专题08 几何最值问题6大题型（培优题型专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题08 几何最值问题 内●容●导●航 第一部分 题型解读 微观解剖，精细教学 技巧提炼 例题剖析 巩固训练 题型01 将军饮马 题型02 胡不归 题型03 阿氏圆 题型04 隐圆 题型05 垂线段最短 题型06 费马点 第二部分 题型强化训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 将军饮马 技巧提炼 方法总结 方法总结： 1. 模型识别：动点在定直线上运动，求两定点到动点距离之和（PA＋PB）的最小值。 2. 核心原理：两点之间线段最短。 解题步骤： 1. 找定点A、B和动点P所在直线l 2. 作定点A关于直线l的对称点A' 3. 连接A'B交直线l于点P，该点即为所求 4. 线段A'B的长度即为PA＋PB的最小值 变式模型： 1. 两动一定：角内定点，角两边动点（二次对称） 2. 两定两动：角内两定点，角两边动点（分别对称） 3. 将军遛马：含定长线段（平移＋对称） 4. 将军过桥：平行线间定长线段（平移转化） 5. 差的最大值：求|PA－PB|最大值（延长线或对称） 易错辨析 1. 对称点找错：必须确保对称轴是动点所在的直线，而非其他直线。 2. 忽略特殊情况：当定点连线与动点所在直线垂直时，最值点位置需特别注意。 3. 模型选择错误：准确识别题目属于哪种模型变式，如两动点问题误用单动点方法。 4. 忽略定长线段：将军遛马问题中容易忽略定长的条件。 例题剖析 【典例01】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例02】（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________． 巩固训练 【训练01】（2026·安徽池州·一模）如图，在中，，点是上一定点，点从点出发，沿边运动到点．连接，，设点运动的路程为，．其中关于的函数图象如图所示，则图中函数图象最低点的纵坐标的值为（   ）． A． B． C． D． 【训练02】（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【训练03】（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 题型02 胡不归 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：动点P在直线l上运动，求PA＋k·PB（0＜k＜1）的最小值。 2. 核心原理：构造特殊角转化线段，将k·PB转化为一条实际线段。 3. 解题步骤： (1) 过点B作射线，使射线与直线l的夹角为α，满足sinα＝k (2) 过点A作该射线的垂线，垂足为C，交直线l于点P（最优动点） (3) 线段AC的长度即为PA＋k·PB的最小值 4. 关键技巧：当k＞1时，先提取系数k，转化为形式，使系数小于1 易错辨析 1. 记错角的构造：需使sinα＝k，而非cosα或tanα，避免转化错误。 2. 找错垂线对象：垂线需过定点A（非动点P），指向构造的射线。 3. 忽略k的范围：中考中k多为、等，对应30°、60°特殊角，需熟记特殊角三角函数值 例题剖析 【典例01】（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 巩固训练 【训练01】（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【训练02】（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．    (1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少? 【训练03】（2023·广西柳州·二模）已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 题型03 阿氏圆 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：动点P在圆O上运动，求k·PA＋PB（k≠1）的最小值。 2. 核心原理：构造相似三角形，将k·PA转化为一条无系数的线段。 3. 解题步骤： (1) 确定圆心O、半径r、定点A、B和系数k (2) 连接圆心O与带系数的定点（如B） (3) 根据k值在OA上取点C，使（内构型）或向外延长取点（外构型） (4) 证明△OPC∽△OAP，得PC＝k·PA (5) 原式转化为PC＋PB，最小值即为BC长度 4. 内外构型区分： (1) 内构型：定点均在圆外，k＜1时向内取点构造相似 (2) 外构型：至少一个定点在圆内，k＞1时向外取点构造相似 易错辨析 1. 错把普通圆当阿氏圆：只有动点到两定点距离成固定比例的圆才是阿氏圆。 2. 系数k大于1直接算：k＞1时，一定要先提取系数，把k变成小于1，再构造相似。 3. 相似三角形找错定点：必须连接圆心和动点、带系数的定点，相似比例对应错误会导致全错。 4. 内外构型混淆：圆内定点用外构，圆外定点用内构，位置判断错误会导致构造方向错误 例题剖析 【典例01】（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【典例02】（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 巩固训练 【训练01】（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【训练02】（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【训练03】（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 题型04 隐圆 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：满足以下任意条件，动点轨迹为圆： (1) 定点定长（圆的定义） (2) 定边对直角（轨迹为圆，定边为直径） (3) 定边对定角（轨迹为圆，定边为弦） 2. 核心原理：圆上点到定点距离最值原理。 3. 解题步骤： (1) 识别动点轨迹为圆的特征条件 (2) 确定轨迹圆的圆心和半径 (3) 转化为点到圆的距离问题 (4) 最大值＝点到圆心距离＋半径，最小值＝点到圆心距离-半径 4. 常见场景：直角所对弦为直径、等弦对等角、四点共圆等。 易错辨析 1. 轨迹判断错误：未能准确识别定边对定角、定点定长等隐圆条件。 2. 圆心定位错误：直角三角形的外心为斜边中点，定弦定角的圆心在弦的垂直平分线上。 3. 最值计算错误：混淆最大值和最小值公式，或忘记加减半径。 例题剖析 【典例01】（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________． 巩固训练 【训练01】（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【训练02】（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【训练03】（2025·北京·三模）在中，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求的值； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 题型05 垂线段最短 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：求点到直线距离、三角形高的最值、三角形面积最值等。 2. 核心原理：直线外一点到直线，垂线段最短。 3. 解题步骤： (1) 找定点，过定点作关于直线的垂线 (2) 垂线交直线于一点 (3) 垂线段长即为最小值 4. 面积最值应用：当三角形底边固定时，面积最大等价于高最大，即顶点到对边所在直线的垂线段最长。 易错辨析 1. 垂足位置错误：垂足必须在直线（或线段）上，而非延长线上。 2. 忽略动点范围：动点可能有运动范围限制，最值点可能不在可行域内。 3. 与将军饮马混淆：垂线段最短是单线段最值，将军饮马是双线段和的最值。 例题剖析 【典例01】（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点在直线上运动，将点绕原点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，点是所在直线上的动点，连接、，若的最小值是10，则的面积是___________． 巩固训练 【训练01】（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【训练02】（2026·青海西宁·一模）如图，已知中，，，点P是上一个动点，从A点出发，沿着运动，的最小值是__________． 【训练03】（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______． 题型06 费马点 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：在三角形内求一点P，使PA＋PB＋PC最小。 2. 核心原理：旋转60°化折为直，四点共线时取最小值。 3. 解题步骤： (1) 将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE位置 (2) 易证△APQ是等边三角形，PA＝PQ (3) PA＋PB＋PC＝PQ＋PB＋QE (4) 当B、P、Q、E四点共线时取得最小值，最小值即为BE长度 4. 费马点性质：在三角形三个内角都小于120°时，费马点是与三角形三个顶点连线两两夹角为120°的点 易错辨析 1. 旋转方向错误：必须按正确方向旋转60°，否则无法构造等边三角形。 2. 共线条件忽略：最小值仅在四点共线时取得，需严格证明共线性。 3. 角度限制忽视：三角形内角必须都小于120°，否则费马点在最大角的顶点处。 例题剖析 【典例01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【典例02】（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 巩固训练 【训练01】（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 【训练02】（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 【训练03】（2025·山东烟台·二模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 题●型●强●化●训●练 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 2．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在 中， ， 在 的中点处， 是直线上的一动点，线段绕着点逆时针旋转 ，得到线段 ，连接．有以下结论：①线段 的最小值是；②线段 的最小值是；③面积的最小值是；④线段 的最小值是．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 二、填空题 5．（2025·河南周口·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为______，的长的最小值为______． 6．（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为___________，的长的最小值为___________． 7．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______． 8．（2025·河南濮阳·一模）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是___ 三、解答题 9．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，是等边三角形，边长为，点分别是边上的点（均不与三角形顶点重合），且，连接，试探究的最小值． 【问题解决】经讨论，小组同学想利用构造平行四边形的方式解决问题：如图，过点作且，连接，通过平行四边形的性质可推出，故将问题转化为探究的最小值，只要得出的度数不变，即可确定点在射线上运动，进而求出的最小值．下面是部分证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 证明过程缺失 ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（填写依据：_______） ∴的最小值为________． 请补全缺失的证明过程； 【结论应用】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______； 【拓展提升】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______．    10．（2025·广东揭阳·一模）综合应用 【问题感知】 （1）如图①，在等边中，，点、分别在边、上，若是中点，则线段长度的最小值为________． 【问题呈现】 若图①中“是中点”改为“”，再求线段长度的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，若把等边中“是中点”改为“”，如何求线段的最小值． 解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．则为________度，线段长度的最小值为________． 【应用迁移】 （3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，．若点在上，点在上，．求钢丝绳的最小值． 11．（2025·吉林长春·三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何最值问题 内●容●导●航 第一部分 题型解读 微观解剖，精细教学 技巧提炼 例题剖析 巩固训练 题型01 将军饮马 题型02 胡不归 题型03 阿氏圆 题型04 隐圆 题型05 垂线段最短 题型06 费马点 第二部分 题型强化训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 将军饮马 技巧提炼 方法总结 方法总结： 1. 模型识别：动点在定直线上运动，求两定点到动点距离之和（PA＋PB）的最小值。 2. 核心原理：两点之间线段最短。 解题步骤： 1. 找定点A、B和动点P所在直线l 2. 作定点A关于直线l的对称点A' 3. 连接A'B交直线l于点P，该点即为所求 4. 线段A'B的长度即为PA＋PB的最小值 变式模型： 1. 两动一定：角内定点，角两边动点（二次对称） 2. 两定两动：角内两定点，角两边动点（分别对称） 3. 将军遛马：含定长线段（平移＋对称） 4. 将军过桥：平行线间定长线段（平移转化） 5. 差的最大值：求|PA－PB|最大值（延长线或对称） 易错辨析 1. 对称点找错：必须确保对称轴是动点所在的直线，而非其他直线。 2. 忽略特殊情况：当定点连线与动点所在直线垂直时，最值点位置需特别注意。 3. 模型选择错误：准确识别题目属于哪种模型变式，如两动点问题误用单动点方法。 4. 忽略定长线段：将军遛马问题中容易忽略定长的条件。 例题剖析 【典例01】（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 【典例02】（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 巩固训练 【训练01】（2026·安徽池州·一模）如图，在中，，点是上一定点，点从点出发，沿边运动到点．连接，，设点运动的路程为，．其中关于的函数图象如图所示，则图中函数图象最低点的纵坐标的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图2的函数图像可求、、、，作，，连接，交于点，，可由求，根据勾股定理求出，即可判断点与点重合，从而可求． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∵中，， ∴． ∵当，即点运动到点，， ∴． 如图，作，，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时最小． ∵， ∴， ∴． ∴点与点重合， ∴． 【训练02】（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 【训练03】（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)米 【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定即可求解； （2）将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，由翻折的性质可得，，，，，推出，则有，再利用两点之间线段最短的性质即可求出周长的最小值； （3）过点作且，连接、、，作于点，交于点，利用勾股定理求出米，根据正方形的判定证出四边形是正方形，得到，，，由且米，得到四边形是平行四边形，，通过证明四边形是矩形，得到米，，，进而推出是等腰直角三角形，米，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：4． （2）解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，如图： 由翻折的性质可得，，，，，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 周长的最小值为． （3）解：过点作且，连接、、，作于点，交于点，如图： ，米，， 四边形是矩形， ， 米， ， 矩形是正方形， ，，， 且米， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 米，，， ， 是等腰直角三角形，米， 米，米， 米， 米， ， 米， 米， 米， 的最小值米． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、翻折的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理与最短路径问题、正方形的性质与判定、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理求出最短路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 题型02 胡不归 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：动点P在直线l上运动，求PA＋k·PB（0＜k＜1）的最小值。 2. 核心原理：构造特殊角转化线段，将k·PB转化为一条实际线段。 3. 解题步骤： (1) 过点B作射线，使射线与直线l的夹角为α，满足sinα＝k (2) 过点A作该射线的垂线，垂足为C，交直线l于点P（最优动点） (3) 线段AC的长度即为PA＋k·PB的最小值 4. 关键技巧：当k＞1时，先提取系数k，转化为形式，使系数小于1 易错辨析 1. 记错角的构造：需使sinα＝k，而非cosα或tanα，避免转化错误。 2. 找错垂线对象：垂线需过定点A（非动点P），指向构造的射线。 3. 忽略k的范围：中考中k多为、等，对应30°、60°特殊角，需熟记特殊角三角函数值 例题剖析 【典例01】（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 【典例02】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． （3）解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 巩固训练 【训练01】（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 【训练02】（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．    (1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式； （2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，或， ∴，， 将点代入，得： ∴， 则直线的解析式为：， 当时，， ∴， 将点代入，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）由题意得：点的运动时间为， 过点作轴于点，    ∵，， ∴，，， ∴， 过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，此时， ∴与直线的交点即为所求点， ∵， ∴当时，， ∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“角所对的直角边是斜边的一半”将进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点坐标． 【训练03】（2023·广西柳州·二模）已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解析式为，顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在，最小值为 【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点的坐标，求解即可； （2）作轴，交于点，通过设和的坐标，利用“割补法”表示出，从而利用二次函数的性质求解最值即可； （3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，构造出含角的直角三角形，然后转换为求得最小值，继而确定当、、三点共线时，满足取得最小值，此时利用含角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中， ∵， ∴点的坐标为， 将代入，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线， ∴将代入，得：， ∴顶点的坐标为； （2）解：∵，， ∴直线的解析式为：， ∵点在抛物线上，且位于直线下方， ∴设，其中，， 如图所示，作轴，交于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 整理可得：，其中， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入，得：， ∴此时点的坐标为；    （3）解：存在最小值，理由如下： 如下图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为， 分别连接，，，则，，    ∴在中，， ∴随着点的运动，总有， ∴， 要使得取得最小值，即要使得取得最小值， 如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，    此时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴存在最小值，最小值为． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键． 题型03 阿氏圆 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：动点P在圆O上运动，求k·PA＋PB（k≠1）的最小值。 2. 核心原理：构造相似三角形，将k·PA转化为一条无系数的线段。 3. 解题步骤： (1) 确定圆心O、半径r、定点A、B和系数k (2) 连接圆心O与带系数的定点（如B） (3) 根据k值在OA上取点C，使（内构型）或向外延长取点（外构型） (4) 证明△OPC∽△OAP，得PC＝k·PA (5) 原式转化为PC＋PB，最小值即为BC长度 4. 内外构型区分： (1) 内构型：定点均在圆外，k＜1时向内取点构造相似 (2) 外构型：至少一个定点在圆内，k＞1时向外取点构造相似 易错辨析 1. 错把普通圆当阿氏圆：只有动点到两定点距离成固定比例的圆才是阿氏圆。 2. 系数k大于1直接算：k＞1时，一定要先提取系数，把k变成小于1，再构造相似。 3. 相似三角形找错定点：必须连接圆心和动点、带系数的定点，相似比例对应错误会导致全错。 4. 内外构型混淆：圆内定点用外构，圆外定点用内构，位置判断错误会导致构造方向错误 例题剖析 【典例01】（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 【典例02】（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 巩固训练 【训练01】（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 【训练02】（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）①根据已知条件得到，推出，根据相似三角形的性质得到；②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论； （2）作直径，连接、．则，推出，得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据两点之间线段最短，即可得到结论． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ； ②作直径，连接，    则， ， ，， ， 经过直径的一端点， 直线是的切线； （2）解：作直径，连接、．    则， ， ， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ； （3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点， 连接、，   ， ， 的半径， ， ， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短， 此时最小， 最小值为． ∴存在，最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，线段最短，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【训练03】（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 【答案】[问题探究] 见解析；[问题应用] ，尺规作图见解析；[问题迁移] 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形，勾股定理，掌握用转化的思想思考问题是关键． [问题探究]按照题中思路将过程补充完整即可解答； [问题应用] 过点作，交的延长线于点，有锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为; [问题迁移]根据题意画出图形求解即可， 【详解】[问题探究]解：过点作射线使，作于 在中， ， ， ， 当点A、P、H在一条直线上时，有最小值， 此时； [问题应用] 解：如图，过点作，交 的延长线于点， ，， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 故答案为：； 尺规作图如下： 以点为顶点作，则，与的交点即为点， ； [问题迁移]解：如图，，， ， 令， 根据勾股定理可得， ，， ， 求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小，为的长度， 连接， , ， ， 根据勾股定理可得， ， 即的最小值为， 故答案为：． 题型04 隐圆 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：满足以下任意条件，动点轨迹为圆： (1) 定点定长（圆的定义） (2) 定边对直角（轨迹为圆，定边为直径） (3) 定边对定角（轨迹为圆，定边为弦） 2. 核心原理：圆上点到定点距离最值原理。 3. 解题步骤： (1) 识别动点轨迹为圆的特征条件 (2) 确定轨迹圆的圆心和半径 (3) 转化为点到圆的距离问题 (4) 最大值＝点到圆心距离＋半径，最小值＝点到圆心距离-半径 4. 常见场景：直角所对弦为直径、等弦对等角、四点共圆等。 易错辨析 1. 轨迹判断错误：未能准确识别定边对定角、定点定长等隐圆条件。 2. 圆心定位错误：直角三角形的外心为斜边中点，定弦定角的圆心在弦的垂直平分线上。 3. 最值计算错误：混淆最大值和最小值公式，或忘记加减半径。 例题剖析 【典例01】（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【典例02】（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∴点为为的中点， 在中，， ， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ，即， ， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴线段的最大值是， 故答案为：． 巩固训练 【训练01】（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【答案】(1)①；②的长为； (2)． 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； ②连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可； （2）由（定值），将的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点在一条直线上时，最小求解，根据当点与点重合时，最大求解． 【详解】（1）①如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ②如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． （2）当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上． 如图，当点在一条直线上时，最小． ∴． 如图，当点与点重合时，最大． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴的长度范围是． 【训练02】（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)存在最小值，为 【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得，，从而可得，进而可求，计算即可求出； （2）根据，，易得，则可得动点的运动轨迹是圆弧，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，再根据勾股定理，计算即可求解； （3）延长、相交于点，连接，点是的中点，作，以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于点，此时的值最小，利用相似三角形的判定和性质，易求，再根据勾股定理，得，则，利用垂径定理，得，最后根据勾股定理，求得，，计算即可． 【详解】（1）解：是的中位线，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ， ， ， 则动点是在以的中点为圆心，的长为直径的圆上，且在内部的圆弧上， 如图②，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，    ， ， 在，，， ， 则线段的最小值为； （3）存在最小值， 如图③，延长、相交于点，连接，点是的中点，作， 矩形， ，， ， ， ， ，即， ，即， 动点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧上， 以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于一点，即为点，此时的值最小， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 则存在最小值，最小值为． 【点睛】审清题意，本题的难点是动点的运动轨迹． 【训练03】（2025·北京·三模）在中，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求的值； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点K，根据角平分线的性质可得，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，再证得是等腰直角三角形，可得，，再证明，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证明，可得，即可解答； （3）以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，再证得点D在圆O上，可得当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点K， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴点D在圆O上， ∴当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键． 题型05 垂线段最短 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：求点到直线距离、三角形高的最值、三角形面积最值等。 2. 核心原理：直线外一点到直线，垂线段最短。 3. 解题步骤： (1) 找定点，过定点作关于直线的垂线 (2) 垂线交直线于一点 (3) 垂线段长即为最小值 4. 面积最值应用：当三角形底边固定时，面积最大等价于高最大，即顶点到对边所在直线的垂线段最长。 易错辨析 1. 垂足位置错误：垂足必须在直线（或线段）上，而非延长线上。 2. 忽略动点范围：动点可能有运动范围限制，最值点可能不在可行域内。 3. 与将军饮马混淆：垂线段最短是单线段最值，将军饮马是双线段和的最值。 例题剖析 【典例01】（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点在直线上运动，将点绕原点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质和勾股定理可得，即知要求的最小值，即求的最小值，又由垂线段最短可知的最小值是原点到该直线的垂线段长度，最后利用三角形的面积解答即可求解． 【详解】解：如图， ∵点绕原点顺时针旋转得到点， ∴，， ∴， 要求的最小值，即求的最小值， ∵点在直线上，的最小值是原点到该直线的垂线段长度， ∵时，时， ∴直线与轴交于，与轴交于， ∴直线与坐标轴围成的直角三角形斜边长为， 设斜边上的高（即垂线段长度）为，由三角形面积公式得， 解得， 即的最小值为， ∴的最小值为． 【典例02】（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，，点是的中点，点是边上的动点，点是所在直线上的动点，连接、，若的最小值是10，则的面积是___________． 【答案】60 【分析】作点E关于的对称点F，连接，过点F作于点P，交于点M，连接，过点C作于点G，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出此时最小，即最小，从而求出，证明四边形为平行四边形，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：作点E关于的对称点F，连接，过点F作于点P，交于点M，连接，过点C作于点G，如图所示： 根据轴对称可得：，， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵的最小值是10， ∴此时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 巩固训练 【训练01】（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【训练02】（2026·青海西宁·一模）如图，已知中，，，点P是上一个动点，从A点出发，沿着运动，的最小值是__________． 【答案】 【分析】在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再结合题意及三角形三边关系确定，则当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在的下方作射线，使得，过点P作于点H，过点B作于点T，交于点K．连接， ∵，， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线，且时，有最小值，为的长， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【训练03】（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点，利用全等三角形得出，得到当点共线时，的值最小，即为线段的长度，然后解直角三角形即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴ 根据翻折的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，的值最小，即为线段的长度， ∵， 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴， 即的最小值为． 题型06 费马点 技巧提炼 方法总结 1. 模型识别：在三角形内求一点P，使PA＋PB＋PC最小。 2. 核心原理：旋转60°化折为直，四点共线时取最小值。 3. 解题步骤： (1) 将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AQE位置 (2) 易证△APQ是等边三角形，PA＝PQ (3) PA＋PB＋PC＝PQ＋PB＋QE (4) 当B、P、Q、E四点共线时取得最小值，最小值即为BE长度 4. 费马点性质：在三角形三个内角都小于120°时，费马点是与三角形三个顶点连线两两夹角为120°的点 易错辨析 1. 旋转方向错误：必须按正确方向旋转60°，否则无法构造等边三角形。 2. 共线条件忽略：最小值仅在四点共线时取得，需严格证明共线性。 3. 角度限制忽视：三角形内角必须都小于120°，否则费马点在最大角的顶点处。 例题剖析 【典例01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 【典例02】（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短 （2）5 （3） 【分析】（1）根据推论过程填写根据即可；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可． 【详解】（1），， 为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值． 故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中， ， ， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 巩固训练 【训练01】（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 【答案】 【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ=QN， ∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时，如图2，连接MC ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM， ∵BM=CM，AB=AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD=60°， ∴BD=QD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=， ∴x=3+， ∴PD=3+． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题． 【训练02】（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；150；（2），理由见解析过程；（3） 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 【训练03】（2025·山东烟台·二模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；；（2），证明见解析（3） 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 题●型●强●化●训●练 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 【答案】C 【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，根据垂线段最短得到当时，最短，进而求出的最小值，根据F为中点，得到，进而求出的最小值，取的中点，的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，进而得到三点共线，即点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，进而得到当点在上时， 的值最小为的长，进而求出的最小值，利用的最小值加上的长即为周长的最小值，进行判断即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴当时，的值最小， 在中，， ∴， 故的最小值为；故A选项错误； ∵为的中点， ∴， ∴的最小值为；故B选项错误； 取的中点，的中点，连接， 则：， ∴三点共线， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则：，垂直平分， ∴当点在上时， 的值最小为的长， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为；故C选项正确； ∵的周长， ∴的周长最小值为；故D选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，利用轴对称解决线段和，周长最小问题，熟练掌握相关知识点，确定点的轨迹，是解题的关键． 2．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，进而根据得，即可判断；由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可判断；由得，，，四点共圆，即得，得到，即得到，得，即可判断；证明四边形为矩形，可得，即得是等腰直角三角形，设，则，得，即可判断，综上即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 如图，连接、， ，点为的中点， ， ， ，故选项错误； 如图，∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为，故选项正确； 如图，， ，，，四点共圆， ∵，，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∴， ，故选项错误； ∵， ， ∵，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ， ∴四边形为矩形， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为，故选项错误． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在 中， ， 在 的中点处， 是直线上的一动点，线段绕着点逆时针旋转 ，得到线段 ，连接．有以下结论：①线段 的最小值是；②线段 的最小值是；③面积的最小值是；④线段 的最小值是．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如图，过点 作 于点，可得，，当 ，即 与 重合时，根据垂线段最短可知， 取最小值，此时 取最小值，同时也取最小值，的最小值为， 的最小值为，的最小值为，由此可判定①②③；过点 作，且使 ，过点 作于点，连接 ，，三点共线，点在直线 上运动，过点 作 于点，延长 交于点 ，当与 重合时，取最小值，线段 的最小值为 ，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 于点， 根据旋转的性质可知，，则， ∴，为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∵ 是直线上的一动点， ∴当 ，即 与 重合时，根据垂线段最短可知， 取最小值，此时 取最小值，同时也取最小值，的最小值为， 的最小值为，的最小值为， 又∵ ，当的最小值为时，的最小值为 ，故①③正确，②错误， 过点 作，且使 ，过点 作于点，连接 ，， ∴四边形 是矩形， 又 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，点在直线 上运动，过点 作 于点，延长 交于点 ， ∵， ∴四边形 是矩形，， ∴当与 重合时，取最小值， ∵， ∴， ∴， 线段 的最小值为 ，故④正确． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，解直角三角形的计算，矩形的判定和性质，动点运线段最小值的计算，勾股定理，垂线段最短等知识的综合，掌握旋转的性质，数形结合分析，解直角三角形的计算方法是关键． 4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 【答案】C 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值， 此时， ，解得， 的最小值为， 的最小值为，故A结论正确，不符合题意； 当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值． 如图，作于， ， ，解得， ， ， 在中，， 的最大值为， 的最大值为，故B结论正确，不符合题意； 如图，以为一边作，过作交于， ，， ， 当，，三点共线，且时，取最小值， ， ， ， 的最小值为，故C结论错误，符合题意； 如图，过作，过作，与相交于， 作关于的对称点，分别连接，，，与交于， 则，，，四边形是平行四边形， ，， ， ， 当，，三点共线时，最小值，最小值为， 的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意． 二、填空题 5．（2025·河南周口·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为______，的长的最小值为______． 【答案】 / 2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由旋转的性质可得，，则，要使的值最小，即要使的值最小，故当，，三点共线时，的值最小；连接，可证明，得到，则线段的长的最小值即为线段的长的最小值，故当，，三点共线时，最短，即此时最短，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∴要使的值最小，即要使的值最小， ∵， 如图1，当，，三点共线时，的值最小． ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴的长的最小值为， ∴的长的最小值为． 如图2，连接， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长的最小值即为线段的长的最小值． ∴当，，三点共线时，最短，即此时最短， 在中，， ∴的长的最小值为． 故答案为：；2． 6．（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为___________，的长的最小值为___________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，连接并延长，交的延长线于点，证明，得，当点在边上运动时，点随之在边上运动．当时，的值最小．在中，运用角所对的直角边等于斜边一半可得．当时，的值最小．证明，根据相似三角形的判定与性质可得． 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于点． 在中，， ． ， ，即． ， ， ， 当点在边上运动时，点随之在边上运动． 当时，的值最小． 在中，， ． 当时，的值最小． 在中，， ． ， ， ， ，即， 解得． 故答案为：，3． 7．（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______． 【答案】 【分析】①由等腰直角三角形和勾股定理分析出，即当时，最小，延长，交于点，证出，再利用勾股定理解答即可； ②分析出点的位置，在结合勾股定理解答即可． 【详解】解：①由题意可得：为等腰直角三角形，则，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，延长，交于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴当，，三点共线时，，此时最小，过作于点，延长，交于点，如图所示： 由①同理可得：，， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 8．（2025·河南濮阳·一模）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是___ 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠的性质得到，可判断结论①正确；连接，得到，由可判断③；当达到最小值时，点在线段上，证明，得到，求出，可判断④；在中， 随着的增大而增大，当最大时，有最大值，有最大值，此时点与点重合，作于点，于点，得到，当取得最大值时，有最小值，可判断②． 【详解】解：正方形纸片的边长为，， ， 根据折叠的性质可知， 当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动， 故结论①正确； 如图，连接， ， ， ， ， 的最小值为， 故结论③正确； 当达到最小值时，点在线段上， 由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④错误； 在中，， 随着的增大而增大， ， 当最大时，有最大值，有最大值，此时点与点重合， 如图，作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， 当取得最大值时，也是最大值， ， 有最小值， 在中，有最大值， 即有最大值， 此时点到的距离最大， 故结论②正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选∶C． 三、解答题 9．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，是等边三角形，边长为，点分别是边上的点（均不与三角形顶点重合），且，连接，试探究的最小值． 【问题解决】经讨论，小组同学想利用构造平行四边形的方式解决问题：如图，过点作且，连接，通过平行四边形的性质可推出，故将问题转化为探究的最小值，只要得出的度数不变，即可确定点在射线上运动，进而求出的最小值．下面是部分证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 证明过程缺失 ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（填写依据：_______） ∴的最小值为________． 请补全缺失的证明过程； 【结论应用】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______； 【拓展提升】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______．    【答案】[问题解决]依据：垂线段最短；，[结论应用]，[拓展提升]． 【分析】[问题解决]由是等边三角形，则，证明四边形是平行四边形，则有，又，，则有，，可得，故有点在射线上运动，当时，取最小值，然后代入即可求解； [结论应用]如图，过点作使，连接，作射线，证明四边形是平行四边形，则有，可证明，则点在射线上运动，故当时，取最小值，此时是等腰直角三角形，然后通过勾股定理即可求解； [拓展提升]如图，过点作使，连接，作射线，则，证明四边形是平行四边形，则有，又，，所以，设，则，则，所以，得点在射线上运动，当时，取最小值，然后由即可求解． 【详解】[问题解决]证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（垂线段最短）， ∴的最小值为， 故答案为：垂线段最短，； [结论应用]解：如图，过点作使，连接，作射线，    ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值， 此时是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； [拓展提升]解：如图，过点作使，连接，作射线，如图所示：   ，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值， ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题的关键． 10．（2025·广东揭阳·一模）综合应用 【问题感知】 （1）如图①，在等边中，，点、分别在边、上，若是中点，则线段长度的最小值为________． 【问题呈现】 若图①中“是中点”改为“”，再求线段长度的最小值． 【问题解决】 （2）如图②，若把等边中“是中点”改为“”，如何求线段的最小值． 解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．则为________度，线段长度的最小值为________． 【应用迁移】 （3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，．若点在上，点在上，．求钢丝绳的最小值． 【答案】（1）；（2）30，2；（3）钢丝绳长度的最小值为米． 【分析】（1）当时，线段的值最小，线段的最小值； （2）先证四边形是平行四边形，推出，得出，再根据可得；当最小时，取最小值，也有最小值，此时； （3）过M、D作的平行线，构造平行四边形，当时，最小，最小． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵N是中点， ∴， 当时，线段的值最小， ∴线段的最小值； 故答案为：； （2）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 当最小时，取最小值，也有最小值，此时， ∴最小值是2． 故答案为：30，2； （3）如图，过M、D作的平行线， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，最小，最小， ∵，， ∴， ∴， 在中，（米）， ∴（米）， 故钢丝绳长度的最小值为米． 【点睛】本题考查垂线段最短，三角函数解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等，通过添加辅助线构造平行四边形是解题的关键． 11．（2025·吉林长春·三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；[方法运用] ；[拓展迁移] 【分析】（1）由已知条件得，即可得． （2）连接，过点F作，交延长线于点G，求出，，,得，由，可得 ，故的最小值即为． [方法运用] 连接，设交于点O，证明，可得，可得，得，得，即得的最小值是． [拓展迁移]过点A作，使，连接，证明，可得，证明，，得，得的最小值是． 【详解】（1）证明：∵过点作，使，连接． ∴． ∵， ∴． （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G． 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴与都是等边三角形． ∴．， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是的长． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． [拓展迁移] 过点A作，使，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是线段的长． ∵， ∴． ∴． ∵等边中，， ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，等边三角形性质，勾股定理，全等三角形的判断和性质，菱形性质，是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $