专题13 二次函数压轴题10大题型（培优题型专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题13二次函数压轴题 内●容●导●航 第一部分题型解读微观解剖，精细教学 自技巧提炼 自例题剖析 自巩固训练 题型01面积最值问题 题型02等腰三角形存在性问题 题型03直角三角形存在性问题 题型04平行四边形存在性问题 题型05相似三角形存在性问题 题型06线段最值与路径最短问题 题型07角度存在性问题 题型08定值定点问题 题型09二次函数与几何变换综合 题型10新定义问题 第二部分题型强化训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01面积最值问题 《◇技巧提炼 核心是将面积问题转化为二次函数求最值。常用方法有： 1 方法 1. 铅垂高法：三角形面积=2×水平宽×铅垂高，适用于有一边水平或竖直的情况。 总结 2. 函数转化法：设动点坐标，用坐标表示面积，得到关于参数的二次函数，通过配方求最值。 3 平移法：平移三角形一边所在直线，当与抛物线相切时面积最大，利用判别式△=0求解。 4. 关键步骤：设点坐标→表示线段长→建立面积函数→配方求顶点→验证取值范围。 1/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 1. 忽略动点横坐标的取值范围，导致最值点不在有效区间内。 易错 2. 使用铅垂高法时，未正确确定“水平宽”和“铅垂高”对应的线段。 辨析 3. 求四边形面积最值时，分割图形方式不当，导致表达式复杂。 ◆例题剖析◆ 【典例01)(2024湖北模拟预测)如图，抛物线'=-++b 的图象与x轴交于A,B两点，且点 B的坐标是3,0)，与y轴交于点D,且点D的坐标是0-3) (1)求抛物线的解析式： 2)BD与抛物线的对称轴交于点E,点P在抛物线上，且坐标为mm0<m<3引，求△PDE面积的最大 值； (3)△PDE面积的最大值时，点F是PD的中点，直接写出BF的值. 【答案】()-r2+4x-3 9 (2)最大值为4： 95 (3)8. 【分析】(1)把点B3,0,点D0,-3).代入y=++b,待定系数法求解析式，即可求解 (2)作P吧上x轴交BD于点Q,得出直线BD的解析式为'=x-3,进而得出 (2,-1 2/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 n=-m2+4m-3,点 O(m,m-3) 表示出P9,进而根据三角形的面积公式，列出函数关系式，根据二 次函数的性质，即可求解： p 33 F39) (3)先求得 2’4, 进而根据中点坐标公式得出(4’8，然后勾股定理即可求解。 【详解】(1)解：把点 B3,0,点D10,-3)代入y=-r+a+b -9+3a+b=0 得b=-3 a=4 解得：b=-3, 抛物线的解析式为：-r+4-3。 POLx (2)解：如图所示，作 轴交BD 于点Q, 设直线BD的解析式为：y=c+bk≠O) f代入B(30),D0,-3) [3k+b=0 ∴b=-3, k=1 解得：b=-3, 3/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ÷直线D y=x-3 的解析式为： :)=-+4r-3=-(x-2列+1，对称轴为直线x=2, 当x=2时，y=2-3=-1, :2-10 P(m,n(0<m<3) 在抛物线上， n=-m2+4m-3,点em,m-3到， :P2=-m2+4m-3)-(m-3)=-m2+3m 9 公=)时，人PDE的面积最大，最大值为 (3)解：由(2)可得m=2 则0=m+4m-3=m-2+1=}2八1-. F是PD的中点， D(0,-3) 3+03-3 4 r) B3,0) r-3图5 4/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，面积问题，线段长度问题，解答本题的关键是熟练掌握二次 函数的性质 【典例02】(2024海南省直辖县级单位二模)如图1，抛物线与x轴交于4,0，B(-2,0) 两点，与y 轴交于点C0,4,点P是抛物线上的动点。 图1 图2 备用图 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式. (2)当点P在直线AC下方运动时，四边形ABCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形ABCP 面积的最大值，若不存在，请说明理由 (3)如图2，M是对称轴上一点，平面内是否存在一点N,使得四边形AMCN是菱形，若存在，请求出 N的坐标，若不存在，请说明理由. (4)抛物线上是否存在点P,使得∠ACP=∠BCO？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若 不存在，请说明理由。 x2-x-4 【答案】(0y=2 (2)存在，16 8)3-3) 8 28 39 ,P2(8,20) (4)存在， 【分析】(I)待定系数法求出函数解析式即可： (2)过点P作PE⊥x轴，交AC于点D,分割法列出关于四边形ABCP面积的表示式，利用二次函数 求最值，进行求解即可； 5/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3) M1,m, 根据菱形的邻边相等，对角线互相平分，进行求解即可； (4)分点P在直线AC下方和点P在直线AC上方，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】D解：设函数解析式为：y=a(x+2(x-,把C0,4刊代入解折式， 1 得：-4=a0+20-4,解得a=2, 1 2x+2x-4到=2--4： (2)存在： 44,0)C(0,-4 ∴设直线4C的解析式为=c-4,把44,0代入，得：=1， ∴.y=x-4, B-2,0 1 :.S.=2 ×6×4=12. 过点p作PE⊥，轴，交AC于点D'则：D1-4, PD=1-4-2+1+4=-2+21, 2 mPm0=+2小4=+ ∴四边形ABCP的面积=Sac+S心=-+4+12=-t-22+16 .当t=2时，四边形ABCP的面积最大为：16： 6/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 1 1 (3)y=5x2-x-4 2r129 对称轴为直线x=1, 设41m A4,0)C0,-4 ÷AM=(4-+m=m2+9,CM2=1+m+43 ·菱形AMCN, :'AM CM, m2+9=1+(m+42 .m=-1, M(-1) :菱形的对角线互相平分， :w3,-3到 4)4(4,0,B-2,0),C0,-4 OB=2.0A=OC=4 1 .tan∠OCB= 2； ①当点P在直线AC下方时，过点A作AH⊥AC,交CP于点H,过点H作HG⊥x轴，则： ∠AOC=∠CAH=∠AGH=90°， ∴.∠CAO=∠AHG=90°-∠HAG, 7/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AOC∽aHGA, AO OC AC ·HGAG AH' ,∠ACP=∠BCO, &ian∠4CP=tan∠0CB=4H-！ AC 2 A0_0C-4C-2, ·.HG AG AH ..AG=HG=2, ∴.0G=6, :H川6-2) 同(2)法可得：直线CH的解析式为：y=3x-4, 3 1 y=x-4 8 x= 31 3 联立 ,=1x-x-4 解得：〔x=0或 y-2 28 0y=-4 9 AF∥y 当点'在直线1C上方时，过点4作H11C,交CP于点”，作 CP 轴，过点H作GLAF H 同法可得： H(2,2),直线CH的解析式为：y=3x-4， y=3x-4 x=0 x=8 联立-4，解符”4或0 8/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ÷P1820 【点晴】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，菱形的性质，解直角三角形， 相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利 用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键. ◆巩固训练◆ [训练01】（2024重庆模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=ar++C过点8，) 交x轴于点A(-1,0),B两点，交y轴于点C(0,2). 0 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)连接AC,BC,M为线段AB上一动点，过点M作MD∥BC交直线AC于点D,连接MC,求 △MDC面积的最大值及此时M点的坐标； ③)在(2)中△MDC面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移V5个单位长度，P是 平移后的抛物线上一动点，连接CP,当∠PCM与△OBC的一个内角相等时，请直接写出所有符合条 件的点P的坐标. 【答案】)少=-x+x+2 8源大.a台 9/205 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 -5+V8959+V89 -5-V8959-V89 √26-153-3√26 (3)点。的坐标为 32 或 8 32 或 5或(-3，-3) 【分析】(1)由待定系数法即可求解： ②H2BMx2m82m+219 1 3 3 6m 2 4,即可求解： (3)当∠PCM与△OBC的一个内角相等时，即∠PCM=45°或90°；当∠PCM=45°时，在△CMH中， CM= 2，an∠CM0=4,∠HCM=45°，用解直角三角形的方法求出点H的坐标，即可求解；当点 P(P)在y轴右侧时，同理可解：当∠PCM=90o时，求出直线Pp的表达式为：y=4x+2,即可求解。 【详解】(1)解：由题意得： a-b+c=0 a=-1 c=2 b=1 9a+3b+c=0' 解得： (c-2’ 则抛物线的表达式为： y=-x2+x+2 (2)解：由抛物线的表达式知，点1、B、C的坐标分别为： (-1,0)(2,0)(0,2) 由点A、B、C的坐标得，直线BC的表达式为： BC 2,直线1C的表达式为：)=2x+2 y=-x+2 连接BD M(m,0) ,设点 M MD∥B SAMDC SAMDB ,则 则直线DM的表达式为：y=-(x-m)=-x+m, 10/205函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题13二次函数压轴题 内0容口导如航 第一部分题型解读微观解剖，精细教学 自技巧提炼 自例题剖析 自巩固训练 题型01面积最值问题 题型02等腰三角形存在性问题 题型03直角三角形存在性问题 题型04平行四边形存在性问题 题型05相似三角形存在性问题 题型06线段最值与路径最短问题 题型07角度存在性问题 题型08定值定点问题 题型09二次函数与几何变换综合 题型10新定义问题 第二部分题型强化训练整合应用，模拟实战 题0型口破0译 题型01面积最值问题 《◇技巧提炼 核心是将面积问题转化为二次函数求最值。常用方法有： 1 方法 1. 铅垂高法：三角形面积=2×水平宽×铅垂高，适用于有一边水平或竖直的情况。 总结 2. 函数转化法：设动点坐标，用坐标表示面积，得到关于参数的二次函数，通过配方求最值。 3. 平移法：平移三角形一边所在直线，当与抛物线相切时面积最大，利用判别式△=0求解。 4. 关键步骤：设点坐标→表示线段长→建立面积函数→配方求顶点→验证取值范围。 1/40 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1. 忽略动点横坐标的取值范围，导致最值点不在有效区间内。 易错 使用铅垂高法时，未正确确定“水平宽”和“铅垂高”对应的线段。 辨析 3. 求四边形面积最值时，分割图形方式不当，导致表达式复杂。 ◆例题剖析◆ 【典例)】(2024湖北模拟预测)如图，抛物线”=-r+a+ 的图象与x轴交于A,B两点，且点 B的坐标是3,0)，与y轴交于点D,且点D的坐标是0-3) (1)求抛物线的解析式： 2)BD与抛物线的对称轴交于点E,点P在抛物线上，且坐标为mm0<m<3引，求△PDE面积的最大 值； (3)△PDE面积的最大值时，点F是PD的中点，直接写出BF的值. 【典例021（2024海南省直精县级单位二模)如图1，抛物线与轴交于14,0,8\-2,0两点，与y 轴交于点C0,4,点P是抛物线上的动点。 2/40 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式. (2)当点P在直线AC下方运动时，四边形ABCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形ABCP 面积的最大值，若不存在，请说明理由. (3)如图2，M是对称轴上一点，平面内是否存在一点N,使得四边形AMCN是菱形，若存在，请求出 N的坐标，若不存在，请说明理由. (4)抛物线上是否存在点P,使得∠ACP=∠BCO？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若 不存在，请说明理由. ◆巩固训练◆ 【训练01】(2024重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线”=ar+b+ 过点 (3,-4) 交x轴于点A(-1,0),B两点，交y轴于点C(0,2). 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)连接AC,BC,M为线段AB上一动点，过点M作MD∥BC交直线AC于点D,连接MC,求 △MDC面积的最大值及此时M点的坐标： 3/40 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B在(2)中△MDC面积取得最大值的条仟下，将该抛物线沿射线8C方向平移5个草位长度，P是 平移后的抛物线上一动点，连接CP,当∠PCM与△OBC的一个内角相等时，请直接写出所有符合条 件的点P的坐标. 【训练02】(2023重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线=心+br-3 x轴交于 4-10),B3,0两点，与'轴交于点C,连接BC.P是直线BC下方抛物线上的一个动点，过点A 作直线AD∥BC交抛物线于点D,连接PA,PD,线段PD交BC于点E,连接AE. (1)求抛物线的解析式： (2)当△APE的面积取得最大值时，求点P的坐标和△APE面积的最大值： (3)将抛物线y=ar2+bx-3 沿着射线8C方向平移25个单位长度，得到一条新抛物线.若F为新抛物 线的顶点，M为直线BC上一点，N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以C,F,M,N 为顶点的四边形是菱形的点V的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来。 【训练03】(2025·安徽芜湖一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过坐标原点且与x轴 (1,2) 交于点A,若抛物线顶点坐标 V 4/40 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (I)求该抛物线的表达式： (2)若过点A的直线y=2x+m与抛物线交于A,B两点，连接PA ①求证：PA⊥AB; ②若M为x轴上方的抛物线上任意一点，判断△ABM的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若 没有，请说明理由. ◆题型02等腰三角形存在性问题剩 《。技巧提炼 核心是分类讨论，利用距离公式建方程。解题模板： 1. 设参表示：设动点P 2.分类讨论：分三种情况：①AB=AP:②AB=BP;③AP=BP(若未规定哪边为腰，则三类 方法 全讨论)。 总结 3.列方程求解：利用两点间距离公式列方程，解出t值。 4. 验证取舍：将t代入验证点是否在抛物线上，并检查三点是否共线。常用技巧：“两圆一线 法”快速确定点的大致位置。 1. 分类不全，遗漏某种情况。 易错 2 解方程后未验证点是否在抛物线上或三点是否共线。 辨析 3. 距离公式计算错误，尤其是带平方的运算。 ◆例题剖析◆ 【典刚0】(2025广东消远一模)如图，抛物线y方+b+(与辅交于B两点，与)朝交于 点E.过点B的直线与y轴交于点C,与抛物线交于点D,连接OD,已知OE=2OC=2OA=4. E 备用图 5/40 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (1)求OB的长. (2)求△OBD的面积. (3)抛物线对称轴上是否存在一点P，使以P,A,E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【典例02】(2025湖南衡阳三模)如图，二次函数'=--2x+ A,B 图象与轴交于点，“两点（点B在 点A的右边)，与y轴交于点C. V角 备用图 (1)求A,B,C三点的坐标 (2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M,使△MAC是以AC为底的等腰三角形？若存在， 请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由. P,A,0 3若点P是线段1C上的任意一点，若以点 为顶点的三角形与△1BC 相似，求点P的坐标 ◆巩固训练 【训练01】(2025广东中山一模)在平面直角坐标系中，抛物线”=+bx+2 与x轴交于 B(6,0) 两点，与y轴交于点C. 6/40 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B 图(1) 图(2) (I)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是x轴上一点，若△BCP是等腰三角形，直接写出点P的坐标： (3)如图(2)，点D是直线BC下方抛物线上的一个动点.过点D作DE⊥BC于点E,问：是否存在点 D,使得∠CDE=2∠ABC?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 【训练02】(2023·重庆沙坪坝·模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 ”=2-22x-35与精交于小、8两点（点4在点8的左侧），与'辅交于点C,抛物线的对称 轴交直线BC于点D A Bx A B Bx D D D P 图1 图2 备用图 (I)求点D的坐标： (2)如图2，若P是直线BC下方抛物线上的一个动点，连接PC、PD,求△PCD面积的最大值及此时 P点的坐标： (3)将抛物线”=2r2-2V2x-3W5 沿射线CB方向平移35个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点 M.在新抛物线对称轴上是否存在一点N,使得以点M、N、D为顶点的三角形是以ND为腰的等腰 三角形？若存在，请直接写出N点的坐标，并把求其中一个点V的坐标的过程写出来；若不存在，请 7/40 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 说明理由. 【训练03】(2025广东梅州一模)如图，二次函数y=ar+x+c的图象经过点4-1,0)，B4,0)和 C0,2),一次函数y=mr+m过点B,C.点P是直线BC上方二次函数图象上的一个动点，过点P作 直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E. M B B 图1 图2 (I)直接写出二次函数和一次函数的解析式： (2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标： (③)连接1C,连接P交BC于点M,记△MCM面积为S,△PCM面积为S,在点P运动的过程中， 判断3是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由 题型03直角三角形存在性问题< 《◇技巧提炼 核心是利用勾股定理逆定理或斜率关系。解题模板： 1. 设点坐标。 2. 分类讨论直角顶点：分三种情况：∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°。 方法 3. 列方程： 总结 (1) 方法一（勾股定理）：若∠P=90°，则PA+PB2=AB: (2) 方法二（斜率法）：若∠A=90,则kPk=1(需确保斜率存在)。 4. 求解验证。对于等腰直角三角形，先按直角三角形处理，再验证两腰相等。 易错 1. 使用斜率法时，忽略直线斜率不存在（垂直于x轴）的情况。 辨析2. 勾股定理列式时，线段平方计算错误。 8/40 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 3.等腰直角三角形的讨论中，先确定直角顶点再验证等腰，顺序颠倒会增加计算量。 ◆例题剖析◆ 【典例01】(2023-陕西西安模拟预测)如图，抛物线'=ar+r+c与'轴交于4(-√5,0、B(2√5,0) 两点，与y轴交于C(0,2)点. (1)求抛物线的解析式： (2)证明：△ABC为直角三角形： (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐 标：若不存在，请说明理由。 【典例2】(2022云南红河二模)如图，已知二次函数'=+r+3的图象与轴交于点4L,0)、 B-3,0),与'轴的正半轴交于点C。 DOA末 (1)求a与b的值： (2)点D是线段OB上一动点，过点D作'轴的平行线，与BC交于点E,与抛物线交于点F,连接CF, 探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由. 9/40 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ◆巩固训练◆ 【训练01】(2023山东东营·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线x=1, 且与轴交于A,B两点，与'轴交于点C0,-3),OB=0C (1)求抛物线的解析式： (2)设点P在抛物线上，且在直线BC的下方，求P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标： 6连抛物线上是香存在点”，使 △BCQ 是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点”的坐 标；若不存在，请说明理由. 【训练02】(2025陕西榆林三模)如图，抛物线y=r+r+c交x轴于4-2,0,8(5,0两点，交》 轴于点C,连接BC,AC. (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P,使△BCP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐 标；若不存在，请说明理由， 【训练3】(2025宁夏石嘴山-模拟预测)如图，抛物线”=r+r+C与x轴交于A,B两点，与y轴 交于点C,c0,-3且o1=0c 10/40