精品解析：广西壮族自治区桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试数学试卷

桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试 数学 2026.4 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 说明： 1.答题前，考生务必将答题卷密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题. 2.直接在答题卷上答题（不在本试卷上答题）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若,方向相反，则（ ） A. B. 2 C. D. 2或 4. 等比数列的前项和为，且，，则此数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 1或 5. 已知命题；命题成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，，，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1013 D. 8. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，为的公差，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 草莓是深受广大消费者喜爱的水果之一.一家水果店的老板为了了解本店草莓的日销售情况，记录了过去一周（7天）的日销售量，结果如下（单位：kg）：43，52，46，55，45，53，49，则下列说法正确的有（ ） A. 该水果店过去7天草莓的平均日销售量为 B. 这组数据的上四分位数（即75%分位数）是52 C. 从这7天中任选两天，则这两天的草莓日销售量均大于平均日销售量的概率为 D. 已知第8天的日销售量为，若将49加入这组数据，则这组数据的方差会变小 11. 已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（ ） A. 的离心率为 B. 若，则的面积为1 C. 若，则的取值范围是 D. 过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 轴被圆截得的弦长为_____. 13. 若，且，则_____. 14. 一个正四棱台形状的石墩，其上、下底面边长分别为2和8，高为，现将其打磨成一个球体，则所得球体的表面积最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别是函数图象上相邻的两个最高点和最低点. （1）求的解析式： （2）若的图象的对称中心只有一个落在区间上，求的取值范围. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形. （1）求的方程； （2）直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值. 17. 已知直三棱柱中，平面平面，点为线段上靠近点的三等分点，点为直线上的动点，且，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值： （3）求周长的最小值. 18. 跳棋，是一项老少皆宜、流传广泛的益智型棋类游戏.有一种跳棋棋盘可简化为菱形网格（如图），棋子的“跳跃”遵循如下规则： 在同一直线上，若玩家棋子与另一棋子相邻，且相邻棋子的另一侧为空位，则玩家棋子可以直接跳到该空位上（如①），被跳过的棋子称为“桥”：若玩家棋子的相邻位置没有棋子（如⑨），或相邻位置有连续两枚棋子（如④），则不可跳跃（图③④用“×”表示）. 若跳跃后的位置满足上述跳跃的条件，则可以沿任意方向（不限原方向，但不能跳出边界）继续跳跃（如图②）. 玩家从起跳到由于不可跳跃或主动停下而停止跳跃，算作“一步棋” 为了方便，我们用表示每个格点的位置：棋盘最左端为起点，表示为，从出发，朝右下方移动一格，增加1，朝右上方移动一格，增加1，如，，，终点为（为奇数）. （1）当，且限定玩家只能向右上或右下两个方向跳跃时： （i）若棋盘上可根据需要摆放“桥”，则玩家从起点到点共有多少条路径? （ii）若棋盘上每个位置有棋子的概率为，且每个位置是否摆放棋子互不影响，现玩家从点出发，能一步到达终点的概率是多少? （2）小明在棋盘上摆放了颗棋子，然后他惊讶地发现：若棋子可沿任意直线方向跳跃（但不能跳出边界），则此时，棋盘上任意一个空位都可从起点一步到达，且这颗棋子都能作为“桥”，试写出与的关系式. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在上的单调性； （2）若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试 数学 2026.4 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 说明： 1.答题前，考生务必将答题卷密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题. 2.直接在答题卷上答题（不在本试卷上答题）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知集合，，则. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】因为，所以. 3. 已知平面向量，，若,方向相反，则（ ） A. B. 2 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【详解】若,方向相反,那么,则，解得或. 当时，,，两向量相等，方向相同，舍去， 故. 4. 等比数列的前项和为，且，，则此数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前3项和的组成，结合已知首项与​的值列出关于公比的一元二次方程，求解得到所有可能的公比. 【详解】设等比数列的公比为，则. 代入已知条件​，，得， 整理得，即，解得或， 此数列的公比为或. 【点睛】本题考查等比数列的前项和公式，解题需注意公比的特殊情况，避免漏解. 5. 已知命题；命题成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据集合的包含关系判断求解. 【详解】因为等价于， 则或，解得或， 因为集合是集合或的真子集， 所以是的充分不必要条件. 6. 在中，，，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形面积公式及余弦定理，利用三角形面积求出，再利用余弦定理计算出的长. 【详解】在中，， 又已知，，， 所以，化简可得， 因为，所以， 解得，又因为，所以. 由余弦定理， 代入数值可得，因此. 7. 已知函数，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1013 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 8. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，设，利用导数工具研究函数的单调性和最值再代入区间端点计算，确定值域范围. 【详解】因为随机变量 服从两点分布，所以 ，由题意： ， 所以 ， ， 所以 设 ， 则 ， ， 因为当，，当，， 所以 在 上递增， 上递减， 所以 ，且 ， 显然 ， 又 ， 代入： ，得 ，所以 ， 综上： ，即 . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，为的公差，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用等差数列定义及等差数列求和公式计算判断各个选项即可. 【详解】因为，，则，即，A选项正确； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项正确； 10. 草莓是深受广大消费者喜爱的水果之一.一家水果店的老板为了了解本店草莓的日销售情况，记录了过去一周（7天）的日销售量，结果如下（单位：kg）：43，52，46，55，45，53，49，则下列说法正确的有（ ） A. 该水果店过去7天草莓的平均日销售量为 B. 这组数据的上四分位数（即75%分位数）是52 C. 从这7天中任选两天，则这两天的草莓日销售量均大于平均日销售量的概率为 D. 已知第8天的日销售量为，若将49加入这组数据，则这组数据的方差会变小 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，易知一周平均日销售量为，即A正确； 对于B，这组数据从小到大排列为43，45，46，49，52，53，55， 又，因此这组数据的上四分位数为第6个数，即53，因此B错误； 对于C，七日销售量中大于平均日销售量的天数为3天， 因此从这7天中任选两天共有种组合，所求概率为，即C正确； 对于D，易知这组数据的方差为； 若将49加入这组数据可知其方差为，可得D正确. 11. 已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（ ） A. 的离心率为 B. 若，则的面积为1 C. 若，则的取值范围是 D. 过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的方程可求出，即可求其离心率，判断A；由可得，结合可求出，利用三角形面积公式可求的面积，判断B；利用向量数量积的坐标运算结合解不等式可判断C；根据双曲线的对称性可判断D. 【详解】对于A，双曲线中，， 则，A错误； 对于B，，则， 是双曲线上一点，则， 联立得，解得， 则的面积为，B正确； 对于C，， 故，又，则， 故，即，C正确； 对于D，过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且， 则，根据双曲线的对称性可知关于x轴对称，则的斜率不存在，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 轴被圆截得的弦长为_____. 【答案】 【解析】 【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到轴的距离为，则轴被圆截得的弦长为. 13. 若，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用降幂公式化简原式后，通过分解二倍角余弦、展开两角差正弦提取公因式，结合α的范围得到，平方后整体计算得到. 【详解】因为，所以 原等式即， 整理得：. 又，， 所以，即， 因为，所以，因此得 ​​两边平方得， ​ 整理得：. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，核心用到二倍角公式、两角差正弦公式与同角三角函数平方关系，运用因式分解和整体代换简化运算，避免单独求解和的繁琐计算 14. 一个正四棱台形状的石墩，其上、下底面边长分别为2和8，高为，现将其打磨成一个球体，则所得球体的表面积最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先作正四棱台的截面，利用余弦定理和三角形的面积公式求出垂线段长，并与高的一半比较，垂线段小于高的一半时，则需将轴中点往下底面方向移动，使其到下底面的距离和到侧面的距离相等，即可求出半径. 【详解】过正四棱台上下底面中心及侧面梯形两平行边中点作正四棱台的截面如图， 分别取的中点，连接，取的中点，连接，过作，过作， 由题意可知，，， 则，, ， 则在中利用余弦定理可得，， 则， 因， 则， 在线段上取点，过作，使得，连接， 此时， 因，则，则， 则， 故球的半径最大值为，则球表面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别是函数图象上相邻的两个最高点和最低点. （1）求的解析式： （2）若的图象的对称中心只有一个落在区间上，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用五点作图对应的方法可求得解析式； （2）利用整体代换法可求得的对称中心，结合落在区间内的对称中心个数可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 ，，，； 为相邻的两个最高点和最低点， 的最小正周期，， ，则， ，又，， . 【小问2详解】 令，解得， 的对称中心为， 的对称中心只有一个落在区间上， ，解得， 即的取值范围为. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形. （1）求的方程； （2）直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合椭圆性质列式求得，进而可得和椭圆方程； （2）联立方程，结合韦达定理可得，，根据平行四边形可得，代入椭圆方程即可得解. 【小问1详解】 因为是面积为2的等腰直角三角形， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 联立方程，消去y可得， 则，解得， 设，则，， 可得， 又因为， 若四边形为平行四边形， 则，即， 因为点在椭圆上，则，解得， 所以. 17. 已知直三棱柱中，平面平面，点为线段上靠近点的三等分点，点为直线上的动点，且，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值： （3）求周长的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，证明线面垂直即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而根据面面角的向量方法，求出二面角的余弦值； （3）根据向量共线的坐标表示，求出动点坐标，进而求出三角形三边长度的表达式，根据表达式判断周长最小时的取值情况，进而求出结果. 【小问1详解】 在直三棱柱中面，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以. 【小问2详解】 因为面，所以，因为平面，平面，所以， 如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，且点为线段上靠近点的三等分点， 可得， 可得， 所以， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设面的法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设二面角为， 则. 【小问3详解】 可知，设，， 则，解得，即， 所以， ， 可知当取得最小值时，同时取得最小值， 即， 所以，， 因为，所以周长的最小值为. 18. 跳棋，是一项老少皆宜、流传广泛的益智型棋类游戏.有一种跳棋棋盘可简化为菱形网格（如图），棋子的“跳跃”遵循如下规则： 在同一直线上，若玩家棋子与另一棋子相邻，且相邻棋子的另一侧为空位，则玩家棋子可以直接跳到该空位上（如①），被跳过的棋子称为“桥”：若玩家棋子的相邻位置没有棋子（如⑨），或相邻位置有连续两枚棋子（如④），则不可跳跃（图③④用“×”表示）. 若跳跃后的位置满足上述跳跃的条件，则可以沿任意方向（不限原方向，但不能跳出边界）继续跳跃（如图②）. 玩家从起跳到由于不可跳跃或主动停下而停止跳跃，算作“一步棋” 为了方便，我们用表示每个格点的位置：棋盘最左端为起点，表示为，从出发，朝右下方移动一格，增加1，朝右上方移动一格，增加1，如，，，终点为（为奇数）. （1）当，且限定玩家只能向右上或右下两个方向跳跃时： （i）若棋盘上可根据需要摆放“桥”，则玩家从起点到点共有多少条路径? （ii）若棋盘上每个位置有棋子的概率为，且每个位置是否摆放棋子互不影响，现玩家从点出发，能一步到达终点的概率是多少? （2）小明在棋盘上摆放了颗棋子，然后他惊讶地发现：若棋子可沿任意直线方向跳跃（但不能跳出边界），则此时，棋盘上任意一个空位都可从起点一步到达，且这颗棋子都能作为“桥”，试写出与的关系式. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）本质为无限制路径的组合计数，仅需计算移动顺序的组合数；（ii）需严格枚举所有合法跳跃序列，用独立事件概率乘积公式计算概率； （2） “所有棋子为桥+任意空位可一步到达”，结合等差数列求和计算. 【小问1详解】 （i）根据题设，从 到 的路径数需满足 x增加2， y 增加 4， 则向右下跳1 次，向右上跳2 次，即3次中选1次为右下，选2次为右上，所以路径数为 ； （ii）从 到终点 需右下跳2次，右上跳1次，共3次跳跃．这3次跳跃的路径有 种； ①右下→右下→右上 ，经过格子：，有棋子的格子：，空格子：； ②右上→右下→右下 ，经过格子：，有棋子的格子：，空格子：； ③右下→右上→右下 ，经过格子： ，有棋子的格子：，空格子：； 每条路径要求3个指定格子有棋子，3个指定格子为空， 由题意，每个格子是否有棋相互独立，概率均为， 每条路径可行的概率为，又三条路径对应的棋盘布局互不相容， 从点出发，能一步到达终点的概率为 ； 【小问2详解】 六个方向均可跳时，要使棋盘上任意一个空位都可从起点一步到达，且每颗棋子都能作为"桥"， 可构造如下摆法： 当且仅当 x 与 y 均为奇数时，格点为空，余下所有格点均摆放棋子． 由于奇偶相间，所以空位互不相邻，且空位之间一定有且只有一枚棋子． 所以从起点出发可通过跳跃到达所有空位，并跳过所有棋子（如图）. 棋盘总格数为：. 若在满足 x 为偶数或 y 为偶数的位置均摆放棋子占据， 则空位数为：. 因此棋盘上棋子数 ， 所以 ( n 为奇数） 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在上的单调性； （2）若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调性； （2）（i）将问题转化为与有两个不同交点，利用导数可求得的单调性，进而得到的图象，采用数形结合的方式可求得的范围； （ii）令，，根据的取值范围可得到的范围，采用比值代换的方式，将问题转化为已知函数的值域，求解定义域的问题. 【小问1详解】 当时，，， 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）由题意知：， 存在两个极值点，存在两个变号零点， 令，即，显然不是方程的根， 有两个不等实根， 设，则与有两个不同交点， ，当时，；当时，； 当时，；当从负方向趋近时，； 当从正方向趋近时，；当时，；； 由此可得图象如下图所示， 若与有两个不同交点，则. （ii）由（i）知：，，， 令，，且， 则，， ， 设，则，， ，，， 设，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增， 又，，， ，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（极值点）个数问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $