专题02 一元二次方程22类题型（期中复习专项）八年级数学下学期新教材浙教版

专题02 一元二次方程 题型1 一元二次方程的判定 题型12 利用根的判别式判断根的情况 题型2 由一元二次方程的定义求参数（基础题） 题型13 已知根的情况求参数取值范围（重点题） 题型3 由一元二次方程的解求参数（基础题） 题型14 换元法解一元二次方程 题型4“整体带入法”求代数式的值（高频考点） 题型15 利用根与系数的关系求代数式的值 题型5 “降次法”求代数式的值（高频考点） 题型16 利用根与系数的关系求参数 题型6 一元二次方程解的估算 题型17 根与系数的关系综合解答（重点题） 题型7 因式分解解一元二次方程相关求解 题型18 根与系数关系中新定义类运算 题型8 判断配方后是否正确（重点题） 题型19 传播问题（常考题） 题型9 利用配方法求参数 题型20 增长率问题（常考题） 题型10 公式法解一元二次方程相关求解 题型21 与图形有关的问题（常考题） 题型11 解一元二次方程（计算题）（高频考点） 题型22 营销问题（常考题） 题型一 一元二次方程的判定（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后“；“一个未知数“；“未知数的最高次数是2“；“二次项的系数不等于0“；“整式方程“． 利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】A、方程是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义； B、方程含两个未知数和，属于二元二次方程，不符合“一元”条件； C、方程中，为分式，不是整式方程，因此不符合要求； D、方程中，未知数的最高次数为1，属于一元一次方程． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】解：A． 是代数式，不是方程，排除． B． 是一元一次方程，最高次数为1，排除． C． 可整理为 ，符合一元二次方程的定义． D． 含有两个未知数和，是二元二次方程，排除． 故选：C 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．由一元二次方程的定义分别判断各选项即可． 【详解】解：A. 方程含两个未知数和，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B. 整理为，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C. 方程右边含，分母含未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意； D. 展开后，化简为，是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断即可． 【分析】解：A. 方程移项整理为，符合一元二次方程的形式，满足条件； B. 方程展开后为，是一元一次方程，不符合条件； C. 方程含有两个未知数，属于二元一次方程，不符合条件； D. 方程中最高次数为3，是一元三次方程，不符合条件； 综上，只有选项A是一元二次方程； 故选：A． 题型二 由一元二次方程的定义求参数（共4小题） 1．（25-26九年级上·天津南开·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零求解即可． 【详解】由题意得：， 解得． 故答案为：． 题型三 由一元二次方程的解求参数（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 根据题意，把代入方程，得到关于a的等式，即可求得结果． 【详解】解： 是关于x的一元二次方程的一个解， ，解得． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用根的定义得到关于的等式，再对所求式子进行变形求值． 因为是方程的根，所以将代入方程可得，变形得到，再将其代入所求式子进行计算． 【详解】已知是方程的一个根，把代入方程中， 根据方程根的定义，方程左右两边相等，可得： ，移项得到， 对于式子，可变形为， 把代入变形后的式子： 所以的值是2025， 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程的一个解为，则________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，据此将代入方程，得到关于m的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个解为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，已知方程的一个根就将这个根代入方程求参数的值是解题关键． 根据题意将代入方程可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入中得到关于n的方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴，解得：． 故答案为：． 题型四 “整体带入法”求代数式的值（共2小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的方程的一个根为，求______． 【答案】 【分析】本题考查方整式求值，熟练掌握整体代入法是解题关键． 由题目可知 满足方程 ，得到 ，整理表达式即可求解． 【详解】解：因为方程 的一个根为 ， 所以 满足方程 ，即 ， 所以 故答案为： 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为：． 题型五 “降次法”求代数式的值（共3小题） 1．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知m是方程的根，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．由题意可知，是方程的根，因此．将代数式的中的用该等式替换，即可化简求值． 【详解】解：是方程的根， ． ． ． 故答案为：2． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）若是方程的根，则代数式的值是_____________． 【答案】2025 【分析】由方程根的定义，得到，然后通过代数变形求出的值，解答即可． 本题考查了一元二次方程的解的定义，完全平方公式的变形求值，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得，即； 由于，将方程两边除以，得，即， 两边平方，得，即， ∴，即， 故， 故答案为：2025． 3．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）已知m为方程的根，那么的值为______． 【答案】125 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，进一步可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：125． 题型六 一元二次方程解的估算（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）根据所给的表格，估计一元二次方程 的一个近似解x，则x的整数部分是（   ） x 0 1 2 3 13 30 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解，观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围是解本题的关键． 通过表格数据，观察表达式值的变化，确定根所在区间，从而得到整数部分． 【详解】解：观察表格得到时，， 时，， 故方程的一个解在和之间， 故的整数部分为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山西运城·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 题型七 因式分解解一元二次方程相关求解（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 【答案】或 【分析】先解出方程的两个根为6和8，再分长是8的边是直角边和斜边两种情况进行讨论． 【详解】解：∵， ∴和， ∴①方程的两根6和8为直角边；②较大根8为斜边，较小根6为直角边； 当长是8的边是直角边时，则斜边； 长是8的边也可是斜边． 故斜边长是或． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是________． 【答案】0或2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解新定义的运算方法是解题的关键． 按照相应的运算方法与顺序，让得到的含的一元二次方程的结果为，列式求值即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， 解得：或． 故答案为：0或2 ． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）写一个解为，的一元二次方程____________．（答案不唯一） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解一元二次方程的解的定义，难度不大． 根据一元二次方程的定义直接构造即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】20 【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴ 则， 即， ∵4，4，8不能构成三角形， ∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4， ∴ ∴周长为20． 故答案为：20． 题型八 判断配方后是否正确（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤． 利用配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为完全平方式． 【详解】， ， ， ， 故选∶D． 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键；二次系数为1的时候，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可得． 【详解】解：； ； 两边同时加上4，得， 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，化简将方程左边配成完全平方形式即可． 【详解】解：． 移项：将常数项移到右边，得． 配方：配方时，系数为 ，取其一半的平方，即 ． 保持等式平衡：． 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：． 因此，配方后的方程为 ． 故选：B． 题型九 利用配方法求参数（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则___． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，将配方得出，从而可得，，代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵把一元二次方程化为， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为____． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是________． 【答案】20 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．根据配方法的一般步骤，将配方为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 故答案为：20． 题型十 公式法解一元二次方程相关求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； 故选B． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 3．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将原等式化简为关于的一元二次方程，求解后根据的条件舍去不符合的根，即可得到结果. 【详解】设，，则. ，， 将代入等式，两边同乘（）得： 左边通分得， 两边都乘去分母，得， 展开整理得， ∴， ∴， ， ， 舍去负根， 得， 即. 故选：A. 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 题型十一 解一元二次方程（计算题）（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 开方，得， 解得，； （2）解： ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 解得，． （2）解：， 方程变形为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）使用配方法进行求解即可； （2）使用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用直接开平方法求解； （3）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 或， ∴； （2）解： 或 ∴； （3）解： ， ， ∴． 题型十二 利用根的判别式判断根的情况（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程，方程的根的判别式解答即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，其中a，b满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，将已知条件代入方程，整理成标准形式后计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：由得， 代入原方程： 左边：， 右边：． 将方程整理为： ， 化简得：． 判别式． 因， 则方程无实数根， 故选A． 3．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（    ） A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根； B．当，，时，方程一定没有实数根； C．当，时，方程一定没有实数根； D．当，，时，方程一定有实数根． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“若方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根”进行排除选项即可． 【详解】解：A、由，可得：，，所以，则方程有两个相等的实数根，故不符合题意； B、当时，满足，，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意； C、当时，满足，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意； D、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即方程一定有实数根；故该选项正确，符合题意； 故选D． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）已知一元二次方程和．在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若， 则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根， 则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（  ） A．甲乙都正确 B．甲乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式，根的定义，计算判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴两个方程都有两个不相等的实数根，故甲同学的看法正确； 若是方程 的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根； 若是方程 的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根； 故乙同学的看法正确， 故选：A． 题型十三 已知根的情况求参数取值范围（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查元二次方程根的判别式，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个不相等的实数根．计算判别式并解不等式，确定k的取值范围，再结合选项判断． 【详解】解：方程的判别式为： 当时，方程有两个不相等的实数根，即： ， 解得或． 选项中只有满足． 故选D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B．，且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元二次方程解的情况求参数，根据一元二次方程定义得到，再由关于的一元二次方程无实数根，得到，解不等式即可得到答案．熟记一元二次方程定义及一元二次方程判别式与根的情况是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ，， 解得， 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． 故答案为：． 题型十四 换元法解一元二次方程（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是__________． 【答案】， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：，那么_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，设，将已知方程转化为关于的新方程，通过解新方程得到即的值． 【详解】解：设，则． 整理，得． 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，，， 故答案为：，． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是___． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程换元法，利用关于的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为和． 故答案为：，． 题型十五 利用根与系数的关系求代数式的值（共6小题） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）关于的方程的解分别为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解以及根与系数的关系，利用根与系数的关系求出 和 ，然后将所求表达式化简为 ，并代入 得出结果． 【详解】方程化为一般形式为， 由于、是方程的解，根据根与系数的关系，有，， 所求表达式 展开并化简： ， 两式相减得： ， 分组并提取公因式： ， 代入， 得， 因此：． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据方程的解得到，根与系数的关系，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：0． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系先求出，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为________． 【答案】13或10 【分析】本题考查的是解一元二次方程，完全平方公式等知识点，掌握根的判别式是解题的关键． 根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，因此根的判别式为平方数，然后对一元二次方程根的判别式进行讨论求出值，可得到直角三角形斜边的长． 【详解】解：设直角三角形两直角边长为，则， ∵方程的根为整数， ∴为完全平方数， 设 整理得， ①当时， ∴ 解得（舍去）； ②当时， ∴ 解得， ∴直角三角形的斜边长为； ②当时， ∴ 解得， ∴直角三角形的斜边长为； 综上，该直角三角形的斜边长为13或10. 故答案为：13或10. 5．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于_______． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可．此题考查了一元二次方程的根和根与系数关系，整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则 ， 故答案为：4051． 题型十六 利用根与系数的关系求参数（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·月考）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两根，则_____． 【答案】6或 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，以及，方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 分3是底边和3是腰长，两种情况进行讨论． 【详解】解：当3是底边时，另两边为腰，长度相等，则有两个相等的实数根， ∴， ∴， 方程为：，解得， ，满足题意； 当3是腰长时，则3是的一个根，设另一个根为， 则：， ∴，； ，满足题意； 故6或． 故答案为：6或 2．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把转换为，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 经检验，是分式方程的解， 又∵方程有两个实数根， ∴， 当时，， 当时，， ∴符合条件的m的值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程根与系数关系得到，根据两根在数轴上对应的点的距离为4得到，代入后即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：B 题型十七 根与系数的关系综合解答（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明： ， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握根的判别式与方程的根的个数之间的关系是解题的关键： （1）运用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据根与系数的关系可得、，然后代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程 ， ∴方程总有2个实数根； （2）解：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴，解得：． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是； (3)的值为． 【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程得，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得． 即的取值范围是； （3）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 化简得， 解得，， 由（）可知，， 所以的值为． 题型十八 根与系数关系中新定义类运算（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)③ (2)或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：设的两个根为，， 由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“连根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数）是“连根方程”，请直接写出之间满足的关系式． 【答案】(1)是连根方程 (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，掌握“连根方程”的定义，是解题的关键． （1）因式分解法解方程，根据“连根方程”的定义，进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为，则另一个根为，根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程； （2）∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）方程（是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)方程是“差根方程”，见解析 (2)，， (3)方程是“差根方程”，它的根是，或， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 题型十九 一元二次方程实际应用之传播问题（共3小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为______ ． 【答案】14 【分析】第一轮共感染人，第二轮共感染（人），根据经过两轮传染将会有人感染，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型二十 一元二次方程实际应用之增长率问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 设平均每次降低成本的百分率为，则由题意得，，计算满足要求的的值即可． 【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为， 则由题意得，， 解得，或（不合题意，舍去）， ∵， ∴平均每次降低成本的百分率为， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为___. 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第一天票房约200万元，根据增长率为x得出第二天为万元，第三天为元，根据三天后累计票房收入共728万元，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：将增长率记作x， 根据题意得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 4．（23-24八年级下·浙江金华·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 (2)该零部件的实际售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【详解】（1）解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． （2）解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 题型二十一 一元二次方程实际应用之与图形有关的问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）解：不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度），用长的篱笆围出一个矩形菜园． 问题初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和长的篱笆围出矩形菜园，设，矩形菜园的面积为，完成下题： （1） （用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为时，则的长为多少？ 问题续探 矩形菜园面积能否超过？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【答案】问题初探：（1）；（2）；变式探究：能，见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，列代数式； （1）设，由长的篱笆减去即可得到答案； （2）设，则，可得，再解方程即可； 变式探究：当，时，满足条件，再画图即可． 【详解】解：问题初探：（1）由题意可得：， （2）设，则， ∴， ∴， 解得， ，                                                        当时，，不符合题意，         ∴． 变式探究：能，示意图如下： 此时面积为：，符合题意． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 【答案】任务1：通道的宽应设计成10米；任务2：每平方米草莓应该降价40元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米，根据长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，其余六块部分种植草莓．使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，列出一元二次方程求解即可； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元，根据每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．农户预期一个月的总利润（总利润=销售利润-承包费）为52万元，列出一元二次方程求解并取最大值即可． 【详解】解：任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 答：通道的宽应设计成10米； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵让购买草莓的客户获得更大的优惠， ∴每平方米草莓应该降价40元． 答：每平方米草莓应该降价40元． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：不能，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是， ，则 ，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 【详解】任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：解：由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 题型二十二 一元二次方程实际应用之营销问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售数量即可； （）设每件商品降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：根据题意得：若降价元，则平均每天的销售数量为件； （2）解：设每件商品降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件盈利不少于元， ∴，解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)单价应定为8元或12元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握利润、进价、售价、销量的关系是解题的关键． （1）根据利润售价进价和“水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克”填空； （2）根据总利润等于每千克利润乘以销量，由此列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：每千克水果的利润：（元）， 每天的销售量：（千克）， 故答案为：，； （2）解：由题意知， ． 化简得：． 解得，． （元），（元）， 答：单价应定为8元或12元． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利___________元． (2)在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ (3)该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)14000 (2)降价30元 (3)不能达到，见解析 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程是解题的关键： （1）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出算式进行计算即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可； （3）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：14000； （2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价元，依据题意列方程得， ， 整理得， 解得； 要求每箱饮料获利大于80元， ， 答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元； （3）， 整理得， ， 方程无解， 答：每天销售饮料获利不能达到15000元． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键； （1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克核桃应降价元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 题型1 一元二次方程的判定 题型12 利用根的判别式判断根的情况 题型2 由一元二次方程的定义求参数（基础题） 题型13 已知根的情况求参数取值范围（重点题） 题型3 由一元二次方程的解求参数（基础题） 题型14 换元法解一元二次方程 题型4“整体带入法”求代数式的值（高频考点） 题型15 利用根与系数的关系求代数式的值 题型5 “降次法”求代数式的值（高频考点） 题型16 利用根与系数的关系求参数 题型6 一元二次方程解的估算 题型17 根与系数的关系综合解答（重点题） 题型7 因式分解解一元二次方程相关求解 题型18 根与系数关系中新定义类运算 题型8 判断配方后是否正确（重点题） 题型19 传播问题（常考题） 题型9 利用配方法求参数 题型20 增长率问题（常考题） 题型10 公式法解一元二次方程相关求解 题型21 与图形有关的问题（常考题） 题型11 解一元二次方程（计算题）（高频考点） 题型22 营销问题（常考题） 题型一 一元二次方程的判定（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．2 C． D． 题型二 由一元二次方程的定义求参数（共4小题） 1．（25-26九年级上·天津南开·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则________． 3．（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 4．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 题型三 由一元二次方程的解求参数（共5小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程的一个解为，则________． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则__________． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为___________． 题型四 “整体带入法”求代数式的值（共2小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的方程的一个根为，求______． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 题型五 “降次法”求代数式的值（共3小题） 1．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知m是方程的根，则的值为______． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）若是方程的根，则代数式的值是_____________． 3．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）已知m为方程的根，那么的值为______． 题型六 一元二次方程解的估算（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）根据所给的表格，估计一元二次方程 的一个近似解x，则x的整数部分是（   ） x 0 1 2 3 13 30 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26九年级上·山西运城·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 题型七 因式分解解一元二次方程相关求解（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是________． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）写一个解为，的一元二次方程____________．（答案不唯一） 4．（24-25八年级下·浙江·期中）如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为_________． 题型八 判断配方后是否正确（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 题型九 利用配方法求参数（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则___． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为____． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是________． 题型十 公式法解一元二次方程相关求解（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 3．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 题型十一 解一元二次方程（计算题）（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1) ； (2) ． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) (3) 题型十二 利用根的判别式判断根的情况（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，其中a，b满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（    ） A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根； B．当，，时，方程一定没有实数根； C．当，时，方程一定没有实数根； D．当，，时，方程一定有实数根． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）已知一元二次方程和．在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若， 则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根， 则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（  ） A．甲乙都正确 B．甲乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 题型十三 已知根的情况求参数取值范围（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B． C．4 D．5 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B．，且 C． D． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 题型十四 换元法解一元二次方程（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是__________． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：，那么_________． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程的解是，，则方程的解是______． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是___． 题型十五 利用根与系数的关系求代数式的值（共6小题） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）关于的方程的解分别为，则的值为___________． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为_______． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为___________． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为________． 5．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于_______． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 题型十六 利用根与系数的关系求参数（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·月考）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两根，则_____． 2．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为__________． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 题型十七 根与系数的关系综合解答（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 题型十八 根与系数关系中新定义类运算（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“连根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数）是“连根方程”，请直接写出之间满足的关系式． 3．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 题型十九 一元二次方程实际应用之传播问题（共3小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为______ ． 题型二十 一元二次方程实际应用之增长率问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是______． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为___. 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 4．（23-24八年级下·浙江金华·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 题型二十一 一元二次方程实际应用之与图形有关的问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）综合与实践 矩形菜园最大面积探究 情境 数学拓展课上，老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题．若校园空地上有一面墙（长度），用长的篱笆围出一个矩形菜园． 问题初探 如图1，兴趣小组利用墙（不超过墙长）和长的篱笆围出矩形菜园，设，矩形菜园的面积为，完成下题： （1） （用含x的代数式表示） （2）若矩形菜园面积为时，则的长为多少？ 问题续探 矩形菜园面积能否超过？如果能，请在图2中画出矩形菜园面积最大的方案示意图（标注边长）． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 题型二十二 一元二次方程实际应用之营销问题（共3小题） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利___________元． (2)在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ (3)该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 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