6.2.1排列 练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.1排列 练习 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（   ） A．24 B．54 C．72 D．120 2．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 3．5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 4．如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（    ） A．20 B．24 C．48 D．72 5．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 6．某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ） A． B． C． D． 7．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 8．若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙相邻的种数为（    ） A．48 B．60 C．72 D．90 二、多选题 9．将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 10．某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 11．某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B．若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法 C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法 D．若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法 三、填空题 12．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 13．某校需要从含甲的4位优秀老师中选3位去，，三个乡村支教，每个乡村1人，每人至多去1个乡村，其中甲不能安排在乡村，则不同的安排方法种数为______. 14．设是数字1，2，3，4，5的排列．若不存在 使成立，则所有这样的排列数有_____种． 四、解答题 15．写出下列问题的所有排列． (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 16．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 17．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 18．有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法种数. (1)男生必须排在一起 (2)男、女生各不相邻 (3)甲乙两人中间必须有3人 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C D D A AC ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数. 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 2．C 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】①第一行全蓝（蓝蓝蓝）：第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1（全蓝）3（1个红）1（2个不相邻红）=5种； ②第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）：第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为（蓝XY）， 要求X、Y不都红，共3种符合要求的染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； ③第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）：第二行中间格子不能为红，第二行格式为（X蓝Y），X、Y无相邻限制，共种符合要求的染色； ④第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）：和第二种情况对称，共3种符合要求的染色； ⑤第一行两个红（红蓝红）：第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为（蓝X蓝），X可红可蓝，共2种符合要求的染色； 所以总染色方法数：种. 3．B 【分析】应用捆绑法计算求解. 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 4．D 【详解】 如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色， 以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类： 第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ， 第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ， 由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确. 5．C 【分析】根据题意，结合枚举法一一列出，即可求解. 【详解】根据题意，从甲、乙、丙三人中选两人站成一排， 若选甲乙两人，则站法为甲乙，乙甲； 若选甲丙两人，则站法为甲丙，丙甲； 若选乙丙两人，则站法为乙丙，丙乙， 所以所有站法为“甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙”. 故选：C. 6．D 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. 故选：D. 7．D 【分析】用排列中的捆绑法直接求出即可. 【详解】由题意知：则“土、水”相邻的排法种数为. 故选：D. 8．A 【分析】利用捆绑法，结合排列的定义进行求解即可. 【详解】把甲､乙捆绑在一起，则甲､乙相邻的种数为， 故选：A 9．AC 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，首先排两个男生在头尾、其余人全排列即可判断B，利用插空法判断C，定序问题用倍缩法，即可判断D. 【详解】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 10．ABD 【分析】根据排列的定义，结合捆绑法、插空法逐一判断即可. 【详解】A：某道工序放在最前，其他道工序进行排列即可， 则有种方法，因此本选项说法正确； B：因为某道工序不放在最前，也不放在最后，所以从其他道工序中选出道工序放在最前最后两个位置， 这道工序和剩下的道工序进行排列，则有种方法，因此本选项说法正确； C：因为某两道工序必须相邻，所以把这两道工序捆绑，连同其他道工序进行排列， 则有种方法，因此本选项说法不正确； D：因为某两道工序不能相邻，所以首先其他道工序进行排列，形成个空，然后这两道工序进行插空， 则有种方法，因此本选项说法正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】利用捆绑法，消序法，插空法，间接法来求解带限制条件的排列问题即可. 【详解】对于A. 若要求3名男生相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故A正确； 对于B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有种不同的排法，故B正确； 对于C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故C错误； 对于D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有种不同的排法，故D正确； 故选：ABD. 12．10 【分析】先设出车位总数，分别用插空法计算“都不相邻”和“恰有两辆相邻”的排法种数，再根据两者相等列出方程求解. 【详解】设停车位有个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将个停车位排好， 再将这3辆共享汽车插入到所成的个间隔中，故有种． 恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素， 再和另一辆插入到将个停车位排好所成的个间隔中，故有种． 因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等， 所以，解得． 故答案为：. 13．18 【分析】从含甲的4位优秀老师中选3位去、、三个乡村，每个乡村1人，甲不能去村，优先安排受限位置的村 【详解】村不能是甲，因此从剩余3位老师中选1位，有3种选法， 剩余、村从剩下的3位老师（含甲）中选2位排列，有种方法， 总方法数为 14．42 【分析】先写出1，2，3，4的排列，满足条件的共有14种，再将数字5插入这14个排列中，得到满足条件的排列数. 【详解】依题意，排列中不存在顺序排列的3个数． 如对于1，2，3，4的排列，共有24种情形： 即有1432，2143，2413，2431，3142，3214，3241， 3412，3421，4132，4213，4231，4312，4321共14个排列满足题意． 当上述排列加入数字5时，如51432，15432，14532，14352，14325(划去的3个排列中含有顺序排列145，不合题意)． 考虑所有14个排列加入数字5时，满足题意的排列数为42． 故答案为：42 15．(1)12个 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用枚举法，一一列举，即可求解； （2）根据题意，利用树形图法，进行列举，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数， 则所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43， 共有12个不同的两位数． （2）解：由题意作树形图，如图所示， 故所有的排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个． 16．(1)是排列问题 (2)不是排列问题 (3)是排列问题 【分析】根据排列的定义，逐个分析判断，即可求解. 【详解】（1）解：由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关， 所以这是一个排列问题． （2）解：因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序， 所以这不是排列问题． （3）解：因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以（1）（3）是排列问题，（2）不是排列问题． 17．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 18．(1)720种 (2)144种 (3)720种 【分析】（1）先男女分别全排，再根据乘法原理计算即可；（2）先将女生全排，再将男生插空，再根据乘法原理计算即可；（3）先确定甲、乙两人的位置，再在甲、乙两人中间插入3人，再将剩下的2人与排好的5人组成的整体进行排列，最后根据乘法原理计算即可. 【详解】（1）男生必须排在一起 第一步：将3名男生看作一个整体，与4名女生进行排列，共有种排法. 第二步：在男生内部进行排列，共有种排法. 第三步：根据乘法原理，男生必须排在一起的排法共有种. （2）若男女各不相邻，必须是3名男生将4名女生隔开， 第一步：将4名女生进行排列，共有种排法. 第二步：将3名男生插入4名女生之间的3个空位中（两端除外，不合题意），共有种排法. 第三步：根据乘法原理，男女各不相邻的排法共有种. （3）甲、乙两人中间必须有3人 第一步：将甲、乙两人全排列，则共有种情况. 第二步：在甲、乙两人中间插入3人，可以从剩下的5人中选出3人进行排列，共有种排法. 第三步：将剩下的2人与排好的5人组成的整体进行排列，共有种排法. 第四步：根据乘法原理，甲、乙两人中间必须有3人的排法共有种. 学科网（北京）股份有限公司 $