【课件】02“新高考2卷 第18题 “-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（南部）

该高中数学课件聚焦导数应用核心内容，以2025年新高考Ⅱ卷第18题为例，通过真题呈现、一题多解、试题溯源、变式拓展及教学启示模块，搭建从极值点零点证明到构造函数比较大小的学习支架，衔接导数计算与高阶分析的知识脉络。 其亮点在于融合数学思维与数学眼光，提供重计算（直接求导因式分解）和重分析（高阶导数极限思想）两类解法，结合教材例题与高考题溯源，设计参数变换、函数类型调整等变式题。通过多解法培养逻辑推理与运算能力，变式训练发展创新意识与模型观念，助力学生深化知识理解，教师提升教学针对性与高效性。

一题多解强思维，追根溯源探本质 ——2025年全国数学新高考Ⅱ卷第18题的多解研究与背景分析 参赛人：程霄 陈颖霞 吕双耀 所在单位：四川省成都市天府新区实外高级中学 一、真题呈现 二、试题解析 三、试题溯源 四、变式拓展 五、教学启示 1、真题呈现 （2025年新高考Ⅱ卷第18题）已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点． （ⅰ）设函数．证明：在区间单调递减； （ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论． 利用导数研究函数的单调性、极值与最值、零点等问题是高中数学的重要内容，也是高考考查的重点．2025年新高考Ⅱ卷第18题以含参的函数为背景，重点考查函数的单调性、极值点和零点等相关问题，考查函数与方程、转化与化归、分类与整合、数形结合等数学思想方法，对学生的观察能力、逻辑推理能力、数学运算能力、语言表达能力提出了较高要求． 1、真题呈现 1、真题呈现 （2025年新高考Ⅱ卷第18题）已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点． （ⅰ）设函数．证明：在区间单调递减； （ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论． 2、试题解析——第（1）问 笔者提供2种求解方法：（1）直接研究原函数的一阶导函数，通过因式分解，求得极值点，进而判断出原函数的单调性，通过放缩取点，再结合零点存在性定理证明原函数在相应区间上存在唯一零点；（2）不直接求出极值点，利用原函数和导函数的关系进行高阶求导，通过三阶导函数的大致图象，判断出二阶导函数的大致图象，进而得到一阶导函数和原函数的大致图象，结合函数的单调性与零点存在性定理，证明原函数在相应区间上存在唯一极值点和零点．思维导图如下： 在区间存在唯一的极值点和唯一的零点 思路1（重计算）：求一阶导，整理变形，求出极值点，再取点，得到零点 思路2（重分析）：求高阶导，利用极限分析，得到极值点和零点   唯一极值点 ，在上单调递减 放缩取点 唯一的零点 令，在上单增，在上单减，且存在，使 在上单调递增，在上单调递减，且存在，使，为唯一极值点 在上单调递增，在上单调递减，存在唯一的，使，为唯一零点 2、试题解析 第（1）问思维导图 解法1：只求一阶导，代数整理变形，放缩取点 2、试题解析——第（1）问 ， 令，得； 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故存在唯一的极大值点； 解法1：只求一阶导，代数整理变形，放缩取点 2、试题解析——第（1）问 又； 由单调性及零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得； 综上所述，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点． 评注：取点时借助了常见的不等式进行放缩，从而只需令，可找出这个点． 解法2：求高阶导，利用极限思想，层层分析 2、试题解析——第（1）问 ，， ，，， 且在上单调递减，令 结合图象可知，故在上单调递增， 在上单调递减， 且当，故存在， 使， 解法2：求高阶导，利用极限思想，层层分析 2、试题解析——第（1）问 则在上单调递增，在上单调递减， 当，故存在，使， 则在上单调递增，在上单调递减， 当 故存在唯一的，使； 综上所述，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点． 解法2：求高阶导，利用极限思想，层层分析 2、试题解析——第（1）问 评注：此种解法需要取点才更严谨，可将看成是和两部分组成，其中是恒小于零的，因此只需让即可，进而得；又由解法1可知，此时只需让，解此不等式可得，因此可取这个点，使得，而原函数找点的方式已在解法1中说明． 解法2：求高阶导，利用极限思想，层层分析 2、试题解析——第（1）问 另：亦可在同一坐标系下画出，，的图象，可直接看出均可以找这个点，只需代入证明其函数值均小于0即可． 2、试题解析——第（2）问 （2025年新高考Ⅱ卷第18题）已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点． （ⅰ）设函数．证明：在区间单调递减； （ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论． 2、试题解析——第（2）问 笔者提供2种思路共5种求解方法： （1）思路1：只求一阶导，整体代换，对定号；解法1-1是直接将函数代入，再求导化简，解法1-2到1-4都是先对原函数整体求导，再代入函数化简，用不同的处理方式，最终对定号； （2）思路2：求高阶导数，结合图象和极限分析，对定号，进而对定号；此解法与第（1）问的解法2是一脉相承的. 思维导图如下： 在区间单调递减 思路1（重计算）：只求一阶导，整体代换，对定号 思路2（重思维）：求高阶导，结合图象和极限分析，对定号，进而对定号   解法1-1：直接代入消元，化简定号 由（1）知，在上单增，在上单减，且存在，使 解法1-2： 先整体求导，再代入消元，化简定号 解法1-3： 先整体求导，再代入，局部化简定号 解法1-4：先整体求导，再分解函数，化简定号 解法2：求高阶导，图象辅助，层层分析 ，则，故 若，则，； 若，则，此时． 在上单调递减， 解法1-1：直接代入消元，化简定号 2、试题解析——第（2）问 由（1）解法1可知，，即，代入，整体代换消； 解法1-1：直接代入消元，化简定号 2、试题解析——第（2）问 又因为，则有 即，故在区间单调递减，得证． ， 解法1-2：先整体求导，再代入，消元化简 2、试题解析——第（2）问 由（1）解法1可知，，即，代入，消； 又，则，故，在区间单调递减． ，在区间单调递增 解法1-3：先整体求导，再代入，局部化简定号 2、试题解析——第（2）问 由（1）解法1可知，，即，代入，得； 又，则，故，在区间单调递减． 解法1-4：先整体求导，再分解函数，化简定号 2、试题解析——第（2）问 由（1）知，，其中， ，，； 又其中，利用对称性可得； 因为在区间单调递减，故； 解法1-4：先整体求导，再分解函数，化简定号 2、试题解析——第（2）问 又，当时，，故在区间单调递增， 故，即 综上，，故在区间单调递减． 评注：利用导函数的形式，可将导函数分解成一次函数和分式型函数的积，其中一次函数图象关于对称，利用对称性对式子进行消元化简提公因式，最终定号．运算量少，也是对解法1-2的思考方式的一种升华． 解法2：求高阶导，图象辅助，层层分析 2、试题解析——第（2）问 ，，由（1）解法2知， 在上单调递增，在上单调递减， 且存在，使， 由图象可知，则，故； 若，由的单调性知，，即； 又若，则，此时． 故有在上单调递减，，则有在上单调递减，得证． （2025年新高考Ⅱ卷第18题）已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点． （ⅰ）设函数．证明：在区间单调递减； （ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论． 2、试题解析——第（3）问 评注：此问的背景是极值点偏移模型，函数的两个零点分别是和，极值点是，最后得到的结果等价于，即极值点右偏，但由于前面已经构造了这样的一个辅助函数，已经将双变量问题转换成了单变量问题，故直接用上一问的结论就可证明此结论，做到了真正的反套路，回归到了问题的本质． 由（2）（ⅰ）可知，，则有，即， 又由（1）知在上单调递减，且，故． 3、试题溯源 2025年新高考Ⅱ卷第18题，一题三问，环环相扣，层次分明，每一问都在为后一问作铺垫．第（1）问证明函数存在唯一的极值点和零点．第（2）问第（ⅰ）小问引入辅助函数探索其单调性，为第（ⅱ）小问探索极值点与零点之间的关系指引方向． 其命题特点与2011年辽宁高考数学理科第19题、2019年天津高考数学文科第20题、2022年南昌三模理科第21题高度相似，本题第（1）问解法1中放缩找点的方法和本题第（2）问给出的解法2需说明函数的增减快慢（即凹凸性） ，均可在教材中找到出处． 3、试题溯源 题源1 （2011年辽宁高考数学理科第19题）已知函数． （I）讨论的单调性； （II）设，证明：当时，； （III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：． 此题命题背景是一个极值点偏移问题，但又没有陷入用套路解题，而是给考生搭好了梯子，构造了一个辅助差函数，进而回归到利用导数分析函数单调性的基本问题．当然本题命题背景还涉及到高等数学下的麦克劳林展开式、帕德逼近等知识，但都有一些鞭长莫及，这也是本题的妙处之一． 3、试题溯源 题源3 （2022南昌三模理科第21题）已知函数. （1）当时，判断的单调性； （2）若时，设是函数的零点，为函数的极值点，求证：. 题源2 （2019天津高考文科第20题）设函数． （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明． 3、试题溯源 题源4 （2019年人教A版高中数学教材选择性必修第二册复习参考题5第19题） 已知函数. （1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围； 部分解答：， 由零点存在性定理，在上有一零点， 因为； 又，由零点存在性定理，在有一个零点. （通过放缩取点，确定零点所在区间，与原高考题第（1）问解法1的处理有相似之处） 3、试题溯源 题源5 （2019年人教A版高中数学教材选择性必修第二册第68页例4）如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象，根据图象，请描述、比较曲线在，，附近的变化情况． 部分解答：直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，即这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢． （评注：这里反应的变化快慢程度与原高考题第（2）问解法2有相似之处，解法2中若只求，无法判断在某邻域内增或减的快慢程度，因而无法定号．故借助二阶导函数的符号判断出一阶导函数的单调性，进而确定出一阶导函数的正负，最终定号．） 4、变式拓展 如果将原题题干中的参数范围隐藏，把第（1）问要证明的结论变成已知，求参数的范围，就得到了下面的变式1． 变式1 已知函数，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点． （1）求的取值范围； （2）设分别为在区间的极值点和零点． （ⅰ）设函数．证明：在区间单调递减； （ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论． 4、变式拓展 变式1 已知函数，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点．（1）求的取值范围； 解析：（1）由题可知：，则 ①当时，在上单调递增，此时，无极值，不合题意，舍去; ②当时，令，有 若，即时，在上恒成立，在上单调递减，无极值，不合题意，舍去; 4、变式拓展 若，即时，则时，，单调递增，时，，单调递减，是的唯一的极值点且是极大值点； （充分性说明）又当时，，且在上单调递增，，又，且在上单调递减则由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得 综上所述， ． 4、变式拓展 评注：此变式本质上变成了含参函数的单调性讨论问题，是高中数学导数部分的要内容，也是高考的常客．此变式将条件和结论进行调换后，需借助函数有唯一极值点这个条件，通过“必要性探路” ，先得出参数的取值范围，再去说明在此范围内亦是满足有唯一零点，最后得出参数的取值范围，本变式体现了分类与整合，转化与化归的数学思想，相比原题而言综合性更强，难度略高一些． 4、变式拓展 如果将原题题干中参数的位置进行调换，将产生不同组合的题目．由于将换成二次项系数，函数比较简单，没有研究的必要．故把换成一次项系数，按照的麦克劳林展开式，一次项系数应该是1，故给出参数范围为，就得到了下面的变式2． 变式2 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点． （ⅰ）设函数．证明：在区间单调递减； （ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论． 4、变式拓展 变式2 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 解析：先求二阶导函数（不含参），再依次分析导函数和原函数 （1），； 当时，，故在上单调递减，又，，故存在，使得，且在上单调递增，在上单调递减，故在上存在唯一极值点； 4、变式拓展 又，，，故在上存在唯一零点； 综上所述，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点． （2）（ⅰ），，由（1）可知，在上单调递减，且，故，即；故有在上单调递减，，则有在上单调递减，得证． （ii）直接利用单调性求解（略） 4、变式拓展 评注：由于此变式的参数从三次项系数变成了一次项系数，虽然不容易通过一阶导函数直接求出极值点，但通过求二阶导的方法，消去参数，依次往前分析，就可以较容易的做出来，故此变式的难度略低于原题，并不能很好的体现原题的精妙之处． 4、变式拓展 原题是按照的麦克劳林展开式，展开到了3次项，如果再多展开1项，到4次项，就得到了下面的变式3． 变式3 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点． （ⅰ）设函数．证明：在区间单调递增； （ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论． 4、变式拓展 变式3 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 解析：（1）只求一阶导，代数整理变形，放缩取点 ，令，得； 当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故存在唯一的极小值点； 4、变式拓展 变式3 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 又；由单调性及零点存在性定理可知，必存在唯一的零点，使得； 综上所述，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点． 评注：此变式对学生来说增加了导函数整理的难度，通分时需要用到立方和公式．证明零点问题时可将，令，故可找出同时满足这个不等式组的点，比如这个点，再借助函数单调性及零点存在性定理得出存在唯一的零点． 4、变式拓展 （2）（i）先整体求导，再分解函数，化简定号（参考原题解法1-4） 由（1）可知，，其中，令，，；又其中，利用对称性可得； 4、变式拓展 （2）（i）先整体求导，再分解函数，化简定号（参考原题解法1-4） 因为在区间单调递增，故；又，当时，，故在区间单调递增，故，即 综上，，故在区间单调递增． 评注：由于此变式后面增加了一项，如果用之前求高阶导的方法，仍然可以做出来，但需要求到4阶导，对学生的深度思考能力和计算能力提出了更高的要求． 4、变式拓展 原题是按照的麦克劳林展开式，展开到了3次项，如果改变函数类型，比如将换成展开，就得到了下面的变式4． 变式4 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点． （ⅰ）设函数．证明：在区间单调递减； （ⅱ）比较与的大小，并证明你的结论． 4、变式拓展 变式4 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 解析：（1）求高阶导，利用极限思想，层层分析（参考原题解法2） ，，， ， 且在上单调递增，令， 在上单调递减，在上单调递增， 且当， 故存在，使 4、变式拓展 变式4 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 在上单调递增，在上单调递减， 当，故存在， 使， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，故存在唯一的，使； 综上所述，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点． 4、变式拓展 评注：此变式与原题可以说是姊妹题，差别在于原函数求一阶导后，并不能直接求出极值点，故需要用到高阶导数来层层分析，故切入角度并没有原题那么多，原题的解法2可以较轻松解决这个问题． 至于取点方法，要让 ，只需让即可，即，进而得要让 ，只需让，即，进而得；要让 ，只需满足，又因为，故可取这个点，可满足，故存在，使得． 4、变式拓展 （2）（i）求高阶导，图象辅助，层层分析（参考原题解法2） ，， 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 且存在，使， 由图象可知，又，则，故； 若，由的单调性知， ，即； 4、变式拓展 又若，则，此时． 故有在上单调递增，， 则有在上单调递减，得证． （2）（ii）直接利用单调性求解 由（2）（ⅰ）可知，，则有，即， 又由（1）知在上单调递减，且，故． （2）（i）求高阶导，图象辅助，层层分析（参考原题解法2） 评注：此问的背景是极值点偏移模型，函数的两个零点分别是和，极值点是，最后得到的结果等价于，即极值点左偏，但由于前面已经构造了这样的一个辅助函数，已经将双变量问题转换成了单变量问题，故直接用上一问的结论就可证明此结论，做到了真正的反套路，回归到了问题的本质． 4、变式拓展 （2）（ii）直接利用单调性求解 4、变式拓展 （1）4个变式的第（2）问确实都是围绕极值点偏移设计的，为了避免套路化以及构建台阶，和原题一样保留了2个小问，只是对原函数进行了处理．原题的多种方法在不同的变式中起到了不同的效果． （2）笔者尝试过将原题删除第（2）问的第（i）问，一部分学生能看出来是极值点偏移问题，就可以按照其解题方法上手．一部分学生只是单纯的看成双变量问题，再转化成单变量，需要证明，计算难度太大，不易证明． 4、变式拓展 （3）原题和变式1-4的第（2）问的第（ii）问，可以对证明的结果进行等价变形，比如证明的符号等等，这样就需要进行识别和转化，对考生提出了更高的思维要求，避免了在没有理解题目本质的情况下，直接用上一问的结论直接证明此问，也是一种变式的方向． 5、教学启示 新高考数学备考需紧扣三大方向： 一是回归教材课标，研究高考真题．新高考试题强化主干知识与核心素养考查，大多数题目源于教材例题改编，凸显出教考衔接重要性．教师要重视教材的使用，舍得花时间精讲概念原理，重视定理结论的形成过程，合理利用教材资源和往届的高考真题进行创新变式，切实减轻学生学业负担． 5、教学启示 二是重视通性通法，探索数学本质．无论学生还是老师，都应摒弃过度追求二级结论和特殊技巧，重视通性通法，举一反三，将数形结合、化归转化、分类讨论、函数与方程等思想融入日常教学．课堂教学中，注重体现学生的主体地位，引导学生要从多角度思考问题，注重一题多解、多题一解，全面发展学生的思维能力． 5、教学启示 三是聚焦核心素养，注重思维能力．在数学课程中致力于提升学科核心素养，发展学生数学思维能力是新高考背景下势在必行的．课堂教学中，不仅要帮助学生掌握基础知识和基本技能，更要加强学生对数学本质的理解，促进学生数学思维能力的发展，形成关键能力，使得学生在学习过程中能够自主构建知识体系，并能针对具体问题对知识进行迁移，继而解决问题． 5、教学启示 极值点偏移 极值点，本居中；对称美，好轻松． 不料参数捣个乱，左摇右晃偏西东． 偏移问题怎么搞？差值函数是个宝． 硬核计算不用怕，对称性来做简化． 二阶导，判增减，极值偏移不再难． 压轴题里常相见，掌握本质笑开颜． $