精品解析：江苏省苏州市立达中学2025--2026学年 九年级下学期数学练习卷

江苏苏州市立达中学2025--2026学年第九下数学练习卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列各数中为负数的是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的定义，负数是指小于零的数，通过判断每个选项的符号和数值即可确定，熟练掌握正数和负数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，故不符合题意； B、3大于零，为正数，故不符合题意； C、小于零，为负数，故符合题意； D、大于零，为正数，故不符合题意； 故选：C． 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得． 【详解】解：这个几何体的主视图是， 故选：D． 3. 截至2021年12月29日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过281000万次，用科学记数法表示281000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 5. 某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．接着将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点处．现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时铅锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 6. 为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》分别记为，画树状图如下： ∴共有6 种等可能的结果，其中恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果有 2 种， ∴选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为， 故选：B． 7. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查两条直线的交点与二元一次方程组的解的关系，理解图示，掌握两条直线的交点的特点是解题的关键． 根据两直线的交点的特点即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象交于点， 点的横纵坐标是关于，的二元一次方程组的解， 即二元一次方程组的解为， 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质和为等腰三角形可得，为等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出．容易证明，则，代入数值计算即可． 【详解】解： 由旋转的性质可得，，，，， ∵为等腰三角形，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 周老师根据班级学生某次练习中某道题（满分4分）的答题情况，绘制了如下统计图． 某题得分情况条形统计图 这道题该班学生得分的众数和中位数分别是________分，____分． 【答案】 ①. 4 ②. 3.5 【解析】 【分析】本题考查求众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的确定方法． 根据众数：出现次数最多的数据，中位线：数据排序后位于中间一位，或中间两位的平均数，进行求解即可． 【详解】解：得分为4分的人数有20人，次数最多， ∴众数为4； ∵将数据排序后，第20个和第21个数据分别为3，4， ∴中位数为：； 故答案为：4，3.5． 11. 已知，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，实数的运算，以及分式的混合运算． 利用完全平方公式将化为，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 13. 如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图确定圆锥的底面圆的周长即为的长度，根据正多边形的性质求出的长度和，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， ∴圆锥的底面圆的周长即为的长度． ∵正六边形的边长为6， ∴，． ∴． ∴圆锥的底面圆的周长为． 14. 已知一次函数（是常数，其中）的图象经过点，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入，可得，则可变形为，再结合，可得到关于x的不等式，即可求解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴可变形为， ∵， ∴， 解得：． 15. 如图，，直线与射线相交于点，若，则______． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，根据平行线性质求得，再结合邻补角性质求解，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 【答案】96 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理求得，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题(本大题共11小题，共82分) 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）进行开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）进行零指数幂，乘方，开方，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可. 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先对代数式进行化简，再将已知条件代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入，可得． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先对分式的分子进行因式分解，再将分式除法转化为分式乘法进行约分化简，最后将代入化简后的式子计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， ∴小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 21. 如图，正方形中，， （1）求证：①；②； （2）若，，求的长． 【答案】（1）①证明过程见解析；②证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①由、、可证得； ②利用全等的性质证，利用直角三角形两个锐角互余证明，即可解决问题； （2）利用全等的性质证，然后证，得，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：①四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 22. 某书法协会的创意节目《墨韵》以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，收获广泛关注．演出结束后，节目组收集了80名现场观众的评分，同时汇总了1200名线上观众的评分（满分10分），并进行整理、描述、分析，部分信息如下： 统计量 群体 平均数 中位数 众数 现场 8.1625 a 8 线上 7.88 8 b 根据以上信息，回答下列问题． （1）扇形统计图中 ，表格中 ， ． （2）请你计算出线上观众评分不低于9分的总人数． （3）小红认为现场观众群体的评分更能反映节目真实口碑，小李则认为线上观众的评分更具参考价值，你更支持谁的观点？请结合统计知识简要说明理由． 【答案】（1）25，8，7 （2）384人 （3）支持小李的观点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率、中位数和众数的定义求解即可； （2）总人数乘以对应百分比即可得出答案； （3）根据样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 现场评分共80个数据，第40，41个数据的平均数即为中位数， 而，， ∴（分）； ∵线上观众打分为7分的占，占比最大， ∴线上打分的众数分； 【小问2详解】 解：线上观众评分不低于9分的总人数为（人）； 【小问3详解】 解：支持小李的观点，因为线上观众群体对节目的打分样本容量大，更能体现实际情况． 23. 根据要求求值： （1）若x，y都是实数，且，求的值． （2）函数与函数的图象的交点坐标为，求的值． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值即可得到答案； （2）根据题意可得，则，，再把所求式子变形为，据此可得答案； （3）把所求式子可变形为，进一步变形为，据此代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵函数与函数的图象的交点坐标为， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 24. 如图，在中． （1）用尺规作图在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图，作出，推导出，得到，则，即可解答； （2）先求出，得到，由，得到，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求． 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， 即， 解得． 25. 如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． 【小问2详解】 解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 26. 某商店分别花元和元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多千克． （1）该商品的进价是多少？ （2）已知该商品每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式为：．若想销售该商品每天获利元，该商店需将商品的售价定为多少？ 【答案】（1）该商品的进价是元 （2）该商店需将商品的售价定为元或元 【解析】 【分析】（1）设该商品的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）根据题意得，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该商品的进价是元， 根据题意得  即， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意． 答：该商品的进价是元． 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：该商店需将商品的售价定为元或元 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； （3），是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据函数解析式判定出的值最小，得出，然后利用二次函数的性质以及图象得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； 【小问3详解】 解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏苏州市立达中学2025--2026学年第九下数学练习卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列各数中为负数的是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2021年12月29日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过281000万次，用科学记数法表示281000是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 8 5. 某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．接着将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点处．现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时铅锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6. 为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 因式分解：___________． 10. 周老师根据班级学生某次练习中某道题（满分4分）的答题情况，绘制了如下统计图． 某题得分情况条形统计图 这道题该班学生得分的众数和中位数分别是________分，____分． 11. 已知，则的值是__________． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13. 如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是_____． 14. 已知一次函数（是常数，其中）的图象经过点，则关于的不等式的解集是__________． 15. 如图，，直线与射线相交于点，若，则______． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 三、解答题(本大题共11小题，共82分) 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：已知，求代数式的值． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 21. 如图，正方形中，， （1）求证：①；②； （2）若，，求的长． 22. 某书法协会的创意节目《墨韵》以人工智能演绎传统水墨画为核心亮点，收获广泛关注．演出结束后，节目组收集了80名现场观众的评分，同时汇总了1200名线上观众的评分（满分10分），并进行整理、描述、分析，部分信息如下： 统计量 群体 平均数 中位数 众数 现场 8.1625 a 8 线上 7.88 8 b 根据以上信息，回答下列问题． （1）扇形统计图中 ，表格中 ， ． （2）请你计算出线上观众评分不低于9分的总人数． （3）小红认为现场观众群体的评分更能反映节目真实口碑，小李则认为线上观众的评分更具参考价值，你更支持谁的观点？请结合统计知识简要说明理由． 23. 根据要求求值： （1）若x，y都是实数，且，求的值． （2）函数与函数的图象的交点坐标为，求的值． （3）已知，求的值． 24. 如图，在中． （1）用尺规作图在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 25. 如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 26. 某商店分别花元和元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多千克． （1）该商品的进价是多少？ （2）已知该商品每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式为：．若想销售该商品每天获利元，该商店需将商品的售价定为多少？ 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； （3），是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $