专题11 函数y=Asin（wx+φ）的图像与性质7大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题11 函数y=Asin（wx+φ）的图像与性质 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、相位变换及解析式特征 题型二、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 题型三、求图象变化前（后）的解析式 题型四、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 题型五、由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型六、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 题型七、正、余弦型三角函数图象的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 相位变换及解析式特征 掌握振幅、周期、频率、初始相位的定义，能根据已知参数求函数解析式，能结合平移后的函数图象求平移后的解析式 基础必考点，选择、填空均有考查，易错点为初始相位的定义混淆 描述正（余）弦型函数图象的变换过程 掌握三角函数图象的平移、伸缩变换规则，能准确描述变换过程，能区分“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的差异 高频基础考点，选择、填空题型为主，易错点为x系数不为1时平移单位的计算错误 求图象变化前（后）的解析式 能根据平移、伸缩变换求变换前后的函数解析式，能结合变换后函数的对称轴、零点、最值等性质求参数，能解决零点个数相关的参数范围问题 中档必考点，填空、解答题均有考查，常以两小问解答题形式出现，易错点为平移方向搞反、伸缩变换时x的系数处理错误 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 能先完成图象的平移、伸缩变换得到目标函数解析式，再求函数的单调性、对称性、零点、值域等性质，能结合恒成立问题求参数 填空压轴常考点，难度中等偏上，易错点为变换顺序错误导致解析式错误，进而性质求解错误 由图象确定正（余）弦型函数解析式 掌握“五点法”求解析式的步骤，能从函数图象中提取振幅、周期、特殊点坐标，准确求出A、ω、φ的值 高频核心考点，填空、解答题均有考查，易错点为φ的取值范围判断错误、特殊点代入计算错误 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 能根据函数的振幅、周期、频率、初始相位、对称性、过定点等性质求解析式，能解决摩天轮等三角函数实际应用问题 解答题核心考点，易错点为实际问题中初始位置对应的φ值计算错误 正、余弦型三角函数图象的应用 能结合函数图象解决单调性、最值、零点个数、函数新定义等综合问题，能利用数形结合思想分析参数范围问题 填空压轴+解答题压轴必考点，难度较大，易错点为图象分析不全面、参数范围的临界值判断错误 知识点01 函数的有关性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 对称性 对称中心 ； 对称轴 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时，既不是奇函数也不是偶函数 单调区间 单调掉区间： ； 单调减区间：. 题型一、相位变换及解析式特征 【典例01】（上海黄浦期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海期中）函数的初始相位为______. 【变式2】（23-24高一下·上海期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 题型二、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 解｜题｜技｜巧 的 图 像 变 换 得 到 函 数 的图像时，注意 的值与图像的长度变化成反比，当 时缩短或当 时伸长到原来的 倍． 【典例02】（24-25高一下·上海期中）对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【变式1】（24-25高一下·上海期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 【变式2】（23-24高一下·上海期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 题型三、求图象变化前（后）的解析式 解｜题｜技｜巧 已知两个函数的解析式，判断其图像间的平移关系的步骤： （1）将两个函数解析式化简成 与 ，即 及名称相同的结构； （2）找到 ，变量 加＂或＂减＂的量，即平移的单位长度 ； （3）明确平移的方向． 【典例03】（24-25高一下·上海黄浦期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 【变式1】（23-24高一下·上海奉贤期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①函数的最小正周期为； ②函数的图象关于对称； ③是函数的一个零点； ④函数在上为严格减函数． A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【变式2】（24-25高一下·上海闵行期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 【变式3】（24-25高一下·上海闵行期中）已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 【变式4】（24-25高一下·上海浦东新区期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 题型四、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【典例04】（上海闵行期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为____________. 【变式1】（上海闵行期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为____________. 【变式2】（23-24高一下·上海期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是__________. 题型五、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【典例05】（24-25高一下·上海长宁期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 【变式1】（24-25高一下·上海闵行期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【变式2】（24-25高一下·上海期中）根据下图，函数的解析式为______    【变式3】（24-25高一下·上海普陀期中）函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 【变式4】（24-25高一下·上海期中）函数的图象如图，则 的值为_____. 【变式5】（24-25高一下·上海嘉定期中）已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 题型六、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【典例06】（24-25高一下·上海期中）函数的振幅是2，频率是，初始相位是，则它的解析式为__________. 【变式1】（24-25高一下·上海闵行期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 【变式2】（24-25高一下·上海期中）主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为函数，，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上严格减； ③存在自然数，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为__________（请写出所有正确命题的序号）. 【变式3】（24-25高一下·上海期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 题型七、正、余弦型三角函数图象的应用 【典例07】（23-24高一下·上海期中）设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是__________. 【变式1】（上海浦东新区区期中）已知函数且，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）当且仅当时，； （3）对任意，恒成立. 上述命题中正确的序号是 ________ 【变式2】（23-24高一下·上海期中）定义有序实数对的“跟随函数”为． (1)记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； (3)记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【变式3】（上海徐汇期中）已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【变式4】（上海奉贤期中）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”． (1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围； (2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·上海嘉定期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 2．（23-24高一下·上海浦东新区期中）函数的初始相位为____________. 3．（24-25高一下·上海期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：_______________    4．（24-25高一下·上海期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________． 5．（24-25高一下·上海青浦期中）已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海长宁期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 2．（24-25高一下·上海期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 3．（24-25高一下·上海期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·上海黄浦期中）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海期中）函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________. 3．（24-25高一下·上海宝山期中）已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 函数y=Asin（wx+φ）的图像与性质 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、相位变换及解析式特征 题型二、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 题型三、求图象变化前（后）的解析式 题型四、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 题型五、由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型六、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 题型七、正、余弦型三角函数图象的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 相位变换及解析式特征 掌握振幅、周期、频率、初始相位的定义，能根据已知参数求函数解析式，能结合平移后的函数图象求平移后的解析式 基础必考点，选择、填空均有考查，易错点为初始相位的定义混淆 描述正（余）弦型函数图象的变换过程 掌握三角函数图象的平移、伸缩变换规则，能准确描述变换过程，能区分“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的差异 高频基础考点，选择、填空题型为主，易错点为x系数不为1时平移单位的计算错误 求图象变化前（后）的解析式 能根据平移、伸缩变换求变换前后的函数解析式，能结合变换后函数的对称轴、零点、最值等性质求参数，能解决零点个数相关的参数范围问题 中档必考点，填空、解答题均有考查，常以两小问解答题形式出现，易错点为平移方向搞反、伸缩变换时x的系数处理错误 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 能先完成图象的平移、伸缩变换得到目标函数解析式，再求函数的单调性、对称性、零点、值域等性质，能结合恒成立问题求参数 填空压轴常考点，难度中等偏上，易错点为变换顺序错误导致解析式错误，进而性质求解错误 由图象确定正（余）弦型函数解析式 掌握“五点法”求解析式的步骤，能从函数图象中提取振幅、周期、特殊点坐标，准确求出A、ω、φ的值 高频核心考点，填空、解答题均有考查，易错点为φ的取值范围判断错误、特殊点代入计算错误 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 能根据函数的振幅、周期、频率、初始相位、对称性、过定点等性质求解析式，能解决摩天轮等三角函数实际应用问题 解答题核心考点，易错点为实际问题中初始位置对应的φ值计算错误 正、余弦型三角函数图象的应用 能结合函数图象解决单调性、最值、零点个数、函数新定义等综合问题，能利用数形结合思想分析参数范围问题 填空压轴+解答题压轴必考点，难度较大，易错点为图象分析不全面、参数范围的临界值判断错误 知识点01 函数的有关性质 函数 定义域 值域 周期性 最小正周期 对称性 对称中心 ； 对称轴 奇偶性 当 时是奇函数； 当 时是偶函数； 当 时，既不是奇函数也不是偶函数 单调区间 单调掉区间： ； 单调减区间：. 题型一、相位变换及解析式特征 【典例01】（上海黄浦期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、相位变换及解析式特征 【分析】依题意可得，，从而可求得，结合平移后的函数图象可确定的取值范围，继而可得的值，最后得函数的解析式． 【详解】解：函数的图象向左平移个单位，为， 由图象得：①， 解得：，又有图可知，最小正周期满足，即② 结合①②得： 平移后的图象所对应的函数的解析式为：. 故选：C． 【变式1】（24-25高一下·上海期中）函数的初始相位为______. 【答案】 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·上海期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 【答案】(1)，，. (2) 【知识点】振幅变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、相位变换及解析式特征、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）由振幅、初始相位定义以及最小正周期公式即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）由题得，即. （2）由（1）得函数的表达式为. 题型二、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 解｜题｜技｜巧 的 图 像 变 换 得 到 函 数 的图像时，注意 的值与图像的长度变化成反比，当 时缩短或当 时伸长到原来的 倍． 【典例02】（24-25高一下·上海期中）对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】A 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据题意利用平移规则可知向右平移即可满足题意. 【详解】易知将向右平移个单位可得. 故选：A 【变式1】（24-25高一下·上海期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据条件，利用图象的变换，即可求解. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移个单位得到， 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·上海期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、二倍角的正弦公式 【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数值域的求解方法，以及平移规律，即可判断选项. 【详解】， 对于①，当时，，可得，可得的取值范围为，故①错误； 对于②，向右平移个单位长度得到，故②正确 故选：C 题型三、求图象变化前（后）的解析式 解｜题｜技｜巧 已知两个函数的解析式，判断其图像间的平移关系的步骤： （1）将两个函数解析式化简成 与 ，即 及名称相同的结构； （2）找到 ，变量 加＂或＂减＂的量，即平移的单位长度 ； （3）明确平移的方向． 【典例03】（24-25高一下·上海黄浦期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数的朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 令， 解得， 当时，得对称轴方程为， 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海奉贤期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①函数的最小正周期为； ②函数的图象关于对称； ③是函数的一个零点； ④函数在上为严格减函数． A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可求解． 【详解】由题可知，， ，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 当时，， 因为在单调递增，所以④错误； 故选：C． 【变式2】（24-25高一下·上海闵行期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 【答案】/ 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，可得， 则或， 解得或， 所以的取值大于等于的零点从小到大依次为， 若在上至少有个零点， 则不小于第个零点的横坐标即可， 所以的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（24-25高一下·上海闵行期中）已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【知识点】二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可； （2）令，求得该不等式在内的解即可； （3）利用图象变换求得解析式，再根据第100个最值点列不等式求解即可. 【详解】（1） （2）对于，令， 求得， 可得函数的单调减区间为，， 故函数在区间上的单调减区间为，． （3）将函数的图象向右移动个单位，可得的图象； 再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值， 根据当时，在区间上正好有100个最大值， ，求得，故实数的取值范围为． 【变式4】（24-25高一下·上海浦东新区期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值； （2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可； （3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值. 【详解】（1）由题意可得：. 因为，所以的最小值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 （3）当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 题型四、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【典例04】（上海闵行期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为____________. 【答案】， 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 令，， 解得，， 则的单调递减区间为，， 故答案为：， 【变式1】（上海闵行期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为____________. 【答案】 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 【变式2】（23-24高一下·上海期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】先根据三角函数图象变换判断当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数即可. 【详解】由题意，当时，在内无零点，又不可能有7个零点，故当时不满足题意； 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，最小值为. ①当时，即时，无零点，则当时， 有7个零点，此时， 即，故零点分别为时取得. 故，解得； ②当，即时，有一个零点. 此时有6个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得. 又满足，故满足条件题意； ③当，即时，由对勾函数的性质可得在上有1个零点，又，则 1.当，即时，在上有1个零点， 故有2个零点， 此时有5个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得，综上有 2.当，即时，在上无零点， 故有1个零点， 此时有6个零点，即，不满足； 综上有或或. 故答案为： 题型五、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【典例05】（24-25高一下·上海长宁期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________ 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解. 【详解】由图象知，，，即， 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海闵行期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 【变式2】（24-25高一下·上海期中）根据下图，函数的解析式为______    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据函数图像判断函数性质，进而确定函数解析式. 【详解】由图像可知函数最小值为，且最小正周期， 又，， 则，， 根据函数的对称性可知函数经过点， 即， 解得，， 又， 即， 即， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海普陀期中）函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______. 【答案】， 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】求函数的最小正周期，条件可转化为与关于对称，且，由此可求的值，的范围. 【详解】因为，所以函数的最小正周期， 所以函数在区间上的图象为一个周期的图象， 又函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，， 所以与关于对称，且， 所以，即， 故，所以， 故答案为：，. 【变式4】（24-25高一下·上海期中）函数的图象如图，则 的值为_____. 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由函数的周期性求函数值 【分析】先由函数图象得到符合题意的的表达式，再求出一个周期的值，再根据函数的周期性求值即可. 【详解】由图象可知，，解得， 又因为，所以，所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，因为，令，可得， 所以. 所以， 因为，所以， 因为一共有2026项，且， 所以. 故答案为： 【变式5】（24-25高一下·上海嘉定期中）已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用正弦型函数图象观察可得，利用代入最高点可得，从而可得解析式； （2）利用正弦函数单调递增区间即可解得； （3）利用定义域可得正弦函数的值域，从而可得函数值域. 【详解】（1）根据图象可得：，， 由，因为，所以解得， 此时，代入最高点可得; ，可得，， 又因为，所以， 即； （2）由，，解得，， 所以的递增区间为； （3）当时，，此时有， 即的值域为. 题型六、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【典例06】（24-25高一下·上海期中）函数的振幅是2，频率是，初始相位是，则它的解析式为__________. 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据振幅，频率，初始相位，求出对应的参数，即可求解. 【详解】由振幅是2，得，由频率是，得周期为，则，解得， 由初始相位是，得，所以解析式为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海闵行期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海期中）主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线为函数，，且经过点，给出以下四个命题： ①函数是奇函数； ②函数在区间上严格减； ③存在自然数，使得； ④存在常数，对于任意实数，使得. 其中正确的命题为__________（请写出所有正确命题的序号）. 【答案】①②④ 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、函数奇偶性的定义与判断、用和、差角的正弦公式化简、求值、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】求出函数解析式可得，经验证可得函数是奇函数，即①正确，利用整体代换法并根据正弦函数单调性可判断②正确，根据三角函数周期性计算可得，且，因此③错误；结合诱导公式以及三角恒等变换计算可得当时，符合题意，可得④正确. 【详解】由经过点可得， 即，可得， 又，因此可得； 所以； 对于①，易知为奇函数，即①正确； 对于②，当时，， 结合正弦函数图象性质可得函数在区间上严格减；即②正确. 对于③，易知函数的最小正周期为， 且，易知， 所以的最大值为2，即， 所以不存在自然数，使得；即③错误； 对于④，根据题意可得 ， 因此存在常数，对于任意实数，使得，即④正确. 故答案为：①②④ 【变式3】（24-25高一下·上海期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用、解余弦不等式 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 题型七、正、余弦型三角函数图象的应用 【典例07】（23-24高一下·上海期中）设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，可得①；或且②，分别解①②，求得的范围. 【详解】（其中）既没有最大值，也没有最小值， 且，可得；或且，可得； 结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合. 故答案为：. 【变式1】（上海浦东新区区期中）已知函数且，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）当且仅当时，； （3）对任意，恒成立. 上述命题中正确的序号是 ________ 【答案】（2）（3） 【知识点】辅助角公式、正、余弦型三角函数图象的应用、求cosx(型)函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据解析式可得且，进而画出其一个周期内的图象，数形结合及其周期性判断各项的正误即可. 【详解】由，即， 所以， 由，即， 所以， 综上，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，该周期内的区间为， 故恒有，（1）错，（2）对； 当，时，； 当时，； 当时，； 综上，任意，恒成立，（3）对. 故答案为：（2）（3） 【变式2】（23-24高一下·上海期中）定义有序实数对的“跟随函数”为． (1)记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； (3)记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)；. 【知识点】函数新定义、奇偶函数对称性的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】(1)由题意整理，再由偶函数的定义列出等式计算即可； (2)根据自变量的不同范围解出函数的解析式，利用辅助角公式对函数进行化简，结合函数的图像和与直线有且仅有四个不同的交点，求得实数的取值范围； (3)根据题意整理出，分别讨论：显然不成立；时，通过，推出，画出的图象，根据图象即可得出所求. 【详解】（1）由题意有序数对的“跟随函数”为， 若为偶函数，有， 故， 整理得，故； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，   在和上递增，在和上递减， ，，由图象可知，时， 函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）因为有序实数对的“跟随函数”为， 所以有序数对的“跟随函数”， 故， 时，显然不成立； 时，， 即，的定义域为， 设，则， 在上单调递增，且， 函数在上单调递减，所以在上单调递减； 同理，在和上单调递增；在上单调递减； ，，的周期为， 所以的函数图象如图所示，    在上，直线与的图象恰有奇数个交点， 结合图象，可得时，. 综上，，在上有个零点. 【变式3】（上海徐汇期中）已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【答案】(1)， (2)． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解； (2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解. 【详解】（1）， 当时，， 因为，取， ， 将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后， ， （2）由（1）得， ， 不妨设或，显然 若，则在上必有偶数个零点， 所以中至少有一个为或， 不妨设， 当，则（舍）； 当，则， 此时在上有3个零点， 又， 即， 综上所述，． 【变式4】（上海奉贤期中）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”． (1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围； (2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或或. 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义、充要条件的证明、正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】（1）根据函数解析式计算，，，根据“跃点”函数的定义，利用辅助角公式和三角函数的性质求得实数的取值范围； （2）先将“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价转化为“对于任意实数，关于的方程都有解”，然后利用取特值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性； （3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案. 【详解】（1）由已知得存在实数，使得， ∴， ∴实数m的取值范围是. （2）由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于： 对是任意实数，关于的方程都有解， 则对于时有解，即,∴； 反之，当时，,等价于 ，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解. 综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； （3）由已知得，， 化简得，的最小正周期为； 根据函数在上的图象可知： ①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”； ②当时，在有个“跃点”，此时； ③当或时，在上有个“跃点”，故； 综上：或或. 【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·上海嘉定期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据题意，由三角函数的平移变换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移得到的. 故选：B 2．（23-24高一下·上海浦东新区期中）函数的初始相位为____________. 【答案】 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的初始相位为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：_______________    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先由图像可得，然后将代入解析式可得，即可得到结果. 【详解】由图像可知，，，则，所以， 即， 将代入可得，即， 解得，且， 当时，， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海期中）已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值. 【详解】因为最小正周期为， 所以，解得，所以． 将的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 根据所得图象关于轴对称，可得，解得， 又，所以． 故答案为：． 5．（24-25高一下·上海青浦期中）已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 【答案】. 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图像求出周期和振幅，再根据最大值点求出. 【详解】由图可知，， 当时，函数取得最大值2， 故， 所以，又， 所以， 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海长宁期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、三角函数的化简、求值——诱导公式、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·上海期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 3．（24-25高一下·上海期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟．如图2，设座舱距离地面最近的位置为点， (1)游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式，； (2)坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．小明能有多长时间感受这个过程？ (3)小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有13个座舱，求从小明坐上摩天轮座舱开始计时，到小明运行一周结束计时，问在什么时刻两人距离地面的高度差最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【详解】（1）， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，； （2）由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. （3）由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·上海黄浦期中）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据函数零点情况及方程可得，进而确定函数解析式及函数性质，即可得解. 【详解】由， 得， 令， 即， 整理得， 即， 所以或， 即，或，， 即，或，， 又当时，， 函数有且仅有一个零点，得，即， 当，时，，，， 此时或，使得，不符合要求； 当，时，，或，， 当时，，函数在上无零点， 当时，，当且仅当时，，符合要求， 因此，， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 故选：A. 2．（24-25高一下·上海期中）函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________. 【答案】 【知识点】cos2x的降幂公式及应用、求图象变化前（后）的解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用二倍角公式得，根据题意知的周期相同，得，由图像变换得到，再由函数的最大值为10，知同时取最大值，得到，从而求得的最小值. 【详解】， 对任意实数，，当时，都有成立，则有相同的周期，故， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取最大值. 所以，,所以的最小值为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海宝山期中）已知函数，其中． (1)若，且，求的解析式； (2)若，函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（m、且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，其中，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，即可得函数解析式； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式运算求解即可. 【详解】（1）函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 可知的最小正周期为， 且，则，解得，所以. （2）， ， 即，则或 解得或，且， 可得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为. （3）由（2）知：，且， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当，则 ，可得， 则，即， 当，，， 则，即， 由可得，且，解得， 所以实数a的取值范围为. 试卷第1页，共3页 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $