精品解析：四川省绵阳市涪城区2026年初中学业质量第一次模拟监测（数学）

2026年数学初中学业质量第一次模拟监测 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　） A. 1 B. C. D. 3 2. 据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极地加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 3. 若 ，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A. 正方形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 圆 5. 是一个数学函数，它表示自然数 的指数次幂．其中自然数 是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数． A. B. C. 3.14 D. 6. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 图②与图③的主视图形状不同 B. 图①与图③的俯视图形状相同 C. 图②与图③的左视图形状相同 D. 图②、图③各自的三视图相同 7. 某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如表所示： 捐款数（元） 10 20 30 40 50 捐款人数（人） 8 17 16 2 2 则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（ ） A. 众数是20 B. 平均数是24 C. 中位数是30 D. 方差是 8. 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ） A. 676 B. 675 C. 674 D. 1350 9. 一个扇形的圆心角为，半径为 6，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在 中，，于点D，若，，那么 的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知y关于x的二次函数，下列结论中：①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点；③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 12. 抛物线 交x轴于点．下列结论：① ；②；③当时，无论m取何值都有；④若时，抛物线交y轴于点C，且 是等腰三角形，或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点且，，则；则其中正确的是（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 因式分解：___________． 14. 一副直角三角板（一个含有 角，一个含有角）按如图所示摆放，若直线，则 的度数为_______． 15. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 16. 某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为_______元． 17. 已知二次函数的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线与x轴交于点M，直线 与直线交于点N，当点N在第一象限，且时，______． 18. 已知：如图，将长方形纸片沿着所在直线对折，B点落在点处，与交于点F，如果，， ，则 的长为_________． 三、解答题（共90分） 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：．优秀；．良好；．及格；．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． （1）本次共调查了________名学生，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，的值是________，对应的扇形圆心角的度数是________； （3）若该校共有名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数； （4）某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字，，，．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 21. 为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． （1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 22. 如图，一次函数的图象与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，求使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 23. 如图， 中， 是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求证： ； （3）若 ，，求的长． 24. 在 中，，，点D在直线 上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是线段的中点，连接． （1）如图1，当点D在的延长线上时，连接． ①与之间的位置关系是 ，数量关系是 ； ②若，则线段 ； （2）如图2，当点D在 的延长线上时，若点G是线段的中点，连接 ，试探究与 的数量与位置关系并证明； （3）如图3，连接 和，若，当线段 取最小值时，请求出的面积． 25. 如图，在 中，分别是的中点，连接，交于点． （1）若，，，则四边形 的面积为___________； （2）若， 的最大面积为．设 ，求与之间的函数关系式，并求的最大值； （3）若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年数学初中学业质量第一次模拟监测 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的面积，无理数的大小比较，计算即可． 【详解】设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c， 根据题意，得， 故， ∵ ∴中正方形的可能值为， 故选B． 2. 据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极地加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 3. 若 ，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ， 故选：． 4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A. 正方形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断：轴对称图形是沿直线对折后重合的图形；中心对称图形是绕点旋转后重合的图形． 【详解】解：正方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线和对角线所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故A不符合题意； 长方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 B不符合题意； 等边三角形是轴对称图形（对称轴为三条高所在直线），但不是中心对称图形（旋转后不重合），故C符合题意； 圆是轴对称图形（对称轴为任意直径所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 D不符合题意． 故选：C． 5. 是一个数学函数，它表示自然数 的指数次幂．其中自然数 是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数． A. B. C. 3.14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无限不循环小数是无理数，即可作答． 【详解】解：是分数，是有理数，不符合题意； 是整数，是有理数，不符合题意； 是有限小数，是有理数，不符合题意； 是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 故选：D． 6. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 图②与图③的主视图形状不同 B. 图①与图③的俯视图形状相同 C. 图②与图③的左视图形状相同 D. 图②、图③各自的三视图相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，对各几何体三视图分别作出判断再比较解答即可． 【详解】解：A、图②的主视图为矩形，图③的主视图为圆形，图②与图③的主视图形状不同正确，不符合题意； B、图①与图③的俯视图都为圆形，图①与图③的俯视图形状相同，正确，不符合题意； C、图②的左视图为正方形，图③的左视图为圆形，图②与图③的左视图形状不相同，原说法错误，符合题意； D、图②的三视图都为正方形、图③的三视图都为圆形，图②、图③各自的三视图相同，正确，不符合题意， 故选：C． 7. 某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如表所示： 捐款数（元） 10 20 30 40 50 捐款人数（人） 8 17 16 2 2 则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（ ） A. 众数是20 B. 平均数是24 C. 中位数是30 D. 方差是 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，可判断A选项；平均数是这组数据的和除以数据的个数的值，可判断B选项；找中位数要把这组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，可判断C选项；方差就是这组数中每个数与平均数的差的平方和除以数据个数的值．可判断D选项． 【详解】解：A．众数是20， ∵在这一组数据中20是出现次数最多的， ∴众数是20， 故本选项正确； B．平均数是24， ∵ ， 故本选项正确； C．中位数是30， ∵将这组数据按从小到大的顺序排列：，，，，， ∴处于中间位置的那个数是20， ∴这组数据的中位数是20； 故本选项错误； D．方差是， ∵ ， 故本选项正确． 故选C． 8. 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ） A. 676 B. 675 C. 674 D. 1350 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，根据题意发现这列数按奇数，奇数，偶数循环出现是解题的关键． 根据所给各数，发现这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，据此求解即可． 【详解】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现， 又∵， ∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675． 故选：B． 9. 一个扇形的圆心角为，半径为 6，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键．扇形面积公式为． 【详解】解：． 故选：A． 10. 如图，在中，，于点D，若，，那么 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据直角三角形的性质，可证得 ，再根据正切函数的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及求一个角的正切值，熟练掌握和运用直角三角形的性质及求一个角的正切值的方法是解决本题的关键． 11. 已知y关于x的二次函数，下列结论中：①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点；③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题．将时的函数关系式变形为顶点式，可判断①；当时，该函数关系式可变形为，可得当时，y的值与m无关，求出的根，求出对应的y值，即可得定点坐标，可判断②；③当时，求出该函数图象与x轴的交点的横坐标，可判断③． 【详解】解：①当时，， ∴顶点坐标为，故①正确． ②当时，， 当时，y的值与m无关， 此时，， 当时，； 当时，， ∴函数图象总经过两个定点，，故②正确； ③当时，由得：， ， ∴． ∴，． ∴， ∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确． 故选A． 12. 抛物线 交x轴于点．下列结论：① ；②；③当时，无论m取何值都有；④若时，抛物线交y轴于点C，且是等腰三角形，或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点且，，则；则其中正确的是（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点 、 ，可知二次函数的对称轴为直线，即 ，可得 与的关系，可判断①；根据对称轴公式，将点代入可得、的关系，即可判断②；函数开口向下，时取得最大值，可判断③；由图象知时，当 时，两种情况利用勾股定理即可求得的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤． 【详解】解：如图， ①二次函数与轴交于点 、 ． 二次函数的对称轴为，即 ， ．故①正确； ②． ∴， 二次函数与轴交于点 、 ． ， ， ， ．故②错误； ③， 抛物线开口向下． 时，二次函数有最大值． ． 即．故③正确； ④由图象可得，． 当时，则，解得， 当 时，则，解得 故是等腰三角形时，或，故④正确； ⑤∵抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴， ∴开口向下， ∵，， ∴点E在点F左侧，中点横坐标为， 则中点在对称轴右侧， ∴点比更接近对称轴， ，故⑤正确； 故正确的为①③④⑤． 故选：C 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 原式符合平方差的结构形式，先利用平方差公式分解，再对可分解的多项式继续分解即可． 【详解】解： 14. 一副直角三角板（一个含有 角，一个含有角）按如图所示摆放，若直线，则 的度数为_______． 【答案】 ##15度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等； 先根据平行线的性质得到，再根据三角形外角性质进行计算即可． 【详解】解：如图所示，延长一直角边交直线a于一点， ∵ ∴ 由三角形外角性质，可得 ∴ 故答案为： ． 15. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________. 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 当时， ， 因此k的取值范围为且， 故答案为：且． 16. 某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为_______元． 【答案】 【解析】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 【详解】解：设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴ ， 故答案为： 17. 已知二次函数的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线与x轴交于点M，直线与直线交于点N，当点N在第一象限，且时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，，，然后可得，则有，连接交对称轴于点H，过点D分别作，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意可得如图所示： ∵，图象开口向下， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点， 令，得 ， ∴， 点与点关于对称轴对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， 连接交对称轴于点H，过点D分别作， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 由点A与点D关于对称轴对称可知：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 已知：如图，将长方形纸片沿着所在直线对折，B点落在点处，与交于点F，如果，， ，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质和勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 根据对折前后两图形全等可得，又，所以，因此，所以，设，则，在中，根据勾股定理列式即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 由折叠可得 四边形是长方形， ， ， ∵由折叠可得， ， ， 设，则， ∵在长方形中，，， ∴由折叠可得，， ∴在中，， ∴， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题（共90分） 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和分式的化简求值． （1）根据有理数的乘法、算术平方根、有理数的平方、零指数幂的运算法则依次计算后，再计算有理数的加减法即可． （2）根据分式的混合运算法则经过通分，因式分解，分式除法转化为乘法，约分计算后得到化简后的分式，将代入化简后的分式进行计算，并检验分式中的分母不等于即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 当时， 原式． 20. 某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：．优秀；．良好；．及格；．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． （1）本次共调查了________名学生，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，的值是________，对应的扇形圆心角的度数是________； （3）若该校共有名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数； （4）某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字，，，．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【答案】（1）， 补全统计图如图所示， （2）， （3）估计该校不合格的学生人数为人 （4） 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， 小明参加， 小亮参加， ， 这个游戏规则不公平． 【解析】 【分析】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数，进而补全统计图； （2）根据（1）的结论，求出的值根据的占比乘以即可求解； （3）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可； （4）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平． 【小问1详解】 解：本次共调查了人 故答案为：． 等级的人数为人， 【小问2详解】 ∴， 故答案为：． 对应的扇形圆心角的度数是 【小问3详解】 估计该校不合格的学生人数人， 答：估计该校不合格的学生人数为人； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、游戏的公平性、统计表、样本估计总体以及概率公式等知识；画出树状图是解题的关键． 21. 为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． （1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元 （2）当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元； 【小问2详解】 解：购进件种农产品，则购进件种农产品， 根据题意得：， 解得：． 设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则 ，即， ， 随的增大而减小， 当 时，取得最大值，此时． 答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多． 22. 如图，一次函数的图象与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，求使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）待定系数法求出两个函数的解析式即可； （2）直接利用图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； 把代入，得：； ∴； 【小问2详解】 解：联立， 解得或， ∴， 由图象可知：反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：或． 23. 如图，中， 是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的 分别交于点E，点F． （1）判断与 的位置关系，并说明理由； （2）求证： ； （3）若 ，，求的长． 【答案】（1） 与 的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 即， ∵为圆的半径， ∴与 的位置关系是相切． （2） 证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴ ， ∵是的平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 即 ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得 ，再由即可得，从而得与 的位置关系是相切； （2）连接，证明 即可； （3）连接 ，在 中，由，设 ，则 ，从而 ，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接 ， 由（1）知 ， 在 中，， 设 ，则 ， ∴ ， 解得， ∴， ， ∵为圆的直径， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 24. 在中，，，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是线段的中点，连接． （1）如图1，当点D在的延长线上时，连接． ①与之间的位置关系是 ，数量关系是 ； ②若，则线段 ； （2）如图2，当点D在的延长线上时，若点G是线段的中点，连接 ，试探究与 的数量与位置关系并证明； （3）如图3，连接和，若，当线段取最小值时，请求出的面积． 【答案】（1）① ；②3 （2） 解： ， 证明：如图2中，连接． ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 在 和中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； （3）3 【解析】 【小问1详解】 解：（1）①如图1中，设交于点O． ∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段， ∴， ∴ ， 在 和中， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 故答案为： ； ②∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段， ∴ ， ， ∵ ∴ ， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中， ∵是等腰直角斜边上的高， ∴当最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小（如图4中）， 由题意可得，， ， ， 则四边形 是正方形， ， ． 25. 如图，在中，分别是的中点，连接，交于点． （1）若，，，则四边形 的面积为___________； （2）若，的最大面积为．设 ，求与之间的函数关系式，并求的最大值； （3）若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大为 （3）是， 【解析】 【分析】（1）分割法得到四边形 的面积，即可得出结果； （2）三角形的中位线定理，证明 ，进而推出，进而得到当四边形 的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形 的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，结合点H在上列出方程，利用韦达定理解得m和n的关系，再把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴四边形 的面积 ； 【小问2详解】 ∵在中，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形 的面积最大时，的面积最大， 过点作，过点作，则：， ∵四边形 的面积 ∴四边形 的面积最大， ∵， ， ∴， ∴， ∴当时，最大为； 【小问3详解】 直线是过定点： 由（2）知：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴为的中点， ∵过点的直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵直线交该图象于点， ∴， 则， ∴，， ∴， 那么，， 解得：， ∴直线：， 即：， ， ∴当，即：时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $