热点08 圆常考13大题型（培优热点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

热点08 圆 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 垂径定理及其应用 题型02 与圆有关的角的计算 题型03 圆内接四边形的角度计算 题型04 切线的判定 题型05 切线的性质 题型06 与弧长、扇形面积有关的计算 题型07 正多边形和圆 题型08 圆与解直角三角形的综合 题型09 圆与特殊四边形的综合 题型10 圆与函数的综合 题型11 圆背景下的最值问题 题型12 隐圆问题 题型13 动态圆问题 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“圆”部分分值占比约10%—15%，是几何综合题的必考核心。考查覆盖五大核心模块：圆的基本性质与定理（垂径定理、圆周角与圆心角定理、圆内接四边形）、与圆有关的位置关系（点与圆、直线与圆的位置关系，切线的性质与判定）、与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积与展开图、正多边形与圆）、圆与其他知识的综合（圆与相似三角形、三角函数、特殊四边形、二次函数结合）、圆中的特殊题型（阴影面积、动点最值、隐圆问题、探究性定值问题）。试题突出数形结合、分类讨论和转化思想，解答题往往融合多个模块，难度较大。 预测2026年：圆的基本性质与定理：基础性保持稳定，垂径定理计算和圆周角定理角度转化仍是高频考点，可能增加与网格作图、尺规作图结合的新题型。 与圆有关的位置关系：切线判定与性质仍是解答题核心，需熟练掌握“连半径、证垂直”的规范步骤；点与圆的位置关系可能以新情境方式出现。 与圆有关的计算：弧长和扇形面积基本公式考查频次稳定；圆锥侧面展开图与正多边形计算将继续以选填题形式出现，难度适中。 圆与其他知识的综合：圆与相似、三角函数结合的题目热度持续上升，圆与二次函数综合的题型预计占比进一步提升，成为区分度高的压轴题。 圆中的特殊题型：阴影面积问题更多与图形变换（旋转、平移）结合；隐圆最值问题仍是压轴难点，需加强轨迹意识；定值探究题注重考查数学思维的深度。 题型01 垂径定理及其应用 解｜题｜策｜略 三步法——过圆心作弦的垂线，得弦中点；连接圆心与弦端点构造直角三角形；设未知数，在Rt△中利用勾股定理列方程求解。 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，点，，，在上，连接，，且，，，点是上一点，连接并交于点．若，则的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】过点作于点，并延长交于点，证明，推出，运用垂径定理、勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 设的半径为，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， 则的半径为． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【答案】5 【分析】连接，设，由垂径定理得，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵，点E是的中点，， ∴， 由勾股定理得， 则 解得． 3．（2026·湖南长沙·一模）如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 【答案】6 【分析】连接，先根据垂径定理可得的长和，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是中弦的中点，经过圆心，且， ∴，， ∵的半径长为， ∴， ∴在中，， ∴． 4．（21-22九年级上·贵州黔西南·期末）石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，．根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，得，解得．在中，，根据垂径定理得出，然后判断与12的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：如图，设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，． ∵，， ∴． 又∵， ∴设，则． 在中，根据勾股定理，得，解得． ∵船舱顶部为矩形且高出水面， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴此货船不能顺利通过这座拱桥． 题型02 与圆有关的角的计算 解｜题｜策｜略 三步法——过圆心作弦的垂线，得弦中点；连接圆心与弦端点构造直角三角形；设未知数，在Rt△中利用勾股定理列方程求解。 5．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据弧与圆心角之间的关系得到的度数，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴． 6．（2026·河北保定·模拟预测）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，其中与交于点，如图2所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据题意可知半圆半径为2，由点C、D均在圆上且，可判定为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理求解． 【详解】解：连接，，O为圆心， ， 又， 为等边三角形， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ． 7．（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可求证； （2）先连接，过点作，垂足为，再运用勾股定理分别求出，根据弧相等圆心角相等推出，推出，然后结合根据（1）中推出，即，代入线段长度即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 在中，根据勾股定理，， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴，即，解得． ∴的半径为． 8．（2026·安徽芜湖·一模）如图，为圆的内接三角形，为圆直径，为弧中点，交于点与延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理和直径所对圆周角是直角可推出，，然后结合圆周角定理可知，从而证得结论； （2）由垂径定理可得，从而求得、，然后根据勾股定理求得、，接着利用两组角对应相等可证，进而根据相似三角形对应边成比例可求得，从而求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为弧中点，为直径， ，， ，， 又， ， ． （2）解：∵为直径，，，， ， ，， ， ， ， 由（1）知，， 又∵， ， ，即， 解得， ． 题型03 圆内接四边形的角度计算 解｜题｜策｜略 牢记对角互补，任意一个外角等于其内对角。求角度时优先利用互补关系建立方程，转化为简单几何问题。 9．（2026·广东·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点为D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，先根据圆内接四边形对角互补求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由切线的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴． 10．（2026·安徽滁州·一模）如图，是内接三角形，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设交于点，连接，切线的性质，得到，圆内接四边形的性质结合等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点，连接，则：， ∵是的切线， ∴， ∵四边形为圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，点在上，点在劣弧上，连接、、，若四边形为平行四边形，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆内接四边形性质求得的度数，再由平行四边形的性质可得的度数，最后根据外角的性质可求得的度数． 【详解】解：， ， 四边形为平行四边形，， ， ． 12．（2026·安徽池州·一模）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 题型04 切线的判定 解｜题｜策｜略 分三种情形——已知直线与圆有公共点时，连半径证垂直；已知公共点但未给出半径时，连接公共点和圆心后证垂直；无明确公共点时，过圆心作垂线证d=r。口诀：“有交点连半径证垂直，无交点作垂直证相等。” 13．（2026·江西吉安·二模）如图，已知内接于，点D在的延长线上，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，即可得，则此题可证； （2）连接，先说明是等边三角形，进而得出四边形是菱形，再解直角三角形求出，即可得，然后根据勾股定理求出，可得最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴即． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，则． 在中，， ∴，即， 解得， ∴，即． 在中， ， ∴ ∴． 14．（2026·安徽安庆·一模）如图，为的直径，交于点为上一点，连接并延长交于点M，点N是延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，易得，，推出，，，即可证明； （2）设的半径，则，，由勾股定理得，，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴， 即， ∴． ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴． ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴的半径为6． 15．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，直径于点，是弧上一点，连接交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若与互相平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆内等腰三角形及垂直的定义得到，故可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是菱形，即可证明是等边三角形，则，再由弧长公式求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ，            ， ．         ， ， ，              即， ， 是的切线． （2）解：如图， ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 16．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，，以边上一点O为圆心，长为半径的与边交于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，，则，证明，可得，即可证得结论； （2）设的半径为，则，根据勾股定理，即可得的半径． 【详解】（1）证明：根据题意可知，点、点在上， 连接，，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵是的切线， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 题型05 切线的性质 解｜题｜策｜略 已知切线时立即连接圆心和切点，构造直角三角形。结合勾股定理、三角函数或相似三角形建立等量关系，求出未知线段长。 17．（2026·山西晋城·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由圆周角定理的推论得，由切线的性质得，可求，再求出，然后根据等边对等角可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴． ∵过点C作的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 18．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，为的直径，点B在上，连接，，过点B的切线与的延长线交于点A，，交于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，由为直径得，为切线得，结合，推得；又得，故，由内错角相等即可证． 【详解】证明：连接，如图， 为的直径， ， ， 是切线， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题以圆为载体，融合切线性质、直径所对圆周角、等腰三角形性质与平行线判定，通过角度转化推导平行，考查几何逻辑推理与转化化归的核心数学思想． 19．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，C为上的一点，连接，，并延长至点D，使，过点C作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连接，证明，等边对等角得到，三角形的外角结合角的和差关系，即可得出结论； （2）取的中点，连接，设交于点，连接，延长交于点，连接，证明，得到，中位线定理，结合勾股定理，求出的长，进而求出的长，线段的和差求出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵是切线，为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：取的中点，连接，设交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 20．（2026·浙江湖州·一模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求该圆的直径． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）根据相切的性质，平行线的性质，圆心角等于圆周角的一半即可求证； （2）设半径，证，根据相似比求解即可． 【详解】（1）证明：∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设半径， ∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即直径． 题型06 与弧长、扇形面积有关的计算 解｜题｜策｜略 牢记弧长公式l=nπR/180，扇形面积公式S=nπR²/360或S=½lR。已知圆心角时直接代入计算，已知弧长时反向求圆心角圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，母线长等于扇形半径。设圆锥底面半径为r，母线长为l，则2πr=nπl/180列方程求解r或l。 21．（2026·山西吕梁·一模）在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴③的面积， 又①的面积=②的面积， ∴阴影部分的面积 ． 22．（2026·吉林长春·一模）如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接和， 点，，，均在上， ， ， 的长为． 23．（2026·江苏无锡·一模）使用圆锥做一顶生日帽，测得高为，底面半径为2，则生日帽的外表面积为______． 【答案】 【分析】解：判断生日帽无底面，所求外表面积为圆锥侧面积，先利用勾股定理求出圆锥母线长，再代入圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，由题意得，. 根据勾股定理可得： 圆锥侧面积公式为，代入得： 24．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，求的长； (3)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，易得，三线合一，得到，进而得到是的中位线，得到，进而得到，即可得证； （2）先证明为等边三角形，进而得到，，平行线的性质，得到，解，即可； （3）根据，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 由（2）可知：为等边三角形，， ∴，， 作于点，则， ∴， ∴ ． 题型07 正多边形和圆 解｜题｜策｜略 正n边形的中心角=360°/n，边心距=R·cs(180°/n)，边长=2R·sin(180°/n)。根据已知条件选择合适公式代入。 25．（2026·河北石家庄·一模）如图，正四边形和正五边形内接于，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，求出，则可证明是等边三角形．得到，；根据三角形内心的定义可得，则可求出的度数；过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，求出扇形和的面积即可得到答案． 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 27．（2026·福建厦门·一模）如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了正多边形，三角形内角和定理，先根据正五边形的性质得出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．（2026·陕西汉中·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，的半径为，则___________．（结果保留和根号） 【答案】/ 【分析】先连接，，过点作于点，再根据圆的面积公式求出圆的面积，再通过求出圆的内接正八边形的中心角，以及勾股定理，得出，进一步得，最后根据，即可解答． 【详解】解： 如图，连接，，过点作于点， ． 的半径为，即， ． 圆的内接正八边形的中心角为， ， ， ， ． 在中，， 即， ，（负值已舍去）， ， ， ． 题型08 圆与解直角三角形的综合 解｜题｜策｜略 先利用圆的性质（直径对直角、切线垂直半径）构造直角三角形，再确定已知角与未知边的关系，选择合适的三角函数建立方程求解。 29．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质推出，利用平行线的性质和等边对等角的性质，得出，即可得证； （2）连接、，由直径可得，由同角的余角相等以及等边对等角，得出，从而证明，得到，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接、， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． 30．（2026·浙江·一模）点B，C在以点O为圆心，为半径的上，连接，． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，D为弦下方上一点，连接，E是上一点，，过点E作交于点F，连接，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，若为的直径，的面积为8，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆的性质，四点共圆，正弦函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． （1）连接，证明即可证明平分； （2）连接，交于点K，连接，证明四点共圆，得到，，再证明，等量代换证明即可结论． （3）先证明，得到，再根据的面积为8，得到，确定，继而得到，后利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：连接，交于点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴，， 在和中， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负的舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径． 31．（2025·湖南长沙·一模）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、． (1)若，求证：是的切线． (2)连接，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，解直角三角形的应用，掌握圆周角的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，则，即可证明结论； （2）由直径可得，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，从而得出，然后利用勾股定理求出，即可得到的半径长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． 32．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知的半径为是其内接三角形，． (1)如图1，求； (2)如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 【答案】(1)； (2)①见解析；②或． 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出 ，再根据同弧所对的圆周角相等可得出，进而可得出． （2）①连接并延长交于点，连接，由勾股定理得出，进而可得出，由题意可得出，进而可得出，根据同弧所对的圆周角相等可得出，进而可证明． ②分两种情况：当点与点重合时，由垂径定理可知，由（1）可知，进而可得出．当点与点不重合时，作，截取，连接．证明，由全等三角形的性质以及等量代换可得出，由等边对等角可得出，设，则，得出，再由进而可求出． 【详解】（1）解：在图①中，连接并延长交于点，连接， 是直径， ． 由题， 是所对的圆周角， ， （2）①证明：连接并延长交于点，连接， 在中，， ， ∴， 同理可证，， ∴， 则， ， 即． ②当点与点重合时，如下图，此时为直径， 于点． 由， 可得． 当点与点不重合时， 如下图，作，截取，连接． ， ， ． 由① ， 又， ， 又， ， 又 ， ． 设，则，，，． ， ∴， 由（1）知， 设，则，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练解直角三角形和圆的性质． 题型09 圆与特殊四边形的综合 解｜题｜策｜略 圆内接四边形的对角互补是关键突破口。结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，建立角度或边长的等量关系。 33．（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或12 【分析】（1）如图1，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得．得到，于是得到结论； （2）如图2，延长交于点H．根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论； （3）由（2）知．求得．根据是BC的中点，于是得到，推出不存在，当时，如图3，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到．当时，如图4，连接．由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，点在的外接圆上， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：结论：， 理由：如图2，延长交于点H， ，， ，即， ， ， ， ， 又， ， ，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：由（2）知． ， ， ∴， 是的中点， ． 由①可知，， ∴， ， 是圆的直径， 当点Q在上方的弧上时，（时相切，不存在）；当点Q在左侧的弧上时，（时相切，不存在），当点Q在下方的弧上时，， 不存在， 当时，如图3，， ， 连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∴， 当时，如图4，连接； 是圆的直径， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，的长是或12． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 34．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，定义域为： (3)或 【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）设圆与相切于点，连接，证明，利用相似对应边比相等列式求解即可； （2）过点作于点，通过解得，，利用垂径定理求出，求出，即可求解析式，由点在边上，求出当点与点重合时的值，即可求解； （3）①由题可得当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点；②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点；分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，设圆与相切于点，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，如图， 可得， 则， 由点在边上， 则定义域为：， 综上，，定义域为：； （3）解：当过点时， ∵， ∴此时点也在上， ①当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点， 又当与边相切时， 由（1）可得此时， 当与边相切时，如图，设切点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点，此时的取值范围为：； ②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点， 由（2）可知此时； 综上，的取值范围为：或． 35．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据费马点的定义证明∽，得到对应边成比例解题即可； （2）连接，过点A作，于点，，根据等边三角形得到≌，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 本题属于圆的综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键． 【详解】（1）解：点是的费马点，， ， ， ， ∽， ， 已知，， ， 解得（负值舍去）； 证明：连接，过点A作，于点，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中，， ≌， ，，， ， 又，， ， 又， ， ， ， ， 点是的费马点； （3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，，如图， 根据题目可知当、、、四点共线时，此时，的值最小，且， 延长交于点，则，连接，如图， 又， ， ， ， 点为外接圆的圆心， ，即， 的值最小为， ， 即圆的半径为． 36．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 题型10 圆与函数的综合 解｜题｜策｜略 将圆的方程（圆心坐标、半径）与二次函数解析式联立，转化为方程组求解交点坐标。涉及切线条件时，圆心到直线的距离等于半径建立方程。 37．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作：．若抛物线与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过，则的取值范围（用表示）为____． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质、二次函数的图像性质．根据圆和抛物线图像的对称性可知，要满足条件，则，联立圆和抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，则该方程有且仅有一个大于且小于的根，据此即可解答． 【详解】解：可化为， 它表示动点到定点的距离为定值， 即的几何意义是以原点为圆心，为半径的圆， 抛物线的图象是关于与x轴垂直的直线对称的， 故要使抛物线和圆有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过， 则抛物线对称轴为y轴，即，，图像可能是： ①  或②  ， 由得，代入得， 即（*）， 则，则， 此时方程（*）的根为， ①，解得； ②，解得； 综上，或． 38．（2025·河南南阳·模拟预测）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解； （3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵点为圆心，，， ， 的方程为， 联立， 将代入得 ，即， 设，则， 解得或． 当时，，， 时 时． 当时，，， 时， 时． 除点外的其余交点的坐标为，，； （3）由（2）可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入中，得 ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 直线与轴的交点坐标为， ． 39．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的值是定值，为； (3)的坐标为或或或． 【分析】（1）设圆心点为，利用、的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出的长，求得点，然后利用轴的交点式代入点的坐标得到函数的解析式即可求解； （2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到，再根据相似三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系求出是一个定值； （3）根据题意，分为点在轴上或点在轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求点的坐标. 【详解】（1）解：设圆心为点， ，， ，的半径为， ， ， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ， ， ， ，， ； （2）的值是定值，为， 理由：点，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 令时，， ， ， ； （3）点是圆与抛物线的交点与、、不重合，， ，即：， 当点在轴上时，如图，设点的坐标为， ，，， ，，， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ， 或②， ， ， ， 当点在轴上时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，， ，， ，， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ∴ 或②， ， ， ∴ 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合问题，包括勾股定理，利用待定系数法确定函数解析式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． 40．（2023·河北唐山·二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．    (1)当圆心O在上时，______； (2)当点E在边上时， ①判断与的位置关系，并证明： ②当为何值时，有最大值？并求出最大值； (3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长． 【答案】(1)1 (2)①与的位置关系是相切，见解析；②当时，有最大值，为1 (3)， 【分析】（1）可证得，进而解直角三角形和直角三角形，从而求得结果； （2）①连接，，利用圆周角定理推出，继而推出，再根据，推出，从而得到与的位置关系是相切； ②连接，可证得，从而得到，设得方程，故，利用二次函数得最值，得到当，即时，有最大值，最大值为1； （3）可推出，进而得出，，，故，四边形是菱形，可推出点A是对称后的优弧的圆心，根据弧长公式得出结果． 【详解】（1）解：菱形中，， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：1； （2）①与的位置关系是相切，理由如下： 证明：如图1，连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的位置关系是相切； ②如图2，连接．    ∵，，， ∴， 在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，得到 ∴， 设， ∴，则， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为1． （3）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵将优弧沿翻折交射线于点， ∴， ∴四边形是菱形，    ∴点A，O关于对称， ∴弧在以A为圆心，长为半径的圆上． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型11 圆背景下的最值问题 解｜题｜策｜略 核心思想“化折为直”——将折线段转化为直线段，利用两点之间线段最短或垂线段最短求最值。也可将几何量表示为动点参数的二次函数，通过顶点坐标求最值。 41．（2022·河南商丘·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________． 【答案】 【分析】要使得，，构成的封闭图形周长最小，弧的值不变，则最小即可，点关于的对称点为点，即当点与点重合时， ，，构成的封闭图形周长最小，求出半径和的长即可． 【详解】解：要使得，，构成的封闭图形周长最小，的值不变，则最小即可， 连接，， ， ， 是的垂直平分线， 点关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 即，，构成的封闭图形周长最小， ， ，， 的长为， ，，构成的封闭图形周长最小为：． 42．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点在的外接圆上， 设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． 【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想． 43．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 连接，证明是等腰直角三角形，则有，，求出，然后证明点是外接圆的上的一个动点，故有当点共线时，的长最小，则的面积最小，过点作于点，则四边形是矩形，则有，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴点是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， 当点共线时，的长最小，则的面积最小， 当点共线时，， ∴， ∴是等边三角形，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小面积为， 故答案为：． 44．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图①，内接于，过点C作的切线l，在l上任取一点P，连接，则______．（填写“”“”或“”） 问题探究 （2）如图②，在矩形中（），点P为边上任意一点，试问当点P位于边何处时最大？并说明理由． 问题解决 （3）如图③，五边形为展览馆的平面示意图，其中，，出于安全考虑，负责人想在上选一点P安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点P使最大．若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P位于边中点时最大，理由见解析；（3）在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为． 【分析】（1）设交于点，连接，根据圆周角定理得到，再根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； （2）作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H，同理（1）根据圆周角定理结合三角形外角的性质可得，当两点重合时，最大，此时，由切线的性质结合矩形的性质可得，根据垂径定理得到，再证明四边形都是矩形，可得，进而得到为中点，即可得出结论； （3）作经过点、且和相切的，切点为，由（2）可知此时最大，连接、，分别延长、交于点，证明四边形是正方形，再求出，连接，交于点，由正方形的性质可得，，，再证明垂直平分线段，再根据圆的性质可得，连接，可得，则，设的半径为，则，，在中，利用勾股定理得到，又利用得到 ，故可得到方程，求出R，再求出此时的长即可． 【详解】（1）解：设交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）点P位于边中点时最大，理由如下： 作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H， 同理（1）得， 当两点重合时，最大， 此时，∵是的切线， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵是的半径， ∴， ∵，， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴点为中点， ∴当点P位于边中点时最大； （3）作经过点、且和相切的，切点为，由（2）可知此时最大， 连接、，分别延长、交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴． 连接，交于点，由正方形的性质可得，，， ∵ ∴垂直平分线段， ∴圆心在线段上， 连接，则，则， 设的半径为，则，， 在中， ∵ ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)或， ∴， ∴， ∴在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为． 【点睛】此题主要考查圆的综合运用，涉及圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质． 题型12 隐圆问题 解｜题｜策｜略 判断隐圆的两大依据——①到定点距离等于定长（定点定长），轨迹为圆；②定边对定角（线段AB固定，∠APB为定值），P点轨迹是以AB为弦的圆弧。确定圆后转化为常规点圆最值问题求解。 45．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 46．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 47．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为___________． 【答案】/ 【分析】如图，以为边作等边，连接，可证，然后可得点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上，要使得 面积最小，则求出点到线段的最小距离，点到的最小值为，最后求出面积即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形， ∴点到的距离为， ∴点到的最小值为， ∴面积最小值为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点轨迹圆相关知识点，全等三角形的判定，勾股定理的运用，构造辅助圆的方法求最值问题，解题关键是利用构造全等三角形找到动点的轨迹，再求出圆上一点到定点线段距离的最小值． 48．（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)存在最小值，为 【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得，，从而可得，进而可求，计算即可求出； （2）根据，，易得，则可得动点的运动轨迹是圆弧，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，再根据勾股定理，计算即可求解； （3）延长、相交于点，连接，点是的中点，作，以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于点，此时的值最小，利用相似三角形的判定和性质，易求，再根据勾股定理，得，则，利用垂径定理，得，最后根据勾股定理，求得，，计算即可． 【详解】（1）解：是的中位线，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ， ， ， 则动点是在以的中点为圆心，的长为直径的圆上，且在内部的圆弧上， 如图②，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，    ， ， 在，，， ， 则线段的最小值为； （3）存在最小值， 如图③，延长、相交于点，连接，点是的中点，作， 矩形， ，， ， ， ， ，即， ，即， 动点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧上， 以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于一点，即为点，此时的值最小， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 则存在最小值，最小值为． 【点睛】审清题意，本题的难点是动点的运动轨迹． 题型13 动态圆问题 解｜题｜策｜略 平移、旋转、对称前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。抓住变换前后的对应关系，利用全等建立等量关系，将动态问题转化为静态几何问题求解。 49．（2023·四川广元·二模）平面上，与直径为的半圆O如图1摆放，，，，半圆O交边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且始终等于，旋转角记为    (1)当时，连接，则____________°，_____； (2)试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明； (3)若，，当半圆O旋转至与的边相切时，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）先判断出，进而得出，得出比例式即可得出结论； （2）先判断出即可得出结论； （3）先求出，分两种情况计算即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图1，    ∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）旋转过程中的大小无变化，证明如下： 如图2中，+连接，    ∵是半圆的直径， ∴ 又 ∴ 又， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴，， 由勾股定理得，， ①如图3中，当时，半圆与相切．    在中，． ②如图4中，当时，半圆与相切，作于M． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 由（2）可知， ∴． ∴为或． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，矩形的判定和性质，解（1）的关键是判断出，解（2）的关键是判断出解（3）的关键是分类讨论． 50．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 【答案】【发现】2；【探究】平行；【拓展】（1）；（2）弦的最大值为，最小值为． 【分析】发现：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变，所在圆的半径为的半径，即； 探究：根据切点在直径上运动，与相切于点，可得折叠后圆的半径为定值，即可得出点的运动路线与直径平行； 拓展：（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角和切线的性质，可得，，再结合勾股定理即可求解弦的长； （2）设，与交于点，连接，根据勾股定理，垂径定理可得，再结合的取值范围为，即可求解． 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∴所在圆的半径为的半径，即， 故答案为：； 探究：解：∵切点在直径上运动，与相切于点， ∴即点到直径的距离为半径，即为定值， ∴点的运动路线与直径平行． 故答案为：平行； 拓展：（1）解：如图1，连接， ∵点在上，对应的弦为的直径， ∴． 又∵点是的切点， ∴． 在和中，，， ∴， ∴． ∵点为的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）最大值为，最小值为． 如图2，设，与交于点，连接． ∴． ∵点是的中点， ∴． 由垂径定理得点为的中点， ∴， ∴． ∵点在线段上， ∴的取值范围为， ∴． ∴弦的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，折叠的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 51．（2025·广东惠州·二模）综合探究： (1)如图1，等圆与相交于点与点，连接，证明四边形为菱形． (2)如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度． (3)如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据圆的性质得，，结合等圆得，即可证明菱形； （2）连接、，过点O作，则，结合重叠得，即可求得，，利用弧长公式即可求得； （3）设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，由（1）知与互相垂直平分得和，进一步求得，由（1）知以点为圆心的圆半径也是5，利用勾股定理求得和，利用即可． 【详解】（1）证明：∵与相交与点与点， ∴，， ∵等圆与， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：连接、，过点O作，如图， ∵的直径为10， ∴， ∵直径相切于点，若折叠后与点重合， ∴， 则， ∴，， 则的长度； （3）解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示： 由（1）知与互相垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知以点为圆心的圆半径也是5， ∴， ∵，改变与直径相切的切点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 【点睛】本题考查了翻折的性质、圆的性质、相交圆的性质、菱形的判定、解直角三角形、弧长公式、勾股定理的运用和垂直平分线性质的运用，根据相交圆的性质求解是解题的关键． 52．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 53．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且为上靠近点的三等分点，是上的动点． (1)的最小值为______，的最大值为______； (2)沿直线向右平移半圆，若半圆的右移速度为每秒1个单位长度，求点在的区域内部（包括边界）的时长； (3)过点作于点，且，沿直线向右平移半圆． ①如图2，当点与点重合时，求半圆在上截得的线段的长； ②将半圆移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为．当半圆与的边相切时，直接写出点运动的路径长．（注：结果保留） 【答案】(1)4， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据题意得到当点F和点E重合时，有最小值，得到，连接并延长，交于点F，此时有最大值，然后利用勾股定理求出的长度，进而求解即可； （2）如图1，点G落在边上，连接，过点G作于点F．首先根据三角函数值求出，，然后利用等腰直角三角形的性质得到，如图2，点G落在边上，根据切线的性质和三角函数值求出，进而求解即可； （3）①如图3，过点O作，垂足为P，连接．首先利用直角三角形的性质和勾股定理求出，进而得到的长； ②如图4，当半圆O与边相切时，设切点为Q，则．首先利用三角函数值求出，然后利用弧长公式求出此时点E走过的路径长为． 【详解】（1）解：∵F是上的动点， ∴当点F和点E重合时，有最小值，即的长度， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4； 如图所示，连接并延长，交于点F，此时有最大值， ∵是半圆O的直径，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴； 故答案为：4，； （2）如图1，点G落在边上，连接，过点G作于点F． ∵为上靠近点的三等分点，为直径， ∴， 在中，， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2，点G落在边上，， ∴， ∴是半圆O的切线， ∴． 在中，． 点G在的区域内部（包括边界）的时长为； （3）①如图3，过点O作，垂足为P，连接． 在中，，， ∴． 在中，， ∴； ②如图4，当半圆O与边相切时，设切点为Q，则． 在中，， ∴， 此时点E走过的路径长为； 点E走过的路径长为． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合等腰直角三角形的性质、三角函数、勾股定理、弧长公式计算，掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键． 54．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； (3)如图3，半径为的在边长为的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是关键． （1）通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切； （2）连接．证明三点在同一条直线上，得到，由及，即可得到答案； （3）先证明四边形为正方形，结合题意，所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去四个直角处的空白部分的面积，最后利用扇形的面积公式即可求得． 【详解】（1）如图， 过点作于点， 四边形为正方形， ， ． ， 等于的半径， 与相切． （2）如图， 连接， 四边形为正方形，， ． ，，分别与相切于点，，， ， ， ， 垂直平分． ， 点在的垂直平分线上， 三点在同一条直线上． ， ， ． （3）如图， 设与正方形的边切于点，与切于点， ． 且， 四边形为正方形． ． 半径为的在边长为的正方形内任意移动， 所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去四个直角处的空白部分的面积， 所移动过的最大区域面积． 故答案为：． 试卷第2页，共97页 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点08 圆 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 垂径定理及其应用 题型02 与圆有关的角的计算 题型03 圆内接四边形的角度计算 题型04 切线的判定 题型05 切线的性质 题型06 与弧长、扇形面积有关的计算 题型07 正多边形和圆 题型08 圆与解直角三角形的综合 题型09 圆与特殊四边形的综合 题型10 圆与函数的综合 题型11 圆背景下的最值问题 题型12 隐圆问题 题型13 动态圆问题 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“圆”部分分值占比约10%—15%，是几何综合题的必考核心。考查覆盖五大核心模块：圆的基本性质与定理（垂径定理、圆周角与圆心角定理、圆内接四边形）、与圆有关的位置关系（点与圆、直线与圆的位置关系，切线的性质与判定）、与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积与展开图、正多边形与圆）、圆与其他知识的综合（圆与相似三角形、三角函数、特殊四边形、二次函数结合）、圆中的特殊题型（阴影面积、动点最值、隐圆问题、探究性定值问题）。试题突出数形结合、分类讨论和转化思想，解答题往往融合多个模块，难度较大。 预测2026年：圆的基本性质与定理：基础性保持稳定，垂径定理计算和圆周角定理角度转化仍是高频考点，可能增加与网格作图、尺规作图结合的新题型。 与圆有关的位置关系：切线判定与性质仍是解答题核心，需熟练掌握“连半径、证垂直”的规范步骤；点与圆的位置关系可能以新情境方式出现。 与圆有关的计算：弧长和扇形面积基本公式考查频次稳定；圆锥侧面展开图与正多边形计算将继续以选填题形式出现，难度适中。 圆与其他知识的综合：圆与相似、三角函数结合的题目热度持续上升，圆与二次函数综合的题型预计占比进一步提升，成为区分度高的压轴题。 圆中的特殊题型：阴影面积问题更多与图形变换（旋转、平移）结合；隐圆最值问题仍是压轴难点，需加强轨迹意识；定值探究题注重考查数学思维的深度。 题型01 垂径定理及其应用 解｜题｜策｜略 三步法——过圆心作弦的垂线，得弦中点；连接圆心与弦端点构造直角三角形；设未知数，在Rt△中利用勾股定理列方程求解。 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，点，，，在上，连接，，且，，，点是上一点，连接并交于点．若，则的半径为（   ） A． B． C．8 D． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 3．（2026·湖南长沙·一模）如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 4．（21-22九年级上·贵州黔西南·期末）石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 题型02 与圆有关的角的计算 解｜题｜策｜略 三步法——过圆心作弦的垂线，得弦中点；连接圆心与弦端点构造直角三角形；设未知数，在Rt△中利用勾股定理列方程求解。 5．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·模拟预测）图1是以为直径的半圆形纸片，，沿垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，其中与交于点，如图2所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 8．（2026·安徽芜湖·一模）如图，为圆的内接三角形，为圆直径，为弧中点，交于点与延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 题型03 圆内接四边形的角度计算 解｜题｜策｜略 牢记对角互补，任意一个外角等于其内对角。求角度时优先利用互补关系建立方程，转化为简单几何问题。 9．（2026·广东·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点为D，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽滁州·一模）如图，是内接三角形，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西商洛·一模）如图，内接于，点在上，点在劣弧上，连接、、，若四边形为平行四边形，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·安徽池州·一模）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 题型04 切线的判定 解｜题｜策｜略 分三种情形——已知直线与圆有公共点时，连半径证垂直；已知公共点但未给出半径时，连接公共点和圆心后证垂直；无明确公共点时，过圆心作垂线证d=r。口诀：“有交点连半径证垂直，无交点作垂直证相等。” 13．（2026·江西吉安·二模）如图，已知内接于，点D在的延长线上，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 14．（2026·安徽安庆·一模）如图，为的直径，交于点为上一点，连接并延长交于点M，点N是延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 15．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，直径于点，是弧上一点，连接交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若与互相平分，，求的长． 16．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，，以边上一点O为圆心，长为半径的与边交于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型05 切线的性质 解｜题｜策｜略 已知切线时立即连接圆心和切点，构造直角三角形。结合勾股定理、三角函数或相似三角形建立等量关系，求出未知线段长。 17．（2026·山西晋城·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·广东佛山·模拟预测）如图，为的直径，点B在上，连接，，过点B的切线与的延长线交于点A，，交于点F，求证：． 19．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，C为上的一点，连接，，并延长至点D，使，过点C作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求的长． 20．（2026·浙江湖州·一模）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求该圆的直径． 题型06 与弧长、扇形面积有关的计算 解｜题｜策｜略 牢记弧长公式l=nπR/180，扇形面积公式S=nπR²/360或S=½lR。已知圆心角时直接代入计算，已知弧长时反向求圆心角圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，母线长等于扇形半径。设圆锥底面半径为r，母线长为l，则2πr=nπl/180列方程求解r或l。 21．（2026·山西吕梁·一模）在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 22．（2026·吉林长春·一模）如图，点，，，均在上，的半径为，，则的长为______（结果保留）． 23．（2026·江苏无锡·一模）使用圆锥做一顶生日帽，测得高为，底面半径为2，则生日帽的外表面积为______． 24．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，求的长； (3)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 题型07 正多边形和圆 解｜题｜策｜略 正n边形的中心角=360°/n，边心距=R·cs(180°/n)，边长=2R·sin(180°/n)。根据已知条件选择合适公式代入。 25．（2026·河北石家庄·一模）如图，正四边形和正五边形内接于，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·福建厦门·一模）如图，正五边形内接于，则的度数为________． 28．（2026·陕西汉中·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，的半径为，则___________．（结果保留和根号） 题型08 圆与解直角三角形的综合 解｜题｜策｜略 先利用圆的性质（直径对直角、切线垂直半径）构造直角三角形，再确定已知角与未知边的关系，选择合适的三角函数建立方程求解。 29．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 30．（2026·浙江·一模）点B，C在以点O为圆心，为半径的上，连接，． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，D为弦下方上一点，连接，E是上一点，，过点E作交于点F，连接，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，若为的直径，的面积为8，，求的半径． 31．（2025·湖南长沙·一模）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、． (1)若，求证：是的切线． (2)连接，若，，求的半径长． 32．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知的半径为是其内接三角形，． (1)如图1，求； (2)如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 题型09 圆与特殊四边形的综合 解｜题｜策｜略 圆内接四边形的对角互补是关键突破口。结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，建立角度或边长的等量关系。 33．（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长． 34．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 35．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 36．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 题型10 圆与函数的综合 解｜题｜策｜略 将圆的方程（圆心坐标、半径）与二次函数解析式联立，转化为方程组求解交点坐标。涉及切线条件时，圆心到直线的距离等于半径建立方程。 37．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作：．若抛物线与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过，则的取值范围（用表示）为____． 38．（2025·河南南阳·模拟预测）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 39．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 40．（2023·河北唐山·二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．    (1)当圆心O在上时，______； (2)当点E在边上时， ①判断与的位置关系，并证明： ②当为何值时，有最大值？并求出最大值； (3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长．    题型11 圆背景下的最值问题 解｜题｜策｜略 核心思想“化折为直”——将折线段转化为直线段，利用两点之间线段最短或垂线段最短求最值。也可将几何量表示为动点参数的二次函数，通过顶点坐标求最值。 41．（2022·河南商丘·模拟预测）如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________． 42．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 43．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______． 44．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图①，内接于，过点C作的切线l，在l上任取一点P，连接，则______．（填写“”“”或“”） 问题探究 （2）如图②，在矩形中（），点P为边上任意一点，试问当点P位于边何处时最大？并说明理由． 问题解决 （3）如图③，五边形为展览馆的平面示意图，其中，，出于安全考虑，负责人想在上选一点P安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点P使最大．若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由． 题型12 隐圆问题 解｜题｜策｜略 判断隐圆的两大依据——①到定点距离等于定长（定点定长），轨迹为圆；②定边对定角（线段AB固定，∠APB为定值），P点轨迹是以AB为弦的圆弧。确定圆后转化为常规点圆最值问题求解。 45．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 46．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 47．（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为___________． 48．（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 题型13 动态圆问题 解｜题｜策｜略 平移、旋转、对称前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。抓住变换前后的对应关系，利用全等建立等量关系，将动态问题转化为静态几何问题求解。 49．（2023·四川广元·二模）平面上，与直径为的半圆O如图1摆放，，，，半圆O交边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且始终等于，旋转角记为    (1)当时，连接，则____________°，_____； (2)试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明； (3)若，，当半圆O旋转至与的边相切时，直接写出线段的长． 50．（2025·河北张家口·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 51．（2025·广东惠州·二模）综合探究： (1)如图1，等圆与相交于点与点，连接，证明四边形为菱形． (2)如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度． (3)如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度． 52．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 53．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且为上靠近点的三等分点，是上的动点． (1)的最小值为______，的最大值为______； (2)沿直线向右平移半圆，若半圆的右移速度为每秒1个单位长度，求点在的区域内部（包括边界）的时长； (3)过点作于点，且，沿直线向右平移半圆． ①如图2，当点与点重合时，求半圆在上截得的线段的长； ②将半圆移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为．当半圆与的边相切时，直接写出点运动的路径长．（注：结果保留） 54．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； (3)如图3，半径为的在边长为的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______． 试卷第2页，共97页 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $