学易金卷：高二数学下学期期中考试模拟02（北京专用）（范围：人教B版选择性必修第二册第四章+选择性必修第三册第五章）

2025-2026学年高二数学下学期期中考试模拟（人教B版）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章-选择性必修第三册第五章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列，，，，……的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 3．已知等差数列，，，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．18 4．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 6．随机变量X的分布列为：则（   ） X 1 2 3 P a A． B． C． D． 7．已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（    ） A．4 B．8 C．-4 D．-8 8．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 9．数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知随机事件满足，，则__________. 12．已知等差数列的前项和为，若，则______． 13．《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 14．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 15．Leistra序列主要用于训练逻辑思维能力，被称为“玩具模型”，满足下列个条件的序列称为Leistra序列：①各项全为正偶数；②从第项起序列中的每一项都由前一项除以区间内的整数得到；③不存在区间内的整数，使得最后一项为与一个偶数的积．则下列结论正确的有 ①．、、是Leistra序列 ②．项数大于或等于3的等差数列一定不是Leistra序列 ③．当、、是Leistra序列时，可能的值有个 ④．当Leistra序列的首项是位数时，末项的最大值不可能是，也不可能是 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 17．（14分）值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 18．（13分）已知数列的前项和为，，.………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 19．（15分）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 20．（15分）已知在等差数列和等比数列中，，，等差数列的前项和为.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列和存在，并解答下列问题.………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 条件①：； 条件②：成等差数列； 条件③：成等比数列. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和的最小值；设数列的前项和取最小值时，，求数列的前项和的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 21．（15分）已知数列，，，满足且，2，，，数列，，，满足，2，，，其中，，2，，表示，，，中与不相等的项的个数． (1)数列，1，2，3，4，请直接写出数列； (2)证明：，2，， (3)若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，证明：，2，，． 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中考试模拟 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ ___________________ 14．___________________ ____________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中考试模拟（人教B版） 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B A B C A D B D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12．27 13． 6.6 3.5. 14. 2 15.②③(答对1个得3分，错1个0分) 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以．（6分） （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值.（13分） 17．（14分） 【解析】（1）甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为， 因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大；（6分） （2）甲未赢得比赛的概率为，乙未赢得比赛的概率为， 所以两人均未赢得比赛的概率为， 所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为.（14分） 18．（13分） 【解析】（1）因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以.（7分） （2）由（1）得， 所以数列的前项和 .（13分） 19．（15分） 【解析】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： .（7分） （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：.（15分） 20．（15分） 【解析】（1）选择条件①： 设的公差为，的公比为，，∴， ∴，即，解得或（舍去）， 所以，.（6分） 选择条件②： 设的公差为，的公比为， 由题可得：，∴则， 即，即， 解得或（舍去）， 所以，.（6分） 选择条件③： 设的公差为，的公比为， 由题可得：，∴则，即， 解得（舍去）或（舍去）， 故选择条件③时，不存在满足条件的数列和. （2）由（1）知. 设的前项和为，的前项和为， 则，， 由二次函数的性质可知：当时，的最小值为， 数列的前8项和为.（15分） 21．（15分） 【解析】（1），，， ，. 故数列为1，1，3，4，5.（4分） （2）证明：i. 时，由知，，结论正确； ii. 时，设，， ①若，则有； ②若，则由，，，知，，，中均不与相等， 于是，. 综上，2，，.（9分） （3）证明：i. 当时，，结论正确； ii. 当时，假设，，，中有一项与相等，设为， 在数列，，，，，中，由，，可知第i项之前与不相等的项比第项之前与不相邻的项至少多了一项，则， 于是，又与A为同一个数列，则，这与矛盾， 于是，，，中均不与相等，则. 综上若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，则，2，，（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学下学期期中考试模拟（人教B版） 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学下学期期中考试模拟（人教B版） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章-选择性必修第三册第五章。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列，，，，……的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，的前两项依次为，不符合题意，故B错误； 对于C，即为，对应的余弦值为，符合题意，故C正确； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 2．已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求解. 【详解】随机变量X服从正态分布，由，得， 所以. 故选：B 3．已知等差数列，，，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．18 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，解得. 4．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式直接计算可得. 【详解】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 故选：A 5．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为， 所以，，，成等比数列， 所以，解得， 又，所以，解得. 6．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 7．已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（    ） A．4 B．8 C．-4 D．-8 【答案】A 【详解】由数列是首项为4，公比为的等比数列，得， 由成等差数列，得，即， 则，而，解得， 所以. 8．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 9．数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先将利用等差数列的通项公式进行化简，再结合充分、必要条件即可判断出结果． 【详解】设正项等差数列的首项为，公差为. 则，， 两式作差得. 充分性：若，即. 若，则，即，无法推出结论，充分性不成立. 必要性：若，即. 因为，所以，即，必要性成立. 因此，""是""的必要不充分条件. 10．已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反证法验证D选项不成立，通过举反例验证A,B,C选项. 【详解】因为是递增数列，所以． 又，所以，则． 若，则，则． 由，得，即，矛盾， 故满足的关系式不可能为． 取，则， 满足是递增数列，此时， ．取，，则， 满足是递增数列，此时． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知随机事件满足，，则__________. 【答案】 【详解】由条件概率公式得． 12．已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】27 【详解】依题意，. 13．《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 【答案】 6.6 3.5 【分析】根据等差数列的定义，结合已知条件求解即可. 【详解】因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以. 因为对任意，，所以，所以. 因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以，同理， 因为都是公差为的等差数列，所以. 又，所以. 综上，，. 14．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为，则的值为__________、该顾客第__________次摸球抽中奖品的概率最大． 【答案】 2 【分析】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，易得，利用全概率公式求出，依题意推出，记，可得递推关系，构造等比数列，求出通项，再分奇偶讨论的增减性求出其最大值即得答案. 【详解】记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，， . 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故. 当为奇数时，， 当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以. 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 故答案为：①；② 2. 15．Leistra序列主要用于训练逻辑思维能力，被称为“玩具模型”，满足下列个条件的序列称为Leistra序列：①各项全为正偶数；②从第项起序列中的每一项都由前一项除以区间内的整数得到；③不存在区间内的整数，使得最后一项为与一个偶数的积．则下列结论正确的有 ①．、、是Leistra序列 ②．项数大于或等于3的等差数列一定不是Leistra序列 ③．当、、是Leistra序列时，可能的值有个 ④．当Leistra序列的首项是位数时，末项的最大值不可能是，也不可能是 【答案】②③ 【分析】利用Leistra序列的定义可判断①选项；利用等差数列的定义结合Leistra序列的定义可判断②选项；设存在、，使得，，推导出，可得出的可能取值，可判断③选项；讨论末项的可能取值，并列举出一个符合条件的序列，可判断④选项. 【详解】对于①选项，因为，故、、不是Leistra序列，①错； 对于②选项，不妨设、、为等差数列的连续项， 若该等差数列为Leistra序列，则存在正整数、， 使得，，所以， 由得，所以， 由、，可得，，所以不成立，②对； 对于③选项，存在、，使得，， 所以，则， 所以的值可能是或，即可能的值有个，③对； 对于④选项，因为，不满足条件③，所以不可能是末项， 若末项且为偶数，则，此时，不满足条件③， 对任意正整数和正偶数，均有，故满足条件③， 所以可能是末项，且、、是符合条件的一个序列，④错. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 17．（14分）值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】(1)派甲参赛赢得比赛的概率更大 (2) 【分析】（1）分别求解两位选手胜出的概率，比较大小可得结论； （2）先求两人均输掉比赛的概率，结合对立事件可得答案. 【详解】（1）甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为， 因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大； （2）甲未赢得比赛的概率为，乙未赢得比赛的概率为， 所以两人均未赢得比赛的概率为， 所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为. 18．（13分）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据等比数列和等差数列前项和公式进行分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以，， 两式相减，得，即，故， 当时，，所以，满足， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得， 所以数列的前项和 . 19．（15分）某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意设事件，结合已知条件利用全概率公式求出第二轮拓展知识比拼成功的概率； （2）先求两项任务均成功的概率，利用独立事件的性质得出闯关成功人数符合二项分布，最后利用二项分布的期望、方差公式计算求解． 【详解】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 20．（15分）已知在等差数列和等比数列中，，，等差数列的前项和为.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列和存在，并解答下列问题. 条件①：； 条件②：成等差数列； 条件③：成等比数列. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和的最小值；设数列的前项和取最小值时，，求数列的前项和的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)，. (2)数列的前项和的最小值为，此时数列的前项和的值为 【分析】（1）选择条件①：设的公差为，的公比为，根据等差数列的前项和公式及等差、等比数列的通项公式，列出方程组即可求解； 选择条件②：设的公差为，的公比为，由题可得：，根据等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组即可求解； 选择条件③：设的公差为，的公比为， 由题可得：，根据等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组求解可知选择条件③时，不存在满足条件的数列和. （2）由（1）知.设的前项和为，的前项和为，根据等比数列的前项和公式可得，根据等差数列的前项和公式，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）选择条件①： 设的公差为，的公比为，，∴， ∴，即，解得或（舍去）， 所以，. 选择条件②： 设的公差为，的公比为， 由题可得：，∴则， 即，即， 解得或（舍去）， 所以，. 选择条件③： 设的公差为，的公比为， 由题可得：，∴则，即， 解得（舍去）或（舍去）， 故选择条件③时，不存在满足条件的数列和. （2）由（1）知. 设的前项和为，的前项和为， 则，， 由二次函数的性质可知：当时，的最小值为， 数列的前8项和为. 21．（15分）已知数列，，，满足且，2，，，数列，，，满足，2，，，其中，，2，，表示，，，中与不相等的项的个数． (1)数列，1，2，3，4，请直接写出数列； (2)证明：，2，， (3)若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，证明：，2，，． 【答案】(1)1，1，3，4，5 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）分类证明，时，；时，设，证即可证明； （3）分类证明，时，，结论正确；时，假设，，，中有一项与相等，设为，利用反证法证明即可. 【详解】（1），，， ，. 故数列为1，1，3，4，5. （2）证明：i. 时，由知，，结论正确； ii. 时，设，， ①若，则有； ②若，则由，，，知，，，中均不与相等， 于是，. 综上，2，，. （3）证明：i. 当时，，结论正确； ii. 当时，假设，，，中有一项与相等，设为， 在数列，，，，，中，由，，可知第i项之前与不相等的项比第项之前与不相邻的项至少多了一项，则， 于是，又与A为同一个数列，则，这与矛盾， 于是，，，中均不与相等，则. 综上若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，则，2，，． / 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学下学期期中考试模拟（人教B版） 全解全析 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章-选择性必修第三册第五章。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.数列1，-1,1，-1，.的一个通项公式为（) A.(-1)” B.1--) C.cos[(n-l)元] D. 2 2n+引 2.已知随机变量X服从正态分布N(1,o2),若P(X>0)=0.8,则P(1<X<2)=() A.0.2 B.03 C.0.7 D.0.8 3.已知等差数列{an},a1=-1,a+a,=14,则a,=() A.13 B.15 C.17 D.18 4.某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学 生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是() A B c.分 D. 3 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=4,S=12,则S16-S2=() A.24 B.32 C.36 D.108 6.随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 2a 3a 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则P(X≥2)=() A B. 2-3 C.5 7 D. 6 12 7.已知数列{an}是首项为4，公比为q的等比数列，若4a,a,-2a3成等差数列，则a=() A.4 B.8 C.-4 D.-8 2 8.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若E(X)=三，则D(Y)=() 3 2 A.3 B c D.8 9.数列{an}为各项均为正数的等差数列，k、1、s、t为正整数，则“k+l>s+t”是“ak+a,>a,+a,”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 l0.己知递增数列an}满足a1=1,且an1=元an-4a,则元，μ满足的关系式不可能为() A.入+u<0B.入u+1<0 C.22+μ2=2 D.入-2u=0 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.已知随机事件4B满足P(A=写，P(B4=7,则P(4B= 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a,=3,则S,=· 13.《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志.书中根 据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级，记这8个等级 方斯面的长与宽分别为0与b,若对任意0=，2,8】，=且4，“4,4，与，4,4，都是公差为-0,75的 等差数列，b4,b,b。是公差为-0.4的等差数列.已知a,=9,a-a4=0.3,则a= ,b= 14.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸 球的机会。已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽 中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为3记该顾客第”次摸球抽中奖品的概率为B,则 卫的值为 该顾客第 次摸球抽中奖品的概率最大， 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 l5.Leistra序列主要用于训练逻辑思维能力，被称为玩具模型”，满足下列3个条件的序列称为Leistra序列： ①各项全为正偶数；②从第2项起序列中的每一项都由前一项除以区间10,50]内的整数得到；③不存在区 间[10,50]内的整数m,使得最后一项为m与一个偶数的积.则下列结论正确的有一 ①.1000、200、4是Leistra序列 ②.项数大于或等于3的等差数列一定不是Leistra序列 ③.当1024、t、2是Leistra序列时，t可能的值有2个 ④.当Leistra序列的首项是4位数时，末项的最大值不可能是48，也不可能是18 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（13分)已知数列{an}是等差数列，且a,=-13,a4=1. (I)求{an}的通项公式： (2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 17.(14分)值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知 识竞赛比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛已 24 在第一轮比养中，选手甲，乙雅出的概率分别为在第三轮比赛中，甲，乙胜出的概率分别为甲 、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响 ()从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (②)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率， 18.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a,=1,3Sn=an+1-1. (I)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{Sn}的前n项和T, 19.(15分)某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知 识作答”和“第二轮拓展知识比拼两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为；，且不同参 赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的 概率为手：若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为牙，若两项任务均成功，则 3 视为最终闯关成功， ()若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； / 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (②)记X为参赛居民中闯关成功的人数，求X的数学期望与方差 20.（15分)已知在等差数列{an}和等比数列b,}中，a,=b=1,a2=b,≠1，等差数列{an}的前n项和为 Sn从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列{αn}和(b,}存在，并解 答下列问题 条件①：S,=7b: 条件②：a2,a,b成等差数列； 条件③：a1,b2,a2成等比数列. (I)求数列{an},{bn}的通项公式： (2)若数列{cn}的通项公式为cn=2a,-17,求数列cn}的前n项和的最小值；设数列cn}的前n项和取最小 值时，n=k,求数列{bn}的前k项和的值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 21.(15分)已知数列A:a,a2,…,an(n≥2)满足aeN且1≤a,≤(i=1,2,…，m,数列B:b,b2, …,bn(n22)满足b=t(a,)+16=1,2,…,m,其中t(a)=0，,t(a)i=1,2,…,m表示a1,a2,…，a 中与a,不相等的项的个数. (1)数列A:1,1,2,3,4,请直接写出数列B; (2)证明：b≥a,(=1,2,…,m (3)若数列A相邻两项均不相等，且B与A为同一个数列，证明：a,=ii=1,2,…,m.