专题12 正切函数的图像与性质8大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题12 正切函数的图像与性质（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、求含tanx的函数的单调性 题型二、由正切函数的奇偶性求函数值 题型三、求正切型三角函数的单调性 题型四、求正切（型）函数的周期 题型五、由正切函数的周期求值 题型六、求正切（型）函数的对称中心 题型七、求正切（型）函数的定义域 题型八、求正切（型）函数的值域及最值 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求含tanx的函数的单调性 掌握正切函数的单调区间，能根据函数单调性求参数的取值范围，能结合基本不等式解决“张角最大”等实际应用问题 中档必考点，填空、解答题均有考查，易错点为正切函数在定义域内不是整体增函数、基本不等式等号成立条件判断错误 由正切函数的奇偶性求函数值 掌握正切函数的奇偶性，能利用奇偶性结合诱导公式求函数值 基础考点，填空题型为主，易错点为诱导公式符号记错 求正切型三角函数的单调性 掌握“整体代换法”求y = Atan的单调区间，能根据函数在指定区间的单调性求参数范围 高频基础考点，填空题型为主，易错点为x系数为负时单调性判断颠倒、单调区间漏写k∈Z 求正切（型）函数的周期 掌握正切型函数的最小正周期公式，能利用二倍角公式化简后求复杂正切型函数的周期 基础必考点，填空小题为主，易错点为周期公式中ω的绝对值遗漏、二倍角化简错误 由正切函数的周期求值 能利用正切函数的周期性解决函数值计算、直线与函数图象交点距离、指定区间内零点个数等问题 中档考点，填空题型为主，易错点为零点个数的区间端点判断错误 求正切（型）函数的对称中心 掌握正切函数及正切型函数的对称中心公式，能利用对称性解决两个函数公共点横坐标的和的问题 基础考点，选择、填空题型为主，易错点为混淆正切函数的对称中心与对称轴 求正切（型）函数的定义域 掌握正切函数的定义域，能求正切型函数的定义域，能结合函数新定义解决相关综合问题 基础考点，选择、填空题型为主，易错点为定义域区间写法错误、遗漏k∈Z 求正切（型）函数的值域及最值 能求指定区间内正切型函数的值域和最值，能利用换元法求含tanx的二次式的最值，能结合函数的周期性、奇偶性求复杂函数的值域 中档必考点，选择、填空题型为主，易错点为忽略正切函数的定义域导致值域错误、换元后变量的取值范围遗漏 知识点01 正切函数的图像 1. 正切函数 对于任意一个给定的实数，，都有唯一确定的正切值与之对应。按照这个对应关系所建立的函数叫做正切函数，表示为。 正切函数的定义域是。 2. 正切函数的图像 根据，把上述图像向左、右平移，得到正切函数 ，且的图像，称正切曲线。 3. “三点两线法”画正切函数的简图 (1)先描、、三点。 (2)再画、两条平行线。 (3)最后用光滑的曲线顺次连接这三点画出图像。 知识点02 正切函数的性质 函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调增区间 单调减区间 无 对称性 对称中心，无对称轴 知识点03 正切型函数的性质 函数 定义域 周期性 最小正周期 奇偶性 当时为奇函数，否则不具备奇偶性 单调性 由求得 对称性 对称中心：，无对称轴 题型一、求含tanx的函数的单调性 【典例01】（上海浦东新区期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是_____________． 【变式1】（23-24高一下·上海期中）已知，且，则的最大值为______. 【变式2】（24-25高一下·四川成都·月考）已知定义在上的函数，则不等式的解集是_____. 【变式3】（23-24高一下·上海期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 题型二、由正切函数的奇偶性求函数值 【典例02】（上海虹口期中）对于函数，其中．若，则________． 【变式1】（上海浦东新区期中）已知函数，且，则__. 【变式2】函数，若，则的值为________ 题型三、求正切型三角函数的单调性 【典例03】（23-24高一下·上海期中）函数包含的一个严格增区间是______． 【变式1】（23-24高一下·上海期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是______. 【变式2】（上海嘉定期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是______.（只填写正确说法的序号） 题型四、求正切（型）函数的周期 【典例04】（24-25高一下·上海普陀期中）函数的最小正周期是______. 【变式1】（24-25高一下·上海长宁期中）函数的最小正周期为________ 【变式2】（24-25高一下·上海期中）函数的最小正周期为______. 【变式3】（24-25高一下·上海期中）已知函数，则的最小正周期为_________． 题型五、由正切函数的周期求值 【典例05】（23-24高一下·上海嘉定期中）若，且满足，则的最小值为__________． 【变式1】（上海奉贤期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是______． 【变式2】若函数（其中常数的最小正周期为2，则的值为________ 【变式3】（上海松江期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①；②函数在上有4049个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 题型六、求正切（型）函数的对称中心 【典例06】（上海黄浦期中）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海期中）点__________正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 【变式2】（23-24高一下·上海期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为______. 题型七、求正切（型）函数的定义域 【典例07】（23-24高一下·上海期中）下列四个函数中，定义域为R且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（上海静安期中）函数的定义域是________． 【变式2】（24-25高一下·上海徐汇期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 题型八、求正切（型）函数的值域及最值 【典例08】（23-24高一下·上海期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【变式3】（24-25高一下·上海杨浦期中）已知函数，则函数的最小值为_____. 【变式4】（23-24高一下·上海期中）函数，的最大值为______. 【变式5】（23-24高一下·上海浦东新区期中）函数，的最大值与最小值之和为___________. 【变式6】（23-24高一下·上海期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为______. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·上海浦东新区期中）下列几个命题： （1）第一象限的角是锐角； （2）函数在定义域内是增函数； （3）函数的零点是， 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·上海期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 3．（24-25高一下·上海期中）把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 4．（上海浦东新区期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（    ） A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B．关于直线成轴对称，且以2π为周期 C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D．夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·上海期中）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 2．（23-24高一下·上海期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 3．（24-25高一下·上海期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 正切函数的图像与性质（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、求含tanx的函数的单调性 题型二、由正切函数的奇偶性求函数值 题型三、求正切型三角函数的单调性 题型四、求正切（型）函数的周期 题型五、由正切函数的周期求值 题型六、求正切（型）函数的对称中心 题型七、求正切（型）函数的定义域 题型八、求正切（型）函数的值域及最值 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求含tanx的函数的单调性 掌握正切函数的单调区间，能根据函数单调性求参数的取值范围，能结合基本不等式解决“张角最大”等实际应用问题 中档必考点，填空、解答题均有考查，易错点为正切函数在定义域内不是整体增函数、基本不等式等号成立条件判断错误 由正切函数的奇偶性求函数值 掌握正切函数的奇偶性，能利用奇偶性结合诱导公式求函数值 基础考点，填空题型为主，易错点为诱导公式符号记错 求正切型三角函数的单调性 掌握“整体代换法”求y = Atan的单调区间，能根据函数在指定区间的单调性求参数范围 高频基础考点，填空题型为主，易错点为x系数为负时单调性判断颠倒、单调区间漏写k∈Z 求正切（型）函数的周期 掌握正切型函数的最小正周期公式，能利用二倍角公式化简后求复杂正切型函数的周期 基础必考点，填空小题为主，易错点为周期公式中ω的绝对值遗漏、二倍角化简错误 由正切函数的周期求值 能利用正切函数的周期性解决函数值计算、直线与函数图象交点距离、指定区间内零点个数等问题 中档考点，填空题型为主，易错点为零点个数的区间端点判断错误 求正切（型）函数的对称中心 掌握正切函数及正切型函数的对称中心公式，能利用对称性解决两个函数公共点横坐标的和的问题 基础考点，选择、填空题型为主，易错点为混淆正切函数的对称中心与对称轴 求正切（型）函数的定义域 掌握正切函数的定义域，能求正切型函数的定义域，能结合函数新定义解决相关综合问题 基础考点，选择、填空题型为主，易错点为定义域区间写法错误、遗漏k∈Z 求正切（型）函数的值域及最值 能求指定区间内正切型函数的值域和最值，能利用换元法求含tanx的二次式的最值，能结合函数的周期性、奇偶性求复杂函数的值域 中档必考点，选择、填空题型为主，易错点为忽略正切函数的定义域导致值域错误、换元后变量的取值范围遗漏 知识点01 正切函数的图像 1. 正切函数 对于任意一个给定的实数，，都有唯一确定的正切值与之对应。按照这个对应关系所建立的函数叫做正切函数，表示为。 正切函数的定义域是。 2. 正切函数的图像 根据，把上述图像向左、右平移，得到正切函数 ，且的图像，称正切曲线。 3. “三点两线法”画正切函数的简图 (1)先描、、三点。 (2)再画、两条平行线。 (3)最后用光滑的曲线顺次连接这三点画出图像。 知识点02 正切函数的性质 函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调增区间 单调减区间 无 对称性 对称中心，无对称轴 知识点03 正切型函数的性质 函数 定义域 周期性 最小正周期 奇偶性 当时为奇函数，否则不具备奇偶性 单调性 由求得 对称性 对称中心：，无对称轴 题型一、求含tanx的函数的单调性 【典例01】（上海浦东新区期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、求含tanx的函数的单调性 【分析】根据题意，结合正切函数的单调区间，即可求解. 【详解】因为函数的单调递增区间为，， 且函数在上为严格减函数， 所以，解得，即 . 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海期中）已知，且，则的最大值为______. 【答案】 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、求含tanx的函数的单调性 【分析】根据商数关系将整理成，借助诱导公式和函数的单调性可得，设，则可将转化为二次函数求最值问题，根据函数的单调性即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因，故， 则， 因函数，均在上单调递增， 则函数在上单调递增， 故有：， 设，其中， 则 当且仅当时取等号， 则此时，故， 又函数在时单调递减，在时单调递增， 而， 故当时，取到最大值，此时，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用同角三角函数基本关系式和三角函数的单调性，将求的最大值问题转化成求函数在的最大值. 【变式2】（24-25高一下·四川成都·月考）已知定义在上的函数，则不等式的解集是_____. 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、求含tanx的函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据给定条件，构造函数并确定其奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】令，函数定义域为，关于原点对称， 又，则函数是奇函数， 又函数和在上都单调递增，则函数在上单调递增， 不等式， 因此，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】(1)； (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理求外接圆半径、求含tanx的函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. （2）设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键. 题型二、由正切函数的奇偶性求函数值 【典例02】（上海虹口期中）对于函数，其中．若，则________． 【答案】 【知识点】由正切函数的奇偶性求函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、由正切函数的周期求值 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【详解】，故， . 故答案为： 【变式1】（上海浦东新区期中）已知函数，且，则__. 【答案】0 【知识点】由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】计算得到，代入计算得到答案 【详解】， 则. 故答案为： 【变式2】函数，若，则的值为________ 【答案】0 【知识点】由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】由，可得，然后再求出 【详解】因为，且， 所以，得， 所以， 故答案为：0 题型三、求正切型三角函数的单调性 【典例03】（23-24高一下·上海期中）函数包含的一个严格增区间是______． 【答案】 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】根据正切函数的单调性求的单调区间，进而可得结果. 【详解】令，解得， 可知函数严格增区间是， 又因为包含， 可知，所以函数包含的一个严格增区间是. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【知识点】求正切型三角函数的单调性、利用正切函数的单调性求参数 【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解. 【详解】在上为严格增函数，则， 由于，则,故， 因此，解得， 故答案为： 【变式2】（上海嘉定期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是______.（只填写正确说法的序号） 【答案】①③ 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断. 【详解】对于①，令，解得， 当时，，所以函数在区间上为严格增函数，①正确； 对于②，函数的最小正周期为，②错误； 对于③，令，解得， 所以函数图象的对称中心为，③正确. 故答案为：①③ 题型四、求正切（型）函数的周期 【典例04】（24-25高一下·上海普陀期中）函数的最小正周期是______. 【答案】/ 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求结论. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海长宁期中）函数的最小正周期为________ 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式即可求得. 【详解】的最小正周期为, 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海期中）函数的最小正周期为______. 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海期中）已知函数，则的最小正周期为_________． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的周期、二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角正切公式化简，再根据周期函数的定义求解. 【详解】因为， 设是的周期，则，即， ，故或，， 即或，， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 题型五、由正切函数的周期求值 【典例05】（23-24高一下·上海嘉定期中）若，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】利用正切函数的性质求解即可. 【详解】周期为，且在区间上为单调增函数， ，故，. 且，故的最小值为. 故答案为： 【变式1】（上海奉贤期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是______． 【答案】 【知识点】正切函数图象的应用、由正切函数的周期求值 【分析】利用正切函数的性质即得. 【详解】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期， 因为函数的最小正周期为， 所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 【变式2】若函数（其中常数的最小正周期为2，则的值为________ 【答案】 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】结合正切型函数的周期公式即可直接求解. 【详解】由题意可知，解得， 故答案为：. 【变式3】（上海松江期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①；②函数在上有4049个零点，则以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、由正切函数的周期求值、正切函数图象的应用 【分析】根据已知条件得，求出，可得①为假命题；令，求出，解不等式可得②为真命题.从而可得答案. 【详解】依题意得，因为，所以，故①为假命题； 所以， 令，得，，得，， 由，得，， 所以整数的值有个，函数在上有4049个零点，故②为真命题. 故选：D 题型六、求正切（型）函数的对称中心 【典例06】（上海黄浦期中）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】求解出对称中心为，对赋值则可判断. 【详解】令， 解得， 所以函数图象的对称中心是， 令,得函数图像的一个对称中心是， 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·上海期中）点__________正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 【答案】是 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】先求出正切函数的对称中心，再判断即可. 【详解】的对称中心为， 所以是正切函数图象的对称中心. 故答案为：是 【变式2】（23-24高一下·上海期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为______. 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 题型七、求正切（型）函数的定义域 【典例07】（23-24高一下·上海期中）下列四个函数中，定义域为R且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正切（型）函数的定义域、求余弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的奇偶性、函数奇偶性的应用 【分析】根据三角函数的定义域和奇偶性直接分析判断即可. 【详解】由三角函数可知：，的定义域均为R， 的定义域为，不为R，故C错误； 且为偶函数，为奇函数，可知为非奇非偶函数， 故AD错误，B正确； 故选：B. 【变式1】（上海静安期中）函数的定义域是________． 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切函数的定义域，列不等式求解，可得答案. 【详解】由于正切函数的定义域为， 故令， 解得， 即函数的定义域是， 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海徐汇期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数； (2)若函数是“”函数，求的取值范围； (3)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：. 【答案】(1)不是，是 (2) (3)证明见解析 【知识点】求正切（型）函数的定义域、函数周期性的应用、函数新定义、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）利用函数的定义证明即可. （2）利用函数的定义建立不等式，求解参数范围即可. （3）由题意得到是以为周期的周期函数，不妨设，按分类讨论，并结合“”函数的定义和函数周期性的性质证明结论即可. 【详解】（1）对于， 由正切函数性质得的定义域不为，则不为“”函数， 对于，， 由和差化积公式得， 两侧同时取绝对值得， 由余弦函数性质得， 则， 如图，我们设，则，圆为单位圆， 则扇形的弧长为，扇形面积为，， 由图象得三角形面积一定小于扇形面积，故，即. 当时，，故对于恒成立； 当时，显然成立； 当时，由上可得，，所以； 当时，，故对于恒成立， 综上可得对于恒成立， 故， 即，则是“”函数. （2）若函数是“”函数，则， 即，故， 因为，所以，得到， 解得，即的取值范围为. （3）由题意得是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数， 则， 当时，不妨设，且， 由题意得是以为周期的周期函数，得， 又因为函数为上的“”函数， 所以 ， 则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 故对任意的，均有. 题型八、求正切（型）函数的值域及最值 【典例08】（23-24高一下·上海期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】根据正切函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 【变式3】（24-25高一下·上海杨浦期中）已知函数，则函数的最小值为_____. 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】利用正切函数单调性求出最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 【变式4】（23-24高一下·上海期中）函数，的最大值为______. 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值. 【详解】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 【变式5】（23-24高一下·上海浦东新区期中）函数，的最大值与最小值之和为___________. 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求含tanx的二次式的最值 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 【变式6】（23-24高一下·上海期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为______. 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、求sinx的函数的单调性、求含sinx的函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期 【分析】求得的周期和奇偶性，结合题意，只需求在的值域即可；再根据的单调性即可求得结果. 【详解】因为，定义域为，故为偶函数； 又，故的一个周期为； 根据题意可得：的值域，也就是在的值域，也就是上的值域； 当，，又在上均为单调增函数，故在单调递增， 又，当趋近于时，趋近于，故的值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求得的周期以及判断其是偶函数，同时要注意已知条件的利用，属中档题. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·上海浦东新区期中）下列几个命题： （1）第一象限的角是锐角； （2）函数在定义域内是增函数； （3）函数的零点是， 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】求正切型三角函数的单调性、确定已知角所在象限、求函数的零点 【分析】根据象限角的定义可知（1）错误；正切函数只在同一个周期内是增函数，在定义域内不是增函数；易知函数的零点是或，可得结论. 【详解】对于（1），第一象限的角不一定是锐角，例如，即（1）错误； 对于（2），函数的定义域为，在同一个周期内是增函数，在定义域内不是增函数，所以（2）错误； 对于（3），令，可得，即或，可知（3）错误； 所以真命题的个数只有0个. 故选：A 2．（24-25高一下·上海期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、求正切（型）函数的周期、正切函数图象的应用 【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值. 【详解】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 故答案为： 3．（24-25高一下·上海期中）把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 【答案】 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求正切（型）函数的周期 【分析】由题得到函数的解析式，再根据最小正周期计算公式计算即可. 【详解】函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象， 则函数，所以函数的最小正周期为. 故答案为： 4．（上海浦东新区期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（    ） A．关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B．关于直线成轴对称，且以2π为周期 C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D．夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称 【答案】C 【知识点】分段函数的值域或最值、求正切（型）函数的对称中心、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据题设写出在一个周期内的解析式并画出该周期的图象，数形结合判断各项的正误即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时； 当时，； 综上，在一个周期内的， 在一个周期内的图象如下： 由图知：以2π为周期，没有对称中心和对称轴，值域为. 故选：C 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·上海期中）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、判断命题的真假、对数函数单调性的应用、函数新定义 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 则 满足和是有限集， 从而和是互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 2．（23-24高一下·上海期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正切（型）函数的对称中心、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 3．（24-25高一下·上海期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求正切（型）函数的周期、利用正切函数的单调性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 试卷第1页，共3页 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $