专题02 任意角的正弦、余弦、正切、余切12大题型（期中复习讲义）高一数学下学期沪教版

专题02 任意角的正弦、余弦、正切、余切（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、利用定义求某角的三角函数值 题型二、由终边或终边上的点求三角函数值 题型三、由三角函数值求终边上的点或参数 题型四、由单位圆求三角函数值 题型五、特殊角的三角函数值 题型六、各象限角三角函数值的符号 题型七、已知正（余）弦求余（正）弦 题型八、利用平方关系求参数 题型九、利用sinα±cosα和sinα·cosα的关系 题型十、已知弦（切）求切（弦） 题型十一、正、余弦齐次式的计算 题型十二、三角函数的化简、求值-同角三角函数基本关系 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角的三角比定义 能准确写出任意角正弦、余弦、正切、余切的定义式，明确各三角比的定义域，能根据终边上任意一点的坐标求对应三角比的值 期中基础必考点，填空高频题型，分值4分，难度低，常结合含参数的终边上点命题，易错点为忽略参数的正负分类讨论 各象限三角比的符号 能熟练记忆各象限正弦、余弦、正切、余切的符号规律，能根据三角比的符号快速判定角所在的象限 期中高频易错点，多以选择小题出现，常结合“已知两个三角比符号求角的象限”命题，易错点为混淆正切、余切的符号规律 单位圆与三角比 理解单位圆的定义，能写出单位圆上任意角对应点的坐标，能利用单位圆快速求特殊角的三角比 基础必考点，是后续三角函数图像与性质的核心基础，常与特殊角三角比、终边相同角结合命题，填空小题为主 同角三角比基本关系 熟练掌握同角三角比的平方关系、商数关系、倒数关系，能利用基本关系完成“知一求二”的基础计算 期中核心考点，填空、选择均有考查，分值4 - 6分，是所有三角化简求值题的基础，易错点为开方时忽略角的象限导致符号错误 sinα±cosα与sinαcosα的关系 掌握“知一求二”的核心公式，能根据sinαcosα的正负缩小角的范围，解决含平方的三角求值问题 期中中档必考点，填空高频题型，常结合一元二次方程根与系数的关系命题，易错点为未根据角的范围取舍结果 正、余弦齐次式的计算 能识别一次、二次齐次式，熟练运用“弦化切”的方法求解齐次式的值，掌握分母为1时的“1的代换”技巧 期中高频中档题，填空必考题型，分值4分，是同角关系的核心应用，常与已知tanα求弦的问题结合命题 三角比的化简与求值 掌握“化切为弦”“去根号”“降次”三大化简技巧，能结合同角基本关系完成综合化简与求值 期中压轴小题常考题型，难度中等偏上，常结合根号、高次三角式命题，易错点为去根号时符号判断错误 知识点01任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有． （1）比值叫做的正弦，记作，即； （2）比值叫做的余弦，记作，即； （3）比值叫做的正切，记作，即； （4）比值叫做的余切，记作，即． （1），其中，，其中，． （2）由正弦、余弦、正切、余切的定义可知，对于任意角、都有意义． 应当注意的是：当，即角的终边位于轴上时，无意义；而当，即角的终边位于轴上时，无意义． 任意角的正割、余割的定义 （1）角的正割： （2）角的余割： 知识点02任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 知识点03单位圆中任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 半径为1个单位的圆称为单位圆（unitcircle） 设是一个任意角，，如图,它的终边与单位圆相交于点，点的纵坐标叫做的正弦比值，记作，即；点的横坐标叫做的余弦比值，记作，即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即. 任意一个角对应于单位圆上一点；反之，单位圆上一点可对应无穷多个角，但这些角的弧度数之差必为的整数倍由定义可知，单位圆上点的坐标可以写为. 不存在 不存在 知识点04同角的正弦、余弦、正切、余切的基本关系式 1．平方关系：． 2．商数关系：，. 3．倒数关系：（、都有意义）． 同角正弦、余弦、正切、余切的变形公式 (1);. (2); (3); 知识点05sinαcosα与sinα±cosα的关系 已知求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代人的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1); (2); (3). 知识点06正、余弦齐次式的应用 齐次式是一种特殊的多元多项式 (1)若数域上的元多项式各项的次数都等于,则称该多项式为元次齐次多项式,简称次齐式,亦称个变量的次型 通俗地讲，所谓齐次就是到齐的意思，合并同类项后，各项次数都相同的多项式，如是一次齐次式；比如说，这样二次项全部到齐，所以是二次齐次式．二次以上的齐次多项式也是这样的． （2）已知，可以求或的值，将分子分母同除以或，化成关于的式子，从而达到求值的目的． 题型一、利用定义求某角的三角函数值 【典例01】（上海青浦·期中）若点是角终边上的一点，则______ 【变式1】已知角的终边经过点，则的正弦值是______． 【变式2】若角的终边经过点，则______. 【变式3】角的终边经过点，且，则______． 题型二、由终边或终边上的点求三角函数值 解｜题｜技｜巧 已知终边上一点，严格按照三角比的定义，写出基本量x、y、r，按部就班就可以求出该角的各个三角比. 【典例02】（24-25高一下·上海·期中）已知角的终边经过点，则_____ 【变式1】（23-24高一下·上海普陀·期中）若角终边上一点，则________． 【变式2】（上海浦东新·期中）已知角α的终边过点，则角α的余弦值为________. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的始边为轴的非负半轴，终边上有一点，则________． 【变式4】（上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则的坐标为_______. 题型三、由三角函数值求终边上的点或参数 解｜题｜技｜巧 (1)已知终边上动点，严格按照三角比的定义，根据基本量x、y算出基本量r，由于参数的符号不定，通常需要分类讨论; (2)已知角的终边所在直线，通常按照终边所在象限，分类取点，然后利用定义分类求解. 【典例03】（上海黄浦·期中）若点是角终边上的一点，且，则的值是______. 【变式1】（上海徐汇·期中）设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数__． 【变式2】（上海静安·期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则________． 【变式3】（23-24高一下·上海·月考）已知角α的终边与单位圆交于点P，若，则点P的坐标是______； 【变式4】已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（    ） A．4 B．-4 C． D．不确定 【变式5】（上海徐汇·期中）点从圆心在原点的单位圆上点出发，沿顺时针方向运动弧长，到达点，则点的坐标是_______________． 题型四、由单位圆求三角函数值 【典例04】若，则α，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标）    题型五、特殊角的三角函数值 【典例05】（23-24高一下·上海普陀·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1】（23-24高一下·上海嘉定·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2】（24-25高一下·上海青浦·期中）方程，，则_________． 【变式3】（上海浦东新·期中）若，，则角____________． 【变式4】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，.则函数所有零点组成的集合为______. 题型六、各象限角三角函数值的符号 解｜题｜技｜巧 (1)准确判定终边所在的象限是确定三角比符号的关键; (2)记住三角比符号规则:一全正，二正弦，三切，四余弦，对提高解题效率十分有效. 【典例06】（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 【变式2】（上海浦东新·期中）若，则点必在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】已知θ为第二象限角，若，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第________象限角． 【变式5】若是第四象限角，则点在第_____________象限. 题型七、已知正（余）弦求余（正）弦 【典例07】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期中）若，，则的值为________． 【变式2】已知角是第二象限角，且，则___________. 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知为锐角，且，则________． 【变式4】（上海嘉定·期中）已知，且，则__________； 题型八、利用平方关系求参数 【典例08】若、是关于x的方程的两个根，则__________. 【变式1】（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为____________. 【变式2】已知，则___________. 【变式3】（上海宝山·期中）若是关于x的方程的两根. (1)求a； (2)求的值. 题型九、利用sinα±cosα和sinα·cosα的关系 解｜题｜技｜巧 （1）三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即＂知 一求二＂，它们之间的关系是： （2）根据的正负，可以缩小角的范围． 【典例09】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则________． 【变式1】已知，则__________ 【变式2】（上海长宁·期中）若，是关于x的方程，的两根，求： (1)a的值； (2)的值． 题型十、已知弦（切）求切（弦） 解｜题｜技｜巧 化切为弦，即把正切、余切化为正、余弦，从而减少三角比，达到化繁为简的目的. 【典例10】（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）已知，则______. 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知，且是第三象限的角，则______. 题型十一、正、余弦齐次式的计算 解｜题｜技｜巧 两种思路 思路一：所求化成所有（条件）通常分子、分母都是与的同次（次）表达式的值时，通常用分子、分母同时除以化切求解；分母是的用替换； 思路二：所有（条件）化所求利用切割化弦的想法进行，结合平方关系用方程的思想解决问题. 【典例11】若，则________． 【变式1】（上海青浦·期中）已知，______ 【变式2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则______． 【变式3】（上海静安·期中）已知，则的值为________． 【变式4】（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【变式5】（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型十二、三角函数的化简、求值-同角三角函数基本关系 【典例12】（上海静安·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（上海长宁·期中）已知是第四象限的角，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（上海徐汇·期中）已知，则的取值范围是______. 【变式3】（上海长宁·期中）化简求值：______. 【变式4】（上海宝山·期中）已知，则______________． 【变式5】（上海浦东新·期中）中，，则___________. 试卷第1页，共3页 1/30 学科网（北京）股份有限公司 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若点是角终边上一点，则的值是______. 2．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知角的终边上的一点，则____________. 3．（23-24高一下·上海·期中）在中，“是钝角三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知是第四象限角，且，则_____． 5．（23-24高一下·上海·期中）已知的终边过点，则______． 6．（24-25高一下·上海·期中）若，则__________. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系中，若角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域是___________． 3．（上海徐汇·期中）若角的始边落在轴正半轴，终边落在直线上，则________． 4．（上海青浦·期中）已知是第四象限角，，求值： (1)． (2)． $专题02 任意角的正弦、余弦、正切、余切（期中复习讲义） 内容导航 明·期中考清把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、利用定义求某角的三角函数值 题型二、由终边或终边上的点求三角函数值 题型三、由三角函数值求终边上的点或参数 题型四、由单位圆求三角函数值 题型五、特殊角的三角函数值 题型六、各象限角三角函数值的符号 题型七、已知正（余）弦求余（正）弦 题型八、利用平方关系求参数 题型九、利用sinα±cosα和sinα·cosα的关系 题型十、已知弦（切）求切（弦） 题型十一、正、余弦齐次式的计算 题型十二、三角函数的化简、求值-同角三角函数基本关系 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角的三角比定义 能准确写出任意角正弦、余弦、正切、余切的定义式，明确各三角比的定义域，能根据终边上任意一点的坐标求对应三角比的值 期中基础必考点，填空高频题型，分值4分，难度低，常结合含参数的终边上点命题，易错点为忽略参数的正负分类讨论 各象限三角比的符号 能熟练记忆各象限正弦、余弦、正切、余切的符号规律，能根据三角比的符号快速判定角所在的象限 期中高频易错点，多以选择小题出现，常结合“已知两个三角比符号求角的象限”命题，易错点为混淆正切、余切的符号规律 单位圆与三角比 理解单位圆的定义，能写出单位圆上任意角对应点的坐标，能利用单位圆快速求特殊角的三角比 基础必考点，是后续三角函数图像与性质的核心基础，常与特殊角三角比、终边相同角结合命题，填空小题为主 同角三角比基本关系 熟练掌握同角三角比的平方关系、商数关系、倒数关系，能利用基本关系完成“知一求二”的基础计算 期中核心考点，填空、选择均有考查，分值4 - 6分，是所有三角化简求值题的基础，易错点为开方时忽略角的象限导致符号错误 sinα±cosα与sinαcosα的关系 掌握“知一求二”的核心公式，能根据sinαcosα的正负缩小角的范围，解决含平方的三角求值问题 期中中档必考点，填空高频题型，常结合一元二次方程根与系数的关系命题，易错点为未根据角的范围取舍结果 正、余弦齐次式的计算 能识别一次、二次齐次式，熟练运用“弦化切”的方法求解齐次式的值，掌握分母为1时的“1的代换”技巧 期中高频中档题，填空必考题型，分值4分，是同角关系的核心应用，常与已知tanα求弦的问题结合命题 三角比的化简与求值 掌握“化切为弦”“去根号”“降次”三大化简技巧，能结合同角基本关系完成综合化简与求值 期中压轴小题常考题型，难度中等偏上，常结合根号、高次三角式命题，易错点为去根号时符号判断错误 知识点01任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上任取异于原点的一点，设其坐标为，并令，必有． （1）比值叫做的正弦，记作，即； （2）比值叫做的余弦，记作，即； （3）比值叫做的正切，记作，即； （4）比值叫做的余切，记作，即． （1），其中，，其中，． （2）由正弦、余弦、正切、余切的定义可知，对于任意角、都有意义． 应当注意的是：当，即角的终边位于轴上时，无意义；而当，即角的终边位于轴上时，无意义． 任意角的正割、余割的定义 （1）角的正割： （2）角的余割： 知识点02任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 知识点03单位圆中任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 半径为1个单位的圆称为单位圆（unitcircle） 设是一个任意角，，如图,它的终边与单位圆相交于点，点的纵坐标叫做的正弦比值，记作，即；点的横坐标叫做的余弦比值，记作，即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即. 任意一个角对应于单位圆上一点；反之，单位圆上一点可对应无穷多个角，但这些角的弧度数之差必为的整数倍由定义可知，单位圆上点的坐标可以写为. 不存在 不存在 知识点04同角的正弦、余弦、正切、余切的基本关系式 1．平方关系：． 2．商数关系：，. 3．倒数关系：（、都有意义）． 同角正弦、余弦、正切、余切的变形公式 (1);. (2); (3); 知识点05sinαcosα与sinα±cosα的关系 已知求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代人的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1); (2); (3). 知识点06正、余弦齐次式的应用 齐次式是一种特殊的多元多项式 (1)若数域上的元多项式各项的次数都等于,则称该多项式为元次齐次多项式,简称次齐式,亦称个变量的次型 通俗地讲，所谓齐次就是到齐的意思，合并同类项后，各项次数都相同的多项式，如是一次齐次式；比如说，这样二次项全部到齐，所以是二次齐次式．二次以上的齐次多项式也是这样的． （2）已知，可以求或的值，将分子分母同除以或，化成关于的式子，从而达到求值的目的． 题型一、利用定义求某角的三角函数值 【典例01】（上海青浦·期中）若点是角终边上的一点，则______ 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、利用定义求某角的三角函数值 【分析】由终边上的点及三角函数的定义求余弦值即可. 【详解】由三角函数定义. 故答案为： 【变式1】已知角的终边经过点，则的正弦值是______． 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】直接根据三角函数的定义即可求得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】若角的终边经过点，则______. 【答案】0 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据正切函数的定义求解即可. 【详解】由题. 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了正切函数的定义求值.属于基础题型. 【变式3】角的终边经过点，且，则______． 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【详解】解：角的终边经过点，且， ，则， 故答案为． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 题型二、由终边或终边上的点求三角函数值 解｜题｜技｜巧 已知终边上一点，严格按照三角比的定义，写出基本量x、y、r，按部就班就可以求出该角的各个三角比. 【典例02】（24-25高一下·上海·期中）已知角的终边经过点，则_____ 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海普陀·期中）若角终边上一点，则________． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】根据正弦函数的定义，. 故答案为：． 【变式2】（上海浦东新·期中）已知角α的终边过点，则角α的余弦值为________. 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据终边上的点坐标，应用三角函数的定义求余弦值即可. 【详解】由三角函数的定义知：. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的始边为轴的非负半轴，终边上有一点，则________． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数定义即可求解. 【详解】由三角函数定义可知，. 故答案为：. 【变式4】（上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则的坐标为_______. 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】设角的终边经过点，根据三角函数的定义，将问题转化为求角的三角函数值. 【详解】设角的终边经过点， 因为， 所以，， 将绕坐标原点顺时针旋转至，则有， 且角的终边经过点，结合， 有，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 题型三、由三角函数值求终边上的点或参数 解｜题｜技｜巧 (1)已知终边上动点，严格按照三角比的定义，根据基本量x、y算出基本量r，由于参数的符号不定，通常需要分类讨论; (2)已知角的终边所在直线，通常按照终边所在象限，分类取点，然后利用定义分类求解. 【典例03】（上海黄浦·期中）若点是角终边上的一点，且，则的值是______. 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义列式求解，注意三角函数符号的判断. 【详解】由题意可得：，且， 解得或（舍去）， 所以的值是. 故答案为：. 【变式1】（上海徐汇·期中）设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数__． 【答案】2 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】结合正弦三角函数的定义即可列式求解. 【详解】由题意得，所以． 故答案为：2. 【变式2】（上海静安·期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则________． 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据角的终边上的点的坐标，结合三角函数的定义，列式计算，即得答案. 【详解】由题意得点到原点O的距离为， 故由得，解得， 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海·月考）已知角α的终边与单位圆交于点P，若，则点P的坐标是______； 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据三角函数的定义即可得解. 【详解】由题意可得点P的坐标是，即. 故答案为：. 【变式4】已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（    ） A．4 B．-4 C． D．不确定 【答案】B 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】利用三角函数的定义求得. 【详解】依题意是第四象限角，所以， . 故选：B 【变式5】（上海徐汇·期中）点从圆心在原点的单位圆上点出发，沿顺时针方向运动弧长，到达点，则点的坐标是_______________． 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由题意，作出单位圆，结合图象求解. 【详解】因为点从圆心在原点的单位圆上点出发， 沿顺时针方向运动弧长，到达点，如图所示： 由图象知：， 所以， 故答案为： 题型四、由单位圆求三角函数值 【典例04】若，则α，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由单位圆求三角函数值、弧长的有关计算 【分析】根据三角函数的定义，结合弧长公式比较三个值的大小. 【详解】设角与单位圆的交点为， 因为，所以， 所以， 过点作轴的垂线，垂足为， 过点作轴的垂线交角的终边与点， 因为， 所以，所以， 所以，， 又弧的长度为， 因为， 所以， 故选：A. 【变式1】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由单位圆求三角函数值 【分析】根据任意角的三角函数直接求解即可. 【详解】解：∵角的终边与单位圆交于点， . 故选:D. 【变式2】（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在__________（填入坐标）    【答案】 【知识点】由单位圆求三角函数值、利用定义求某角的三角函数值、弧长的有关计算 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 题型五、特殊角的三角函数值 【典例05】（23-24高一下·上海普陀·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、既不充分也不必要条件 【分析】利用特殊三角函数值求角，即可作出判断. 【详解】由或 又由， 故选:D. 【变式1】（23-24高一下·上海嘉定·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特殊角的三角函数值 【分析】根据，得出值即得答案. 【详解】因为，所以或，所以是的充分非必要条件. 故选A. 【变式2】（24-25高一下·上海青浦·期中）方程，，则_________． 【答案】/ 【知识点】特殊角的三角函数值 【分析】根据已知，结合对应余弦值，则，即可得. 【详解】由题设，又，则，可得. 故答案为： 【变式3】（上海浦东新·期中）若，，则角____________． 【答案】或 【知识点】特殊角的三角函数值 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可 【详解】解：因为，， 所以或， 故答案为：或 【变式4】（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，.则函数所有零点组成的集合为______. 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、求函数的零点 【分析】求函数的零点，令，在区间内，解出即可. 【详解】令，则， 因为，所以和， 则函数所有零点组成的集合为. 故答案为：. 题型六、各象限角三角函数值的符号 解｜题｜技｜巧 (1)准确判定终边所在的象限是确定三角比符号的关键; (2)记住三角比符号规则:一全正，二正弦，三切，四余弦，对提高解题效率十分有效. 【典例06】（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用为第三象限角，求所在象限，再由三角函数值逐个判断可得. 【详解】因为为第三象限角，所以， 可得，， 所以是第第一，二象限角， 所以，不确定， 故选：B 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 【答案】A 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】变形得到，故，得到所在象限. 【详解】， 故且，故角的终边所在的象限为第一或第二象限. 故选：A 【变式2】（上海浦东新·期中）若，则点必在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】由为第三象限的角，即可判断余切和余弦的正负，即可确定点的象限. 【详解】由可知为第三象限的角，故， 故在第四象限， 故选：D 【变式3】已知θ为第二象限角，若，则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、确定n分角所在象限 【分析】由，得到，再对k赋值，根据判断. 【详解】解：因为θ为第二象限角， 所以， 则， 当时，，当时，， 因为， 所以，所以在第三象限， 故选:C 【变式4】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第________象限角． 【答案】二 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 故答案为：二 【变式5】若是第四象限角，则点在第_____________象限. 【答案】三 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据正、余弦函数的符号法则，得，,即可得到答案. 【详解】是第四象限角，则， 故点在第三象限， 故答案为:三 题型七、已知正（余）弦求余（正）弦 【典例07】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·上海闵行·期中）若，，则的值为________． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，，则. 故答案为：. 【变式2】已知角是第二象限角，且，则___________. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由可得，再结合可求得答案 【详解】解：因为，所以，即， 因为，所以， 所以， 因为角是第二象限角，所以， 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知为锐角，且，则________． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角函数的关系求解. 【详解】因为为锐角，且， 所以， 所以， 故答案为： 【变式4】（上海嘉定·期中）已知，且，则__________； 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角三角函数的基本关系式，先求出，然后求得. 【详解】因为，且，所以， 则. 故答案为：. 题型八、利用平方关系求参数 【典例08】若、是关于x的方程的两个根，则__________. 【答案】 【知识点】利用平方关系求参数 【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得. 【详解】由题意：，所以或，且， 所以，即，因为或，所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为____________. 【答案】/ 【知识点】利用平方关系求参数、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 【变式2】已知，则___________. 【答案】3 【知识点】正、余弦齐次式的计算、利用平方关系求参数 【分析】用替换分母中的“1”，化为二次齐次式，再转化为，解方程可得． 【详解】由得， ， 故答案为：3． 【变式3】（上海宝山·期中）若是关于x的方程的两根. (1)求a； (2)求的值. 【答案】(1)． (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、利用平方关系求参数 【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解； （2）切化弦后代入（1）中结论可得． 【详解】（1），或． 由题意， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以． （2）由（1）， ． 题型九、利用sinα±cosα和sinα·cosα的关系 解｜题｜技｜巧 （1）三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即＂知 一求二＂，它们之间的关系是： （2）根据的正负，可以缩小角的范围． 【典例09】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则________． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由题意可求得，进而可得，求得的值，可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又， 所以. 【变式1】已知，则__________ 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由两边同时平方可得的值，再将中的切变成弦，代入的值即可求出结果. 【详解】解：， ， 所以， ， 故答案为： 【变式2】（上海长宁·期中）若，是关于x的方程，的两根，求： (1)a的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解； （2）切化弦后代入（1）中结论可得． 【详解】（1），或． 由题意， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以． （2）由（1）， ． 题型十、已知弦（切）求切（弦） 解｜题｜技｜巧 化切为弦，即把正切、余切化为正、余弦，从而减少三角比，达到化繁为简的目的. 【典例10】（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】由是第三象限角和商数关系结合即可求解. 【详解】因为，所以即， 又因为，所以，解得， 因为是第三象限角，所以. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）已知，则______. 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】由商数关系与平方关系联立求解即可. 【详解】因为，所以即，结合， 所以或，又，所以， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角函数的关系直接计算即可． 【详解】角为第一象限角，， ． 故答案为：． 【变式3】（23-24高一下·上海·期中）已知，且是第三象限的角，则______. 【答案】/ 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】若，且是第三象限的角， 则. 故答案为： 题型十一、正、余弦齐次式的计算 解｜题｜技｜巧 两种思路 思路一：所求化成所有（条件）通常分子、分母都是与的同次（次）表达式的值时，通常用分子、分母同时除以化切求解；分母是的用替换； 思路二：所有（条件）化所求利用切割化弦的想法进行，结合平方关系用方程的思想解决问题。 【典例11】若，则________． 【答案】/0.5 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用三角函数基本关系式，弦化切，求值计算. 【详解】. 故答案为： 【变式1】（上海青浦·期中）已知，______ 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】由，利用齐次运算及商数关系求值即可. 【详解】由. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，则______． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由，可得 故答案为：. 【变式3】（上海静安·期中）已知，则的值为________． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角三角函数的关系将正余弦化为正切求解即可 【详解】由，得， 所以，解得， 故答案为： 【变式4】（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）显然，故则，解得. （2） 【变式5】（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【详解】（1）由， 所以 （2） 题型十二、三角函数的化简、求值-同角三角函数基本关系 【典例12】（上海静安·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用三角函数的定义判断的符号，结合同角三角函数关系式，化简即可得出答案. 【详解】因为，则，， 所以 . 故选：A. 【变式1】（上海长宁·期中）已知是第四象限的角，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简求值. 【详解】原式 ， 因为是第四象限的角，所以， 所以原式化简的结果是. 故选：D 【变式2】（上海徐汇·期中）已知，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】根据题意得到，求得或，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 解得或， 又由 因为，或，所以. 故答案为：. 【变式3】（上海长宁·期中）化简求值：______. 【答案】0 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据余切的定义结合平方关系计算即可得出答案. 【详解】解： . 故答案为：0. 【变式4】（上海宝山·期中）已知，则______________． 【答案】2 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】将化为，然后代值求解即可 【详解】． 故答案为：2 【变式5】（上海浦东新·期中）中，，则___________. 【答案】或 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由同角三角函数关系式可知，代入解方程即可. 【详解】由，得， 即， 解得或， 又在中， 所以或， 故答案为：或. 试卷第1页，共3页 1/30 学科网（北京）股份有限公司 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若点是角终边上一点，则的值是______. 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由已知点到原点的距离， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·上海嘉定·期中）已知角的终边上的一点，则____________. 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据条件，利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边上的一点，则， 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）在中，“是钝角三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据钝角三角形的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若是钝角三角形，但不能确定那个角为钝角，故不能推出， 例如，可知是钝角三角形， 但，即充分性不成立； 若，且， 可知角A为钝角，所以是钝角三角形，即必要性成立； 综上所述：“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知是第四象限角，且，则_____． 【答案】/-0.8 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据所在的象限，及平方关系计算即可. 【详解】因为是第四象限角，且， 所以， 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知的终边过点，则______． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先根据求出，再根据三角函数定义求出即可求解. 【详解】由题得， 所以， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期中）若，则__________. 【答案】2 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以即可得到答案. 【详解】由，可知，故. 故答案为：2. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系中，若角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据象限角的三角函数值符号判断. 【详解】角是第二象限角，则是第三象限角，则， 是第四象限角，，. 故选：D. 2．函数的值域是___________． 【答案】 【知识点】由三角函数值的正负判断其他三角函数值的正负 【分析】分类讨论角x的象限即可求y的值域﹒ 【详解】当x是第一象限角时，sinx＞0，cosx＞0，∴y＝2； 当x是第二象限角时，sinx＞0，cosx＜0，∴y＝0； 当x是第三象限角时，sinx＜0，cosx＜0，∴y＝－2； 当x是第四象限角时，sinx＜0，cosx＞0，∴y＝0； ∴y的值域为{－2，0，2}． 故答案为：{－2，0，2}﹒ 3．（上海徐汇·期中）若角的始边落在轴正半轴，终边落在直线上，则________． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由题意可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】由已知得，终边落在直线上，， ，解得. 故答案为： 4．（上海青浦·期中）已知是第四象限角，，求值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】(1)由，求得，进而得到，再结合，即可求解； (2)由（1）知，，联立方程组，求得的值，进而求得的值. 【详解】（1）由，可得，解得． 因为是第四象限角，且，所以，可得，又由，所以，. （2）由（1）知，， 联立方程组，求得，所以 $