专题04 数列求和7大题型（高效培优期中专项训练）高二数学下学期北师大版选择性必修第二册

专题04 数列求和 考点01 倒序相加 考点02 错位相减 考点03 裂项相消之分式型 考点04 裂项相消之指数型 考点05 裂项相消之型 考点06 分组求和 考点07 奇偶项求和 考点01 倒序相加 1．（25-26高二下·江西九江·月考）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 2．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 3．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________ 5．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 考点02 错位相减 6．（浙江嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试数学试题）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 7．（2026·广东江门·一模）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 8．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 9．（2026·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和为． 10．（25-26高二下·重庆·月考）已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 考点03 裂项相消之分式型 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 12．（安徽铜陵市2026届普通高中高三下学期4月模拟考试数学试题）已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·宁夏银川·一模）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和． 14．（25-26高二下·安徽合肥·月考）已知等差数列的前项和为，且. (1)求与； (2)若，求的前项和. 15．（25-26高二下·湖南长沙·月考）已知等差数列的前n项和为，其中，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 考点04 裂项相消之指数型 16．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 17．（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，对任意，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．（25-26高三下·江西·月考）已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列； (2)设，求数列的前项和. 19．（25-26高二下·湖北·月考）已知正项数列的前n项和为，且，正项数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)记，求数列的前n项和为． 20．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 考点05 裂项相消之型 21．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 22．（25-26高二下·江西九江·月考）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 (1)求的通项公式. (2)证明：数列是等比数列. (3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 23．（25-26高二上·云南保山·期末）已知数列满足：；数列满足：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)定义：“若存在常数，使得对任意正整数，数列的前项和都满足，则称数列是‘和有上界数列’，且‘和上界’为”．证明：数列的其中一个‘和上界’为． 24．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·全国·单元测试）已知在数列中， ，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 考点06 分组求和 26．（25-26高二上·江苏常州·期末）设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（   ） A．264 B．520 C．521 D．263 27．（25-26高三下·江西·月考）已知正项等比数列满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列的前n项和为，，且则（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 29．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 30．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 考点07 奇偶项求和 31．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且 ． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 32．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 33．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 34．（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 35．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列求和 考点01 倒序相加 考点02 错位相减 考点03 裂项相消之分式型 考点04 裂项相消之指数型 考点05 裂项相消之型 考点06 分组求和 考点07 奇偶项求和 考点01 倒序相加 1．（25-26高二下·江西九江·月考）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【答案】4046 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，， 故，即有. 由，则当时，有， 故， 故所求和为. 故. 2．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 3．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设易得，即可利用倒序相加求得，由可得，进而得到数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，可求得，即可得到，进而得到，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】由， 则， 由， 得， 则 ，即， 由，得， 则数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列， 偶数项是以为首项，4为公比的等比数列， 则数列为：， 显然数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即，则， 所以， 则数列的前7项和为 . 故选：D 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________ 【答案】 1 【分析】求出，即可计算求解c；由c得到以及，进而消元得到，接着构造，由b的范围和以及的单调性即可分析求解. 【详解】由题可知， ∴， 令， 又， ∴， ∴，∴； ∵，∴， 且， ∵，且由，及，可知， ∴令函数， 则，且易知为单调递减函数， ∴，即， 易知，∴的取值范围为． 故答案为：1；. 5．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数. (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；7. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）由（1）推得，求得，再利用倒序相加法即可求得； （3）利用裂项相消法求出，由判断为递增数列，可得的最小值为，结合解不等式即得的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以， 即为定值1. （2）由（1）知，所以， 即， 依题意得，又， 所以， ， 两式相加，得， 所以. （3）因为， 所以， 所以 ， 因为，所以数列为递增数列， 所以的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以正整数的最大值为7. 考点02 错位相减 6．（浙江嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试数学试题）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得. 【详解】（1），且 因此，是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）：，因此 令 两式相减得： 所以，. 7．（2026·广东江门·一模）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【详解】（1）由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 8．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）已知关于的一元二次方程，解方程得到； （2）先求数列的通项，再用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，所以， 因为各项均为正数，所以， 所以，； （2）， 两式相减，得 ， 所以. 9．（2026·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用与的关系，消去求解即可； (2)等差与等比的乘积的数列求和用错位相减法求和即可. 【详解】（1）（1）①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①②得，故， 因为，所以，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以； （2）（2）   ① ② ①②得： ． 10．（25-26高二下·重庆·月考）已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系及构造法求出通项公式. （2）利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 则，由，得， 因此数列是首项为，公比为2的等比数列， 故，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以数列的前项和 考点03 裂项相消之分式型 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质，可得为等差数列，根据条件，求出和公差d，代入通项公式，即可得答案. （2）由（1）得，代入可得通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以为等差数列，设公差为d， 则，解得， 又，可得， 所以，解得，则. （2）由（1）得， 所以， 则. 12．（安徽铜陵市2026届普通高中高三下学期4月模拟考试数学试题）已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，计算，求证为单调递增数列，再得到为等差数列求解即可. 【详解】令，计算可得，所以，因为，则， 两式相减可得，由递推公式及知，为单调递增数列， 则，则，则，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则，故所求为. 13．（2026·宁夏银川·一模）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明. （2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式. （3）利用“裂项相消法”求和. 【详解】（1）因为 . 又， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 所以，，，…，. 以上各式相加得： . 所以. （3） ， 所以， 所以 . 14．（25-26高二下·安徽合肥·月考）已知等差数列的前项和为，且. (1)求与； (2)若，求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）设的公差为.由，得 解得，，所以， . （2）由（1）知，， 所以， 所以 . 15．（25-26高二下·湖南长沙·月考）已知等差数列的前n项和为，其中，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求解出和，进而得到数列的通项公式； （2）先根据（1）的结果求出的表达式，再利用裂项相消法求出数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，代入得，故， ，代入得解得， 所以，因此，数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以， 所以，裂项得， 则， 所以， 因此，数列的前n项和为. 考点04 裂项相消之指数型 16．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可；运用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）由，得， ，得， 故，所以数列是等比数列； （2）由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 故， 则. 17．（2026·河南许昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，对任意，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件结合等比数列性质可确定等比数列公比，进而求出，即可求得答案； （2）结合（1）的结论可得的表达式，利用裂项相消求和法，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时， ①， ②， ①－②得，即， 由于数列为等比数列，则等比数列公比，所以， 即得，解得， 所以数列是首项，公比的等比数列，通项公式为； （2） ， . 18．（25-26高三下·江西·月考）已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求得，当时，化简得到，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）化简得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由数列的前项和为，且， 当时，可得，可得， 当时，， 即，可得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. （2）解：由（1）知：， 可得， 所以 . 19．（25-26高二下·湖北·月考）已知正项数列的前n项和为，且，正项数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)记，求数列的前n项和为． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）化简题干中的表达式即可求出数列和的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减即可求出； （3）先求出的表达式，再利用裂项相消即可求出. 【详解】（1）由题意可得，又为正项数列，， 所以，所以． 当时，；当时，， 显然时也满足上式，综上可得. 由得，当时，， 所以，则， 又，则，也满足上式，故 （2）由（1）可得，． 所以， 则， 作差得， 所以 （3）由（1）可得， 所以． 20．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系，可求数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求，利用等比数列的前n项和公式可求得，可求t的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以，即， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以， 因为，， 所以t的取值范围为． 考点05 裂项相消之型 21．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 22．（25-26高二下·江西九江·月考）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 (1)求的通项公式. (2)证明：数列是等比数列. (3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据等差数列的相应公式列方程计算得，再求得通项公式； （2）根据递推关系，结合等比数列的定义证明即可； （3）根据裂项求和法得 ，再结合的单调性，分为奇数与偶数讨论对应的最值即可求得答案. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为, 由得，即，解得 所以. （2）解：由（1）可知，则 由，可得， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）解：由（1）可得 设的前项和为，则 所以，当为奇数时，，随着的增大而减小，可得. 当为偶数时，，随着的增大而增大，可得. 所以的最大值为，最小值为. 23．（25-26高二上·云南保山·期末）已知数列满足：；数列满足：． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)定义：“若存在常数，使得对任意正整数，数列的前项和都满足，则称数列是‘和有上界数列’，且‘和上界’为”．证明：数列的其中一个‘和上界’为． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意整理得，根据等比数列的定义，即可得数列的通项公式，将的通项公式代入，根据对数的运算性质，可得数列的通项公式. （2）由（1）得，代入可得的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. （3）由（1）得的通项公式，先证明，则可求得数列的前n项和的表达式，根据条件，分析即可得证. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. 则. （2）由（1）得， 则， 所以 （3）由（1）得， 当时，， 当时，， 所以，则， 所以数列的前n项和 ， 所以对于任意正整数，数列的其中一个‘和上界’为 24．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，分为偶数和奇数讨论，当为偶数时，可得，当为奇数时，可得，结合条件分析得解. 【详解】因为， 当为偶数时， ， 且时，； 当为奇数时， ， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为1. 故选：B. 25．（25-26高二上·全国·单元测试）已知在数列中， ，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而 ，结合裂项相消法求和即可． 【详解】由，得，即，又， 所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故，得， 所以 ． 所以 ． 故选：A. 考点06 分组求和 26．（25-26高二上·江苏常州·期末）设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（   ） A．264 B．520 C．521 D．263 【答案】D 【分析】利用等差数列和等比数列通项公式以及分组求和即可. 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 可得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列， 可得，则， 所以． 27．（25-26高三下·江西·月考）已知正项等比数列满足，记表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知条件得到的通项公式，进而可得到的通项公式，根据的定义即可求解. 【详解】因为数列是正项等比数列，所以公比，且， 又，所以，又，所以. 因为，所以，将代入化简得， 解得或（舍去）. 所以. 所以， 因为表示不超过的最大整数， 所以当时，，当时，. 所以数列的前项和为 . 28．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列的前n项和为，，且则（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】B 【分析】利用等比数列的定义可推得数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列，再利用分组求和法求得，代入所求式计算得解. 【详解】对于令，有，则. 因，则数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列， 故， 可得. 故选：B. 29．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 30．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 考点07 奇偶项求和 31．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且 ． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式； （2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和. 【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和： ， 所以. 32．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 33．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法可求得； （3）若为偶数，由（2）可求得，为奇数，利用，可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 34．（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项； （2）利用分组求和法可求； （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 35．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $