专题06 成对数据的统计分析（含非线性回归、统计与概率的综合等问题）（竞赛培优专项训练，8大考点+强基竞赛）高二数学人教A版全国通用

专题06 成对数据的统计分析 （含非线性回归、统计与概率的综合等问题） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 对回归分析的理解 3 考点二 线性回归问题 5 考点三 非线性回归问题 6 考点四 对独立性检验的理解 10 考点五 独立性检验 11 考点六 回归分析与独立性检验的综合 14 考点七 回归分析与概率的综合 16 考点八 独立性检验与概率的综合 18 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题6道） 【归纳重点知识】 知识点01 一元线性回归 1.直线拟合 2.一元线性回归方程 (1)一元线性回归方程 直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，，是这个线性回归方程的系数，其中＝，＝－. (2)最小二乘法 通过求[yi－(a＋bxi)]2的最小值而得到线性回归方程的方法称为最小二乘法. 3.相关系数 【说明】相关系数r是判定成对数据线性相关性的指标，且绝对值越大，线性相关性越强，并不是r越大线性相关性越强. 知识点02 独立性检验 1.分类变量 在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2.2×2列联表 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝；变量B：B1，B2＝. 则变量A，B的样本数据的2×2列联表如下： A B B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 3.独立性检验的基本思想 (1)χ2公式 根据2×2列联表知 χ2＝. (2)临界值与可信程度 统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1).当χ2较大时，说明变量之间不独立.在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断. ①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； ②当χ2＞2.706时，有90％的把握判断变量A，B有关联； ③当χ2＞3.841时，有95％的把握判断变量A，B有关联； ④当χ2＞6.635时，有99％的把握判断变量A，B有关联. 【熟记重要结论(二级结论)】 1．一元线性回归方程过样本中心点(，). 2．独立性检验的三个步骤 第一步：根据样本数据制成2×2列联表； 第二步：根据公式χ2＝，计算χ2的值； 第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断. 考点一 对回归分析的理解 1．下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（    ） A．若选用模型I，则两个变量正相关 B．若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C．若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D．模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 3．（多选）已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（   ） A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 4．（多选）为更好地促进同学们的动手能力，某学校拟开展物理实验周活动，组织同学们到实验室中开展物理实验.在某个实验中，某同学利用自己测量得出的实验数据（已知其中含1个异常样本点），利用最小二乘法进行计算得出了经验回归方程及决定系数.并利用计算机处理得到了以下的实验结果1，实验结果2为删除该异常样本点后利用最小二乘法进行计算得到的经验回归方程及决定系数，则（    ） A．可认为该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型 B．推测实验结果1中的异常样本点的自变量的值可能为0.33 C．由于，则实验结果1相较于实验结果2拟合更好 D．实验结果1的因变量的平均值大于实验结果2的因变量的平均值 考点二 线性回归问题 5．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图. 经计算得，，，，. (1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度； (2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到），并预测胸径为cm的树高. 附：相关系数，回归方程中，，. 6．某同学为养成锻炼习惯，使用智能手环记录自己连续五天的行走步数，设日期顺序变量x（为第一天），y（单位：千步）为对应日期的步数，具体数据如下表： 日期顺序（天） 1 2 3 4 5 步数y（千步） 6.2 6.8 7.6 8.4 9.0 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，预测该同学第7天的步数能否达到一万步. 7．近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入/亿元 1 2 3 4 5 经济收益/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 (1)依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留3位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强） (2)求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益． 参考数据：． 附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距． 考点三 非线性回归问题 8．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________，__________. 9．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 (1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； (2)用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 10．水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 11．近期，某市公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了散点图． (1)根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的经验回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次． [参考数据：，，，，，其中，] 12．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 考点四 对独立性检验的理解 13．随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法．为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表      0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，． 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值保持不变 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 14．读万卷书，行万里路.随着我国教育模式由“应试教育”向“素质教育”转变，研学旅行作为一种传统而现代的素质教育手段被广泛关注.某校对“是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占男生人数的，女生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别有关，则被调查的学生中，男生的人数不可能为（    ） A．25 B．45 C．60 D．75 15．有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表： 总计 15 50 总计 20 45 65 其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附： 16．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 考点五 独立性检验 17．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 18．为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 200 对短视频剪接成长视频的APP无需求 150 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？ 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 考点六 回归分析与独立性检验的综合 20．某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. (1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. (2)为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ (3)超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21．苏州某网红奶茶品牌公司计划在周边城市开设加盟分店，为了确定在城市开设分店的个数，该公司对苏州市相城区的5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在相城区的5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和. （个） 2 3 4 5 6 （十万元） 2.5 3 4 4.5 6 (1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程： (2)如果该公司最终决定在城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异? 不下单 下单 合计 分店一 分店二 合计 参考公式：，，， 考点七 回归分析与概率的综合 22．近期甲型H3N2流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵抗力就会变弱，易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范.我校数学建模社团成员共同研究了一天昼夜温差的大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系，他们记录了某周周一至周六的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 昼夜温差t(℃) 4 7 8 9 14 12 新增流感就诊人数y(位) y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆ 参考数据：， (1)已知第一天新增流感就诊的学生中有3位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少一位女生的概率为 求X的分布列和数学期望； (2)已知两个变量t与y之间的样本相关系数 ，请用最小二乘法求出y关于t的经验回归方程 ，据此估计昼夜温差为13℃时，我校新增流感就诊的学生人数. 参考公式：，    23．随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 55 70.4 19 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)假设该地区现有12个充电桩，其中一半为快充桩，现对该地区现有的12个充电桩进行检查，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值. （参考公式：，.） 24． 2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 (1)若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； (2)求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） (3)若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 考点八 独立性检验与概率的综合 25．某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 26．某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； (2)在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； (3)从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 27．某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. (1)求回归系数； (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 28．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1．（2024安徽安庆田家炳中学“校长杯”竞赛）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025·年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·山东青岛尖子生选拔考试）在检验分类变量X与Y是否有关的过程中，计算得到实验数据的统计量，已知，，则（   ） A．在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为X与Y没有关系 B．在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为X与Y有关系 C．依据的独立性检验，可以认为X与Y不独立 D．依据的独立性检验，可以认为X与Y独立 3．（2024·河南灵宝精英对抗赛）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为______． 4．（2023·全国中学生数学能力测评（终评））预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是__________万元．（结果用e表示） 5．（2024河南灵宝精英对抗赛）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量．随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.03 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）． 附：相关系数，． 6．（2024河南灵宝精英对抗赛）某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数（单位：人）的数据如下表： 日期 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 2月19日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 (1)根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）； (2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表： 年龄 不低于40岁 低于40岁 合计 参与过网上购物 30 150 未参与过网上购物 30 合计 200 将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 成对数据的统计分析 （含非线性回归、统计与概率的综合等问题） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 对回归分析的理解 3 考点二 线性回归问题 6 考点三 非线性回归问题 9 考点四 对独立性检验的理解 14 考点五 独立性检验 17 考点六 回归分析与独立性检验的综合 21 考点七 回归分析与概率的综合 24 考点八 独立性检验与概率的综合 28 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题11道） 【归纳重点知识】 知识点01 一元线性回归 1.直线拟合 2.一元线性回归方程 (1)一元线性回归方程 直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，，是这个线性回归方程的系数，其中＝，＝－. (2)最小二乘法 通过求[yi－(a＋bxi)]2的最小值而得到线性回归方程的方法称为最小二乘法. 3.相关系数 【说明】相关系数r是判定成对数据线性相关性的指标，且绝对值越大，线性相关性越强，并不是r越大线性相关性越强. 知识点02 独立性检验 1.分类变量 在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2.2×2列联表 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝；变量B：B1，B2＝. 则变量A，B的样本数据的2×2列联表如下： A B B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 3.独立性检验的基本思想 (1)χ2公式 根据2×2列联表知 χ2＝. (2)临界值与可信程度 统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1).当χ2较大时，说明变量之间不独立.在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断. ①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； ②当χ2＞2.706时，有90％的把握判断变量A，B有关联； ③当χ2＞3.841时，有95％的把握判断变量A，B有关联； ④当χ2＞6.635时，有99％的把握判断变量A，B有关联. 【熟记重要结论(二级结论)】 1．一元线性回归方程过样本中心点(，). 2．独立性检验的三个步骤 第一步：根据样本数据制成2×2列联表； 第二步：根据公式χ2＝，计算χ2的值； 第三步：查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断. 考点一 对回归分析的理解 1．下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【解析】由散点图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关，故. 因温差最高气温最低气温，由图知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对较小， 故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故. 由散点图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析，可得. 2．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（    ） A．若选用模型I，则两个变量正相关 B．若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C．若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D．模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 【答案】D 【解析】模型I所得经验回归方程为，因为，则两个变量负相关，故A不正确； 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量估计减少1.14个单位，故B不正确； 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度可能越小，故C不正确； 由于模型I的决定系数为0.95，模型II的决定系数为0.99，由于，则模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好，故D正确. 故选：D. 3．（多选）已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（   ） A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 【答案】ABC 【解析】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确. 对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，， ，， 标准差， 变形可得， 将其代入到得， 整理得，将其代入到， 整理得，代入已知数据得， 即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，经验回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，解得，， 故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确. 对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中）， 则变量x的残差平方和为 ， 由于样本量n未知，故无法算出残差平方和的具体数值，D错误. 4．（多选）为更好地促进同学们的动手能力，某学校拟开展物理实验周活动，组织同学们到实验室中开展物理实验.在某个实验中，某同学利用自己测量得出的实验数据（已知其中含1个异常样本点），利用最小二乘法进行计算得出了经验回归方程及决定系数.并利用计算机处理得到了以下的实验结果1，实验结果2为删除该异常样本点后利用最小二乘法进行计算得到的经验回归方程及决定系数，则（    ） A．可认为该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型 B．推测实验结果1中的异常样本点的自变量的值可能为0.33 C．由于，则实验结果1相较于实验结果2拟合更好 D．实验结果1的因变量的平均值大于实验结果2的因变量的平均值 【答案】AB 【解析】对于A：由散点图可知该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型，故A正确； 对于B：根据实验结果1的图可知异常样本点的自变量的值可能为0.33，故B正确； 对于C：由于，则实验结果2相较于实验结果1拟合得更好，故C错误； 对于D：由于实验结果1包含了异常样本点对应的因变量值接近，比其他正常样本点对应的因变量值小得多， 故实验结果1的因变量的平均值小于实验结果2的因变量的平均值，即D错误. 故选：AB. 考点二 线性回归问题 5．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图. 经计算得，，，，. (1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度； (2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到），并预测胸径为cm的树高. 附：相关系数，回归方程中，，. 【答案】(1)两个变量线性相关；相关性较强. (2)；m. 【解析】（1）根据树高与树的胸径的散点图，可判断两个变量是线性相关. 根据题中所给数据，得，，. 所以. 由于的值接近于1，故相关性较强. 故两个变量线性相关，且相关程度较强. （2）由（1）知，，. 所以，. 所以经验回归方程为. 当时，，即树高的预测值大约为m. 故树高关于胸径的经验回归方程为，预测胸径为cm的树高为m. 6．某同学为养成锻炼习惯，使用智能手环记录自己连续五天的行走步数，设日期顺序变量x（为第一天），y（单位：千步）为对应日期的步数，具体数据如下表： 日期顺序（天） 1 2 3 4 5 步数y（千步） 6.2 6.8 7.6 8.4 9.0 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)利用（1）中的回归方程，预测该同学第7天的步数能否达到一万步. 附：经验回归方程，其中， 【答案】(1) (2)预测该同学第7天的步数能达到一万步 【解析】（1）， 所以 又过，所以 所以关于的经验回归方程为 （2）令，得（千步） 因为10.48千步等于1.048万步 所以由（1）中的回归方程，预测该同学第7天的步数能达到一万步 7．近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入/亿元 1 2 3 4 5 经济收益/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 (1)依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留3位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强） (2)求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益． 参考数据：． 附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距． 【答案】(1)，具有较强的线性相关程度 (2)，预测研发投入10亿元时产品的经济收益为亿元 【解析】（1）， ， 又因为， 所以， 所以具有较强的线性相关程度. （2）因为， 则，所以关于的线性回归方程为， 将代入线性回归方程，得， 所以预测研发投入10亿元时产品的经济收益为亿元． 考点三 非线性回归问题 8．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________，__________. 【答案】 【解析】由，两边同时取对数，可得， 因为变换后的线性回归方程为，可得， 即，所以， 又因为，且， 所以， 因为，可得，所以. 故答案为：；. 9．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 (1)从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； (2)用函数模型对变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】(1) (2) 【解析】（1）保有量大于3万辆的年份有第4，5，6年，共3年， 保有量不大于3万辆的年份有第1，2，3年，共3年， 设至少有1年保有量大于3万辆为事件，2年保有量全都大于3万辆为事件， 事件的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有， 两年都不大于3万辆的选法为，所以， 两年都大于3万辆的选法为，所以， 则. （2）已知模型，两边取对数得， 令，则，即转化为线性回归方程， 其中，由题意得， 则， ， 因为，所以， 则. 10．水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)更适宜 (2) (3)347 【解析】（1）由散点图得，藻类面积随时间的增加其增长速度越来越快， 所以更适宜作为藻类面积y与时间x的关系的回归方程类型. （2）由，两边同时取常用对数得， 设，，，则， 由，，得， 则，因此，， 所以y关于x的回归方程为. （3）当时，（平方公里） 所以若不加治理，第8次检测时，藻类面积约为347平方公里. 11．近期，某市公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了散点图． (1)根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的经验回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次． [参考数据：，，，，，其中，] 【答案】(1)适宜 (2)，347十人次 【解析】（1）由散点图，得适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型. （2）由，两边同时取常用对数，得， 设，则，由，， 得，， 因此，即，则， 当时，得， 所以y关于x的回归方程为，活动推出第8天使用扫码支付的人次为347十人次. 12．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，旋转一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】(1)模型②； (2)（i）（ⅱ）27.1亿元 【解析】（1）由题意表格数据得， 同理， ∵0.86<0.91，即， 则从相关系数的角度，选择模型②的拟合程度会更好. （2）（i）由（1）得，模型②，可建立关于x的线性回归方程， 则，又， ∴，∴， ∴，即. （ii）由（i）得， 要使下一年销售额达到80亿元，即，， ∴，解得， 故下一年销售额达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 考点四 对独立性检验的理解 13．随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司为提升自主研发的AI图像识别模型的识别准确率，研发了一种基于国产算力优化的特征提取算法．为检验该算法的实际效果，研究人员随机选取了200个同批次的工业零件检测样本，随机分为两组，每组100个样本：第一组使用新优化算法进行识别，第二组使用传统算法进行识别，记录两组样本的识别成功与失败情况，得到如下列联表： 识别成功 识别失败 合计 新优化算法 85 15 100 传统算法 70 30 100 合计 155 45 200 附：统计量临界值表      0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中，． 则下列说法正确的是（   ） A．有99%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 B．有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效 C．若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，统计量的值保持不变 D．新优化算法的样本识别成功率比传统算法高15个百分点，因此新算法在所有工业检测场景中都优于传统算法 【答案】B 【解析】由题意，， 所以有95%的把握认为新优化算法对提升识别成功率有效，故A错误，B正确； 若将列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍， 则， 所以统计量的值扩大2倍，故C错误； 样本的成功率高15个百分点，不能直接推广到所有工业检测场景中，属于过度推断，故D错误. 14．读万卷书，行万里路.随着我国教育模式由“应试教育”向“素质教育”转变，研学旅行作为一种传统而现代的素质教育手段被广泛关注.某校对“是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占男生人数的，女生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别有关，则被调查的学生中，男生的人数不可能为（    ） A．25 B．45 C．60 D．75 【答案】A 【解析】依题意，设男生的人数为，可列出2×2列联表如下所示： 是否喜欢参加暑期研学旅行 性别 总计 男生 女生 喜欢 不喜欢 总计 则=. 由题意知，即，得，所以. 又，所以结合选项知B，C，D项都可以. 15．有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表： 总计 15 50 总计 20 45 65 其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附： 【答案】9 【解析】由题意知：, 则， 解得：或， 因为：且，， 综上得：，， 所以：. 16．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 【答案】48 【解析】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 考点五 独立性检验 17．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【答案】(1)有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． (2)无关联，实际含义见解析 (3)不一致，原因见解析 【解析】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）（1）与（2）的结论不一致， A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠； B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本， 样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 18．为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，下四分位数 (2)有关 【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 （2）零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 19.近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 200 对短视频剪接成长视频的APP无需求 150 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400． (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？ 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)有差异 【解析】（1）由题意可得：，解得． （2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异． 由已知得，如下列联表： 青年人 中老年人 合计 对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550 对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450 合计 400 600 1000 可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异． 考点六 回归分析与独立性检验的综合 20．某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. (1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. (2)为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ (3)超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，1.2万份； (2)认为对饮品的喜欢程度与性别有关； (3)6300份. 【解析】（1）， ， ，所以， ，销售量关于温度变量的线性回归方程为， 当. 所以温度在区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份. （2）零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联. . 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对饮品的喜欢程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. （3）设这100天的日均销售量为， 则，所以这100天的日均销售量为6300份. 21．苏州某网红奶茶品牌公司计划在周边城市开设加盟分店，为了确定在城市开设分店的个数，该公司对苏州市相城区的5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在相城区的5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和. （个） 2 3 4 5 6 （十万元） 2.5 3 4 4.5 6 (1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程： (2)如果该公司最终决定在城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异? 不下单 下单 合计 分店一 分店二 合计 参考公式：，，， 【答案】(1) (2)表格见解析，两个分店下单率没有差异 【解析】（1）由题可得，，， ，， 设关于的线性回归方程为，则， ， 关于的线性回归方程为； （2）设零假设为：两个分店顾客下单率无差异， 由题意可知列联表如下所示： 不下单 下单 合计 分店一 25 5 30 分店二 60 20 80 合计 85 25 110 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以两个分店下单率没有差异. 考点七 回归分析与概率的综合 22．近期甲型H3N2流感来袭，医学研究表明，如果每天温差太大，人们受风寒刺激极易受凉感冒，自身抵抗力就会变弱，易受流感病毒侵袭，特别是对于学生及老年人群体更需保暖和多加防范.我校数学建模社团成员共同研究了一天昼夜温差的大小与我校患流感就诊人数多少之间的关系，他们记录了某周周一至周六的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增流感就诊的人数，得到数据如下： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 昼夜温差t(℃) 4 7 8 9 14 12 新增流感就诊人数y(位) y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆ 参考数据：， (1)已知第一天新增流感就诊的学生中有3位男生，从第一天新增的流感就诊学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少一位女生的概率为 求X的分布列和数学期望； (2)已知两个变量t与y之间的样本相关系数 ，请用最小二乘法求出y关于t的经验回归方程 ，据此估计昼夜温差为13℃时，我校新增流感就诊的学生人数. 参考公式：，    【答案】(1)分布列见解析，数学期望为. (2)经验回归方程为；当昼夜温差13℃时，我校新增流感就诊的学生人数为人. 【分析】（1）先根据已知条件求出第一天新增流感就诊的学生总数，然后求出的可能取值为0，1，2以及对应的概率值，列出分布列，根据期望公式求出数学期望即可. （2）根据条件中给的公式和相关系数先求出，然后得到，然后根据公式求出，进而得到，从而求得经验回归方程和昼夜温差为13℃时的函数值. 【解析】（1）因为抽取的2人中至少一位女生的概率为，所以抽取的2人中全是男生的概率为. 设第一天新增流感就诊的学生共人，则，化简得. 解得（舍去）或. 所以由题意可知的可能取值为0，1，2， . 所以的分布列为 0 1 2 所以数学期望为. （2）由题意可知，， 所以. 所以. 因为，所以， 解得.而，所以 所以y关于t的经验回归方程为. 当昼夜温差时，我校新增流感就诊的学生人数为人. 23．随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 55 70.4 19 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)假设该地区现有12个充电桩，其中一半为快充桩，现对该地区现有的12个充电桩进行检查，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值. （参考公式：，.） 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解析】（1），， ，， 所以，回归直线方程为. （2）的可能取值为，则： ，， ，， 所以分布列为： 故均值. 24． 2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 (1)若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； (2)求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） (3)若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 【答案】(1)分布列见解析 (2)0.99，与的线性相关程度较强． (3)，0.72． 【解析】（1）由题可知的所有可能取值为，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 （2）由题可知，， 则， 因为接近于1，所以与的线性相关程度较强． （3）由题可知， 解得， 所以关于的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得， 又因为，所以当时，， 故预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为0.72． 考点八 独立性检验与概率的综合 25．某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)有差异 (2)，． 【解析】（1）假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异． 因为， 依据的独立性检验，所以假设不成立， 即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异． （2）由题意，，， , , 则，． 26．某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表： 性别 关注足球赛事 不关注足球赛事 合计 男 55 5 60 女 20 10 30 合计 75 15 90 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关； (2)在这90名学生中随机抽取一名，记事件表示抽到“学生关注足球赛事”，事件表示抽到“学生是女生”，求及的值； (3)从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作，求的期望与方差． 附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)该校学生对足球赛事的关注与性别有关. (2). (3). 【解析】（1）零假设为：学生对足球赛事的关注与性别无关. 根据列联表中的数据，得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校学生对足球赛事的关注与性别有关. （2）由题意得，，，， 故. （3）因为， 所以， 所以， 故， 即. 27．某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成. (1)求回归系数； (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）； (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2) (3)判断“检测结果”与“文本真实性”有差异 【分析】（1）利用回归直线过样本中心可求回归系数； （2）利用全概率公式可求概率； （3）完善列联表，再根据公式计算卡方，结合临界值表判断即可. 【解析】（1）因为，且，， 故，故. （2）记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”， 为“被检测系统识别为人类撰写的文本”， 由题意知，，，，， 由全概率公式知： ， 即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为. （3）AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为， 真实AI生成且被识别为AI生成的篇数， 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数， 故列联表为： 文本真实性 检测结果 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 29 1 30 真实人类撰写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异. 由列联表数据计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异. 28．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 (2)（i）；（ii）的分布列见解析, 【解析】（1）因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； （ii）的所有可能取值为：1，2，3，4， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 1．（2024安徽安庆田家炳中学“校长杯”竞赛）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025·年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 即经验回归方程， 当时，， 所以， 即2025·年该科技公司云计算市场规模y的估计值为， 故选：B 2．（多选）（2025·山东青岛尖子生选拔考试）在检验分类变量X与Y是否有关的过程中，计算得到实验数据的统计量，已知，，则（   ） A．在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为X与Y没有关系 B．在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为X与Y有关系 C．依据的独立性检验，可以认为X与Y不独立 D．依据的独立性检验，可以认为X与Y独立 【答案】BD 【解析】，所以在犯错误的概率不超过10%的前提下， 可以认为X与Y有关系，故A错误，B正确； 又，所以依据的独立性检验，可以认为X与Y独立，故C错误，D正确； 故选：BD. 3．（2024·河南灵宝精英对抗赛）对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为______． 【答案】/ 【解析】经验回归直线过样本点的中心，，， 经验回归方程为．当时，，残差为． 4．（2023·全国中学生数学能力测评（终评））预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是__________万元．（结果用e表示） 【答案】 【解析】由题设，令，则，， 所以，则， 所以代入回归方程，则，可得万元. 5．（2024河南灵宝精英对抗赛）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量．随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.03 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）． 附：相关系数，． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值， 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为， 平均一棵的材积量为. （2）（2） ， 则. 6．（2024河南灵宝精英对抗赛）某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数（单位：人）的数据如下表： 日期 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 2月19日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 (1)根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）； (2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的列联表： 年龄 不低于40岁 低于40岁 合计 参与过网上购物 30 150 未参与过网上购物 30 合计 200 将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，； (2)表格见解析，有关. 【解析】（1）由表中数据可得，， ， ， 则，， 所以关于的一元线性回归方程是， 令，得， 所以估计当年2月21日在该店购物的人数为人. （2）列联表如下： 年龄 不低于岁 低于岁 合计 参与过网上购物 未参与过网上购物 合计 200 零假设为：参加网上购物和年龄无关， 根据数据，计算得到：， 所以根据小概率的独立性检验，我们推断不成立， 即认为参加网上购物和年龄有关，此推断犯错误的概率不大于. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $