＝12， 即AB边扫过的图形的面积为12， 故结论⑤错误； 故答案为①②③． 5．（2025春•扬州市期末）如图，△ABC的边长AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移acm（a＜6cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　 　 cm． 【答案】13 【分析】根据平移的性质可得AD＝BE，然后判断出阴影部分的周长＝△ABC的周长，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将△ABC沿BC方向平移acm（a＜6cm），得到△DEF， ∴AD＝BE，AB＝DE，AC＝DF， ∴阴影部分的周长＝AD+EC+DE+AC＝BE+EC+AC+AB＝AB+AC+BC＝4+3+6＝13cm， 故答案为13． 6．（2025春•南京市期中）如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　 　 ． 【答案】7 【分析】根据图形平移的性质，得出阴影部分的面积与梯形ABEH的面积相等，再结合AB及DH的长即可解决问题． 【详解】解：由平移可知， S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝14， 所以阴影部分的面积与梯形ABEH的面积相等，EH＝14﹣4＝10， 则， 所以BE＝7， 所以CF＝BE＝7． 故答案为7． 三、详解题 7．（2025春•常熟市校级月考）已知：如图把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A′B′C′． （1）画出图中△A′B′C′； （2）连接A′、A、C、C′，则A′A、CC′的关系为 　 ； （3）求四边形A′ACC′的面积为　 　 ． 【分析】（1）先将△ABC各顶点坐标按照向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后的对应点即为△A′B′C′对应各顶点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质可得平移前后的对应边平行且相等即可得出结论； （3）由不规则图形面积的求法：要求的面积＝整体规则面积﹣部分面积，即四边形A′ACC′的面积＝S长方形EFHG﹣S△AFC﹣S△HCC′﹣S△A′GC′﹣S△A′AE，进行计算即可． 【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）根据平移的性质可得A′A∥CC′、A′A＝CC′， 故答案为：A′A∥CC′、A′A＝CC′； （3）四边形A′ACC′的面积＝S长方形EFHG﹣S△AFC﹣S△HCC′﹣S△A′GC′﹣S△A′AE ＝21， 故答案为21． 8．（2025春•江苏校级期中）如图，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）直接写出图中与AB相等的线段． （2）若AB＝3，则AE等于　 　 ． （3）若∠ABC等于75°，求∠CFE的度数． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出相等线段； （2）直接平移的性质得出BE的长，进而得出答案； （3）由平移变换的性质得：BC∥EF，AE∥CF，再根据平行线的性质即可得到∠CFE的度数． 【详解】解：（1）将△ABC延射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． 与AB相等的线段有：DE； （2）∵AB＝3，将△ABC沿射线AB的方向平移2个单位到△DEF的位置， ∴BE＝2， 则AE＝BE+AB＝5． 故答案为：5； （3）∵由平移变换的性质得：BC∥EF，AE∥CF， ∴∠E＝∠ABC＝75°， ∴∠CFE+∠E＝180°， ∴∠CFE＝105°． 9． （2025春•苏州市期中）如图1．AM∥BN，点D，点C分别在射线AM，BN上，且∠BAD＝∠BCD． （1）求证：AB∥DC； （2）连接AC，作∠EAC＝∠DAC，AE交BN于点E，作∠BAE的平分线AF交BN于点F（如图2），将CD沿AM方向水平向右平移． ①在CD的移动过程中，∠AEB与∠ACB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数量关系，并证明；若变化，试说明理由； ②当CD运动到∠ACD＝∠AFB时，求证：∠FAE＝∠ACB． 【分析】（1）先根据平行线的性质，由AM∥BN得到∠BAD+∠ABC＝180°，然后证明∠BCD+∠ABC＝180°，从而得到结论； （2）①先由AD∥BC得到∠DAC＝∠ACB，加上∠EAC＝∠DAC，所以∠EAC＝∠ACB，然后根据三角形外角性质得到∠AEB＝2∠ACB； ②先证明∠BAC＝∠DAF，所以∠BAF＝∠DAC，加上∠DAC＝∠ACB，所以∠BAF＝∠ACB，然后利用∠BAF＝∠FAE得到∠FAE＝∠ACB． 【详解】（1）证明：∵AM∥BN， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BCD+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD； （2）①解：∠AEB与∠ACB之间的数量关系不变，∠AEB＝2∠ACB． 理由如下：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠EAC＝∠DAC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ACB＝2∠ACB； ②证明：∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵∠ACD＝∠AFB， ∴∠BAC＝∠DAF， 即∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠DAC， ∴∠BAF＝∠DAC， ∵∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAF＝∠ACB， ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠FAE， ∴∠FAE＝∠ACB． 10．（2025春•南京市建邺区校级期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． （1）画出平移后的△DEF． （2）连接AD，CF，则这两条线段之间的关系是 　 　 ． （3）在直线l上画出所有的格点P，使得由点D、E、F、P四点围成的四边形的面积为9． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）由割补法可得△DEF的面积为7，则在点D下方的直线l上取格点P，使△DEP的面积为2，或在点D上方的直线l上取格点P，使△DFP的面积为2即可． 【详解】解：（1）由题意得，△ABC向右平移5个单位长度，向上平移1个单位长度得到△DEF， 如图，△DEF即为所求． （2）由平移得，这两条线段之间的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）如图，点P1，P2均满足题意． 11．（2025春•无锡市校级月考）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用无刻度的直尺画图并详解下列问题． （1）画出三角形A′B′C′； （2）连接AA′，CC′，那么AA′与CC′的关系是　 　 ，线段AC扫过的图形的面积为　 　 ； （3）确定格点Q，使三角形ABQ的面积和三角形ABC的面积相等，这样的Q点有　 　 个．（点Q异于点C） 【分析】（1）先观察点B到B′的平移规律，即确定水平和垂直方向移动的格数．然后按照此规律找到点A、C的对应点A′、C′，最后顺次连接A′、B′、C′得到△A′B′C′． （2）根据平移性质，对应点所连线段平行且相等，得AA′与CC′平行且相等．利用割补法进而计算面积． （3）两个三角形等底等高时面积相等．△ABC的底AB固定，要使△ABQ与△ABC面积相等，则点Q到AB的距离应与点C到AB的距离相等．通过观察网格，找出满足条件的格点Q（异于点C ），统计其个数． 【详解】解：（1）观察点B到B′，点B向右平移6格，再向下平移1格得到B′．那么点A同样向右平移6格，再向下平移1格得到A′；点C向右平移6格，再向下平移1格得到C′．用直尺顺次连接A′、B′、C′，△A′B′C′即为所求作； （2）由平移的性质可知，对应点所连的线段平行且相等，A与A′、C与C′是对应点， ∴AA′与CC′的关系是平行且相等． ∴线段AC扫过的图形的面积为． 故答案为：平行且相等，10； （3）由△ABC与△ABQ有公共边AB，要使它们面积相等，则点Q到AB的距离需等于点C到AB的距离．通过观察网格，可找到满足条件的格点Q（异于点C）有13个． 故答案为13． 12．（2025秋•南京市鼓楼区校级月考）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），则点A的坐标为　 　 ； （2）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的△A′B′C′； （3）在（1），（2）的条件下，若线段AC上有一点P（m，n），则平移后的对应点P′的坐标为　 　 ． 【分析】（1）根据点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），建立平面直角坐标系，进而可得点A的坐标； （2）根据平移的性质即可将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，进而画出平移后的△A′B′C′； （3）结合（2）根据点P（m，n），可得平移后的对应点P′的坐标． 【详解】解：（1）如图所示的平面直角坐标系即为所求，点A的坐标为（﹣1，2）， 故答案为（﹣1，2）； （2）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的△A′B′C′如图所示； （3）∵点P（m，n）， ∴平移后的对应点P′的坐标为（m+2，n﹣3）， 故答案为（m+2，n﹣3）． 地 城 考点02 轴对称与角度、边长的计算 一、选择题 1．（2025秋•南京市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝2cm，△ADC的周长为8cm，则△ABC的周长是（　　）cm． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由题意易得BD＝AD，AC＝18，BC＝12，BE＝AE＝2cm，即AB＝4cm，然后可得BC+AC＝8cm，进而问题可求解． 【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴BD＝AD，AC＝18，BC＝12，BE＝AE＝2cm，即AB＝4cm， ∵△ADC的周长为8cm， ∴AD+CD+AC＝8cm， ∴BD+CD+AC＝BC+AC＝8cm， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝4+8＝12（cm）， 故选C． 2.（2025秋•苏州市期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称． 所以在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选D． 3．（2025秋•泰州市校级月考）如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在AC，BC两边垂直平分线的交点处，那么超市（　　） A．距离A小区较近 B．距离B小区较近 C．距离C小区较近 D．与A，B，C小区的距离相等 【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等判断即可． 【详解】解：∵超市恰好在AC，BC两边垂直平分线的交点处， ∴超市与A，B，C小区的距离相等， 故选D． 4．（2025秋•淮安市月考）如图，棋盘上有若干个棋子，其中白棋A和白棋B的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（3，0），如果再放入一棋使之与白棋A、白棋B、黑棋C构成一个轴对称图形，这个棋所放的位置可以是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（3，﹣2） D．（3，1） 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵白棋A和白棋B的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（3，0）， ∴如图，建立平面直角坐标系，假设放入的棋为D时，当D的坐标为（3，﹣2）时，此时A，B，C，D构成的图形为以直线AC为对称轴的轴对称图形， 故选C． 二、填空题 5．（2025秋•苏州市期末）如图，AC垂直平分线段BD，若AB＝3cm，CD＝4cm，则四边形ABCD的周长为　 　 cm． 【答案】14 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝DA＝3cm，DC＝BC＝4cm，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵AC垂直平分线段BD，AB＝3cm，CD＝4cm， ∴AB＝DA，DC＝BC， ∵AB＝3cm，CD＝4cm， ∴AB＝DA＝3cm，DC＝BC＝4cm， ∴四边形ABCD的周长＝AB+AD+BC+CD＝3+3+4+4＝14（cm）． 故答案为14． 6．（2025秋•南京市期末）如图，△ABC中，∠BAC＝135°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD＝3cm，DE＝4cm，则EC＝ 　 　 cm． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝45°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝3cm，EA＝EC，求出∠DAE＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵∠BAC＝135°， ∴∠B+∠C＝45°， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， ∴DA＝DB＝3cm，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°， 由勾股定理得，AEcm， ∴ECcm， 故答案为． 7．（2025春•连云港市校级期中）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝8，PN＝10，MN＝13，则线段QR的长为　 　 ． 【答案】15 【分析】由轴对称的性质得到QM＝PM＝8，同理得到RN＝PN＝10，进而根据线段的和差即可详解． 【详解】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，MN＝13，PM＝8，PN＝10， ∴QM＝PM＝8， ∴QN＝MN﹣QM＝13﹣8＝5， ∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， ∴RN＝PN＝10， ∴若PM＝8，PN＝10，MN＝13，则QR＝QN+RN＝5+10＝15． 故答案为15． 8．（2025秋•扬州市江都区月考）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝4，AC＝5，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为　 　 ． 【答案】12 【分析】根据直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，得到点B与点C关于直线m对称，故当点P位于直线m与AB的交点处时，AP+PC取得最小值AB，此时△APC的周长的最小值为AB+AC，代入计算即可． 【详解】解：由线段垂直平分线可知，点B与点C关于直线m对称， 故当点P位于直线m与AB的交点处时，AP+PC取得最小值AB， ∴△APC的周长的最小值为AB+AC＝7+5＝12， 故答案为12． 9．（2025秋•南京市鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为　 　 ． 【答案】115° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BMN+∠BNM，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝MP，NC＝NP，根据等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：∵∠ABC＝50°， ∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣50°＝130°， ∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴PA＝MP，NC＝NP， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NPC+∠NCP＝2∠NPC， ∴∠MPA+∠NPC（∠BMN+∠BNM）＝65°， ∴∠APC＝180°﹣65°＝115°， 故答案为115°． 3、 详解题 10．（2025春•常州市校级期中）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． （1）若ED＝15，BF＝9，求EF的长； （2）连接BD，则BD和直线AN的关系为 ． 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得BD⊥AN． 【详解】解：（1）∵△ADE和△ABC关于直线MN对称， ∴点B与点D关于直线MN对称， ∴DF＝BF＝9，（对应边相等） ∵ED＝15，BF＝9， ∴EF＝ED﹣EF＝15﹣9＝6． （2）∵△ADE和△ABC关于直线MN对称， ∴点B与点D关于直线MN对称， ∴MN⊥BD， ∴BD⊥AN， 故答案为：BD⊥AN． 11．（2025秋•镇江市句容市月考）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝CE； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，则DC的长为 　 　 cm． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝14cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为14cm， ∴AB+BC+AC＝14（cm）， ∵AC＝6cm， ∴AB+BC＝8（cm）， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE+EC（AB+BC）＝4（cm）． 故答案为4． 12．（2025秋•江苏省校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上． （2）若△AFN的周长为8cm，若△PBC的周长为18cm，求PA的长． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出PB＝PA，PC＝PA，得到PB＝PC，即可证明问题； （2）根据线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，AN＝CN，PB＝PA，PC＝PA，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可详解． 【详解】（1）证明：连接PA，PB，PC， ∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PB＝PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上； （2）解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC， ∴AF＝BF，AN＝CN， ∵△AFN的周长为8cm， ∴AF+FN+AN＝BF+FN+CN＝BC＝8cm，即BC＝8cm， ∵PB＝PC，△PBC的周长为18cm， ∴BC+PB+PC＝18cm， ∴PB+PC＝18cm﹣8cm＝10cm， ∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC， ∴PB＝PA，PC＝PA， ∴PA＝5cm． 地 城 考点03 旋转与全等、求值综合 一、选择题 1．（2025秋•无锡市期末）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到三角形EDC．若∠ACB＝30°，∠BCE＝100°，则α的值为（　　） A．60° B．70° C．40° D．100° 【答案】B 【分析】首先利用旋转的性质得到∠DCE＝30°，∠ACE＝∠BCD＝α，然后利用已知条件即可求解． 【详解】解：∵将三角形ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到三角形EDC，∠ACB＝30°， ∴∠DCE＝30°，∠ACE＝∠BCD＝α， 而∠BCE＝100°， ∴α＝∠BCE﹣∠ACB＝100°﹣30°＝70°． 故选B． 2．（2025秋•盐城市期末）如图，格点三角形甲逆时针旋转90°后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，先找到旋转前后的对应点，再连线作线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心． 【详解】解：如图，由旋转性质可知点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在AE的垂直平分线上，也在BF的垂直平分线上， 分别作AE的垂直平分线和BF的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为M点，即旋转中心为M点． 故选A． 3．（2025秋•扬州市期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得△A′B′C，连接AB'，若∠A′B′A＝25°，则∠B的大小为（　　） A．20° B．45° C．70° D．65° 【答案】C 【分析】由旋转得∠CA'B'＝∠B，AC＝B'C，∠ACB'＝90°，可得∠CAB'＝∠AB'C＝45°，则∠A'B'C＝∠AB'C﹣∠A′B′A＝20°，∠CA'B'＝180°﹣∠A'CB'﹣∠A'B'C＝70°，即可得∠B＝70°． 【详解】解：由旋转得，∠CA'B'＝∠B，AC＝B'C，∠ACB'＝90°， ∴∠CAB'＝∠AB'C＝45°． ∵∠A′B′A＝25°， ∴∠A'B'C＝∠AB'C﹣∠A′B′A＝20°， ∴∠CA'B'＝180°﹣∠A'CB'﹣∠A'B'C＝70°， ∴∠B＝70°． 故选C． 4．（2025春•镇江市期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE＝AB． 【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED， ∴AB＝AE，∠BAE＝60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE＝AB， ∵AB＝3， ∴BE＝3． 故选B． 5．（2025春•苏州市工业园区校级期中）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N'，则旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心． 【详解】解：如图， ∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'， ∴连接PP'、NN'、MM'， 作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线， ∴三条线段的垂直平分线正好都过B， 即旋转中心是B． 故选B． 二、填空题 6．（2025•南京市一模）如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，点B在边DE上，AE与BC交于点G．若∠ABC＝65°，则∠EAC＝ 　 　 °． 【答案】50 【分析】由旋转得AD＝AB，∠D＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB，所以∠D＝∠ABD，则∠D＝∠ABC＝∠ABD＝65°，求得∠DAB＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝50°，则∠EAC＝50°，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，点B在边DE上， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB， ∴∠D＝∠ABD， ∵∠ABC＝65°， ∴∠D＝∠ABC＝∠ABD＝65°， ∴∠DAB＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴∠EAC＝50°， 故答案为50． 7．（2025秋•盐城市期末）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝　 　 ． 【答案】80° 【分析】由旋转的性质得出AB＝AD，∠B＝∠ADE，可求出∠B＝∠ADB＝∠ADE＝70°，求出∠DAC的度数即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质，可知AB＝AD，∠B＝∠ADE， ∵∠BAD＝α＝40°， ∴∠B＝∠ADB＝∠ADE＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°， ∴∠AFE＝∠DAC+∠ADE＝80°， 故答案为80°． 8．（2025春•泰州市期中）如图，△ABC旋转后到达△ADE的位置，∠C＝90°，若AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，则BD的长度是　 　 cm． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出AC＝AE＝3cm，再由BE＝AB﹣AE求出BE即可． 【详解】解：∵△ABC旋转后到达△ADE的位置，AC＝3cm， ∴AC＝AE＝3cm（旋转的性质）， ∵AB＝5cm， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2cm． 则BD的长度为2cm， 故答案为2． 三、详解题 9．（2025秋•泰州市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称． （1）画出对称中心E，并写出点E的坐标； （2）画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A3B3C3． 【分析】（1）连接AA1、BB1、CC1，它们的交点为E； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A3、B3、C3的坐标，然后描点即可． 【详解】解：（1）如图，点E为所作；点E坐标为（﹣3，﹣1）； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）如图，△A3B3C3为所作． 10．（2025秋•江苏省校级期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段AB关于直线BD对称的线段为BE． （1）线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，在图1中画出线段BE、BF； （2）线段BC绕点B顺时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段BF，若D，B，F三点共线，则∠ABD与∠CBF的关系为 　 　 （用等式表示）． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）如图2中，由∠ABD＝∠FBT，∠CBF+∠FBT＝90°，推出∠ABD+∠CBF＝90°． 【详解】解：（1）如图1中，线段BE，BF即为所求； （2）如图2中，∵∠ABD＝∠FBT，∠CBF+∠FBT＝90°， ∴∠ABD+∠CBF＝90°． 故答案为：∠ABD+∠CBF＝90°． 11．（2025春•江苏校级月考）如图，正方形ABCD中，点E是线段CD延长线上一点，连接AE，AB＝m，DE＝n． （1）将线段AE沿着射线AB方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段AE扫过的平面部分的面积为 ． （2）将三角形ADE绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积公式计算即可； （2）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】解：（1）线段AE扫过的平面部分的面积为：AD•AB＝m2， 故答案为：m2； （2）①如图，旋转中心：AD边的中点O，顺时针旋转180°； ②如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转90°； ③如图，旋转中心：点D，顺时针旋转270°； ④如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转180°． 12．（2025春•徐州市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在AC上，延长DE交AB于点F．试判断AB与DF的位置关系，请说明理由． 【分析】由旋转的性质得出∠BAC＝∠CDE，证出∠AFE＝∠ECD＝90°，则可得出AB⊥DF． 【详解】解：AB⊥DF． ∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC， ∴∠BAC＝∠CDE，∠ACB＝∠ACD＝90°， 又∵∠AEF＝∠CED， ∴∠AFE＝∠ACD＝90°， ∴AB⊥DF． 13．（2025春•南京市鼓楼区校级月考）如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形写出关于旋转的3条不同的性质． 文字语言 符号语言 ① （1）　 　 ． （2）　 ． ② （3）　 　 ． （4） ． ③ （5）　 　 ． （6）　 ． 【分析】由旋转的性质可直接写出答案． 【详解】解：①旋转前、后的图形全等，△ABC≌△DEF； ②对应点到旋转中心的距离相等，OA＝OD； ③对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，∠AOD＝∠COF． 故答案为：①旋转前、后的图形全等，△ABC≌△DEF； ②对应点到旋转中心的距离相等，OA＝OD； ③对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，∠AOD＝∠COF． 14．（2025春•徐州市期中）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△DBE，分别连接DC，AD，AC，CE，∠BCD＝30°． （1）求∠DCE的度数； （2）若DC＝3，BC＝4，求AC的长． 【分析】（1）由旋转得BE＝BC，∠CBE＝60°，则△BCE是等边三角形，所以∠BCE＝60°，而∠BCD＝30°，则∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝90°； （2）由等边三角形的性质得CE＝BC＝4，而∠DCE＝90°，DC＝3，所以DE5，则AC＝DE＝5． 【详解】解：（1）∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△DBE， ∴BE＝BC，∠CBE＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵∠BCD＝30°， ∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝90°， ∴∠DCE的度数是90°． （2）∵△BCE是等边三角形， ∴CE＝BC＝4， ∵∠DCE＝90°，DC＝3， ∴DE5， ∴AC＝DE＝5， ∴AC的长是5． 地 城 考点04 三种变换的综合应用 一、选择题 1．（2025春•宿迁市期中）如图，锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（　　） A．15° B．30° C．45° D．90° 【答案】C 【分析】根据△ABC的平移过程，分点B′在BC上和点B′在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥A′B′，根据平行线的性质得到∠ACA′和∠CA′B′和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB， ∵△A′B′C′由△ABC平移得到， ∴AB∥A′B′， ∵CG∥AB，AB∥A′B′， ∴CG∥A′B′， ①当∠ACA′＝2∠CA′B′时， ∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x， ∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x， ∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG， ∴2x+x＝45°， 解得：x＝15°， ∴∠ACA′＝2x＝30°， ②当∠CA′B′＝2∠ACA′时， ∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′x， ∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x， ∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG， ∴xx＝45°， 解得：x＝30°， ∴∠ACA′x＝15°， 第二种情况：当点B′在△ABC外时，过点C作CG∥AB， ∵△A′B′C′由△ABC平移得到， ∴AB∥A′B′， ∵CG∥AB，AB∥A′B′， ∴CG∥A′B′， ①当∠ACA′＝2∠CA′B′时， 设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x， ∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x， ∵∠ACA′＝∠ACG+∠A′1CG， ∴2x＝x+45°， 解得：x＝45°， ∴∠ACA′＝2x＝90°， ②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，由图可知，∠CA′B′＜∠ACA′，故不存在这种情况， 综上所述，∠ACA′＝15°或30°或90°， 故选C． 2．（2025•江苏省校级模拟）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可． 【详解】解：如图，两个格点三角形分别为△ABP和△QRA，连接CA、CQ、CP、CB、CR， 设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1， 由勾股定理得CA＝CP＝CQ，CB＝CR， ∵△ABP和△QRA的每一组对应顶点到点C的距离都相等， ∴两个格点△ABP和△QRA的旋转中心是点C， 故选C． 二、填空题 3．（2025秋•扬州市月考）如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝　 　 ． 【答案】38° 【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝128°，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：连接OA、OB ∵∠BAC＝52°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°， ∵点O是边AB和边AC的垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC， ∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝52°， ∴∠OBC+∠OCB＝128°﹣52°＝76°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝38°， 故答案为38°． 4．（2025秋•南京市鼓楼区期末）在△ABC中，AC，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠C＝m°，则∠AOB的度数为 　 　 （用含m的代数式表示）． 【答案】2m°或（360﹣2m）° 【分析】分两种情况：由垂直平分线的性质可得AO＝CO，BO＝CO，根据“等边对等角”可得∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC，进而求出∠OBC+∠OAC＝∠OCB+∠OCA＝m°，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图1，当∠BCA为锐角时，连接CO，AO，BO， ∵l1垂直平分AC，l2垂直平分BC， ∴AO＝CO，BO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC， ∵∠OCB+∠OCA＝∠BCA＝m°， ∴∠OBC+∠OAC＝∠OCB+∠OCA＝m°， ∵∠ABC+∠CAB＝180°﹣∠BCA＝180°﹣m°， ∴∠OBA+∠OAB＝∠ABC+∠CAB﹣（∠OBC+∠OAC）＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝2m°． 如图2，当∠BCA为钝角时，连接CO，AO，BO， ∵l1垂直平分AC，l2垂直平分BC， ∴AO＝CO，BO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC， ∵∠OCB+∠OCA＝∠BCA＝m°， ∴∠OBC+∠OAC＝∠OCB+∠OCA＝m°， ∵∠OBC+∠BCA+∠OAC+∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝（360﹣2m）°． 故答案为2m°或（360﹣2m）°． 5．（2025秋•扬州市期中）在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，且DE＝3，则AD+AE＝　 　 ． 【答案】7或13 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到AD＝BD，AE＝CE，再结合BC和DE的长度进行求解． 【详解】解：∵BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，且DE＝3， ∴AD＝BD，AE＝CE， 当点D在点E左侧时，AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣3＝7； 当点D在点E右侧时，AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+3＝13； 故AD+AE的值为7或13， 故答案为7或13． 6．（2025秋•南京市鼓楼区校级月考）如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝12cm，则△PMN的周长是 　 ． 【答案】12 【分析】根据轴对称的性质的相等关系进行等量代换，便可知P1P2与△PMN的周长是相等的． 【详解】解：∵OA和OB分别是△PMP1和△PNP2的对称轴， ∴PM＝MP1，PN＝NP2； ∴P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝12cm， ∴△PMN的周长为12cm． 故答案为12cm． 7．（2025秋•苏州市姑苏区校级期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝61°，则∠2＝　 　 ． 【答案】58° 【分析】由题意可知∠FEG＝∠1＝61°，即可求出∠2的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，∠FEG＝∠1＝61°， ∴∠2＝180°﹣∠FEG﹣∠1＝58°， 故答案为58°． 三、详解题 8．（2025春•南京市期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点　 　 中心对称； （4）若P（a，b）是△A1B1C1边A1B1上的任意一点，则其在△A2B2C2边上的对应点的坐标为　 　 ． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点（﹣2，0），可知△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称． （4）由题意得△ABC内与点P对应的点为（a+4，b），再结合中心对称的性质可得答案． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点（﹣2，0）， ∴△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称． 故答案为（﹣2，0）． （4）∵P（a，b）是△A1B1C1边A1B1上的任意一点， ∴△ABC内与点P对应的点为（a+4，b）， ∴在△A2B2C2边上的对应点的坐标为（﹣a﹣4，﹣b）． 故答案为（﹣a﹣4，﹣b）． 9．（2025春•江苏校级月考）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC绕着点B顺时针方向旋转90°． （1）请在图中画出旋转后的△A'BC'； （2）再在图中画出△ABC的高CD； （3）在图中能使S△ABP＝S△ABC的格点P的个数有 　 　 个（点P异于C）． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可； （2）利用网格特点过C点作直线AB的垂线，得到垂足为格点D； （3）过C作AB的平行线得到满足条件的格点P有3个，利用对称在AB的另一侧可得到满足条件的2个格点P． 【详解】解：（1）如图，△A′BC′即为所求； （2）如图，CD即为所求； （3）在图中能使S△ABP＝S△ABC的格点P的个数有5个，如图． 故答案为5． 10．（2025春•如皋市校级月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，3），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，△ABC的面积为　 　 ； （2）如图2，将点B向右平移至点D（5，5）． ①若线段AC的长为5，求点D到直线AC的距离； ②点P是x轴上一动点，若△PAO的面积等于3，请求出点P的坐标． 【分析】（1）由题意得BC＝6，OA＝3，利用三角形的面积公式计算即可． （2）①过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，可得DF＝OE＝5，DE＝OF＝5，OA＝3，AF＝2，OC＝4，CE＝1，利用割补法求出S△ACD，设点D到直线AC的距离为h，可得，求出h的值即可． ②设点P的坐标为（m，0），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵A（0，3），B（﹣2，0），C（4，0）， ∴BC＝6，OA＝3， ∴△ABC的面积为． 故答案为：9． （2）①过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F， ∵D（5，5）， ∴DF＝OE＝5，DE＝OF＝5． ∵A（0，3），C（4，0）， ∴OA＝3，AF＝2，OC＝4，CE＝1， ∴S△ACD＝S四边形DEOF﹣S△CDE﹣S△AOC﹣S△ADF． 设点D到直线AC的距离为h， ∴， ∴h， ∴点D到直线AC的距离为． ②设点P的坐标为（m，0）， ∵△PAO的面积等于3， ∴， 解得m＝2或﹣2， ∴点P的坐标为（2，0）或（﹣2，0）． 11．（2025春•江阴市期中）如图1，点O为直线AB上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点O处，直角边OD，OE分别在射线OA，OB上，且∠COD＝60°，∠EOF＝45°． （1）将图1中的三角板OEF绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得OF落在射线OB上，此时三角板OEF旋转的角度为 　 　 度． （2）继续将图2中的三角板OEF绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得OF在∠AOC的内部，试探究∠AOE与∠COF之间满足什么等量关系，并说明理由． （3）在上述直角三角板OEF从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒6°的速度旋转，当直角三角板OEF的边所在的直线恰好平行于直角三角板DOC的一边时，直接写出此时三角板OEF绕点O的运动时间t（t＞0）的值． 【分析】（1）根据题意、结合旋转变换的性质详解； （2）结合图形得到∠COF+∠DOF＝60°，∠AOE+∠DOF＝45°，计算即可； （3）分四种情形分别求解即可． 【详解】解：（1）∵∠EOF＝45°， ∴OF落在射线OB上时，OF旋转的角度是45°， ∴三角板OEF旋转的角度为45°， 故答案为：45； （2）结论：∠COF﹣∠AOE＝15°． 由图3可知，∠COF+∠DOF＝60°，∠AOE+∠DOF＝45°， ∴∠COF﹣∠AOE＝15°； （3）当EF与OC平行时，t5（s）； 当EF∥OD（OE∥CD）时，t15（s）； 当OF∥CD时，t（s）； 当EF∥OC时，t35 当EF∥CD时，t30（s）； 综上所述，满足条件的t的值为5s或15s或s或35s或30s． 12．（2025春•南京市建邺区校级期中）如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图2，线段AG上有点P，满足ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG． ①若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，则的值是 　 　 ． ②若∠DCH＝30°，将△ABP绕点B旋转α（0°＜α＜180°），当α＝ 　 　 °时，△ABP的一边与CH平行． 【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）①有两种情况：1）当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，先根据已知计算∠ABP＝3x，∠PBG＝x，根据平行线的性质得：∠BCH＝∠AGB＝90°﹣2x，根据角的和与差计算∠ABM，∠GBM 的度数，可得结论；Ⅱ）当M在BP 的上方时，如图6，同理可得结论． ②当AB∥CH时，当BPCH，分别分顺时针与逆时针旋转，求解即可． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠BGA， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD， ∴∠BAG＝∠BGA； （2）解：①有两种情况：Ⅰ）当M在BP的下方时，如图5， 设∠ABC＝4x， ∵∠ABP＝3∠PBG， ∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x， ∵AG∥CH， ∴， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x， ∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5； Ⅱ）当M在BP的上方时，如图6， 同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x， ∴∠ABM：， 综上，的值是5或； ②将△ABP绕点B旋转α（0°＜α＜180°）后，当AB∥CH时，如图， Ⅰ）当逆时针旋转时， ∵∠BCH＝∠BCD﹣∠DCH＝90°﹣30°＝60°， 又∵CH∥AG， ∴∠AGB＝∠BCH＝60°， ∵A'B∥CH， ∴A'B∥AG， ∴∠A'BG＝180°﹣∠AGB＝120°， 由（1）知：∠BAG＝∠AGB＝60°， ∴∠ABG＝180°﹣∠BAG﹣∠AGB＝60°， ∴α＝∠ABA'＝∠A'BG﹣∠ABG＝120°﹣60°＝60°； Ⅱ）当顺时针旋转时， ∵A''B∥CH， ∴A''B∥AG， ∴∠A''BG＝∠AGB＝60°， ∴α＝∠ABA''＝∠A''BG+∠ABG＝60°+60°＝120°； 当BP∥CH，如图， Ⅰ）当逆时针旋转时， ∵∠ABP＝3∠PBG，∠ABG＝60°， ∴∠ABP＝45°，∠GBP＝15°， 同理∠ABP'＝50°， ∴α＝∠ABP+∠ABP'＝45°+60°＝105°； Ⅱ）当顺时针旋转时，∠P''BG＝60°， ∴α＝∠PBG+∠P''BG＝15°+60°＝75°； 综上，将△ABP绕点B旋转α（0°＜α≤180°）当逆时针旋转时，α＝60°或105°，当顺时针旋转时，α＝75°或120°，△ABP的一边与CH平行． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $