专题01 数列求通项公式9大题型（高效培优期中专项训练）高二数学下学期北师大版选择性必修第二册

专题01 数列求通项公式 考点01 累加法 考点02 累乘法 考点03 Sn与an的关系 考点04 形如（，，）的构造法 考点05 形如（，且）的构造法 考点06 形如（，，为常数，，）的构造法 考点07 奇偶递推式求数列题型公式 考点08 观察法求通项公式 考点09 定义法求通项公式 考点01 累加法 1．（25-26高二下·河南南阳·月考）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 2．（2026·湖北荆州·一模）已知数列满足，则＝______. 3．（25-26高二下·安徽·月考）已知数列满足，则数列的前2026项和为______. 4．（25-26高二下·河南信阳·月考）在数列中，，，则（） A． B． C． D． 5．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 考点02 累乘法 6．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 7．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 9．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 10．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 考点03 Sn与an的关系 11．（25-26高二下·河南南阳·月考）记为数列的前n项和，已知，且，则____ 12．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知数列的前n项和，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 13．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则___________． 14．（25-26高三下·河北邯郸·月考）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 15．（25-26高二下·江西赣州·月考）已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 考点04 形如（，，）的构造法 16．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 17．（25-26高二上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 18．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 19．（25-26高二上·天津滨海新区·月考）已知数列的前项和为，且，则________ 20．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 考点05 形如（，且）的构造法 21．【多选题】（25-26高二下·河南新乡·月考）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 22．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 23．（2027高三·全国·专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 考点06 形如（，，为常数，，）的构造法 26．（25-26高二下·陕西渭南·月考）（1）已知数列满足，求的通项公式； （2）在数列中，已知，求数列的通项公式． 27．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 28．【多选题】（25-26高二上·湖南·期末）已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．，使得 B．数列是等比数列 C．设，则数列的前项和 D．若，则满足条件的最大整数的值为2024 29．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点07 奇偶递推式求数列题型公式 31．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知数列满足，，. (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，求. 32．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列满足，，则_________ 33．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则______. 34．（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为_______. 35．（22-23高二下·河南濮阳·月考）已知数列满足，，，，则______． 考点08 观察法求通项公式 36．（24-25高二上·贵州黔西南·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________． 39．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 40．（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 考点09 定义法求通项公式 41．（22-23高三上·重庆沙坪坝·期中）已知数列的前项和为，满足对任意的恒成立.数列为等差数列，它的前项和为，满足，. (1)求与； (2)若，对任意的恒成立，求. 42．（22-23高三上·天津滨海新·月考）已知是正项数列的前n项和，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求的前2n项和； (3)若，证明的前n项和． 43．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 44．（2026·广西北海·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 45．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求的值和数列的通项公式； (2)证明：. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列求通项公式 考点01 累加法 考点02 累乘法 考点03 Sn与an的关系 考点04 形如（，，）的构造法 考点05 形如（，且）的构造法 考点06 形如（，，为常数，，）的构造法 考点07 奇偶递推式求数列题型公式 考点08 观察法求通项公式 考点09 定义法求通项公式 考点01 累加法 1．（25-26高二下·河南南阳·月考）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【答案】B 【详解】由可得， 则 . 2．（2026·湖北荆州·一模）已知数列满足，则＝______. 【答案】 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. 【详解】， ，，，，， ， . 3．（25-26高二下·安徽·月考）已知数列满足，则数列的前2026项和为______. 【答案】 【分析】先利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意可得，且， 所以当时，，……，， 累加得， 所以， 验证当时，所以对成立， 所以， 所以数列的前项和， 将代入得. 4．（25-26高二下·河南信阳·月考）在数列中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将递推公式裂项，再利用累加法求出通项，即可求出答案. 【详解】因为， 所以 , 所以， 所以. 5．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 考点02 累乘法 6．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： 7．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 8．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得. 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又 ，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 9．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 【答案】/4.375 【分析】由题设可得，进而利用累乘法求解即可. 【详解】由，得， 所以，， 则. 故答案为：. 10．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 考点03 Sn与an的关系 11．（25-26高二下·河南南阳·月考）记为数列的前n项和，已知，且，则____ 【答案】 【分析】先利用和的关系将已知等式转为的递推式，求出的通项公式后再写出的通项公式. 【详解】因为，所以整理得， 又，所以是以为公比的等比数列， 其通项公式为，所以，， 从而时， 因为不满足上式，所以. 12．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知数列的前n项和，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【详解】因为 ，故A正确. 13．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则___________． 【答案】 【分析】分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式. 【详解】由题意可知，由可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 当且时，， 不满足上式，故. 14．（25-26高三下·河北邯郸·月考）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）降次作差，再验证即可； （2）利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1）由题意，当 时，. ①， 当 时， ②， ①②得 ，即 . 当 时，故数列的通项公式为 . （2） ③， ④， ③④得 ， 化简得 ，即 . 15．（25-26高二下·江西赣州·月考）已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 【答案】 【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值. 【详解】因为，且 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，则， 可得， 即，则， 可得， 且，则， 且，可知数列是首项和公差均为1的等差数列， 则，可得， 对任意，有恒成立，则恒成立， 因为 ， 即， 若是奇数时，则，即，可得； 若为偶数时，则，即，可得； 综上可得：， 又因为是非零整数，所以． 考点04 形如（，，）的构造法 16．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造等比数列，求出其通项公式，进而求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，由裂项相消求和法求数列的前项和，并由的性质及不等式的性质证明. 【详解】（1）因为，所以. 由，得. 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以， 所以. 所以. 随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，最小值为. 因为，所以. 综上，. 17．（25-26高二上·湖北十堰·期末）数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式求出的值，可判断A选项；分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，解得，A错； 对于C选项，由可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，C对； 对于B选项，对任意的，，所以数列单调递增，故无最大值，B错； 对于D选项， ，D错. 故选：C. 18．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】由，构造等比数列，求得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以. 所以数列的通项公式为． 故答案为:． 19．（25-26高二上·天津滨海新区·月考）已知数列的前项和为，且，则________ 【答案】57 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 20．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. 考点05 形如（，且）的构造法 21．【多选题】（25-26高二下·河南新乡·月考）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 22．（2027高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 23．（2027高三·全国·专题练习）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 24．（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 25．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 考点06 形如（，，为常数，，）的构造法 26．（25-26高二下·陕西渭南·月考）（1）已知数列满足，求的通项公式； （2）在数列中，已知，求数列的通项公式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用取倒数法，结合构造法、等差数列的定义进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）因为， 所以由， 因此由， 当时，， 显然也适合上式， 所以. 27．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 28．【多选题】（25-26高二上·湖南·期末）已知数列的首项，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．，使得 B．数列是等比数列 C．设，则数列的前项和 D．若，则满足条件的最大整数的值为2024 【答案】BCD 【分析】根据定义证明数列为等比数列，进而求出通项公式即可判断AB选项；根据进行放缩证明C；D求出的和，通过数列的增减性可求. 【详解】对于AB，由题意可得，则， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以，所以，所以， 故A错误，B正确； 对于C，因为 ， 所以数列的前项和为， 又，则 ， 故，故C正确； 对于D，由，得其前项和为 ， 令，即， 因为数列为递增数列，且当时， 当时， 故满足条件的最大整数，D正确． 故选：BCD 29．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 30．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断. 【详解】因为，，所以， 设，则，所以 若，则，则，与矛盾，所以， 故， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 则数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故，所以数列为递减数列， 解不等式，得，可得， 因为，所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 且若时有无意义， 所以的取值范围是， 故选：A. 考点07 奇偶递推式求数列题型公式 31．（25-26高二上·新疆和田·期末）已知数列满足，，. (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【分析】（1）根据的递推公式求出的递推公式，然后利用构造法可证； （2）利用（1）中结论，结合等比数列通项公式即可求解； （3）利用（2）中结论，结合已知分为奇数和偶数求出数列的通项公式，然后分组求和即可. 【详解】（1）当时，因为为奇数，为偶数， 所以，所以， 又，， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. （3）由（2）可得，又， 所以， 所以 32．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列满足，，则_________ 【答案】 【分析】由题意可得偶数项的递推公式，利用构造法以及等差数列的通项，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，即，易知， 所以数列是以为首项，以为公比的等差数列， 则，故. 故答案为：. 33．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则______. 【答案】 【分析】依题意可得，记，即可得到，从而求出的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 记的前项和为， 则 . 故答案为： 34．（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为_______. 【答案】 【分析】先通过递推式得当为偶数时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式，根据通项公式观察到数列为递减数列，故求出后，以为基础，通过一定的估算可得到答案. 【详解】当，且为偶数时，， 得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 当，且为奇数时，， 所以 明显数列从第二项起，故数列为递减数列， 当为偶数时， ， 对于，由于， 当时，， 当时，， 又当时，， 故使得成立的最小的正整数的值为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于通过奇偶来的分段数列，可分奇偶来研究数列的通项公式，先求出偶数项的通项公式后，奇数项的通项公式就好求了. 35．（22-23高二下·河南濮阳·月考）已知数列满足，，，，则______． 【答案】 【分析】根据递推关系式可整理得到，由此可得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果. 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，即，. 故答案为：. 考点08 观察法求通项公式 36．（24-25高二上·贵州黔西南·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以 故选：B. 37．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数据，分析规律，即可得答案. 【详解】由题意可知1，4，9，16，…的通项公式可能是. 故选：C. 38．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为___________． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 39．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 40．（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的规律性进行判断即可. 【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：D. 考点09 定义法求通项公式 41．（22-23高三上·重庆沙坪坝·期中）已知数列的前项和为，满足对任意的恒成立.数列为等差数列，它的前项和为，满足，. (1)求与； (2)若，对任意的恒成立，求. 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）利用与的关系及等比数列的定义和通项公式，结合等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）根据（1）的结论及累加法即可求解. 【详解】（1）当时，，解得， 当时， 由，递推得， 由，得，即，于是有， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为， 所以， 设等差数列的首项为，公差为，则 ，解得，， 所以等差数列的通项公式为， （2）由（1）知，，所以 ， 由，得， 所以 . 42．（22-23高三上·天津滨海新·月考）已知是正项数列的前n项和，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求的前2n项和； (3)若，证明的前n项和． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用，，成等差数列和，即可求出，即可求出奇偶项数列； （2）分奇偶项分别利用错位相减求和再相加即可求出答案； （3）利用裂项相消即可得到答案. 【详解】（1）由，，成等差数列得 或（舍） 的奇数项是以首项为1公比为2的等比数列，即 的偶数项是以首项为2公比为2的等比数列，即 则 （2） （3） . 43．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求等差数列的通项公式，从而得到，再由求. （2）先利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项求和法求. 【详解】（1）由题意，， 因为数列为等差数列，设公差为，则， 所以， 所以. 当时，； 当时，. 当时，上式亦成立. 所以. （2）因为时，， 所以，，，，…，， 各式相乘得：， 又，所以，. 当时，上式亦成立. 所以， 所以 . 44．（2026·广西北海·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的等式，求出首项、公差即可求解；由的关系，通过作差可求通项公式； （2）通过分组求和，分别利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为​，公差为， 由得：，化简得 ； 由得：，化简得 ， 联立方程解得：，， 因此等差数列通项为： ， 对于数列，已知， 当时，，得； 当时，，两式相减得：​， 即， 因此是首项为、公比为的等比数列， 通项为： ； （2）由， 可得：， 又， 得：， 又， 这是首项为、公比为的等比数列， 则 所以. 45．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）在数列中，，，，且是等差数列. (1)求的值和数列的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设差分构造等差数列，通过等差中项求出首项和公差，进而可求的通项公式； （2）将通项裂项为相邻两项之差，通过裂项相消求和，进而证明不等式成立. 【详解】（1）设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. ，则的公差为2，首项为6，则，即， 则 . （2）由（1）知，， 则 ， 则， 因为，则，则，得证. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $