数列求和课件-2026届高考数学二轮复习

专题6 数列求和 1 知识点1 错位相减法 知识点2 分组求和法与并项求和法 知识点3 裂项相消法 2 【考情分析】 数列求和是高考考查的热点问题，试题主要以解答题的形式考 查.试题侧重以考查错位相减法、分组求和法、并项求和法以及裂项 相消法为主.高考备考建议首先熟练掌握各种求和方法所对应的递推 关系式的类型，其次熟练掌握各类方法的计算过程，同时注意训练 求解过程的准确性，提升学生逻辑推理能力和计算能力. 3 知识点1 错位相减法 例1 [2024·全国甲卷] 记为数列的前项和，已知 . （1）求 的通项公式； 解：在中取,得 ， 由 得， 即 , , 是以4为首项， 为公比的等比数列, . 4 例1 [2024·全国甲卷] 记为数列的前项和，已知 . （2）设,求数列的前项和 . 解：方法一：由（1）知 ，则 ，则 ， 得 ， . 5 方法二：由（1）知, 当 时，，两边同时减去 可得 , 故为常数列，则 , 可得 . 6 【规律提炼】 错位相减法求和的策略： （1）适用的数列类型：若<m></m>是公差为<m></m>的等差数列，<m></m> 是公比为<m></m>的等比数列，求数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>. 7 （2）错位相减法求和的一般步骤： 8 （3）易错点:作差后，得到的新数列的项数错误而致误；作差时 的展开式中的最后一项未变号致误；最后求和计算时要将指数项合 并，计算不准确致误. 9 【巩固训练】 [2025·全国一卷] 已知数列<m></m>中，<m></m>，<m></m>. （1）证明：数列 是等差数列； 证明：因为，所以 ， 即，由等差数列的定义可得， 数列 为等差数列. 10 [2025·全国一卷] 已知数列<m></m>中，<m></m>，<m></m>. （2）给定正整数，设函数 ，求 . 解：令，可得，即是以 为首项， 1为公差的等差数列，所以 . 因为 ，所以 , 11 将与 代入上式， 可得 . 令 , 则 ， 所以 ,所以 . 12 知识点2 分组求和法与并项求和法 例2（1）已知数列满足， . （i）求数列 的通项公式； 解：因为，即，所以当 时， ，又 满足上式，所以 . 13 例2（1）已知数列满足， . （ii）记，求数列的前项和 . 解：因为，所以 . 14 （2）[2025·云南昆明模拟] 已知各项均为正数的等差数列 的公 差为2，的前项和为，且，， 成等比数列. （i）求数列 的通项公式； 解：由题意得,， 因为，， 成等比数列，所以 ， 即，化简整理得 ， 可得，所以 . 15 （2）[2025·云南昆明模拟] 已知各项均为正数的等差数列 的公 差为2，的前项和为，且，， 成等比数列. （ii）设求数列的前10项和 . 16 解：由得 ，所以 ，所以 . 17 【规律提炼】 并项（分组）求和法求和的策略： （1）适用的数列类型：一个数列的通项公式由若干个特殊数列相加 （减）构成；一个数列的前<m></m>项和中可两两或几个相结合求解，通项 公式为<m></m>或周期类型. 18 （2）并项（分组）求和法求和的一般步骤： ①观察通项公式的类型，将通项公式分为几个特殊类型数列的加、 减形式； ②依据不同类型数列求和方法进行求和； ③若通项公式中有，则需对 为奇数、偶数进行讨论，进而将 数列通项公式写成“分段数列”类型； ④若数列为“分段数列”，则要对数列中的项分奇数项、偶数项分别求和. （3）易错点：没有准确发现各个子数列的通项公式特点，未能采用 有效方法求和，导致结果错误；奇偶项的项数计算错误而致误. 19 【巩固训练】 1.已知为数列的前项和，且, . （1）求 的通项公式； 解：因为，所以 ， 又，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以. 当时， ， 所以， 又 满足上式，所以的通项公式为 . 20 1.已知为数列的前项和，且, . （2）若，求数列的前项和 . 解：由（1）可知，当为奇数时，， 当 为偶数时， ， 所以 . 21 2.已知数列满足， （1）记，写出,,并求数列 的通项公式； 解：由题知，，， ， 数列 的奇数项构成以1为首项，3为公差的 等差数列，所以当为奇数时， ； 数列的偶数项构成以2为首项，3为公差的等差数列，所以当 为 偶数时，.因为 ，所以 ，， . 22 2.已知数列满足， （2）求 的前20项和. 解：由（1）知，的前20项和为 . 23 知识点3 裂项相消法 例3 [2025·辽宁营口模拟] 若数列 是公差为1的等差数列，且 ，点在函数的图象上，记数列 的前项和为 . （1）求数列, 的通项公式; 解：由数列是公差为1的等差数列及， 得 ， 点在函数 的图象上， . 24 例3 [2025·辽宁营口模拟] 若数列 是公差为1的等差数列，且 ，点在函数的图象上，记数列 的前项和为 . （2）设，记数列的前项和为，证明: . 25 证明：由（1）知,显然数列 是首项为1，公比为3的等 比数列，则， . 设，则 解得，故 ， ， . 26 【规律提炼】 裂项相消法求和的策略： （1）适用的数列类型：数列通项公式一般为分式型，且能够分裂为 两项的和或差，求和过程中能够相加消项. （2）裂项相消法求和的一般步骤： ①将通项公式裂项，注意裂项后的“系数”，若<m></m>是公差<m></m>的等 差数列，则<m></m>，<m></m>. ②将数列裂项后求和，若非相邻项相消，则要观察规律准确确定剩 余项. 27 （3）易错点：忽视裂项后系数问题而致误；不能准确确定剩余项而 致误. 28 【巩固训练】 [2025·福建龙岩质检] 已知数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>，且满足 <m></m>，<m></m>，<m></m>. （1）求数列 的通项公式； 解：由,得,又 ,所以数 列是首项为,公差 的等差数列,所以,即. 当 时,,因为 也满 足上式,所以,则数列的通项公式为 . 29 [2025·福建龙岩质检] 已知数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>，且满足 <m></m>，<m></m>，<m></m>. （2）若，求数列的前项和 . 解：由（1）得 ，则 ，所以 . 30 错位相减法求和的综合应用.一些问题中等差、等比数列嵌套在其他数 列中，此时可以单独对等差、等比数列进行求和，注意计算的准确性. 例1 [2025·海南海口模拟] 已知数列的前项和 ， 数列是首项为的等比数列，且 . 31 （1）求数列, 的通项公式； 解：当时， ， 当 时， ，又满足上式， . ，， （其中 为等比数列的公比）， 又，， 或 . 32 例1 [2025·海南海口模拟] 已知数列的前项和 ， 数列是首项为的等比数列，且 . （2）设，求数列的前项和 . 解：由题意得 设，的前项和为 ， 则 ， ， 33 得 ， ， 当时， ， 当 时， . 综上， . 例2 [2025·天津卷] 已知数列是等差数列，数列 是等比数 列，，， . （1）求， 的通项公式. 解：设数列的公差为，数列的公比为 ， 则由题得可得 所以, . 35 例2 [2025·天津卷] 已知数列是等差数列，数列 是等比数 列，，， . （2）对任意，， ，有 ，， ， . （i）求证：对任意实数，均有 ； 证明：由（1）知 或 ， . 当 时， 36 设 ， 则 ， 所以 ， 所以，其为 中的最大元素， 此时 恒成立， 所以对任意实数，均有 . 37 例2 [2025·天津卷] 已知数列是等差数列，数列 是等比数 列，，， . （2）对任意，， ，有 ，， ， . （ii）求 中的所有元素之和. 38 解： 由得为 中的最大元素， 由题意可得 中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当,,,均为1时,该系列的元素为 ,共有 个； 当,, , 中只有一个为0，其余均为1时， 该系列的元素为,,, , ， 共有 个，则这 个元素的和为 ； 39 当,, , 中有2个为0，其余均为1时， 该系列的元素为， 共有 个，则这 个元素的和为 ； 当,, , 中有3个为0，其余均为1时，该系列的元素为 ，共有 个， 则这 个元素的和为 ；…； 当,, ,中有个为0，1个为1时，该系列的元素为 , , ,，共有 个，则这 个元素的和为 ； 当,, ,均为0时，该系列的元素为0，共有 个. 综上所述， 中的所有元素之和为 . $