河北唐山第二中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

2025-2026唐山第二中学高一下学期数学4月月考 一、单选题 1．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A．-I B． C．-1 D．1 2．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．在△中， 已知,,，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，且与垂直，则与的夹角为（   ） A．60° B．30° C．135° D．45° 5．设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．设为虚数单位，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 7．在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（    ） A．7 B．8 C．6 D．10 8．已知是平面内的一点，若，，且向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为钝角，则 10．已知为复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．已知中，内角所对的边分别为，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 三、填空题 12．___________． 13．，则________. 14．如图，已知为的外心，内角的对边分别为．若，则_____．    四、解答题 15．已知，. (1)若与的夹角为，求； (2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？ 16．已知复数（其中，i为虚数单位）是纯虚数. (1)求实数的值； (2)若复数，求． 17．已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 18．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 19．如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形. (1)若，，求线段的长度； (2)若，求线段的最大值； (3)若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山第二中学高一下学期数学4月月考 一、单选题 1．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A．-I B． C．-1 D．1 【答案】C 【分析】设，根据条件，利用复数的运算法则即可求出结果. 【详解】设，因为，所以，故，得到， 故选为：C. 2．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量减法和数量积的坐标表示求解即可. 【详解】设，则由题意可得， 解得， 所以， 故选：D 3．在△中， 已知,,，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用内角和求出角A，再利用正弦定理即可求出． 【详解】因为，所以，解得，故选D． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形． 4．已知，且与垂直，则与的夹角为（   ） A．60° B．30° C．135° D．45° 【答案】D 【分析】由向量垂直及数量积的运算律求得，根据向量的夹角公式求夹角的大小. 【详解】由题设， 所以，而， 所以. 故选：D 5．设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 6．设为虚数单位，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】题中将看做常数，利用复数的运算法则进行化简运算，再利用复数相等，求出即可. 【详解】由题意，， 根据复数相等运算法则， 则且， 解得. 故选：D. 7．在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（    ） A．7 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用正弦定理求得，再根据三角形有两解的条件可得，且，由此求出的范围即可得解. 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 故选：B 8．已知是平面内的一点，若，，且向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意中，为斜边的中点，，由向量在向量上的投影向量为，求出角即可得结果. 【详解】，，则为中点，有， 向量在向量上的投影向量为，则， 由，得，，则， 所以. 故选：C 二、多选题 9．已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为钝角，则 【答案】AC 【分析】根据给定条件，求出，的坐标，再逐项计算判断各个选项即得. 【详解】由点，，，得，， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得，解得，故B错误； 对于C，由，得，解得，故C正确； 对于D，由，的夹角为钝角，得且与不共线， 即且，故D错误. 故选：AC. 10．已知为复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】用特殊值法判断A，C；根据复数的运算性质及共轭复数的含义判断B；根据复数的运算性质及复数的模的计算判断D . 【详解】对于A，若，则，而，故A错误； 对于B，设，， 则，所以. ，故B正确； 对于C，若，显然满足，但1，故C错误； 对于D，设， 所以， 所以， 又，所以，故D正确． 故选：BD． 11．已知中，内角所对的边分别为，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的面积为 【答案】AC 【分析】利用二倍角公式判断A，利用余弦定理判断B，利用三角形面积公式判断C，利用正弦定理求出外接圆的半径，再结合圆的面积公式求解面积判断D即可. 【详解】因为，所以由二倍角公式得， 在中，可得，则，得到， 解得，得到，故A正确， 对于B，由题意得，由余弦定理得， 解得（负根舍去），故B错误， 对于C，由三角形面积公式得， 则的面积为，故C正确， 对于D，设外接圆的半径为，外接圆面积为， 由正弦定理得，解得， 由圆的面积公式得， 则外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．___________． 【答案】 13．，则________. 【答案】 【详解】, 14．如图，已知为的外心，内角的对边分别为．若，则_____．    【答案】2 【分析】由向量数量积的运算可得，再根据正弦定理及二倍角公式化解可得. 【详解】 ， 又， 由正弦定理得 ． 故答案为：2. 四、解答题 15．已知，. (1)若与的夹角为，求； (2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可； （2）根据解方程即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解：∵向量与互相垂直， ∴，整理得，又，， ∴，解得. ∴当时，向量与互相垂直. 16．已知复数（其中，i为虚数单位）是纯虚数. (1)求实数的值； (2)若复数，求． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由纯虚数的定义直接求即可； （2）先化简求出，再由共轭复数求出，即可求出. 【详解】（1）因为为纯虚数，则，解得； （2）由（1）得，因为，所以，     则   ，              . 17．已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，代入已知条件结合余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理求出，代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）因为中，由正弦定理得， 所以， 又由余弦定理可得，所以，即， 因为，所以． （2）由（1）可知，， 因为，，所以， 则的面积． 18．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. 【详解】（1），， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 19．如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形. (1)若，，求线段的长度； (2)若，求线段的最大值； (3)若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，然后根据数量积的运算求出； （2）解法一：由题意，不妨设，可得，根据三角函数的性质可得最大值； 解法二：建立平面直角坐标系，不妨设，根据向量的坐标运算可得，根据三角函数的性质可得最大值； （3）解法一：由角平分线定理知：，可推得与内切圆半径之比，根据余弦定理可得，从而得的表达式，根据单调性可求得答案； 解法二：不妨设，可推得与内切圆半径之比，由余弦定理得，由得，可得的表达式，利用换元法，结合单调性可得结果. 【详解】（1）已知，为等边三角形， 若，， 则， 又，则 . 即线段的长度. （2）解法一：是线段中点， 不妨设， 则 ， 当时，， 即线段的最大值为. 解法二：以线段中点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 不妨设，则， ， 当时，， 即线段的最大值为. （3）解法一：已知，为的平分线， 由角平分线定理知：， 不妨设，， 要构成，则. 不妨设与内切圆半径分别为、， ， ， 则，在上单调递增， 所以，即与内切圆半径之比的取值范围为. 解法二：不妨设， 不妨设与内切圆半径分别为， ， 在中，由余弦定理得：， ， 令， 则，在时单调递减， 所以，即与内切圆半径之比的取值范围为. 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $