第六章 平面向量及其应用(6.1-6.4.1)单元试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

《第六章 平面向量及其应用》 平面向量单元试卷 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 考查范围：6.1--6.4.1 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．下面命题中，正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若//，//，则// D．若，则// 2．如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，若与平行，则（   ） A． B． C． D．1 6．已知向量，若t是实数，且，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 7．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（   ）    A．2 B．-2 C． D．-1 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．化简下列各式，其结果为的是（    ） A． B． C． D． 10．已知点，，，则下列结论正确的是（    ） A．是直角三角形 B．若点，则四边形是平行四边形 C．若，则 D．若，则 11．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知向量和，则用和来表示是______． 13．已知正方形 的边长为 2，且 为 边中点，则 ________. 14．设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15．(13分)设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值． 16．(15分)已知向量满足，，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 17．(17分)已知向量，满足，. (1)求； (2)若，且，求的坐标； (3)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18．(17分)已知正六边形的边长为2，点在线段上． (1)设分别为线段的中点． （i）求； （ii）求向量夹角的余弦值． (2)若，求． 19．(17分)如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章 平面向量及其应用》 平面向量单元试卷 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 考查范围：6.1--6.4.1 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B C A C ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】通过平面向量的基础概念，选出正确的选项. 【详解】A选项，我们规定零向量的方向是任意的，A错误； B选项，向量不能比较大小，B错误； C选项，时得不到，C错误； D选项，时，两者方向相同，大小相等，//，D正确. 2．C 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以 3．A 【详解】由题意，，， 则在上的投影向量为. 4．C 【分析】选用为基底向量，即可根据向量的线性运算以及数量积的运算律求解. 【详解】设与方向相同的单位向量分别为，则，故，由于，故. 5．B 【详解】因为，， 则 又因为与平行， 所以， 化简：，即， 解得：. 6．C 【分析】首先根据向量的坐标运算求出，再根据数量积的性质求得，进而可得最小值. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值. 7．A 【分析】设，根据向量垂直的坐标表示和模长的坐标表示即可得到方程组，解出即可. 【详解】设，且，①， ，②， 又，③， 由①②③解得，则点的坐标为. 故选：A. 8．C 【分析】直接应用向量数量积的定义和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 则， 因为点在弧上运动，所以， 而余弦函数在内单调递减， 所以当时，取得最小值. 故答案为：C. 9．ABD 【详解】对于A，因为，所以A正确， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确. 10．ABD 【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项． 【详解】，，所以，，是直角三角形，A正确. 若点，则,，四边形是平行四边形，B正确. 若，则，C错误. 若，则是中点，，D正确. 故选：ABD． 11．ABD 【分析】借助模长与数量积的关系计算可得A、D；借助夹角公式计算可得B，即可得C. 【详解】对A、D：由，得，整理得， 由，得，整理得， 则，所以，，故A，D正确； 对B、C：，所以，所以，反向共线， 又，所以，，故B正确，C错误． 12． 【分析】设，根据可求出结果. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以． 故答案为：. 13． 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则, 所以. 14． 【分析】由条件确定三个向量的夹角的关系，再结合模长，代入向量模的计算公式，结合夹角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，不管是还是的范围都是， 因为，说明一个加数是0，一个加数是1， 不妨设，，则，， 所以， 因为，所以. 故答案为： 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求出，即可得到，从而得证； （2）设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以，即， 又与有公共点，所以，，三点共线． （2）由（1）可知，又， 因为，设， ，又，是两个不共线的向量， 所以，解得． 16．(1)． (2) 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． （2）设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，，进而求的坐标及其模长； （2）设，，根据向量垂直的坐标表示运算求解； （3）求和的坐标，根据数量积大于0运算求解，注意排除向量共线的特殊情况. 【详解】（1）因为，， 则，， 可得，所以. （2）因为，设，，则， 若，则， 整理可得，解得，所以. （3）因为，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 18．(1)； (2) 【分析】（1）以正六边形的中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，求得向量和的坐标，利用向量模的公式，求得的值，再利用向量的夹角公式，求得向量夹角的余弦值； （2）设，根据题意，得到，结合，列出方程，求得点的坐标，进而取得的值. 【详解】（1）解：以正六边形的中心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设分别交轴于点，则， （i）点，可得， 所以； （ii）由，可得， 所以， 所以， 所以向量夹角的余弦值为. （2）解：设，可得， 则， 由，所以直线的方程为，即， 则， 因为，即，即， 解得或（舍去），所以，即， 所以，可得， 所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【详解】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $