专题03 等比数列的通项公式及求和公式9大题型（高效培优期中专项训练）高二数学下学期北师大版选择性必修第二册

专题03 等比数列的通项公式及求和公式 考点01 等比数列通项公式与前n项和公式的基本量的计算 考点02 由递推关系证明数列是等比数列 考点03 等比中项及其应用 考点04 等比数列下标的性质 考点05 等比数列的片段和性质 考点06 等比数列奇偶项和 考点07 等比数列前n项和的其他性质 考点08 等比数列的单调性 考点09 等比数列的前n项和的实际应用 考点01 等比数列通项公式与前n项和公式的基本量的计算 1．（广西壮族自治区桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试数学试卷）等比数列的前项和为，且，，则此数列的公比为（    ） A． B．2 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】利用等比数列前3项和的组成，结合已知首项与的值列出关于公比的一元二次方程，求解得到所有可能的公比. 【详解】设等比数列的公比为，则. 代入已知条件，，得， 整理得，即，解得或， 此数列的公比为或. 【点睛】本题考查等比数列的前项和公式，解题需注意公比的特殊情况，避免漏解. 2．（25-26高二下·广东佛山·月考）记为等比数列的前项和．若，则（ ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出的值，从而可得，再代入，即可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得：， 解得， 所以， 因此， 所以. 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，，则______. 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，可得， 整理得，即， 因为，可得，所以. 又因为，所以，所以. 4．（2026·广东佛山·一模）记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 【答案】 【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比. 【详解】设公比为，由题意得， 即， 所以，故，又， 解得. 5．（2026·河北石家庄·一模）已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】由前项和的定义及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即， 解得或， 又因为，所以. 考点02 由递推关系证明数列是等比数列 6．（黑龙江哈尔滨市2026届高考第一次模拟考试数学试题）在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）可得 故 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知， 由单调递增，可知， 故，解得， 即的取值范围为. 7．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过的关系，得到，从而证得是等比数列； （2）由（1）得到的通项公式，得到，利用错位相减法和分组求和法求． 【详解】（1）当时，，解得． 当时，， 所以，即， 所以， 又，所以,所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知，， 所以， 所以． 设， 则， 两式相减，可得 , 所以． 又， 所以． 9．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及能成立求参数的最大值. 【详解】（1）令，则，于是，结合已知有， 所以，即． 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则 ， 令，整理得，而在上单调递增， 且， 所以，的最大值为． 10．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； （3）由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 考点03 等比中项及其应用 11．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 12．（25-26高二下·北京·月考）已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以，，，， 所以，故， 则. 13．（2026·吉林·三模）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由等比数列的性质，可得，进而可得，即可求出的值，根据等比数列的通项公式，即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以，解得或（舍）， 则，设公比为q，则， 所以. 14．（25-26高三下·重庆·月考）设是与4的等比中项，则实数______． 【答案】4 【详解】因为是与4的等比中项，所以， 所以，令，所以，所以， 解得，所以. 15．（25-26高二下·上海·月考）在等比数列中，，，则公比_____． 【答案】 【分析】首先由等比中项性质求出，之后结合条件求出，即可求出公比. 【详解】，解得 当时，，，解得； 当时，，，无解； 综上所述，. 考点04 等比数列下标的性质 16．（安徽铜陵市2026届普通高中高三下学期4月模拟考试数学试题）已知是等比数列，，，则______． 【答案】 【详解】由题可得：，即， 又，即， 所以， 又，故. 17．（2026·湖北襄阳·一模）已知等比数列满足，，则_______． 【答案】2 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得， 又，所以，故，故，其中为公比. 18．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）在公比不为的等比数列中，若，且有成立，则______． 【答案】或/或 【详解】设等比数列的公比为，且， 由，则，故， 又， ， ，即， ，又， ，， 化简整理得，即， 解得或，均满足. 19．（2026·江苏·一模）已知等比数列，则___________． 【答案】2 【分析】利用等比数列通项公式以及等比数列性质求解即可. 【详解】等比数列的首项，设公比为， 当时，，由，解得， 当时，由不成立， 所以，， 由， 又， 将代入上式得： 解得：或（舍去）， 所以. 20．（2026·广西南宁·二模）已知为递减的等比数列，且，，则公比______． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质可得，解方程组可得，进而可得公比，根据递减数列的定义可排除不符合题意的. 【详解】因为为等比数列，且， 所以， 又，联立解得或， 因为是递减的等比数列，所以，且公比， 所以，解得或（舍去）. 考点05 等比数列的片段和性质 21．（25-26高二下·河南南阳·月考）等比数列前n项和为，则的值为（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 【答案】D 【详解】因为，由片段和性质得， 即解得，即. 22．（25-26高三下·重庆·月考）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为， 所以，，，成等比数列， 所以，解得， 又，所以，解得. 23．（25-26高三下·湖南长沙·月考）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 【答案】B 【分析】先分析出，然后由条件求出及的值，再根据在等比数列中仍构成等比数列，列出方程，即可求出. 【详解】在等比数列中,若，则， 由，知显然不成立，故. 将代入，解得，进而可得. 设，在等比数列中，因为仍构成等比数列， 所以，即， 整理可得，即，解得或. 因为，所以. 24．（25-26高二下·江西景德镇·月考）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．78 B．75 C．69 D．87 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和的性质，成等比数列求解. 【详解】设，因为是等比数列， 所以成等比数列， 得，由， 即， 化简可得，即， 解得或， 当，，则， 因为，所以； 当，， 得，不符，舍去. 25．（25-26高二下·山西太原·月考）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可； 解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可. 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，，，不符题意； 所以，解得， 所以． 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故，所以． 考点06 等比数列奇偶项和 26．（25-26高二下·四川雅安·月考）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则，所以，解得， 所以，则. 27．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为 . 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 28．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 29．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 30．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 考点07 等比数列前n项和的其他性质 31．【多选题】（22-23高二上·山东济南·月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】AB 【分析】由题设可得，，可得，即可判断A；根据，可判断D；分析可得，进而得到数列为递减数列，进而得到，即可判断CD. 【详解】由可得，， 由，可得，故A错误； 又因为，且，所以数列为各项均为正数的等比数列，所以，故D正确； 当时，因，数列为递增数列，则， 此时，与矛盾，所以不成立； 当时，数列为递减数列，根据， 有，则是数列中的最大值，故C正确； 而，则，故B错误. 故选：AB 32．（24-25高二下·吉林松原·期中）设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误. 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 33．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 34．【多选题】（24-25高三上·湖北随州·月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】AB 【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断. 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向. 35．（24-25高三上·江苏泰州·月考）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“存在最小值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例可得其充分性不成立，假设，借助等比数列的性质可得其必要性，即可得解. 【详解】当，时，有， 则有最小值， 故“存在最小值”不是“”的充分条件； 若，由，则， 故必有最小值，故“存在最小值”是“”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的必要不充分条件. 故选：B. 考点08 等比数列的单调性 36．（25-26高二下·河南南阳·月考）在等比数列中，首项为，公比为q，命题A：数列为递减数列；命题B：数列首项，公比；则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及等比数列的性质求解. 【详解】当，时，，所以， 即，所以数列为递减数列； 若数列为递减数列，不妨取，此时数列为：，是递减数列，但是不满足，公比. 综上可知，不能推出，,所以命题A是命题B的必要不充分条件. 37．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊数列，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数， 不妨取，当时，， 即“”“”； 不妨取，由可得，则， 即“”“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 38．（25-26高三下·北京·开学考试）设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 【答案】D 【分析】AB选项，由递减可推出，进而得到公比的范围，分类讨论得到AB选项的判断；CD选项，根据递减可推出公比的范围，进而验证的单调性. 【详解】AB选项，若递减，则， 设等比数列公比为，则，于是， 又，则，则，， 时，，递减； 时，，递增，AB错误； CD选项，若递减，则， 由于，则对于一切正整数成立，解得， 此时，则递增，C错误，D正确 39．【多选题】（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列的公比，且，前n项和为，前n项积为，那么下列结论正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．若是递增数列，则是递增数列 D．若是递增数列，则是递增数列 【答案】AD 【分析】分类讨论、可判断A的正误，根据A的判断可得数列的单调性，故可判断B的正误，根据反例可判断C的正误，根据特例可得或，分类讨论后可判断D的正误. 【详解】选项A：已知，，则有两种情况： 当时，，那么， 当时，，那么， 等比数列的通项公式为，则， 当，时，，所以， 当，时，，所以.故A正确. 选项B：由选项A的分析可知，当时，，此时数列是递增数列， 即，所以， 当时，，此时数列也是递增数列， 即，所以， 因此，不存在，使得，故B错误. 选项C：若是递增数列，则，所以，则，， 但不一定是递增数列，例如，当，时，则， 所以不满足，故不满足递增.故C错误. 选项D：若是递增数列，则，即，化为， 故或， 若，则，则，故是递增数列； 若，则，此时，则， 这与是递增数列矛盾，此类情形不存在； 综上，是递增数列.故D正确. 故选：AD. 40．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，可知等比数列单调递增，且有，由此得出，结合单调性得出当且时，；当且，，即可得解. 【详解】对任意的，，设等比数列的公比为，则， 因为，则，所以，即， 因为，所以，即，故数列单调递增，所以， 故当且时，；当且，. 所以当时，最小. 故选：C. 考点09 等比数列的前n项和的实际应用 41．（2026·河南洛阳·模拟预测）《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（    ） A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元 【答案】A 【分析】根据题意设出“衰分比”和甲所获得的奖金，列出方程求解即可. 【详解】设甲、乙、丙、丁四位同学分配的“衰分比”为，甲所获得的奖金为元 则乙、丙、丁所获得的奖金分别为元、元、元， 由题意可知， 由①得 ②代入③得，解得，即“衰分比”为， 把代入②，得，解得， 从而丁所获得的奖金为元 42．（25-26高二下·河南南阳·月考）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 【答案】 【详解】设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息总共为元， 则，可得， 整理可得，所以每月还款金额为元． 43．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知是边长为的等边三角形，取各边的中点，作第2个三角形，然后再取各边的中点，作第3个三角形，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到所有这些三角形的面积可构成等比数列，结合等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等边三角形的边长为，则面积为：. . 每次取各边中点作新三角形，新三角形为等边三角形，边长为原三角形的，则面积为原三角形的. 所以所有这些三角形的面积构成的数列为首项为，公比为的等比数列， 设所有这些三角形的面积之和为，则. 因为，所以当时，，则， 所以所有这些三角形的面积之和将趋近于 . 44．【多选题】（25-26高二上·广东清远·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（   ） A．第5轮新增感染人数为243 B．由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C．感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D．感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 【答案】ACD 【分析】由题意可得第轮感染人数成等比数列，求得其通项公式为，前项和为，再逐一判断即可. 【详解】设第轮感染人数为， 由题意可知数列为等比数列，其首项，公比， 所以， 对于A,当时，，故A正确； 对于B，由题意可得， 所以由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为，故B错误； 对于C，由B可知由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为， 令， 得， 又因为，， 又， 所以， 即感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染，故C正确； 对于D，令， 得， 因为，， 所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要7轮，约需要天，故D正确. 故选:ACD. 45．（25-26高二上·江苏南通·期末）一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是__________m． 【答案】92 【分析】依题意，写出每次落地的路程，借助等比数列求和计算即可. 【详解】依题意，5次落地的路程分别为：，，，，， 第2项至第5项是首项为32，公比为的等比数列， 所以总路程 . 故答案为：92 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等比数列的通项公式及求和公式 考点01 等比数列通项公式与前n项和公式的基本量的计算 考点02 由递推关系证明数列是等比数列 考点03 等比中项及其应用 考点04 等比数列下标的性质 考点05 等比数列的片段和性质 考点06 等比数列奇偶项和 考点07 等比数列前n项和的其他性质 考点08 等比数列的单调性 考点09 等比数列的前n项和的实际应用 考点01 等比数列通项公式与前n项和公式的基本量的计算 1．（广西壮族自治区桂林市普通高中2026届毕业年级第一次适应性模拟考试数学试卷）等比数列的前项和为，且，，则此数列的公比为（    ） A． B．2 C．1 D．1或 2．（25-26高二下·广东佛山·月考）记为等比数列的前项和．若，则（ ） A．7 B． C． D． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，，则______. 4．（2026·广东佛山·一模）记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________． 5．（2026·河北石家庄·一模）已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（    ） A． B．4 C． D．2 考点02 由递推关系证明数列是等比数列 6．（黑龙江哈尔滨市2026届高考第一次模拟考试数学试题）在数列中，已知，. (1)求证数列是等比数列； (2)设，，记数列的前项和为，若对于恒成立，求的取值范围. 7．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 9．（2026·广东广州·一模）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 10．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 考点03 等比中项及其应用 11．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 12．（25-26高二下·北京·月考）已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·吉林·三模）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（25-26高三下·重庆·月考）设是与4的等比中项，则实数______． 15．（25-26高二下·上海·月考）在等比数列中，，，则公比_____． 考点04 等比数列下标的性质 16．（安徽铜陵市2026届普通高中高三下学期4月模拟考试数学试题）已知是等比数列，，，则______． 17．（2026·湖北襄阳·一模）已知等比数列满足，，则_______． 18．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）在公比不为的等比数列中，若，且有成立，则______． 19．（2026·江苏·一模）已知等比数列，则___________． 20．（2026·广西南宁·二模）已知为递减的等比数列，且，，则公比______． 考点05 等比数列的片段和性质 21．（25-26高二下·河南南阳·月考）等比数列前n项和为，则的值为（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 22．（25-26高三下·重庆·月考）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 23．（25-26高三下·湖南长沙·月考）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 24．（25-26高二下·江西景德镇·月考）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．78 B．75 C．69 D．87 25．（25-26高二下·山西太原·月考）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 考点06 等比数列奇偶项和 26．（25-26高二下·四川雅安·月考）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则（ ） A．-2 B．2 C．1 D．3 27．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 28．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 29．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 30．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 考点07 等比数列前n项和的其他性质 31．【多选题】（22-23高二上·山东济南·月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 32．（24-25高二下·吉林松原·期中）设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 33．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 34．【多选题】（24-25高三上·湖北随州·月考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 35．（24-25高三上·江苏泰州·月考）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“存在最小值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点08 等比数列的单调性 36．（25-26高二下·河南南阳·月考）在等比数列中，首项为，公比为q，命题A：数列为递减数列；命题B：数列首项，公比；则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 37．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（25-26高三下·北京·开学考试）设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 39．【多选题】（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知等比数列的公比，且，前n项和为，前n项积为，那么下列结论正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．若是递增数列，则是递增数列 D．若是递增数列，则是递增数列 40．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 考点09 等比数列的前n项和的实际应用 41．（2026·河南洛阳·模拟预测）《九章算术》第三章“衰分”介绍按比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：若A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，且A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元，810元．某校由甲、乙、丙、丁四位同学组成的团队在“2025年青少年科创大赛”上获奖，共获得奖金29520元，若按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金16400元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（    ） A．20%，5120元 B．10%，5120元 C．20%，6400元 D．10%，6400元 42．（25-26高二下·河南南阳·月考）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 43．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知是边长为的等边三角形，取各边的中点，作第2个三角形，然后再取各边的中点，作第3个三角形，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于（    ） A． B． C． D． 44．【多选题】（25-26高二上·广东清远·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（即每个感染者7天内感染3人），则下列说法正确的是（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）（   ） A．第5轮新增感染人数为243 B．由1个初始感染者经过轮传染后得此传染病的总人数约为 C．感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6轮传染 D．感染人数由1个初始感染者增加到2026人大约需要49天 45．（25-26高二上·江苏南通·期末）一个球从32m的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5次着地时，共经过的路程是__________m． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $