专题05 数列的拓展提升6大题型（高效培优期中专项训练）高二数学下学期北师大版选择性必修第二册

专题05 数列的拓展提升 考点01 数列的不等式恒成立问题 考点02 数列放缩与求和 考点03 数列的插项求和 考点04 数列的公共项求和 考点05 数列中的情景应用 考点06 数列中的新定义题型 考点01 数列的不等式恒成立问题 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用结合等差数列的定义即可得证； （2）由（1）先求，再由求出即可； （3）将恒成立问题转化为恒成立，设，研究数列的单调性得到其最大值，即可求解. 【详解】（1）在数列中，①， 又因为②，，所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为； （3）由（2）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 2．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 3．（25-26高二下·河南驻马店·月考）设是数列的前n项和，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过作差法得到，再通过配凑即可求证； （2）由（1）确定通项公式，再结合错位相减法和等差数列求和公式即可求解； （3）通过分参得到，构造，通过作差法判断单调性，确定最大值，即可求解. 【详解】（1）已知， 当时，， 两式相减得： ， 整理得： ，， 当时，， ，满足， 又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证； （2）由(1)得， 因此： ， 设前项和为， 则， ， 两式相减得：， 即， 又数列前项和为， 因此； （3）由得：，因此， 化简不等式左边： ，， 因此， 不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 设 则 ， 当，， 即时，； 当时，， 因此的最大值为​，故， 即的取值范围为. 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）在数列中，且． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． (2)记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）. 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理得证并求出通项公式. （2）（ⅰ）由（1）的结论，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式；（ⅱ）利用错位相减法求和即得；（ⅲ）由（ⅱ）求出，再分奇偶，结合恒成立问题求出范围. 【详解】（1）在数列中，且，则，， 所以数列是以1为公差的等差数列，，即. （2）（ⅰ）当时，，即， 当时，由， 得， 两式相减，得，即，而满足上式， 所以的通项公式为. （ⅱ）由（ⅰ）得， 则， 两式相减得， 所以. （ⅲ） ， 当n为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当n为偶数时，由，得，即，而数列递减，则， 所以实数的取值范围为. 5．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）要证明为等差数列，可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数来判断； （2）①先根据(1)求出的通项公式后，进而可得到的通项公式，求出的表达式，然后利用错位相减法求出， ②由恒成立，可将m分离出来，通过求数列的最大值来确定m的取值范围. 【详解】（1）由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2）， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 考点02 数列放缩与求和 6．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知数列满足，（为常数）． (1)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)在（1）的结论下，当为递增数列时，证明：． 【答案】(1)存在，或； (2)证明见解析. 【分析】（1）假设为等比数列，应用等比中项的性质列方程求参数，再验证即可得结论； （2）根据（1）及已知得，应用放缩法及等比数列前n项和公式即可证. 【详解】（1）由已知得前三项分别为，，， 假设为等比数列，则，解得或， 当时，是每一项均为的常数列，也是等比数列； 当时，，则以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知，时为递增数列，显然， 当时，，则， 综上，，得证. 7．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； (3)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)3 (3)证明见详解 【分析】（1）分析可知数列是等差数列，进而可得数列的通项公式，根据前n项和与通项之间的分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题分析求解； （3）分和两种情况，放缩可得，结合裂项相消法分析证明. 【详解】（1）因为函数，则，即， 可知数列是以首项，公差为2的等差数列， 所以； 又因为， 当时，则，解得； 当时，则，两式相减得，即， 可知数列是以首项，公比为2的等比数列， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 因为，则， 若对一切正整数n，恒成立，则， 且，所以m的最小值为3. （3）由（1）可知：，则， 当时，； 当时，则， 可得； 综上所述：. 8．（25-26高二上·山东济南·期末）已知正项数列，满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)设的前项和为，且数列满足：． （i）当时，证明：； （ii）若恒成立，求正整数的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）结合数列的递推公式，利用等比数列的定义证明数列为等比数列. （2）先根据（1）的结论，利用“累加法”求出数列的通项公式. （i）根据数列的前项和与第项的关系列式，再化简整理即可. （ii）利用“累乘法”，结合已得出的结论，可得，再利用“糖水不等式”进行放缩，结合的值，可得的取值范围，进而求正整数的最小值. 【详解】（1）由正项数列可知，各项均不为， 将等式两边同时除以， 得， 则，即，， 又，所以，， 故数列是首项为，公比为等比数列. （2）由（1）可知，是以为首项，以为公比的等比数列， 即， 则，，，， 即， 所以， 又，故，即， （i）由，可得， ②①可知，，， 则，，且， 故，， 所以，. （ii）设 ， 则， 又由（i）可知，时，， 则 ， 又时，，且由②可知，， 故 ， 即 ， 又时，，由糖水不等式可知，， 故 ， 另一方面，当时，， 又恒成立，且，故正整数的最小值为. 9．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 10．（2025·甘肃·模拟预测）已知无穷数列满足：对于 .（为常数）. (1)若，设，求数列的前项和； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，进而，然后利用裂项相消法求出数列的前项和； （2）根据等差数列的定义及通项公式求出，进而，先证明和不等式成立，当时，，然后求和化简即可证明. 【详解】（1）由题意得，数列是首项为，公差为的等差数列. 当时，等差数列的首项为1，公差为2， 所以，所以. 所以， 所以 . （2）当时，等差数列的首项为1，公差为1， 所以，所以. 因为，所以当时，； 当时，； 当时，， 可得. 综上， . 考点03 数列的插项求和 11．（2023·山东·一模）已知正项数列的前项和为，且，． (1)求； (2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）当时，利用累加法可求得的表达式，结合可得出的表达式，再检验的情形，综合可得出的通项公式； （2）由求出数列的通项公式，列举出数列的前项，即可求得的值. 【详解】（1）解：对任意的，因为， 当时， ， 因为，所以，故． 当时，适合， 所以，． （2）解：因为，， 所以当时，， 所以，， 所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 所以的前项是由个与个组成．所以． 12．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 【答案】 【分析】利用递推式结合等比数列性质求出，进而求出及，从而得出表达式，再利用错位相减法化简，求出． 【详解】当时，，则， 即，故公比为3； 当时，，解得， ， 由题意知，，则， 解得，， 令，则①， ②， 用①减②得，， 解得， ． 13．（25-26高二上·天津河西·期末）已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 【答案】29 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3， 即数列由，个3，，个3，等依次构成， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 14．（26-27高二上·重庆·期末）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出数列的通项公式，即可得出数列的通项公式；设等差数列的公差为，根据题意可得出，结合题意可得出关于的方程，解出的值，即可得出数列的通项公式； （2）将新数列进行分组：与个分为组，假设前组共有项，求出的表达式，令，分析数列的单调性，结合以及可得出的最小值； （3）求出的表达式，计算得出，可得出，令，利用错位相减法可求得的表达式，即为所求. 【详解】（1）对任意的，，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设等差数列的公差为， 因为为与的等比中项，，由可得， 整理可得，解得或， 又因为等差数列递增，故， 所以. （2）将新数列进行分组：与个分为组， 则前组中包含中的前项，以及个， 假设一共有项，则 ， 令， 则，故单调递增， 当时，，当时，， 此时，即， 故使得的最小的值为. （3）由题意可得， 对任意的，， 所以， 令①， 则②， ①②：， 所以， 所以. 15．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）应用等差数列定义证明，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法计算求解； （3）应用等差数列计算求和再应用分组求和计算求解. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 考点04 数列的公共项求和 16．（25-26高二下·河南南阳·月考）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为（    ） A．220 B．124 C．370 D．225 【答案】D 【分析】先列举出两数列的项，找到它们的公共项，总结出其规律，求和即得. 【详解】数列的项依次为，而数列的项依次为， 故两数列的公共项依次为，即， 故数列的前5项和为 . 17．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 18．（2025·山东济南·模拟预测）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列与的项找到它们公共项的规律，即得数列的各项的规律，确定其通项公式，再用裂项求和的方法即可求得答案. 【详解】数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即， 故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即， . 故选：A. 19．（24-25高二上·安徽合肥·期末）将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则______ 【答案】 【分析】根据条件，找规律可得是首项为，公差为的等差数列，即可求解. 【详解】易知数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以是首项为，公差为的等差数列，得到， 故答案为：. 20．（23-24高二上·福建泉州·月考）将数列与的公共项从小到大依次排列得数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意找出公共项，进而得出的通项公式； （2）先结合（1）得到数列的通项公式，再根据错位相减法求和即可． 【详解】（1）令，则， 所以为正偶数， 则公共项为：，，，…，即中的偶数项， 所以是首项为3，公差为6的等差数列， 所以的通项公式为． （2）结合（1）可得，， 则， 则， 两式相减，得 ， 所以． 考点05 数列中的情景应用 21．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 【答案】 6.6 3.5 【分析】根据等差数列的定义，结合已知条件求解即可. 【详解】因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以. 因为对任意，，所以，所以. 因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以，同理， 因为都是公差为的等差数列，所以. 又，所以. 综上，，. 22．（25-26高二上·广东汕头·期末）康托（Cantor）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数的最小值为（   ） （参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，接着归纳出第次操作去掉的区间的长度和为，把次操作中去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前项和，求出前项和，再求解不等式即可． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为； 第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为； 第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为； ， 第次操作去掉个长度为的区间，长度和为， 于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为： ， 由题意知：，即，则， 解得 又为整数， 可得的最小值为7. 故选：C． 23．【多选题】（25-26高二上·江苏泰州·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据斐波那契数列的性质，结合周期性逐一判断即可. 【详解】因为，，，，，，，，…， 所以是以6为周期的周期数列，所以，A错误； 因为，B正确； 因为 ，C错误； 因为 所以，D正确， 故选：BD 24．（24-25高二上·安徽黄山·期末）在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1； (2)①；②. 【分析】（1）直接代入公式计算得解. （2）①根据给定条件，求出的表达式，再利用错位相减求和即可；②由①的结论及已知建立恒成立的不等式，分段求解即得范围. 【详解】（1）当时，由，，得， 所以. （2）①，， 则当时，，， 而， 于是， ，令， 则，两式相减得 ，因此， 所以. ②由①，知， 对任意的，不等式， 当时，恒成立，因此； 当时，，而当时，，当时，，因此； 当时，，， 数列单调递增，且恒有，因此， 所以实数的取值范围是. 25．【多选题】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如∶φ(2)=1，φ(3)=2，φ(6)=2，φ(8)=4．下列说法正确的是（  ） A．φ(4)=φ(6) B．φ(4)=φ(8) C．数列{φ(n)}为递增数列 D．数列{nφ(2n)}的前n项和 【答案】AD 【分析】根据欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值的定义，可判断选项A，B，由递增数列定义可判断选项C，欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值的定义，结合错位相减法求数列前项和，即可判断选项D. 【详解】根据欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值的定义，可知，所以A正确； 又φ(8)=4，所以B错误； 因为，所以不是递增数列，所以C错误； 与互素的正整数有，共有个，所以，， 所以，， 两式相减可得， 所以，所以D正确. 故选：AD 考点06 数列中的新定义题型 26．（2026·陕西榆林·三模）已知数列：，数列：，其中，且，若对于任意的，且，都有，则称，互为“反调数列”． (1)已知数列：3，6，4，分别判断下面数列是否为数列的反调数列，并说明理由； ①数列：5，1，7，②数列：10，4，9． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，，数列：，，…，与数列互为反调数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，任意的，总有，，数列，互为反调数列，且，求． 【答案】(1)①不是②是； (2)； (3)当为偶数时，，当为奇数时. 【分析】（1）利用反调数列的定义求解； （2）利用等差数列的通项公式和前项和公式求出和，计算和，由数列与数列互为反调数列，得到对于任意的，都有，通过计算得到，由得到对于任意的恒成立，由得到，分别按照和讨论求出数列的公差的取值范围； （3）由计算，由数列，互为反调数列得到，从而得到，继而得到，故所有的互不相等，从而得到数列是的排列，即取遍从到的所有整数，不妨设数列为，数列为，分别按照为偶数和为奇数讨论求解，利用等差数列的求和公式计算得到. 【详解】（1）数列：3，6，4，则， ①数列：5，1，7，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故数列不是数列的反调数列； ②数列：10，4，9，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故数列是数列的反调数列； （2）数列为等差数列，，， 前项和， ， ， 数列与数列互为反调数列， 对于任意的，都有， ， ， ，对于任意的恒成立， ，， 当时，，不符合； 当时，则需， ，随着的增大而减小， 只需满足时，，， ， 故数列的公差的取值范围为； （3），，，， ， 数列，互为反调数列，， ，，所有的互不相等， 数列是的排列，即取遍从到的所有整数， 不妨设数列为，数列为 当为偶数时，设， 则数列为， 数列为， 则数列为， 则 ， ，，； 当为奇数时，设， 则数列为， 数列为， 则数列为， 则 ， ，，， 综上可知，当为偶数时，，当为奇数时. 27．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. （2）不妨先设， ， 可知时也成立， 假设，即成立， 若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设， 因为， 故 ．同理时，． 综上当时，． （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以， 而， 所以， 由（2）可知，对不同的取值，均不相同． 故． 考虑中含有个个个， 因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二） ， 设， ， 两式作差， ， 所以，，又， 所以，. 28．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）明确数列的递推公式，根据递推公式求数列的项； （ii）分为奇数和偶数讨论，分别求奇数项的和与偶数项的和即可. （2）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和，即可证明所给不等式. 【详解】（1）（i）由为1阶跳跃等差数列，得， 则，，. （ii）当为偶数时，设（），前项包含个奇数项和个偶数项. 奇数项和， 偶数项和， 所以，则. 当n为奇数时，. 综上，. （2）因为数列为k阶跳跃等差数列，且，所以. 因为，， 所以，， ，， 当时，. 设（），则，则单调递增， 则，则， 所以的前（）项中不大于的项数为，则， 则. 设， 则， 则 ， 所以， 所以. 因为，所以. 29．（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为 的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 【答案】(1)252； (2)1，3，7，2，4，5，6； (3)证明见解析. 【分析】（1）分析前6项和小于等于即可； （2）写出满足题意的置换，再证明即可； （3）分的所有项均为偶数和的所有项均为奇数讨论即可. 【详解】（1）数列的每个置换的前6项和． 当置换为4，8，16，32，64，128，1，2时，． 所以的最大值为252． （2）数列的一个置换：1，3，7，2，4，5，6， 存在，使得．对任意，数列， 存在一个置换为：， 存在，使得． （3）必要性： 因为数列为常数列，每个置换是常数列，存在． 充分性：＂的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得．＂称具有性质． 由，得．又因为为偶数，为定值，所以数列的所有项的奇偶性相同.称具有性质. 对具有性质的数列施加变换：若的所有项均为偶数， 令；若的所有项均为奇数，令．得到数列． ①若的所有项均为偶数，， 则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂， 又因为，所以．且数列具有性质． ②若的所有项均为奇数，，则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂. 又因为，所以，当且仅当时取等号． 且数列具有性质. 总之，对数列施加变换，数列保持性质和性质不变. 对数列施加次变换后，得到常数列． 常数列，经过次相反的变换：或者， 每次得到的数列都是常数列，最终得到数列，且数列为常数列． 30．（2026·北京丰台·一模）对于有穷正数数列，若满足对任意的，都有（是常数，且），则称数列具有性质．对数列定义“分拆”将中的第项拆分为两项，并得到数列，其中，且；特别地，当时，；当时，．对有穷正数数列，令数列．若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列． (1)若，判断以下数列是否为的1阶完美拆分数列（结论不要求证明）： ①②2，0.5，0.5． (2)当时，若为数列的1阶完美拆分数列，证明：数列中被拆分的一定是最大项； (3)若数列为数列的阶完美拆分数列，证明：的最大值为4． 【答案】(1)①是；②否. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1) 先根据1 阶完美拆分数列的定义，验证原数列与拆分后数列是否满足，再逐一判断即可； (2) 先假设拆分非最大项，结合1阶完美拆分数列的性质推出矛盾，再用反证法证明拆分项必须为最大项； (3) 先通过递推构造至阶完美拆分数列，验证其满足完美拆分数列的定义，再假设存在阶完美拆分，推出与定义的矛盾，从而确定的最大值 【详解】（1）①是；②否. ① 数列{1,1,1} 由拆分而来：将2拆为，满足, 对验证性质：任意两项，有,则 ，成立； 对验证性质：任意两项，有,则 ， 综上，①是； ② 数列 若由拆分，需将某一项拆为两项： 拆1：，得，但，不满足​； 拆2：，得，无法得到，故②不是 （2）不妨设． 假设取分拆，设， 则与矛盾． 所以拆分的项一定是数列中的最大项. （3）当时，的1阶完美拆分数列为1.44，1.2，1； 的2阶完美拆分数列为1.2，1，0.72，0.72； 的3阶完美拆分数列为1，0.72，0.72，0.6，0.6； 的4阶完美拆分数列为0.72，0.72，0.6，0.6，0.5，0.5． 所以数列存在4阶完美分拆数列． 下面证明对于任意数列，不存在5阶完美分拆数列． 假设数列的2阶完美拆分数列为， 不妨设． 由（2）知，为得到的3阶完美拆分数列，一定分拆 ，得到数列，其中，及． 若，则由，即及， 可得 若，有，与题设矛盾，不合题意． 此时，数列中的最大项无法再拆分，此时分拆结束． 于是，为得到4阶完美拆分数列，必须有， 此时，． 所以，拆分为，，得到数列， 其中及． 于是． 若是数列中的最大项， 因为，即，又， 于是，与假设矛盾． 所以不是此时数列的最大项． 若是数列中的最大项， 因为， 所以， 又， 所以，与假设矛盾． 所以不是此时数列的最大项． 所以是此时数列的最大项． 此时，应有，否则，， 于是， 与题设矛盾，不合题意，所以． 若，有， 与题设矛盾，不合题意． 此时，数列中的最大项无法再拆分，此时拆分结束． 因此，若数列存在阶完美拆分数列，则． 综上，的最大值为4. 31．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列的拓展提升 考点01 数列的不等式恒成立问题 考点02 数列放缩与求和 考点03 数列的插项求和 考点04 数列的公共项求和 考点05 数列中的情景应用 考点06 数列中的新定义题型 考点01 数列的不等式恒成立问题 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 2．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 3．（25-26高二下·河南驻马店·月考）设是数列的前n项和，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）在数列中，且． (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． (2)记数列的前n项和为，数列满足． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）求； （ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 5．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 考点02 数列放缩与求和 6．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知数列满足，（为常数）． (1)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)在（1）的结论下，当为递增数列时，证明：． 7．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； (3)设数列的前n项和为，证明：． 8．（25-26高二上·山东济南·期末）已知正项数列，满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)设的前项和为，且数列满足：． （i）当时，证明：； （ii）若恒成立，求正整数的最小值． 9．（25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 10．（2025·甘肃·模拟预测）已知无穷数列满足：对于 .（为常数）. (1)若，设，求数列的前项和； (2)若，求证：. 考点03 数列的插项求和 11．（2023·山东·一模）已知正项数列的前项和为，且，． (1)求； (2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和． 12．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 13．（25-26高二上·天津河西·期末）已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 14．（26-27高二上·重庆·期末）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 15．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 考点04 数列的公共项求和 16．（25-26高二下·河南南阳·月考）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为（    ） A．220 B．124 C．370 D．225 17．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 18．（2025·山东济南·模拟预测）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·安徽合肥·期末）将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则______ 20．（23-24高二上·福建泉州·月考）将数列与的公共项从小到大依次排列得数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 考点05 数列中的情景应用 21．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 22．（25-26高二上·广东汕头·期末）康托（Cantor）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数的最小值为（   ） （参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 23．【多选题】（25-26高二上·江苏泰州·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·安徽黄山·期末）在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 25．【多选题】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数φ(k)(k∈N*)的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如∶φ(2)=1，φ(3)=2，φ(6)=2，φ(8)=4．下列说法正确的是（  ） A．φ(4)=φ(6) B．φ(4)=φ(8) C．数列{φ(n)}为递增数列 D．数列{nφ(2n)}的前n项和 考点06 数列中的新定义题型 26．（2026·陕西榆林·三模）已知数列：，数列：，其中，且，若对于任意的，且，都有，则称，互为“反调数列”． (1)已知数列：3，6，4，分别判断下面数列是否为数列的反调数列，并说明理由； ①数列：5，1，7，②数列：10，4，9． (2)若，数列为等差数列，其前项和为，，，数列：，，…，与数列互为反调数列，求数列的公差的取值范围； (3)对于固定的正整数，任意的，总有，，数列，互为反调数列，且，求． 27．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 28．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 29．（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为 的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 30．（2026·北京丰台·一模）对于有穷正数数列，若满足对任意的，都有（是常数，且），则称数列具有性质．对数列定义“分拆”将中的第项拆分为两项，并得到数列，其中，且；特别地，当时，；当时，．对有穷正数数列，令数列．若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列． (1)若，判断以下数列是否为的1阶完美拆分数列（结论不要求证明）： ①②2，0.5，0.5． (2)当时，若为数列的1阶完美拆分数列，证明：数列中被拆分的一定是最大项； (3)若数列为数列的阶完美拆分数列，证明：的最大值为4． 31．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $