精品解析：河北邢台市第一中学2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试题

邢台一中2025－2026学年第二学期第一次月考 高一年级数学试题 考试范围：必修第二册第六章一第七章 高考研究中心 命题人：杨静 一审：胡予平 二审：曹旭 说明： 1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A B. C. D. 7. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知复数，下列说法正确是（ ） A B. 若，则 C. D. 若，则为纯虚数 10. 如图，在中，与交于点，是的靠近的三等分点，是的中点，且有，，则（ ） A B. C. D. 过作直线分别交线段于点，设，（，），则的最小值为2. 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则为的重心 C. 若为的内心，则 D. 若为的外心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 13. 已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 14. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）已知向量，求在上的投影向量的坐标； （3）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，求的最小值． 16. 已知在中，角是的角平分线，且. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 18. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，求锐角周长的取值范围. 19. 已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． （1）试将写成三角形式； （2）当时，求的最大值和最小值． （3）请用复数三角形式乘积公式推导三倍角公式：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2025－2026学年第二学期第一次月考 高一年级数学试题 考试范围：必修第二册第六章一第七章 高考研究中心 命题人：杨静 一审：胡予平 二审：曹旭 说明： 1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 2. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由与共线，可得：，解得：, 所以，则. 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 4. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，AB、AF分别为x，y轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段GF（除）上、在线段GH上运动和在线段AH（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案． 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段AB（除）、线段BC、线段CD，线段DE，线段EF（除）上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，AB、AF分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知到AF的距离为， 则， 直线GF方程为，直线GH的方程为，直线AH的方程为， 当在线段GF（除）上运动时，设， 所以， 当在线段GH上运动时，设， 所以， 当在线段AH（除）上运动时，设， 所以． 的最小值为； 由投影向量的定义可知，当在CD上时，取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故， 故， 所以最大值为 故选：D 5. 已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，则， 所以. 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 7. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得 ， 代入得. 由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 8. 如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D. 【详解】设， 对于A，由，则， 而，则，故A正确； 对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确； 对于D，由，则，而， 可得，则，则为纯虚数，故D正确． 故选：ACD 10. 如图，在中，与交于点，是的靠近的三等分点，是的中点，且有，，则（ ） A. B. C. D. 过作直线分别交线段于点，设，（，），则的最小值为2. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A，B，C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 详解】对于A，B，C，因，依题意，代入， 得，因为三点共线，且三点共线， 所以，得，所以A对，B错； 由可得， 故， 故C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， 由， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：ACD． 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则为的重心 C. 若为的内心，则 D. 若为的外心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，将题设和选项等式中的某个向量分别用其他两个向量表示，得出对应系数相等即得；对于B项，通过取边的中点，将向量等式化简即得；对于C项，利用三角形的内切圆半径将三个小三角形面积表示出来，代入奔驰定理化简即得；对于D项，利用两个已知内角和三角形的外心，求出三个小三角形的对应内角，表示出它们的面积，计算即得. 【详解】对于A项，由可得：， 而由可得：， 因两两互不共线，则必有， 则易得：，故A项错误； 对于B项，由可得①， 如图，不妨取的中点，连接，则有， 代入①式，化简得， 即三点共线，且点是的靠近点的三等分点， 同理可知点也是另两边上的中线的对应三等分点， 故点是的重心，故B项正确； 对于C项，不妨设的内切圆半径为， 则，代入， 可得， 整理得：，故C项正确； 对于D项，不妨设的外接圆半径为， 因为的外心， 则，，， 则. 故，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与“奔驰定理”有关的三角形的内心，外心，重心的性质或判定，属于难题. 解决此类问题的方法主要有： （1）与重心有关时，一般从边的中点入手，设法判断三角形顶点，对边中点和重心三点共线即得； （2）与内心有关时，一般从三角形被内心分成的三个等高三角形的面积入手； （3）与外心有关时，一般从三角形被外心分成的三个相等邻边的三角形面积入手，或者利用正弦定理中的外接圆半径入手. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解. 【详解】复数是纯虚数， 故，解得，故. 13. 已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 14. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，建立平面直角坐标系，设，则，设，则，则由已知可得，从而可得，然后利用正弦函数的性质可求得其范围 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，则, 设，则， 因为， 所以， 所以，解得， 所以，其中， 因为， 所以当时，取得最小值，此时取得最小值1， 当时，取得最大值1，此时取得最大值 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）已知向量，求在上的投影向量的坐标； （3）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，求的最小值． 【答案】（1），且；（2）；（3）-8 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积建立不等式，求出的取值范围； （2）根据在上的投影向量的定义进行计算； （3）利用向量线性运算可得，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果. 【详解】与的夹角为钝角， ，且与不平行， ，且， 又，且与的夹角为， ，且，且， （2）由题意得， 则在上的投影向量是， 即在上的投影向量的坐标为． （3）解：设，则， 是AB的中点，， 当时，取得最小值－8． 16. 已知在中，角是的角平分线，且. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，进而求出，在中，根据正弦定理可求出；（2）由题意知，设，在中，由余弦定理可得到与x的关系，在和中，由余弦定理可求得x，进而可求得面积. 【小问1详解】 因为所以，所以. 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得，即，解得. 【小问2详解】 由知，， 由角平分线定理可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 在中，由余弦定理得，解得或， 当时，，，由得 ， 解得，与矛盾，所以. 所以，，所以的面积为. 17. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. 【小问2详解】 因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 18. 已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，求锐角周长的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【小问1详解】 由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 19. 已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． （1）试将写成三角形式； （2）当时，求的最大值和最小值． （3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】（1），其中. （2）的最大值为3，最小值为0. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式； （2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值； （3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式. 【小问1详解】 设， 则，故， 故，其中. 【小问2详解】 因，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. 【小问3详解】 设，则 ， 但 ， 故，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $