精品解析：2026年河北省沧州市任丘市初中学业水平模拟考试数学试卷

2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（　　） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 如图，，分别与、交于点G、F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的倍 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 5. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 7. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张，则这两张卡片相同的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. 运算完全正确 B. 第①②两步都有错 C. 只有第③步有错 D. 第②③两步都有错 9. 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 化简： = ___________． 14. 如图，在平行四边形中，延长到点，连接，使．若，则的度数为________． 15. 如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则___________． 1 6 2 16. 如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是_____． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解不等式，并将它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并将解集在数轴上（如图所示）表示出来． 18. 按要求完成以下问题 （1）先化简，再求值：．其中； （2）下面是两道习题及其错误的解答过程． 习题1：计算． 解：第一步第二步 第三步 ．第四步 习题2：解方程． 解：两边同乘得第一步 第二步 经检验，是原方程的解．第三步 ①分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步出现错误的； ②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 19. 如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： （1）； （2）． 20. 某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 21. 如图，，，，是以为直径的半圆上一动点，交直线于点，设． （1）当时，求的长； （2）当时，连接，求的外接圆的半径长； （3）若点在线段上，直接写出的取值范围． 22. 问题情境：如图1，矩形中，是边上一点，分别交，于点，． （1）探究发现：若，求的值； （2）探索研究：如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，，分别在边，上，点落在边上的点处，，连接，与交于点． ①求的长； ②连接，若，求的长； （3）探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，，分别在边，上，点落在边上的点处，若，，求关于的函数关系式． 23. 如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． （1）求b，c的值； （2）求抛物线的解析式； （3）将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知上升记为正，推出相反意义的下降记为负即可得到结果． 【详解】解：∵体重上升记作， ∴体重下降可以记作． 2. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】观察式子结构符合平方差公式形式，利用公式展开计算即可得到结果． 【详解】解：． 3. 如图，，分别与、交于点G、F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同旁内角互补”，可求，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：，， ，即， ， ． 故选：B． 4. 如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的倍 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，解题关键是掌握比例线段并能运用求解． 先求出变化后的线段的比例与原线段的比进行比较，再作判断即可． 【详解】解：∵在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍， ， ∴的值不变， 故选：A． 5. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个，进行判断即可. 【详解】解：观察可知：左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个， 移走①，左视图发生改变，移走②，左视图和主视图均不变，移走③，左视图和主视图都发生改变，移走④主视图发生改变. 故可移走②号小正方体. 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，关于原点对称，牢记根与系数的关系是解题的关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系求出m和n，得到点坐标，再求该点关于原点对称的点． 【详解】解：方程 中，，，， ，． 点在平面直角坐标系中坐标为． 点 关于原点对称的点为， 点在平面直角坐标系中关于原点对称的点为． 故选：C． 7. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张，则这两张卡片相同的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两张卡片相同的结果有4种， ∴这两张卡片相同的概率为． 8. 观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. 运算完全正确 B. 第①②两步都有错 C. 只有第③步有错 D. 第②③两步都有错 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是需正确进行通分和符号处理，并保持分母的存在． 先进行通分再进行同分母分式的加减运算即可． 【详解】解： ① ② ③ ④ 综上，第②步和第③步均存在错误， 故选：D． 9. 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，设交于点O． ∵和关于直线对称， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证，故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 10. 已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的图象和性质；根据一次函数过点得到一次函数解析式，分别讨论当时，当时的函数图象，再结合题意列出不等式，计算求解即可． 【详解】解：将点代入，得， 解得，故一次函数为． 当时，代入，， 反比例函数过第一、三象限， 当时， 一次函数，过第二、三、四象限， 不满足当时，恒成立， 当时，如图， 当时，， ∵当时，恒成立， ∴， 解得：， 故选：B． 11. 如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，然后可得，在Rt△C′B′N中利用勾股定理求解DB′；当点M与点A重合时，可得ME=NE，设NE=x，在中，利用勾股定理求解DE，当时，的值最大；当点运动到点落在时， 点的运动轨迹，运动路径求出即可． 【详解】解：如图1中，当点B′在DC上时，点E定为点B′， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴， ∵（）， ∴（）． ∴DB′=DN-B′N=， 如图2中，当点与重合时，点E定为点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴ME=NE， 设，DE=DN-NE=4-x， 在中，则有AD2+DE2=AE2，即， 解得， ∴（）， 如图3中，当点运动到时，此时点E位置定为E′，的值最大，（）， 如图4中，当点运动到点落在时， ∴点的运动轨迹，运动路径（）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质，熟练掌握翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据三角函数可得，由旋转的性质可得，，进而可证是的垂直平分线，再证明，延长交x轴于点， 则是的垂直平分线，则点C与点重合，再根据三角函数即可得解． 【详解】解：如图，连接， 点， ， ， 在中，， ， ， ， 将绕点A逆时针旋转得到， ，， ∴点D在上，且D是 的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 延长交x轴于点， 则是的垂直平分线， ， 点C与点重合， ， ， ， 当时，点C的坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键正确作出辅助线，综合运用以上知识点． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 化简： = ___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意去括号时变号即可； 【详解】解：原式， 故答案为： 14. 如图，在平行四边形中，延长到点，连接，使．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则___________． 1 6 2 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系列式求解是关键． 通过九宫格中每行、每列及对角线上三个数的和相等，列出方程组求解． 【详解】解：设每行、每列及对角线上三个数的和为， 设第一行第三列的数，则， ∴， 从左上到右下的对角线上数的关系：，即， ∴， 从左下到右上的对角线上数的关系：，即， ∴， 设第三行和第二列的数为，则， ∴， 联立方程组得，， 解得，， 故答案为：． 16. 如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O在上．此时最短，当点O落在上时，最大，过点M作于点F，于点G，于点K，由角平分线的性质得，证明四边形为矩形，得，，进而证得，得，进而得，，，再根据等角对等边得，即可求解． 【详解】解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为的内心． 四边形为正方形， 为的平分线， 点O在上．此时最短． 如图，当点O落在上时，最大． 过点M作于点F，于点G，于点K． ， ， 是等腰直角三角形， ． ，，，， 四边形是正方形， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形． 点O为的内心， ， ． 又， ， ， 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的内切圆与内心及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解不等式，并将它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并将解集在数轴上（如图所示）表示出来． 【答案】（1），数轴表示见详解；（2），数轴表示见详解 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，不等式组，在数轴表示解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）移项，系数化1即可，再在数轴表示； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再在数轴表示． 【详解】解：（1）， ， 解得： ∴原不等式的解集为：， 数轴上表示为： ； （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 将解集表示在数轴上如下： 所以不等式组的解集为． 18. 按要求完成以下问题 （1）先化简，再求值：．其中； （2）下面是两道习题及其错误的解答过程． 习题1：计算． 解：第一步第二步 第三步 ．第四步 习题2：解方程． 解：两边同乘得第一步 第二步 经检验，是原方程的解．第三步 ①分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步出现错误的； ②从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）； （2）①习题1，从第一步出现错误的；习题2，从第一步出现错误的；②选习题1：；选习题2：无解 【解析】 【分析】（1）先计算括号内的，再计算除法即可； （2）①根据分式的减法运算法则判断即可；②选择习题1，先把分式转化为同分母的分式，然后根据同分母的分式相加减法则计算即可；选择习题2，根据解分式方程的方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解：①根据原解答的步骤可得：习题1，从第一步出现错误的；习题2，从第一步出现错误的； ②解：选习题1， ； 选习题2， ， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 19. 如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【小问1详解】 证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 20. 某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． （1）求a，b的值． （2）求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． （3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 【答案】（1）， （2） （3）两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意并结合图象列式计算即可得出、的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）由题意可得无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为，分三种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：由题意并结合图象可得：， ； 【小问2详解】 解：设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得， 故两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或或． 21. 如图，，，，是以为直径的半圆上一动点，交直线于点，设． （1）当时，求的长； （2）当时，连接，求的外接圆的半径长； （3）若点在线段上，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的外接圆的半径长为 （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质以及弧长公式等知识．此题综合性很强，难度较大，注意辅助线的作法，注意利用数形结合思想； （1）首先连接，由圆周角定理，可求得的度数，然后由弧长公式，即可求得答案； （2）首先证得，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，结合含30度直角三角形的性质求出，，根据勾股定理求得答案； （3）分别求出与重合时和当与重合时的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接， ， ， ， ， 的半径为3， 的长为； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的外接圆的直径， ， 的外接圆的半径长为； 【小问3详解】 解：如图，当与重合时， 是直径，， ， ，，共线， ， ， 在中，，， ； 如图，当与重合时， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，是半圆的半径， ∴，是半圆的切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ． 22. 问题情境：如图1，矩形中，是边上一点，分别交，于点，． （1）探究发现：若，求的值； （2）探索研究：如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，，分别在边，上，点落在边上的点处，，连接，与交于点． ①求的长； ②连接，若，求的长； （3）探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，，分别在边，上，点落在边上的点处，若，，求关于的函数关系式． 【答案】（1） （2）①；②； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①过点作于点，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得的值，由勾股定理求得，即可求得的值； ②过点作于点，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）连接，过点作于点，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得；在中，由勾股定理建立关于与的关系式，整理后即可求得与的函数关系式． 【小问1详解】 解：如图1，四边形是矩形，过点作于点，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①过点E作于点Q，如图2.1， ∵将矩形沿直线折叠，分别在边上，点落在边上的点处， ， ， 故由（1）知：； 在直角三角形中，由勾股定理得：， ； ②如图2.2，过点作于点，则， ， 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； 【小问3详解】 解：如图3，连接，过点作于点， ∵将矩形沿直线折叠，分别在边上，点落在边上的点处， ， 由（1）知，， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， ∴与的函数关系式为． 23. 如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． （1）求b，c的值； （2）求抛物线的解析式； （3）将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）①点P的坐标为，点Q的坐标为；②16 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题． （1）将点和点代入即可求解； （2）设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为，即可得到抛物线的解析式为； （3）①通过联立方程组，求点P和Q的坐标； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，先求出直线的解析式为，设，，则，，求出当时，有最大值4，当时，有最大值4，再根据，得到当最大时，四边形面积的最大，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入得 ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线， 设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为， ∵抛物线与关于原点O成中心对称， ∴抛物线的解析式为， 整理得； 【小问3详解】 解：①将抛物线向上平移2个单位长度得到，则抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧）， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值4， 当时，有最大值4， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $