精品解析：2025年四川省绵阳市涪城区中考一模数学试题

2025年绵阳市涪城区中考模拟考试试卷 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 4. 学校新组建的篮球队12名队员的年龄如下表所示： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 4 1 2 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ） A. 13，14 B. 14，14 C. 13，14.5 D. 14，14.5 5. 如图，在一个木块上放置一个球体，则它们组成的几何体的主视图应是（ ） A. B. C. D. 6. 下面给出的条件中，能判定四边形 是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆锥的底面积为S，侧面积为，设圆锥的母线与高的夹角为，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的点，把AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，且C、D均在直径AB上方，连接AD、BD，若AC＝4，BD＝4，则AD的长度应是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 12. 已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．） 13. 因式分解：______． 14. 如图，在中，，则______． 15. 2020年7月23日，中国首次火星探测任务探测器发射成功，将“天问一号”探测器送人预定轨道，我国迈出行星探测第一步．飞行7个月后，“天问一号”探测器将着陆火星，进行巡视勘测．已知火星与地球的最近距离约为5600万千米，若将5600万用科学记数法表示应是______． 16. 甲、乙、丙3位同学到两个风景区去游玩，每位同学到每个风景区的可能性相同，则3位同学在同一风景区游玩的概率是______． 17. 为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360m的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费9万元，乙队工作一天需付费8万元，如需改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元，至少安排甲队工作______天． 18. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是______．（填序号） 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：． （2）化简：． 20. 某校九年级（5）班50名学生参加1分钟跳绳比赛．1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制成下面的频数分布表（表示为大于等于60并且小于70）和扇形图． 等级 分数段 1分钟跳绳次数段 频数 A 120 254～300 0 110～120 224～254 3 B 100～110 194～224 9 90～100 164～194 m C 80～90 148～164 12 70～80 132～148 n D 60～70 116～132 2 0～60 0～116 0 （1）求m，n的值； （2）求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比． 21. 如图，在中，E，F分别为边上的点，，连接，与交于点O． （1）求证：与相互平分． （2）若，，，，求的长． 22. 如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作轴，垂足为H． （1）求反比例函数的解析式； （2）以 为对称轴将翻折得到直线 ，直线 与x轴交于点D，与反比例函数的图象交于点C，求点C的坐标． 23. 一公司要将240吨货物运往某地销售，经与物流公司协商，计划租用甲、乙两种型号的卡车共15辆，用这15辆卡车一次性将货物全部运走，其中每辆甲型卡车最多能装该种货物15吨，每辆乙型卡车最多能装该种货物18吨．已知租用3辆甲型卡车和2辆乙型卡车共需费用3100元；租用2辆甲型卡车和1辆乙型卡车共需费用1850元，且同一型号卡车每辆租车费用相同． （1）求租用1辆甲型卡车、1辆乙型卡车的费用分别是多少元． （2）若该公司预算此次租车费用不超过9500元，请计算该公司采用什么租车方案的费用最少，求出最少租车费用． 24. 如图，已知是的直径， 是的弦，于点G，交 于点H，与交于E，F两点，其中H为 的中点，． （1）求证：与的相切； （2）若，，求的长； （3）若，求的值． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值； （3）如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出P，Q两点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年绵阳市涪城区中考模拟考试试卷 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的概念，例如：无限不循环小数，开方开不尽的数等． 【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是有理数，故本选项不符合题意； D、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式分母不能为0，二次根式被开方数不能为负数，因此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的范围． 【详解】解：根据题意：且， 解得∶ 且， 故选：C 4. 学校新组建的篮球队12名队员的年龄如下表所示： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 4 1 2 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ） A. 13，14 B. 14，14 C. 13，14.5 D. 14，14.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义以及平均数的求法，众数就是出现次数最多的数，平均数即总的年龄除以总的人数． 【详解】解：年龄为13岁的人数出现的次数最多为5人， 则众数为13． 平均数为：， 则平均数数14， 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是13，14， 故选：A 5. 如图，在一个木块上放置一个球体，则它们组成的几何体的主视图应是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边正中间位置是一个圆， 故选：C． 6. 下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B 7. 如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意结合反比例函数图像上点的坐标性质，再由进行求解即可． 【详解】解：如图所示：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， ∵反比例函数 在第一象限的图像上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3， ∴，， ∴ ∴， ∴． 故选B． 8. 临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，即设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，据此根据照片总数量为2652张列一元二次方程即可． 【详解】解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片， 根据题意可得出， 故选：B 9. 已知圆锥的底面积为S，侧面积为，设圆锥的母线与高的夹角为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形侧面积计算，解直角三角形，设底面圆半径为r，母线长为l，则有，则，再根据，可得。 【详解】解：设底面圆半径为r，母线长为l， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解的问题求参数．考虑到分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键． 利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得： ， 移项，合并同类项，系数化1得： ． ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1，故有4个， 故选：A． 11. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的点，把AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上，且C、D均在直径AB上方，连接AD、BD，若AC＝4，BD＝4，则AD的长度应是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】AD交OC于E，如图，利用折叠的性质得 ，得到OC⊥AD，所以AE＝DE，再证明OE为△ADB的中位线得到OE＝2，利用勾股定理，在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22，在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2，然后解方程组即可． 【详解】解：AD交OC于E，如图，设⊙O的半径为r， ∵△AOC沿OC对折，点A的对应点D恰好落在⊙O上， ∴ ， ∴OC⊥AD， ∴AE＝DE， ∵OA＝OB， ∴OE为△ADB的中位线， ∴OE＝BD＝2， 在Rt△AOE中，AE2＝OA2﹣OE2＝r2﹣22， 在Rt△ACE中，AE2＝CA2﹣CE2＝（4）2﹣（r﹣2）2， ∴r2﹣22＝（4）2﹣（r﹣2）2，解得r1＝﹣4，r2＝6， ∴AE＝＝4， ∴AD＝2AE＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质和垂径定理，解题关键是利用折叠和垂径定理，设半径根据勾股定理列方程． 12. 已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题，当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴，解得， 则二次函数， 当时，函数有最小值； ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解∶ ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为： 15. 2020年7月23日，中国首次火星探测任务探测器发射成功，将“天问一号”探测器送人预定轨道，我国迈出行星探测第一步．飞行7个月后，“天问一号”探测器将着陆火星，进行巡视勘测．已知火星与地球的最近距离约为5600万千米，若将5600万用科学记数法表示应是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：5600万． 故答案为：． 16. 甲、乙、丙3位同学到两个风景区去游玩，每位同学到每个风景区的可能性相同，则3位同学在同一风景区游玩的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图列出所有等可能解果，从中找到甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】设两个风景区分别为A，B， 画树状图如下： 由树状图知共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的有2种结果， ∴甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率为． 故答案为：． 17. 为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360m的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费9万元，乙队工作一天需付费8万元，如需改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元，至少安排甲队工作______天． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题中的等量关系和不等关系列方程是解题关键．设乙队每天改造x米，甲队每天改造米， 根据题意列出分式方程求出乙队每天改造30米，甲队每天改造45米，再设则甲队工作a天，根据改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元列出关于a的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设乙队每天改造x米，甲队每天改造米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则乙队每天改造30米，甲队每天改造米， 则甲队工作a天， ∴， 解得：， ∴甲队至少工作20天， 故答案为：20 18. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由函数图像开口向下，与y轴交于正半轴可知：，，在根据可得出，即可判断①，由代入②即可判断②，根据二次函数的对称性可判断③，把代入得出，进而可得出，即可判断④． 【详解】解：根据函数图像开口向下，与y轴交于正半轴可知：，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误， ∵， ∴，故②正确． ∵点关于对称轴为直线的对称点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故③正确， ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵在抛物线上， ∴点一定在此抛物线上，故④正确． 综上：②③④正确， 故答案为：②③④ 三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 20. 某校九年级（5）班50名学生参加1分钟跳绳比赛．1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制成下面的频数分布表（表示为大于等于60并且小于70）和扇形图． 等级 分数段 1分钟跳绳次数段 频数 A 120 254～300 0 110～120 224～254 3 B 100～110 194～224 9 90～100 164～194 m C 80～90 148～164 12 70～80 132～148 n D 60～70 116～132 2 0～60 0～116 0 （1）求m，n的值； （2）求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题难度中等，考查统计图表的识别，以及扇形统计图，解本题要懂得频率分布表的意义，读图时要全面细致，同时解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． （1）由扇形图可得B级人数，可求出m的值，再根据频数分布表可求出n的值，即可； （2）用80分以上（含80分）的人数除以全班人数，即可求解． 【小问1详解】 解：由扇形图可得B级人数应是， ∴， ∴． 由频数分布表可知， ∴． 【小问2详解】 解：由表可得80分以上（含80分）的人数为， ∴该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为． 21. 如图，在中，E，F分别为边上的点，，连接，与交于点O． （1）求证：与相互平分． （2）若，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 在中，， 又， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴与相互平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．菱形的判定与性质以及勾股定理 ，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接．通过证明四边形是平行四边形推知与互相平分． （2）连接，过点C作，交 的延长线于点H．证明四边形是菱形，求出，．设，则，，，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点C作，交 的延长线于点H． 由（1）可得四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． 22. 如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点B作轴，垂足为H． （1）求反比例函数的解析式； （2）以为对称轴将 翻折得到直线 ，直线 与x轴交于点D，与反比例函数的图象交于点C，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称的性质，利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）利用对称性得到，求出得到，利用待定系数法求出直线解析式，再联立直线解析式和反比例函数解析式求出点C的坐标即可． 【小问1详解】 解：将代入，得，即． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵轴， 与关于对称， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴． ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴点C的坐标为． 23. 一公司要将240吨货物运往某地销售，经与物流公司协商，计划租用甲、乙两种型号的卡车共15辆，用这15辆卡车一次性将货物全部运走，其中每辆甲型卡车最多能装该种货物15吨，每辆乙型卡车最多能装该种货物18吨．已知租用3辆甲型卡车和2辆乙型卡车共需费用3100元；租用2辆甲型卡车和1辆乙型卡车共需费用1850元，且同一型号卡车每辆租车费用相同． （1）求租用1辆甲型卡车、1辆乙型卡车的费用分别是多少元． （2）若该公司预算此次租车费用不超过9500元，请计算该公司采用什么租车方案的费用最少，求出最少租车费用． 【答案】（1）租用1辆甲型卡车的费用为600元，租用1辆乙型卡车的费用为650元 （2）租用甲型卡车10辆，乙型卡车5辆时，费用最少，最少租车费用为9250元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设租用一辆甲型卡车的费用为x元，一辆乙型卡车的费用为y元，根据题意，租用1辆甲型卡车和2辆乙型卡车共需费用3100元，租用2辆甲型卡车和1辆乙型卡车共需费用1850元，列方程组求解； （2）设租用x辆甲型汽车，根据租车费用不超过9500元，共有240吨货物，列不等式组求解． 【小问1详解】 解：设租用1辆甲型卡车的费用为m元﹐租用1辆乙型卡车的费用为n元． 由题意﹐得， 解得． 答：租用1辆甲型卡车的费用为600元，租用1辆乙型卡车的费用为650元． 【小问2详解】 解：设租用甲型卡车x辆，租用乙型卡车辆，租车的总费用为W元． 由题意﹐得， 解得， ∴租车的总费用为，其中． ∵， ∴W随x增大而减小， ∴当时，租车的总费用最少，． 答：租用甲型卡车10辆，乙型卡车5辆时，费用最少，最少租车费用为9250元． 24. 如图，已知 是的直径， 是的弦，于点G，交 于点H，与交于E，F两点，其中H为 的中点，． （1）求证： 与的相切； （2）若，，求的长； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图①，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴与相切． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角和对顶角相等得，，再由，可得，则，据此可证明结论． （2）连接，过点D作，垂足为M．由垂径定理得到．设的半径为r，则，由勾股定理得，，解方程得到．由三角形中位线定理得到，证明，得到，则．可得到．证明，得到，解得，则． （3）证明，得到，即．令，则，，，，求出．由（2）可得，解得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，连接，过点D作，垂足为M． ∵，， ∴． 设的半径为r，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． ∵ 是直径， ∴， ∵H为 的中点，O是 的中点， ∴， ∴． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，H为 的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由（2）可得， ∴，即． 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 由（2）可得， ∴， 解得， ∴． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值； （3）如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出P，Q两点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）P，Q两点的坐标分别为，或， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN；用待定系数法求出直线BC的解析式为；设，其中，则，从而求得，用代数式表示出的面积，利用二次函数即可求得其最大值； （3）由B，C两点的坐标得是等腰直角三角形，由得是等腰直角三角形，从而可求得其三边长，分∽及∽两种情况考虑，即可求解． 【小问1详解】 解：将，两点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图③，在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN， 在中，令，则， ∴． 设直线BC的解析式为， 将，两点代入， 得，解得， ∴直线BC的解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：如图④，连接AP，AQ． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与x轴的交点为M． ∵，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形； 由勾股定理得：； 在中，，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，． 若∽，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 若∽，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为，或，． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，灵活应用是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $