专题01二次根式（期中复习讲义，15大题型）八年级数学下学期新教材浙教版

专题01 有理数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01二次根式成立的条件 题型02求二次根式的值 题型03最简二次根式的判断 题型04已知最简二次根式求参数 题型05同类二次根式 题型06二次根式的化简 题型07二次根式的加减 题型08二次根式的乘除 题型09二次根式的混合运算 题型10二次根式的化简求值 题型11二次根式的大小比较 题型12分母有理化 题型13二次根式的规律探究 题型14二次根式的双重非负性 题型15多重二次根式的化简 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式成立的条件 理解并掌握二次根式的定义和成立条件。 常见考察二次根式成立的条件，要求能够列出必要的约束。 求二次根式的值 掌握二次根式的计算方法，包括化简和求值。 求值问题多考查基础的二次根式运算，尤其是化简过程。 最简二次根式的判断 能够判断一个二次根式是否是最简二次根式。 常考最简二次根式的判断和化简技巧，常涉及到简单的参数求解。 已知最简二次根式求参数 根据给定的最简二次根式，能够求出参数。 同类二次根式的加减是重点，常考查配对同类根式。 同类二次根式 能够识别并处理同类二次根式的加减法。 化简运算及乘除法常考，涉及复合根式的化简。 二次根式的化简 掌握二次根式的化简技巧。 混合运算在考卷中时常出现，通常需要多步计算。 二次根式的加减 掌握二次根式加法和减法的操作技巧。 分母有理化通常出现在化简过程中，强调步骤的规范性。 二次根式的乘除 掌握二次根式的乘法和除法的计算方法。 大小比较问题考查学生对根式的比较能力，通常在不同形式的题目中穿插。 二次根式的混合运算 掌握二次根式混合运算的处理方法。 二次根式的规律探究，主要考察解题思路和思维深度。 二次根式的化简求值 掌握如何通过化简二次根式来求解具体数值。 二次根式的双重非负性要求学生理解绝对值及符号。 二次根式的大小比较 能够比较两个二次根式的大小，并给出合理的解释。 多重二次根式的化简是考试的高频考点，考查步骤和技巧的熟练度。 分母有理化 能够进行分母有理化处理。 掌握二次根式的加减法及应用。 二次根式的规律探究 探究二次根式在各种数学应用中的规律。 进行乘除法运算时，考查根式之间的乘除技巧。 二次根式的双重非负性 理解二次根式的双重非负性，并能够应用。 混合运算考查多种运算类型的结合。 多重二次根式的化简 掌握二次根式的加减法及应用。 考查如何综合运用二次根式的各种技巧与概念。 知识点01 二次根式的概念 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 知识点02 最简二次根式 开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 知识点03 同类二次根式的概念 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 知识点04 二次根式的性质 ① ② 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 知识点05 二次根式的化简方法 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 知识点06 化简二次根式的步骤 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 知识点07 二次根式的计算 1.乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2. 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 3. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5. 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 题型一 二次根式成立的条件 解｜题｜技｜巧 熟练掌握二次根式成立的条件，包括根式的被开方数要求大于或等于零。 【典例1】能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 【变式1-1】若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式和分式的有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 且， 解得且． 【变式1-2】使等式成立的实数的取值范围是，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质，得出的值，再根据一元一次方程的定义，得出的值，最后代入方程，再解方程即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，要使等式成立，需满足且， 即且． 又 的取值范围是， ． 是关于的一元一次方程， ， 解得，， 将，代入方程得，， 解得，， 关于的一元一次方程的解为． 【变式1-3】已知，则y的平方根为______． 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式，得出m的值，再根据题目中y与m的关系式计算出y，代入代数式求值，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：， ，，， 解得， ， 的平方根为． 题型二 求二次根式的值 【典例2】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-1】若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解： ， ， 解得， ． 【变式2-2】当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 【变式2-3】已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 题型三 最简二次根式的判断 解｜题｜技｜巧 判断二次根式是否最简时，检查根式中是否有平方因数，可以通过分解质因数简化。 【典例3】下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 【变式3-1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． B、，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． C、，被开方数是能开得尽方的平方数，∴不是最简二次根式． D、是最简二次根式． 【变式3-2】下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 【变式3-3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意. 题型四 已知最简二次根式求参数 解｜题｜技｜巧 根据最简二次根式的形式，设定参数并通过代数计算求解。 易｜错｜点｜拨 注意解题过程中可能产生的符号错误，特别是在方程两边运算时。 【典例4】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 【变式4-1】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【变式4-2】已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 题型五 同类二次根式 【典例5】下列各数中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：A、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 【变式5-1】下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把各个根式化为最简二次根式，再判断． 【详解】解：、是最简二次根式，，， 与是同类二次根式的是． 【变式5-2】若最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据能合并的最简二次根式是同类二次根式，且同类二次根式被开方数相同，求出m的值，再代入式子化简计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并，且， ∴根据同类二次根式的定义，得， 解得， 将代入所求式子，得：． 【变式5-3】已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式5-4】若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 【答案】 【分析】两个最简二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． 移项得． 合并同类项得． 系数化为得． 题型六 二次根式的化简 【典例6】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， 化简：． 解：隐含条件，解得． ． ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． (3)已知a，b，c为的三边长，化简 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由数轴可得，且，然后问题可求解； （3）根据三角形三边关系及二次根式的性质可进行求解． 【详解】（1）解：隐含条件，解得． ． ∴原式； （2）解：由数轴可得，且， ∴， ∴原式； （3）解：由三角形三边关系可得：， ∴， ∴原式． 【变式6-1】化简成最简二次根式后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用二次根式的性质化简，去绝对值后得到最简结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数非负，分母不为0， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴，， ∴． 【变式6-2】如果，那么（　　） A． B． C． D．x为一切实数 【答案】B 【分析】根据二次根式乘法法则成立的要求，等式右侧两个二次根式的被开方数都需为非负数，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵等式 成立，二次根式中被开方数必须为非负数， ∴可得不等式组 解不等式组，得 ． 【变式6-3】已知，化简 _____________ ． 【答案】 【详解】解： ，有意义， ， ， ． 【变式6-4】如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定的取值范围，判断绝对值符号内代数式及的正负，利用绝对值、立方根和二次根式的性质化简即可. 【详解】解：由数轴可知， ， 原式 ． 故选C． 【变式6-5】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断出 的正负性及大小关系，进而确定绝对值符号内式子的正负，利用 和 进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴原式 ． 题型七 二次根式的加减 【典例7】计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】计算：______． 【答案】 【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式7-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 【变式7-3】计算：． 【答案】 【分析】先去绝对值、计算乘方、化简二次根式乘法，再合并同类二次根式与常数项． 【详解】解：原式 ． 题型八 二次根式的乘除 【典例8】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用二次根式除法则进行运算即可； （2）先利用平方差公式进行运算，再合并即可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-1】计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式8-3】计算； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别求立方根，化简二次根式，再进行加减计算； （2）先算乘除法，再运算二次根式的加减混合运算，计算即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 二次根式的混合计算 【典例9】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将括号里面的二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式的乘法运算即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的乘法，化简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式9-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式可简化计算即可； （2）先化简各二次根式，再按照先乘除后加减的顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式9-2】计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再进行二次根式乘除混合运算法则计算即可； （2）先计算二次根式的除法，运用完全平方公式展开，再根据加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十 二次根式的化简求值 【典例10】已知，，求下列代数式的值． 【答案】6 【分析】先求出和，再配方得出，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式10-1】先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： 把代入化简结果：． 【变式10-2】若为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定y的取值范围，再对原式变形，利用非负数的性质求出x和y的值，最后代入所求式子计算结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得，即， ∵， ∴， 解得 把，代入得． 【变式10-3】求值： (1)先化简后求值：，其中； (2)已知，，求下列各式的值：①；②． 【答案】(1)， (2)①12；②4 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得出结果； （2）先求出，的值，再结合完全平方公式分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解：∵，， ∴，， ∴① ； ② ． 题型十一 二次根式的大小比较 【典例11】王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法：， 因为8＜12，所以，即 方法二：， 因为，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法，对两个根式进行平方，比较平方后的两数的大小即可得出结论． （2）根据题中所给方法，对两个根式进行平方，比较平方后的两数的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 【变式11-1】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 【变式11-2】已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 题型十二 二次根式的分母有理化 【典例12】老师让同学们化简，两名同学得到的结果不同，请你检查他们的化简过程，指出谁的做法是错误的及错误的步骤，并改正． 小丽的做法： ① ② ③ ④ 小明的做法： ① ② ③ ④ 【答案】小明的做法是错误的，错误的步骤是③，改正见解析 【分析】根据二次根式的化简过程解答求解即可． 【详解】解：小明的做法是错误的，错误的步骤是③，分子分母需同时乘以． 改正： ． 【变式12-1】当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 题型十三 二次根式的规律探究 【典例13】对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： (1)化简：________； (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）先化简，再变形 ，最后代入求值即可； （3）先得出 （n为正整数），再将式子变形为 ，最后进行加减，并化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵ ， 代入， 得； （3）解：由题意可得 （n为正整数）， ∴ ． 【变式13-1】阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据材料中的方法一、方法二求解即可； （2）先利用方法一化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简a，然后将化为，然后将a的值代入求值即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解： ． （3）解：， 所以， ． 【变式13-2】探究： 观察下列等式：①； ②； ③； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：_____，_____． (2)拓展：若，求的值． (3)运用：计算． 【答案】(1)； (2)11 (3)2025 【分析】（）仿照例题化简即可； （）先化简，再将变形，并代入求值即可； （）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， ∵ ， 将代入，得； （3）解： ． 【变式13-3】观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：， 例2：，，， (1)______；______． (2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律． (3)利用上面的结论，求下列式子的值． 【答案】(1)； (2)为正整数） (3) 【分析】（1）利用分母有理化求解； （2）按照所给等式的变化规律写出第个等式即可； （3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：（1）；； 故答案为；； （2）解：为正整数）； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 题型十四 二次根式的双重非负性 【典例14】二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知实数m，n（）满足，求的值； (2)若x，y为实数，且，求的值． (3)已知：a、b、c满足，以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)以a、b、c为边能构成三角形，三角形的周长 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的运算，绝对值的非负性，三角形三边关系． （1）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性求出m，n的值，进而代入计算即可； （2）根据二次根式的非负性求出x，y的值，进而代入计算即可； （3）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方的非负性求出a、b、c的值，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而作答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴或 （3）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴以a、b、c为边能构成三角形，三角形的周长 【变式14-1】的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可； （2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可； （3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0， 解得，a=-6，b2-2b=3， ∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9； （2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0， 解得，b=1， ∴a2=4， 解得，a=±2， ∴a＋b=﹣1或3； （3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a， ∴（a-3）b2≥0， 解得，a≥3， 原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4， ∴|b+2|+=0， 则b+2=0，a-3=0， 解得，b=-2，a=3， 则a+b=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【变式14-2】二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小智的答案正确，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的双重非负性，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键． （1）根据二次根式的双重非负性得到即可得到答案； （2）根据题意得到，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故m的取值范围为：； （2）解：小智的答案正确， 理由如下： ， ， ， 原式可变形为：， ， ， ， 的值为2026， 小智的答案正确． 题型十五 多重二次根式的化简 【典例15】数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数，使且，则可变形为，即，从而使得以化简．例如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若 ，且 为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为：或． 【分析】（1）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案； （2）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案； （3）由，可得，可得，结合为正整数，从而可得答案． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， 综上：a的值为：或． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的化简，理解题意，掌握化简的方法是解本题的关键． 【变式15-1】阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（，为非负有理数），则． ∴ 由①得，，代入②得：，解得， ∴， ∴ 请根据以上阅读理解，解决下列问题： (1)请直接写出的化简结果是__________； (2)化简； (3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查活用完全平方公式，一元二次方程的解法和根的判别式，理解阅读材料的方法并熟练掌握一元二次方程的解法和根的判别式是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的解法进行求解； （3）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法以及一元二次方程的根的判别式求解． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：； （2）解：设（，为非负有理数），则， ∴， 由①得，，代入②得：， 解得，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：不能，理由如下： 设（，为非负有理数），则， ∴， 由①得，，代入②得：， 即：， ， ∴关于的一元二次方程无解， ∴不能按照上面的方法化简． 【变式15-2】我们知道：乘法公式：，则有，那么我们如何把双重二次根式化简呢？如果能找到两个数m，n使得即，即，那么，从而使双重二次根式得以化简． 例如：化简． ∵， ∴， ∴，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成的形式且能找到两个数m，n使得即，即，那么这个双重二次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题： (1)填空：________； ________； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）将原式转成，再将转化成完全平方式，化简即可求得答案； （3）将原式化简成，再转成完全平方式，化简即可求得答案． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，属于中档题． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（21-22八年级下·浙江湖州·期中）若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，先求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须是非负数 ∴ 解不等式组得且 ∴ 将代入原式，得 解得 ∴． 2.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.（21-22八年级下·浙江金华·期中）二次根式中字母a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的意义，被开方数大于等于0，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 4.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）当时，二次根式的值为____________． 【答案】 【分析】把代入求解即可． 【详解】解：当时，． 5.（21-22八年级下·浙江嘉兴·期中）对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．  ， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法法则，当，时，． 【详解】解：当，时，才成立． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（21-22八年级下·浙江湖州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 2.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：根据题意得，， ∴． 3.（20-21八年级下·浙江杭州·期中）解答下列各题． (1)计算：； (2)已知：，求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式有意义的条件，平方根，熟练掌握运算法则和正确理解相关概念是解题的关键． （）由二次根式除法，二次根式的性质，分母有理化进行化简，然后合并即可； （）由，可得，从而得出，，然后代入求平方根即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的平方根为． 4.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判定、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同成为解题的关键．先运用二次根式的性质化简，然后根据同类二次根式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① ，为整数，不是二次根式； ② 与的被开方数相同，与是同类二次根式； ③与的被开方数不同，与不是同类二次根式； ④与的被开方数相同，与是同类二次根式． 综上，与是同类二次根式的是②和④． 故选：C． 5.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知：，求的值．小启同学是这样分析与解答的： 解：， 则 ，即， 请你根据小启的分析过程，解决如下问题： (1)计算：__________； (2)计算的值； (3)若，计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）仿照题干给定的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2022·江苏镇江·中考真题）若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 2.（2022·湖南衡阳·中考真题）计算：______． 【答案】4 【详解】解：． 3.（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 【答案】 2 【分析】利用平方根的乘法性质，将两个平方根合并为一个平方根，再计算根号内的表达式． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式乘法法则是解决关键． 【详解】解：根据平方根的性质，， 所以 ， 计算 ， 因此 ． 故答案为：2． 4.（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 5.（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01二次根式成立的条件 题型02求二次根式的值 题型03最简二次根式的判断 题型04已知最简二次根式求参数 题型05同类二次根式 题型06二次根式的化简 题型07二次根式的加减 题型08二次根式的乘除 题型09二次根式的混合运算 题型10二次根式的化简求值 题型11二次根式的大小比较 题型12分母有理化 题型13二次根式的规律探究 题型14二次根式的双重非负性 题型15多重二次根式的化简 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式成立的条件 理解并掌握二次根式的定义和成立条件。 常见考察二次根式成立的条件，要求能够列出必要的约束。 求二次根式的值 掌握二次根式的计算方法，包括化简和求值。 求值问题多考查基础的二次根式运算，尤其是化简过程。 最简二次根式的判断 能够判断一个二次根式是否是最简二次根式。 常考最简二次根式的判断和化简技巧，常涉及到简单的参数求解。 已知最简二次根式求参数 根据给定的最简二次根式，能够求出参数。 同类二次根式的加减是重点，常考查配对同类根式。 同类二次根式 能够识别并处理同类二次根式的加减法。 化简运算及乘除法常考，涉及复合根式的化简。 二次根式的化简 掌握二次根式的化简技巧。 混合运算在考卷中时常出现，通常需要多步计算。 二次根式的加减 掌握二次根式加法和减法的操作技巧。 分母有理化通常出现在化简过程中，强调步骤的规范性。 二次根式的乘除 掌握二次根式的乘法和除法的计算方法。 大小比较问题考查学生对根式的比较能力，通常在不同形式的题目中穿插。 二次根式的混合运算 掌握二次根式混合运算的处理方法。 二次根式的规律探究，主要考察解题思路和思维深度。 二次根式的化简求值 掌握如何通过化简二次根式来求解具体数值。 二次根式的双重非负性要求学生理解绝对值及符号。 二次根式的大小比较 能够比较两个二次根式的大小，并给出合理的解释。 多重二次根式的化简是考试的高频考点，考查步骤和技巧的熟练度。 分母有理化 能够进行分母有理化处理。 掌握二次根式的加减法及应用。 二次根式的规律探究 探究二次根式在各种数学应用中的规律。 进行乘除法运算时，考查根式之间的乘除技巧。 二次根式的双重非负性 理解二次根式的双重非负性，并能够应用。 混合运算考查多种运算类型的结合。 多重二次根式的化简 掌握二次根式的加减法及应用。 考查如何综合运用二次根式的各种技巧与概念。 知识点01 二次根式的概念 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 知识点02 最简二次根式 开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 知识点03 同类二次根式的概念 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 知识点04 二次根式的性质 ① ② 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 知识点05 二次根式的化简方法 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 知识点06 化简二次根式的步骤 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 知识点07 二次根式的计算 1.乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2. 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 3. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5. 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 题型一 二次根式成立的条件 解｜题｜技｜巧 熟练掌握二次根式成立的条件，包括根式的被开方数要求大于或等于零。 【典例1】能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【变式1-1】若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 【变式1-2】使等式成立的实数的取值范围是，则关于的一元一次方程的解为______． 【变式1-3】已知，则y的平方根为______． 题型二 求二次根式的值 【典例2】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若求的值． 【变式2-2】当时，二次根式的值为_________． 【变式2-3】已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 题型三 最简二次根式的判断 解｜题｜技｜巧 判断二次根式是否最简时，检查根式中是否有平方因数，可以通过分解质因数简化。 【典例3】下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型四 已知最简二次根式求参数 解｜题｜技｜巧 根据最简二次根式的形式，设定参数并通过代数计算求解。 易｜错｜点｜拨 注意解题过程中可能产生的符号错误，特别是在方程两边运算时。 【典例4】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【变式4-1】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【变式4-2】已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 题型五 同类二次根式 【典例5】下列各数中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】若最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【变式5-4】若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 题型六 二次根式的化简 【典例6】阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， 化简：． 解：隐含条件，解得． ． ∴原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． (3)已知a，b，c为的三边长，化简 【变式6-1】化简成最简二次根式后等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如果，那么（　　） A． B． C． D．x为一切实数 【变式6-3】已知，化简 _____________ ． 【变式6-4】如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型七 二次根式的加减 【典例7】计算 (1)； (2) 【变式7-1】计算：______． 【变式7-2】计算： (1) (2) 【变式7-3】计算：． 题型八 二次根式的乘除 【典例8】计算： (1)； (2) 【变式8-1】计算： (1) (2) 【变式8-2】计算： (1) (2) 【变式8-3】计算； (1) (2) 题型九 二次根式的混合计算 【典例9】计算： (1)； (2)． 【变式9-1】计算： (1) (2) 【变式9-2】计算下列各题： (1)； (2)． 题型十 二次根式的化简求值 【典例10】已知，，求下列代数式的值． 【变式10-1】先化简，再求值：．其中． 【变式10-2】若为实数，且，求的值． 【变式10-3】求值： (1)先化简后求值：，其中； (2)已知，，求下列各式的值：①；②． 题型十一 二次根式的大小比较 【典例11】王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法：， 因为8＜12，所以，即 方法二：， 因为，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 【变式11-1】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十二 二次根式的分母有理化 【典例12】老师让同学们化简，两名同学得到的结果不同，请你检查他们的化简过程，指出谁的做法是错误的及错误的步骤，并改正． 小丽的做法： ① ② ③ ④ 小明的做法： ① ② ③ ④ 【变式12-1】当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中． 题型十三 二次根式的规律探究 【典例13】对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： (1)化简：________； (2)若，求的值； (3)计算：． 【变式13-1】阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【变式13-2】探究： 观察下列等式：①； ②； ③； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：_____，_____． (2)拓展：若，求的值． (3)运用：计算． 【变式13-3】观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：， 例2：，，， (1)______；______． (2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律． (3)利用上面的结论，求下列式子的值． 题型十四 二次根式的双重非负性 【典例14】二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知实数m，n（）满足，求的值； (2)若x，y为实数，且，求的值． (3)已知：a、b、c满足，以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【变式14-1】的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【变式14-2】二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 题型十五 多重二次根式的化简 【典例15】数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数，使且，则可变形为，即，从而使得以化简．例如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若 ，且 为正整数，求的值． 【变式15-1】阅读：根据二次根式的性质，有：．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果． 如：在实数范围内化简． 解：设（，为非负有理数），则． ∴ 由①得，，代入②得：，解得， ∴， ∴ 请根据以上阅读理解，解决下列问题： (1)请直接写出的化简结果是__________； (2)化简； (3)判断能否按照上面的方法化简，如果能化简，请写出化简后的结果，如果不能，请说明理由． 【变式15-2】我们知道：乘法公式：，则有，那么我们如何把双重二次根式化简呢？如果能找到两个数m，n使得即，即，那么，从而使双重二次根式得以化简． 例如：化简． ∵， ∴， ∴，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成的形式且能找到两个数m，n使得即，即，那么这个双重二次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题： (1)填空：________； ________； (2)化简：； (3)计算：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（21-22八年级下·浙江湖州·期中）若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 2.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 3.（21-22八年级下·浙江金华·期中）二次根式中字母a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）当时，二次根式的值为____________． 5.（21-22八年级下·浙江嘉兴·期中）对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．  ， C．， D．， 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（21-22八年级下·浙江湖州·期中）计算 (1) (2) 2.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 3.（20-21八年级下·浙江杭州·期中）解答下列各题． (1)计算：； (2)已知：，求的平方根． 4.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 5.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知：，求的值．小启同学是这样分析与解答的： 解：， 则 ，即， 请你根据小启的分析过程，解决如下问题： (1)计算：__________； (2)计算的值； (3)若，计算的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2022·江苏镇江·中考真题）若有意义，则的取值范围是_____． 2.（2022·湖南衡阳·中考真题）计算：______． 3.（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 4.（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $