山东省青岛市第三十九中学2026年中考数学一模试卷

2026年山东省青岛三十九中中考数学一模试卷 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1．（3分）﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．（3分）在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）纳米科技是新兴科技，1纳米＝0.000000001米，则5纳米用科学记数法表示为（　　） A．5×10﹣8米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣10米 D．5×109米 4．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝3，将△ABC先绕C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 6．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（a4）3＝a7 B．a6÷a3＝a2 C．（2ab）3＝6a3b3 D．﹣a5•a5＝﹣a10 7．（3分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠CPB＝52°，则∠ABD的度数为（　　） A．22° B．30° C．82° D．52° 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为DC的中点，将△ABC沿AE折叠，使得点D落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为，下列判断正确个数为（　　） ①ab＜0； ②b﹣3a＝0； ③ax2+bx≥m﹣2； ④点（﹣4.5，y1）和点（1.5，y2）都在此函数图象上，则y1＝y2； ⑤9a＝8﹣4m． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10．（3分）计算：　 　 ． 11．（3分）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加比赛，组织了6次预选赛，其中甲、乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如表所示： 甲 12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9 乙 12.3 12.1 11.8 12.0 11.7 12.1 由于甲乙两名运动员成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是　 　 ． 12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是　 　 ． 13．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y上，则k的值为　 　 ． 14．（3分）如图1，有一张矩形的纸片ABCD，其中AD＝6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图2，则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 　 　 cm2． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列选项说法正确的有 　 　 .（填序号） ①EG＝DF； ②∠AEH+∠ADH＝180°； ③△EHF≌△DHC； ④若，则S△EDH＝13S△CFH． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B． 求作：以AB为底的等腰△ABC，使点C在∠O的内部，且∠BAC＝∠O． 四、解答题（本题满分71分，共有9道小题） 17．（8分）（1）化简：； （2）解不等式组：． 18．（6分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 19．（6分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图；（2）九年级（2）班学生视力的频数分布直方图： 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 a 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 b 0.0256 请根据以上信息，完成下列问题： （1）九年级（1）班视力中位数a落在扇形统计图的　 　 部分（填A、B、C）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数分布直方图； （3）表中b＝　 　 ； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有　 　 人． 20．（6分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB长为4米，从点A看棚顶顶点B的仰角为20°，靠墙端离地高BC为5米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为50°时，求凉荫处CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 21．（8分）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 （1）求甲、乙两种货车各用了多少辆； （2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．求当t为何值时，w最小？最小值是多少． 22．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P． （1）证明四边形BPCO为平行四边形； （2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由． 23．（9分）跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE＝42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM＝38m，ON＝114m，设MN所在直线关系式为y＝kx+b． 甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 10 20 30 40 竖直高度y/m 42 48 50 48 42 （1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式； （2）运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成，距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米． 动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分． 风速得分：由逆风或者顺风决定． 甲运动员动作分、风速加分如下表： 距离分 动作分 风速加分 50 ﹣2.5 请你计算甲运动员本次比赛得分． 24．（9分）提出问题： 在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？ 问题探究： 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． 探究一： 如图1在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个． 故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个． 探究二： 在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2＝8个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个． 故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4＝28个． 探究三： 如图2在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 　 　 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 　 　 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 　 　 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 　 　 个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 　 　 个． 问题解决： 如图3在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 　 　 个． 拓展延伸： 如图4在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 　 　 个． 25．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，连接AC，点O为AC的中点，点E为边BC上的一个动点，连接OE，作OF⊥OE，交边AB于点F．已知点E从点B开始，以1cm/s的速度在线段BC上移动，设运动时间为t（s）（0＜1＜6）．解答下列问题： （1）当t为何值时，OE∥AB？ （2）连接EF，设△OEF的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S△OEF：S矩形ABCD＝51：384？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）连接OB，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OB恰好将△OEF分成面积比为1：2的两部分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 2026年山东省青岛三十九中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B． A B D D D A D C 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1．（3分）﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣2026的相反数是2026． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 2．（3分）在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（3分）纳米科技是新兴科技，1纳米＝0.000000001米，则5纳米用科学记数法表示为（　　） A．5×10﹣8米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣10米 D．5×109米 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：5纳米＝0.000000005米＝5×10﹣9米． 故选：B． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线， 故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 5．（3分）如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝3，将△ABC先绕C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【分析】求出两次变换后点A的对应点的坐标即可． 【解答】解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝3， ∴点A的坐标为（4，0）， 将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°， 则点A的对应点坐标为（1，﹣3）， 再向左平移2个单位长度， 则变换后点A的对应点坐标为（﹣1，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查旋转变换，平移变换，解题的关键是正确寻找点A位置，属于中考常考题型． 6．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（a4）3＝a7 B．a6÷a3＝a2 C．（2ab）3＝6a3b3 D．﹣a5•a5＝﹣a10 【分析】分别利用同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分别判断得出即可． 【解答】解：A、（a4）3＝a12，故此选项错误； B、a6÷a3＝a3，故此选项错误； C、（2ab）3＝8a3b3，故此选项错误； D、﹣a5•a5＝﹣a10，故此选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则． 7．（3分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠CPB＝52°，则∠ABD的度数为（　　） A．22° B．30° C．82° D．52° 【分析】根据圆周角定理可知∠CDB＝∠CAB＝30°，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【解答】解：∵∠CAB＝30°， ∴∠CDB＝∠CAB＝30°， 在△BPD中，∠CPB＝52°， ∴∠ABD＝∠CPB﹣∠CDB＝22°． 故选：A． 【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角相等是解题的关键． 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为DC的中点，将△ABC沿AE折叠，使得点D落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BF，设BF交AE于点H，如依题意得BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝5，由折叠性质得AE是BF的垂直平分线，FE＝BE＝3，则BF＝2BH，再由三角形的面积公式求出BH 得BF，再证明∠BFC＝90°得△BFC是直角三角形，然后在Rt△BFC中，由勾股定理即可求出CF的长． 【解答】解：连接BF，设BF交AE于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°， ∴△ABE是直角三角形， ∵点E为DC的中点，BC＝6， ∴BE＝CEBC＝3， 在Rt△ABE中，AB＝4， 由勾股定理得：AE5， 由折叠性质得：AE是BF的垂直平分线，FE＝BE＝3， ∴BF＝2BH， 由三角形的面积公式得：S△ABEAE•BHAB•BE， ∴BH， ∴BF＝2BH， ∵FE＝BE＝3，BE＝CE＝3， ∴FE＝BE＝CE＝3， ∴∠EFB＝∠EBF，∠DFC＝∠ECF， ∴∠EFB+∠DFC＝∠EBF+∠ECF， ∴∠BFC＝∠EFB+∠DFC＝∠EBF+∠ECF， 在△BFC中，∠BFC+∠EBF+∠ECF＝180°， ∴∠BFC+∠BFC＝180°， ∴∠BFC＝90°， ∴△BFC是直角三角形， 在Rt△BFC中，由勾股定理得：CF， 即CF的长为． 故选：D． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，立即图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 9．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为，下列判断正确个数为（　　） ①ab＜0； ②b﹣3a＝0； ③ax2+bx≥m﹣2； ④点（﹣4.5，y1）和点（1.5，y2）都在此函数图象上，则y1＝y2； ⑤9a＝8﹣4m． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据抛物线的开口方向得a＜0，由顶点坐标可得b＝3a＜0，b﹣3a＝0，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当x时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标代入函数解析式中，化简即可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴b＝3a＜0， ∴ab＞0，故①错误； 由上述可知，b＝3a， ∴b﹣3a＝0，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴当x时，y取得最大值为m， ∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m， ∴ax2+bx≤m﹣2，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线x1.5，﹣1.5﹣（﹣4.5）＝1.5﹣（﹣1.5）， ∴y1＝y2，故④正确； ∵函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为， ∴， 整理得：9a﹣6b+8＝4m， ∵b＝3a， ∴9a﹣18a+8＝4m， ∴9a＝8﹣4m，故⑤正确． 综上，正确的结论有②④⑤，共3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质，解题关键在于熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想答题． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 10．（3分）计算：　　 ． 【分析】先利用二次根式的除法法则和负整数指数幂的意义运算，然后合并即可． 【解答】解：原式4 ＝44 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则和负整数指数幂是解决问题的关键． 11．（3分）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加比赛，组织了6次预选赛，其中甲、乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如表所示： 甲 12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9 乙 12.3 12.1 11.8 12.0 11.7 12.1 由于甲乙两名运动员成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是　甲　 ． 【分析】分别计算、并比较两人的方差即可判断． 【解答】解：甲的平均成绩为：（12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9）＝12（秒）， 乙的平均成绩为：（12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1）＝12（秒）， 分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为： S[2×（12.0﹣12）2+（12.2﹣12）2+（11.8﹣12）2+（12.1﹣12）2+（11.9﹣12）2]， S[（12.3﹣12）2+2（12.1﹣12）2+（11.8﹣12）2+（11.7﹣12）2]， ∵， ∴甲运动员的成绩更为稳定． 故答案为：甲． 【点评】本题考查了方差及算术平均数的定义，解题的关键是了解方差及平均数的计算方法，难度不大． 12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是　有两个不相等的实数根　 ． 【分析】先由数轴得出m+n和mn与0的关系，再计算判别式的值即可判断． 【解答】解：由数轴得m＞0，n＜0，m+n＞0， ∴mn＜0， ∴Δ＝（m+n）2﹣4mn＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 13．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y上，则k的值为　﹣3　 ． 【分析】因为点D在双曲线y上，求出点D的坐标即可，根据A（﹣1，2）和旋转，可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可． 【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长CD交x轴于点E，则CE⊥x轴，A（﹣1，2） ∵△AOB绕点A顺时针旋转90° ∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝90° 又∵∠C＝∠ABO＝90°， ∴四边形ACEB是矩形， ∴AC＝DF＝EB＝AB＝2，CD＝BC＝AF＝1， ∴DE＝BF＝AB﹣AF＝2﹣1＝1，OE＝OB+BE＝2+1＝3， ∴D（﹣3，1） ∵点D恰好落在双曲线y上， ∴k＝（﹣3）×1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】考查旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及矩形的性质，合理地转化，将线段的长转化为点的坐标是关键所在． 14．（3分）如图1，有一张矩形的纸片ABCD，其中AD＝6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图2，则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 　　 cm2． 【分析】设AD的中点为O，半圆与BC相切于M，连接OM，设A'D交半圆于K，连接OK，过点O作OH⊥A'D于点H，依题意得OM⊥BC，OK＝OM＝OD＝OA＝3cm，证明四边形OMCD是矩形得CD＝PM＝3cm，由折叠性质得A'D＝AD＝6cm，在Rt△A'CD中，根据sin∠DA'C得锐角∠DA'C＝30°，再根据AD∥BC得∠ODH＝∠DA'C＝30°，由此可求出∠KOD＝120°得S扇形OKD＝3π（cm2），再求出OH（cm），DH（cm）得DK（cm），进而得S△OKD（cm2），由此可得阴影部分的面积． 【解答】解：设AD的中点为O，半圆与BC相切于点M，连接OM，设A'D交半圆于点K，连接OK，过点O作OH⊥A'D于点H，如图所示： ∴∠OHD＝90°， ∵△ODH是直角三角形， ∵四边形ABCD是矩形，且AD＝6cm， ∴BC＝AD＝6cm，∠C＝∠CDA＝90°，AD∥BC， ∵AB是半圆的直径， ∴点O是半圆的圆心， ∴OM⊥BC，OK＝OM＝OD＝OAAD＝3cm， ∴∠OMC＝90°， ∴∠OMC＝∠C＝∠CDA＝90°， ∴四边形OMCD是矩形， ∴CD＝PM＝3cm， 由折叠性质得：A'D＝AD＝6cm， 在Rt△A'CD中，sin∠DA'C， ∴锐角∠DA'C＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠ODH＝∠DA'C＝30°， ∴OK＝OD＝3cm，OH⊥A'D于点H， ∴∠OKH＝∠ODH＝30°，DK＝2DH， 在△OKD中，∠KOD＝180°﹣（∠OKH+∠ODH）＝120°， ∴S扇形OKD3π（cm2）， 在RtODH中，OD＝3cm，∠ODH＝30°， ∴OHOD（cm）， 由勾股定理得：DH（cm）， ∴DK＝2DH（cm）， ∴S△OKDDK×OH9√3/4（cm2）， ∴阴影部分的面积为：S扇形OKD﹣S△OKDcm2． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，切线的性质，矩形的性质，解直角三角形，扇形的面积，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握切线的性质，矩形的性质，扇形的面积公式，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列选项说法正确的有 　①②③④　 .（填序号） ①EG＝DF； ②∠AEH+∠ADH＝180°； ③△EHF≌△DHC； ④若，则S△EDH＝13S△CFH． 【分析】①根据题意可知∠ACD＝45°，则GF＝FC，则EG＝EF﹣GF＝CD﹣FC＝DF； ②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF＝∠HDC，从而∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝180°； ③同②证明△EHF≌△DHC即可； ④若，则AE＝2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG＝∠DHF且EH＝DH，则∠DHE＝90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM＝x，则DM＝5x，DHx，CD＝6x，则S△DHCHM×CD＝3x2，S△FHC＝x2，S△EDHDH2＝13x2． 【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD， ∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°， ∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC， ∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC， ∴EG＝DF，故①正确； ②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝CH，∠GFH∠GFC＝45°＝∠HCD， 在△EHF和△DHC中， ， ∴△EHF≌△DHC（SAS）， ∴∠HEF＝∠HDC， ∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确； ③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝CH，∠GFH∠GFC＝45°＝∠HCD， 在△EHF和△DHC中， ， ∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确； ④∵， ∴AE＝2BE， ∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝GH，∠FHG＝90°， ∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD， 在△EGH和△DFH中， ， ∴△EGH≌△DFH（SAS）， ∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°， ∴△EHD为等腰直角三角形， 过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示： 设HM＝x，则DM＝5x，DHx，CD＝6x， 则S△DHCHM×CD＝3x2，S△EDHDH2＝13x2， ∵DF：CF＝2：1， ∴S△FHCS△DHC＝x2 ∴S△EDH＝13S△CFH，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B． 求作：以AB为底的等腰△ABC，使点C在∠O的内部，且∠BAC＝∠O． 【分析】作AB的垂直平分线，然后作∠BAC＝∠O交AB的垂直平分线于C点． 【解答】解：如图，点C为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质． 四、解答题（本题满分71分，共有9道小题） 17．（8分）（1）化简：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）原式 • ； （2） 解不等式①，得x＞﹣1， 解不等式②，x≤3， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3． 【点评】本题考查了分式的混合运算，解不等式组等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．（6分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数有2种， 所以恰好选中甲和乙的概率是． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 19．（6分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1． 九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1． 【整理数据】 （1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图；（2）九年级（2）班学生视力的频数分布直方图： 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 4.88 a 4.9 0.0156 九年级（2）班 4.88 4.85 b 0.0256 请根据以上信息，完成下列问题： （1）九年级（1）班视力中位数a落在扇形统计图的B 部分（填A、B、C）； （2）请补全九年级（2）班视力的频数分布直方图； （3）表中b＝　4.8　 ； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有　15　 人． 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据题意得出九年级（2）班“4.65﹣4.85”的人数，再补全九年级（2）班视力的频数分布直方图即可； （3）根据众数的定义解答即可； （4）用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）由题意可知，九年级（1）班视力中位数a落在扇形统计图的B部分． 故答案为：B； （2）九年级（2）班“4.65﹣4.85”的有：10﹣1﹣3﹣2＝4（人）， 补全九年级（2）班视力的频数分布直方图如下： （3）∵九年级（2）班学生视力数据中4.8出现最多，故b＝4.8； 故答案为：4.8； （4）若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有：5015（人）， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，中位数，众数，方差，明确平均数、中位数、方差所反映数据的特征是解题的关键． 20．（6分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB长为4米，从点A看棚顶顶点B的仰角为20°，靠墙端离地高BC为5米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为50°时，求凉荫处CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：CF＝AG，AF＝CG，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G， 由题意得：CF＝AG，AF＝CG， 在Rt△ABF中，AB＝4米，∠BAF＝20°， ∴BF＝AB•sin20°≈4×0.34＝1.36（米）， AF＝AB•cos20°≈4×0.94＝3.76（米）， ∴AF＝CG＝3.76米， ∵BC＝5米， ∴CF＝AG＝BC﹣BF＝5﹣1.36＝3.64（米）， 在Rt△ADG中，∠ADG＝50°， ∴DG3.06（米）， ∴CD＝CG﹣DG＝3.76﹣3.06≈0.7（米）， ∴凉荫处CD的长约为0.7米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（8分）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 （1）求甲、乙两种货车各用了多少辆； （2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．求当t为何值时，w最小？最小值是多少． 【分析】（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（14﹣x）辆，根据18辆货车恰好一次性运输256吨物资，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出使用甲种货车的数量，再将其代入（18﹣x）中，即可求出使用乙种货车的数量； （2）利用总运输成本＝每辆甲种货车运往A地的成本×前往A地的甲种货车的数量+每辆乙种货车运往A地的成本×前往A地的乙种货车的数量+每辆甲种货车运往B地的成本×前往B地的甲种货车的数量+每辆乙种货车运往B地的成本×前往B地的乙种货车的数量，可得出w关于t的函数关系式，由运往A地的物资不少于160吨，可列出关于t的一元一次不等式，解之可得出t≥4，结合（1）的结论，可得出t的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆， 根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328， 解得：x＝10， ∴24﹣x＝24﹣10＝14（辆）． 答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆； （2）∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，且前往A地的甲种货车为t辆， ∴前往A地的乙种货车为（12﹣t）辆，前往B地的甲种货车为（10﹣t）辆，乙种货车为14﹣（12﹣t）＝（t+2）辆． 根据题意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750（t+2）， 即w＝50t+22500． ∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨， ∴16t+12（12﹣t）≥160， 解得：t≥4， 又∵甲种货车共用了10辆， ∴4≤t≤10． ∵k＝50＞0， ∴w随t的增大而增大， ∴当t＝4时，w取得最小值，最小值＝50×4+22500＝22700（元）． 答：当t为4时，w最小，最小值是22700元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于t的函数关系式． 22．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P． （1）证明四边形BPCO为平行四边形； （2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由． 【分析】（1）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形BPCO为平行四边形； （2）由菱形的判定定理可得结论． 【解答】（1）证明：∵BP∥AC，CP∥BD， ∴四边形BPCO为平行四边形； （2）解：添加AC＝BD，使得四边形BPCO为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， 又∵AC＝BD， ∴BO＝CO， ∴平行四边形BPCO是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键． 23．（9分）跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE＝42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM＝38m，ON＝114m，设MN所在直线关系式为y＝kx+b． 甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 10 20 30 40 竖直高度y/m 42 48 50 48 42 （1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式； （2）运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成，距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米． 动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分． 风速得分：由逆风或者顺风决定． 甲运动员动作分、风速加分如下表： 距离分 动作分 风速加分 50 ﹣2.5 请你计算甲运动员本次比赛得分． 【分析】（1）利用待定系数法可得结论； （2）先确定MN的解析式，联立一次函数和二次函数的解析式，解方程组可得x的值，代入到总分的式子即可算出． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（10，48），（30，48）， ∴对称轴是：直线x20， ∴顶点坐标为（20，50）， 设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y＝a（x﹣20）2+50， 将（0，42）代入得：a（0﹣20）2+50＝42， ∴a， ∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y（x﹣20）2+50x2x+42； （2）∵OM＝38m，ON＝114m， ∴M（0，38），N（114，0） ∴，解得：， ∴MN的解析式为：yx+38； x+38x2x+42， 3x2﹣170﹣600＝0， （x﹣60）（3x+10）＝0， 解得：x1＝60，x2（舍）， 则60+2×（60﹣50）+50+（﹣2.5）＝127.5， 所以甲运动员本次比赛得分为127.5分． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键：一是要会用待定系数法求解析式，二是会求与x轴的交点． 24．（9分）提出问题： 在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？ 问题探究： 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． 探究一： 如图1在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取2个数值：1，，以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、． 当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个． 故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个． 探究二： 在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取5个数值：1，2，，，．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种情况：1、1、；、、2；2、2、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有4×1+2×2＝8个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个． 故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4＝28个． 探究三： 如图2在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 　9　 个数值．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 　8　 条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 　8　 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 　8+8×2＝24　 个． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16个． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 　36+24+16+16+4＝96　 个． 问题解决： 如图3在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 　244　 个． 拓展延伸： 如图4在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为 　48　 个． 【分析】探究三，仿照探究一、二，在此基础的基础上，再根据等腰直角三角形的判定进行求解． 问题解决和拓展延伸是探究一、二、三的基础找规律，从而得到答案． 【解答】解：在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度有：1、2、3、、、、、2、3共9个． （1）当斜边长为时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个． （2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 8条在3×3正方形的四周上，每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 8条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有 8+8×2＝24． （3）当斜边长为时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16． （4）当斜边长为时，图形中长为的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形； 有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16． （5）当斜边长为时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4． 故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为36+24+16+16+4＝96． 如图3，在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为244． 拓展延伸： 如图4，在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直角三角形为底面的直三棱柱的个数为68个． 【点评】本题考查了勾股定理和逆定理，及等腰直角三角形的判定．熟练掌握基础知识是解题的关键． 25．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，连接AC，点O为AC的中点，点E为边BC上的一个动点，连接OE，作OF⊥OE，交边AB于点F．已知点E从点B开始，以1cm/s的速度在线段BC上移动，设运动时间为t（s）（0＜1＜6）．解答下列问题： （1）当t为何值时，OE∥AB？ （2）连接EF，设△OEF的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S△OEF：S矩形ABCD＝51：384？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）连接OB，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OB恰好将△OEF分成面积比为1：2的两部分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据OE∥AB，得，代入计算即可得出t的方程； （2）过点O作OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为M、N，证明△OME∽△ONF，得OFOE，在Rt△OME中，利用勾股定理得：OE2＝t2﹣6t+25，代入面积公式计算得出答案； （3）假设存在某一时刻t，可列出方程，解方程即可； （4）分S△OFG：S△OEG＝2：1或S△OFG：S△OEG＝1：2，分别画出图形，tan∠OBM的两种表示方法得出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意得，BE＝tcm，CE＝（6﹣t）cm， ∵OE∥AB， ∴， ∵点O为AC的中点， ∴， ∴， ∴， 解得t＝3； （2）过点O作OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为M、N， ∴∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°， ∴四边形OMBN是矩形， ∴，， ∴OM＝4cm，ON＝3cm， ∴∠MON＝90°， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠MON＝∠EOF， ∴∠MOE＝∠FON， 又∠OMB＝∠ONF， ∴△OME∽△ONF， ∴， ∴OFOE， 在Rt△OME中，由勾股定理得： 42+（3﹣t）2＝OE2， ∴OE2＝t2﹣6t+25， ∴yOEOEOE2（0＜t＜6）； （3）存在，理由如下： 假设存在某一时刻t，使S△OEF：S矩形ABCD＝51：384， ∴， 解得t1＝2，t2＝4， ∵0＜1＜6， ∴当t1＝2，t2＝4，S△OEF：S矩形ABCD＝51：384； （4）存在，理由如下： 当S△OFG：S△OEG＝2：1时，即， 作GP⊥BC，GQ⊥AB，如图， ∵∠GEP＝∠GEP，∠CPG＝∠EBF＝90°， ∴△EGP∽△EPB， ∴， ∴GP， 由（2）知BF， ∴GP， ∵∠EFB＝∠GFQ，∠FQG＝∠FBE＝90°， ∴△FGQ∽△FBE， ∴， ∴GQ， ∴GQ， ∵tan， ∴， 解得：t， 如图，当S△OFG：S△OEG＝1：2时，即， 同上可得，QB，GQ， ∵tan， ∴， 解得：t， 综上所述，t或． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/9 9:19:44；用户：邢连强；邮箱：13468187680；学号：36611160 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $