专题07 三角变换的应用9大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题07 三角变换的应用（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、半角公式 题型二、积化和差公式 题型三、辅助角公式 题型四、三角恒等变换的化简问题 题型五、给角求值型问题 题型六、给值求值型问题 题型七、给值求角型问题 题型八、利用三角恒等变换判断三角形的形状 题型九、无条件的恒等式证明 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 半角公式 掌握半角的正弦、余弦、正切公式及正切有理形式，理解半角的相对性，能根据半角所在象限准确判断公式结果的符号，完成条件求值 基础中档考点，选择、填空题型为主，易错点为半角符号判断错误 积化和差公式 掌握积化和差公式，能利用公式完成非特殊角的三角函数式化简与求值 基础考点，填空小题为主，考查频率较低，主要用于特殊结构的三角式化简 辅助角公式 掌握辅助角公式的推导与应用，能将a sinx+b cosx化为A sin的形式，能解决函数值域、最值、零点、对称性相关问题 高频核心必考点，填空、解答题均有考查，常结合三角函数图像性质综合命题，是期中压轴题高频考点 三角恒等变换的化简问题 掌握三角恒等变换的基本思路，能分析角度关系，综合运用和差角、二倍角公式完成复杂式子化简，能解决化简后函数的定义域、周期、单调性问题 中档必考点，填空、解答题均有考查，常以两小问解答题形式出现，分值6 - 8分 知识点01 半角公式 （1） , （2） , （3） ， （4）半角正切公式的有理形式： ． 知识点02 积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式： 2.和差化积公式： 知识点03 万能公式 题型一、半角公式 解｜题｜技｜巧 （1） 是 的一半， 是 的一半⋯⋯半角的相对性要看清，这是选择用半角公式的前提； （2）半角公式最终结果的符号取决于半角所处的象限，一定要判断准确． 【典例01】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 【变式1】已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、半角公式、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案. 【详解】是第三象限的角，故， 故， 因为，， 则，， 若，，，， 此时，满足要求，故， 若，，，， 此时，不合要求，舍去， ，D正确. 故选：D 【变式2】已知，，则____________. 【答案】 【知识点】半角公式 【分析】利用已知条件判断的范围，再利用半角公式即可求出. 【详解】因为，，则， 则由半角公式，得. 故答案为：. 【变式3】已知：，，则__________. 【答案】 【知识点】半角公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由，两边平方得到，进而求得，两式联立得到，再利用三角恒等变换求解. 【详解】解：由，两边平方得：， 即， 因为， 所以， 所以， 两式联立得， 所以， 故答案为： 【变式4】已知，且为第三象限角，则______. 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、半角公式 【分析】应用两角差的正弦结合同角三角函数关系求出，最后应用半角公式结合诱导公式计算求值. 【详解】. 结合为第三象限角，， 则. 故答案为：. 题型二、积化和差公式 【典例02】求值：______. 【答案】/0.75 【知识点】积化和差公式、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】方法一应用诱导公式、和差角正弦公式化简求值即可；方法二应用诱导公式、积化和差公式化简求值即可. 【详解】方法一： 原式 . 方法二： 原式= . 故答案为： 【变式1】化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、cos2x的降幂公式及应用、三角恒等变换的化简问题、积化和差公式 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 题型三、辅助角公式 解｜题｜技｜巧 辅助角公式其实是两角和(差)公式的逆向运用，两角和(差)的正弦公式特征是:异名积之和(差);两角和(差)的余弦公式特征是:同名积之差(和).熟悉了公式结构特征，正用逆用自如． 【典例03】函数值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】cos2x的降幂公式及应用、辅助角公式、二倍角的正弦公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】化简函数解析式，结合三角函数值域的求法求得正确答案. 【详解】， . 故选：D 【变式1】已知，则________. 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】利用辅助角公式整理原式，再将所求角转化为已知角的形式，最后结合诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】根据题意得. 由已知得，即， 故 . 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则__________. 【答案】 【知识点】辅助角公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 【变式3】若，则__________. 【答案】 【知识点】给值求值型问题、辅助角公式、诱导公式二、三、四 【分析】结合辅助角公式及诱导公式，找出已知角与所求角的关系进行化简即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 则， 故答案为：． 【变式4】已知，求m的取值范围 . 【答案】 【知识点】平方法解绝对值不等式、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】 . ∵，∴， ∴（）， ∴（）， ∴，∴. 故答案为：. 题型四、三角恒等变换的化简问题 解｜题｜技｜巧 解决此类问题首先分析所给角度与所证角度之间的关系，不难发现 ，这样就可以把所有的角化成所求的角，然后应用和、差的公式就能得到要证明的结论．当然还有其他方法，解决三角问题的方法多样，灵活运用即可。 【典例04】化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】先由同角关系将化为，通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为，再使用诱导公式化简为最终结果即可. 【详解】原式可化为 ， 故选：B. 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、二倍角的余弦公式 【分析】已知条件，利用辅助角公式化简可得，利用二倍角公式可求得，再利用诱导公式计算即可求得结果. 【详解】由化简可得：，即，即， 所以， . 故选：D 【变式2】已知函数. （Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）若，求的值 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 【知识点】三角恒等变换的化简问题、二倍角的正弦公式 【分析】（Ⅰ）由分母不为0得，根据正弦函数的图象与性质可列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的定义域；（Ⅱ）把函数解析式经过三角恒等变形化简，再根据的值得到的值，根据即可求出的值. 【详解】（Ⅰ）由题意，， 所以，. 函数的定义域为； （Ⅱ）因为，所以， ， ， 将上式平方，得， 所以. 【点睛】本题主要考查三角函数的基本性质和两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 【变式3】已知函数 （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，，求． 【答案】（1）函数的最小正周期为，单调递增区间为；（2）. 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、给值求值型问题、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得的最小正周期，解不等式，可求得函数的单调递增区间； （2）由已知条件得出，利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】（1）， 所以，函数的最小正周期为， 解不等式，得， 所以，函数的单调递增区间为； （2），可得， 又因为，则，所以，， 若，则，所以，， 所以，， 因此，. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 题型五、给角求值型问题 解｜题｜技｜巧 对于给角求值问题，一般有两类:(1)直接正用或逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角比的基本关系对已知公式进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，将问题转换为可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【典例05】（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给角求值型问题 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值 【详解】 . 故选：A. 【变式1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】给角求值型问题 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 【变式2】求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求15°等特殊角的正切、辅助角公式、sinxcosx的降幂公式及应用、给角求值型问题 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简可得所求代数式的值； （2）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 . （2）原式. 题型六、给值求值型问题 解｜题｜技｜巧 （1）由 ，并结合 x , y的范围，可判断原式的正负性； （2）由二倍角的正切公式，可求出 ，进而可求得 和 ，结合余弦的二倍角公式，可求得 ，再利用 可求得 的值． 【典例06】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】给值求值型问题、二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解. 【详解】由， 因为，所以上式， 故选：B. 【变式1】若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 【变式2】若，则__． 【答案】 【知识点】给值求值型问题、二倍角的正弦公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据余弦差角公式的逆运算得到，结合，求出，再利用正弦的二倍角公式求出答案. 【详解】，， 则， 所以． 故答案为： 【变式3】已知：.求： (1)的值； (2)的值 【答案】(1)2 (2)1 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用两角差的正切公式计算即可； （2）将目标式变形，然后利用将目标式转化为用表示，再代入的值计算即可. 【详解】（1）由已知， 解得； （2）， 带入得 题型七、给值求角型问题 解｜题｜技｜巧 在给值求角时，一般选择一个适当的三角比，根据题设确定所求角的范围，然后求出角.其中确定角的范围是关键的一步. 【典例07】已知，，，，则的值为_____. 【答案】 【知识点】给值求角型问题 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 【变式1】已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算、二倍角的余弦公式、给值求角型问题 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和商数关系弦化切，求得； （2）根据条件，利用同角三角函数基本关系求出，利用两角和的正切公式求出得解. 【详解】（1）由 即，解得， 因为，所以． （2）因为，且，所以， 所以， 所以， 又，，所以， 所以． 题型八、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【典例08】在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先利用三角恒等变换，得，再判断三角形的形状. 【详解】因为， 所以， ，又 所以，即. 故选：A. 【变式1】在△中，已知，则△的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】由、，结合已知及两角和差正弦公式可得，根据三角形内角的性质即可判断△的形状. 【详解】由题意，， ∴或， ∵，， ∴或. 故选：D 【变式2】若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【变式3】在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】C 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、诱导公式二、三、四 【分析】利用两角和的余弦公式以及诱导公式可得出，结合角的取值范围可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，，因为，故为钝角， 故为钝角三角形. 故选：C. 题型九、无条件的恒等式证明 【典例09】（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【知识点】无条件的恒等式证明、二倍角的正弦公式 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【详解】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 【变式1】（1）已知，，求的值； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【知识点】无条件的恒等式证明、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）由已知及平方关系有且，结合二倍角余弦公式列方程求； （2）应用二倍角正余弦公式化简，即可证. 【详解】（1）由，，则且， 由（负值舍）. （2），得证. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交丁C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P． （1）如果，，求的值； （2）求证：线段能构成一个三角形； （3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，. 【知识点】无条件的恒等式证明、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角差的余弦公式，计算即可得到所求； （2）要证明，，能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可； （3）设线段，，构成的三角形为△，利用余弦定理求出，从而求出，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断． 【详解】解：（1）由题意得，由于均为锐角， 所以，， ∴． （2）证明：， 而， 所以， ， 所以， 同理，所以线段能构成一个三角形． （3）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下： 设（2）中的三角形为中，角，所对的边长为 由余弦定理可得， ， ∵，∴，∴， 设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得，∴， ∴外接圆的面积． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则______. 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】利用辅助角公式，即可求解. 【详解】 则. 故答案为： 2．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调减区间． (2)求函数的对称轴和对称中心． (3)求函数在上的值域． 【答案】(1)的最小正周期为，单调减区间为 (2)对称轴为，对称中心为 (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）化简的解析式，从而求得的最小正周期和单调减区间. （2）利用整体代入法求得的对称轴和对称中心． （3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域. 【详解】（1） . 所以的最小正周期为. ， 所以的单调减区间为. （2），即的对称轴为. ，即的对称中心为. （3）， 所以， 即在区间上的值域为. 3．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数，再由周期公式求解； （2）由求解； （3）由函数的图象平移得，再由三角函数的方程求解． 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期． （2）令， 解得， 故函数的单调增区间为． （3）函数的图象向右平移个单位的图象， 即， 令，解得， ∴或， 解得或， ∵，故当时，或， 而当或时，对应的角都不在内， 故方程在区间上所有根之和为． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为______. 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由辅助角公式可得， 其中，则， 由可知，在第一象限，且， 所以. 故答案为： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知函数，（），若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_______. 【答案】 【知识点】辅助角公式、二倍角的正弦公式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先由二倍角公式和辅助角公式得到，再令，得到，，根据函数在区间内没有零点，得到，然后由，得到k的范围，然后将函数在区间内没有零点，转化为在内没有整数求解. 【详解】解：， 由，得，即，. 函数在区间内没有零点， ，若. 则， 若函数在区间内没有零点，等价于在内没有整数， 则，即， 若内有整数，. 则当时，由，得，即 若当时，由，得，即，此时. 当时，由，得，即此时超出范围. 即若内有整数，则或. 则若内没有整数，则或， 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、函数对称性的应用 【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解. 【详解】 ， 又函数的图像关于点对称， 即，即， 则， 所以的最大值为，最小值为， 对称轴：令， 当的取值最小时， ，， 且是在轴右侧连续的最值点， 则的最小值为 . 故答案为： 3．已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是 (3) 【知识点】函数新定义、三角恒等变换的化简问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角变换的应用（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、半角公式 题型二、积化和差公式 题型三、辅助角公式 题型四、三角恒等变换的化简问题 题型五、给角求值型问题 题型六、给值求值型问题 题型七、给值求角型问题 题型八、利用三角恒等变换判断三角形的形状 题型九、无条件的恒等式证明 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 半角公式 掌握半角的正弦、余弦、正切公式及正切有理形式，理解半角的相对性，能根据半角所在象限准确判断公式结果的符号，完成条件求值 基础中档考点，选择、填空题型为主，易错点为半角符号判断错误 积化和差公式 掌握积化和差公式，能利用公式完成非特殊角的三角函数式化简与求值 基础考点，填空小题为主，考查频率较低，主要用于特殊结构的三角式化简 辅助角公式 掌握辅助角公式的推导与应用，能将a sinx+b cosx化为A sin的形式，能解决函数值域、最值、零点、对称性相关问题 高频核心必考点，填空、解答题均有考查，常结合三角函数图像性质综合命题，是期中压轴题高频考点 三角恒等变换的化简问题 掌握三角恒等变换的基本思路，能分析角度关系，综合运用和差角、二倍角公式完成复杂式子化简，能解决化简后函数的定义域、周期、单调性问题 中档必考点，填空、解答题均有考查，常以两小问解答题形式出现，分值6 - 8分 知识点01 半角公式 （1） , （2） , （3） ， （4）半角正切公式的有理形式： ． 知识点02 积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式： 2.和差化积公式： 知识点03 万能公式 题型一、半角公式 解｜题｜技｜巧 （1） 是 的一半， 是 的一半⋯⋯半角的相对性要看清，这是选择用半角公式的前提； （2）半角公式最终结果的符号取决于半角所处的象限，一定要判断准确． 【典例01】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则____________. 【变式3】已知：，，则__________. 【变式4】已知，且为第三象限角，则______. 题型二、积化和差公式 【典例02】求值：______. 【变式1】化简求值 (1) (2) 题型三、辅助角公式 解｜题｜技｜巧 辅助角公式其实是两角和(差)公式的逆向运用，两角和(差)的正弦公式特征是:异名积之和(差);两角和(差)的余弦公式特征是:同名积之差(和).熟悉了公式结构特征，正用逆用自如． 【典例03】函数值域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则________. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则__________. 【变式3】若，则__________. 【变式4】已知，求m的取值范围 . 题型四、三角恒等变换的化简问题 解｜题｜技｜巧 解决此类问题首先分析所给角度与所证角度之间的关系，不难发现 ，这样就可以把所有的角化成所求的角，然后应用和、差的公式就能得到要证明的结论．当然还有其他方法，解决三角问题的方法多样，灵活运用即可。 【典例04】化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数. （Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）若，求的值 【变式3】已知函数 （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，，求． 题型五、给角求值型问题 解｜题｜技｜巧 对于给角求值问题，一般有两类:(1)直接正用或逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角比的基本关系对已知公式进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，将问题转换为可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【典例05】（   ） A． B． C． D．2 【变式1】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】求值： (1)； (2)． 题型六、给值求值型问题 解｜题｜技｜巧 （1）由 ，并结合 x , y的范围，可判断原式的正负性； （2）由二倍角的正切公式，可求出 ，进而可求得 和 ，结合余弦的二倍角公式，可求得 ，再利用 可求得 的值． 【典例06】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，则__． 【变式3】已知：.求： (1)的值； (2)的值 题型七、给值求角型问题 解｜题｜技｜巧 在给值求角时，一般选择一个适当的三角比，根据题设确定所求角的范围，然后求出角.其中确定角的范围是关键的一步. 【典例07】已知，，，，则的值为_____. 【变式1】已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 题型八、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【典例08】在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式1】在△中，已知，则△的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2】若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式3】在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 题型九、无条件的恒等式证明 【典例09】（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【变式1】（1）已知，，求的值； （2）证明：. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交丁C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P． （1）如果，，求的值； （2）求证：线段能构成一个三角形； （3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则______. 2．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调减区间． (2)求函数的对称轴和对称中心． (3)求函数在上的值域． 3．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为______. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知函数，（），若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_______. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 3．已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $