精品解析：2026年四川绵阳市安州区初中毕业教学质量数学监测 试卷

2026年初中毕业教学质量监测数学 （总分：150 时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现几何之美．下列窗棂图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 7. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．学生可以报名参加书法、围棋、象棋三个社团，活动组织者为参加社团的同学们购买了毛笔、围棋、象棋(三种都购买)，共花费500元．其中毛笔每支20元，围棋每副25元，象棋每副30元，若象棋至少买5副，最多买6副，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 8. 如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（ ）． A. B. C. D. 17 9. 如图，等边的边长为2．以的中点为原点建立平面直角坐标系，把绕点顺时针旋转得到与相交于点，连接，下列判断不正确的是（　　） A. 点的坐标是 B. 是等腰三角形 C. 的长是 D. 10. 如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 11. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：；；；（为任意实数）；若图象上存在点和点，当时，满足后，则的取值范围为．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 13. 因式分解_____． 14. 如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度． 15. 不等式的最小整数解为__________． 16. 一只不透明的袋子中装有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出个球，则次都摸到白球的概率是_________． 17. 如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 18. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接.以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为__________. 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 某校九年级组织的一次数学核心素养测评中，有一道满分为分的数学小作文题，其评分标准如下： ．未清楚表达，只有一个观点或结论，评为分； ．略有错误，基本满足要求，评为分； ．正确阐明观点，且有结构，评为分； ．能简明地表达原理或进行推理说明，评为分； ．完整、清晰、精准地概括和表达出立意，评为满分分． 为了解数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以人为一组进行了随机分组，并从中抽取了两个小组学生的答卷进行统计分析，结果如下： （1）请补全第小组得分条形统计图； （2）在第小组得分扇形统计图中，所对应的扇形圆心角的度数为_______； （3）填空： 平均数/分 众数/分 中位数/分 第小组 ________ 第小组 _______ （4）结合你的分析，请给第小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 22. 如图，在中，点O是上一点，以点O为圆心长为半径的圆与相切于点D，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径长． 23. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 3 4 竖直高度 0 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 24. 如图，在矩形中，为的中点，过点作交于点． （1）若，，求的长； （2）求证：平分； （3）在上截取，使，求的值． 25. 已知：抛物线y（x+k）（x﹣7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB＝OC． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业教学质量监测数学 （总分：150 时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法等运算法则，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 2. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可. 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件就是被开方数大于等于0. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是简单几何体的左视图． 【详解】根据左视图画法画出即可．注意：因为台阶中间的折线从左侧是不可见的，所以这个折线画的是虚线．如图： 5. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现几何之美．下列窗棂图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据方程有实数根得出，列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴， 解得：且． 7. 国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．学生可以报名参加书法、围棋、象棋三个社团，活动组织者为参加社团的同学们购买了毛笔、围棋、象棋(三种都购买)，共花费500元．其中毛笔每支20元，围棋每副25元，象棋每副30元，若象棋至少买5副，最多买6副，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费元”，列出二元一次方程是解题的关键．设购买毛笔x支，围棋y副，分①当象棋买5副时，②当象棋买6副时两种情况，根据“共花费元”，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量． 【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副， ①当象棋买5副时， 根据题意得，，即， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴此时有3种购买方案． ②当象棋买6副时， 根据题意得，，即， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴此时有3种购买方案． 综上所述：共有6种购买方案 故选：B． 8. 如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（ ）． A. B. C. D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 9. 如图，等边的边长为2．以的中点为原点建立平面直角坐标系，把绕点顺时针旋转得到与相交于点，连接，下列判断不正确的是（　　） A. 点的坐标是 B. 是等腰三角形 C. 的长是 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出，即可得出点的坐标为，根据平分，等边三角形的性质，得出，即可判断B选项，根据，进而求得，即可判断C选项，同B选项可证，，，证明，进而得出，求得，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，轴，将等边绕点顺时针旋转，则点的对应点在轴上，且， 即点的坐标为，选项A正确，不符合题意； 在等边中， ．在等边中，平分 ， 是等腰三角形，选项B正确，不符合题意； ，选项C正确，不符合题意； 同B选项可证，， ．根据旋转可知 ， ，选项D不正确，符合题意． 故选： D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10. 如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键． 11. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定、是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到，关键是由菱形的性质推出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：；；；（为任意实数）；若图象上存在点和点，当时，满足后，则的取值范围为．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置可判断，根据特殊点可判断；根据最值可判断④；根据对称性可判断⑤，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】设抛物线与轴的交点为，， ∵由抛物线的开口向下，对称轴为直线， ， ∴， ∴当时，，当时，， 故错误，正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴，故正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； 如图所示，和点满足， ∴和点关于对称轴对称， ∴，， ∵， ∴，， 解得，故正确； 综上：正确，共个， 故选：． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 13. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形外角的定义的得出，结合，得求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， ， ． 15. 不等式的最小整数解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得不等式的解集，进而取其最小整数解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的最小整数解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键． 16. 一只不透明的袋子中装有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出个球，则次都摸到白球的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算出事件或的概率，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意画出树状图，得到所有种等可能的结果数，再找出两次都摸出红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示： 由上可得，一共有种等可能性，其中次都摸到白球的可能性有种， 故次都摸到白球的概率是， 故答案为：． 17. 如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】当时，过点Ｆ作于点Ｍ，设，则，得到；设，则，则，求解即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B的对应点为F， ，， 为等腰三角形， 当时， ， ， 过点Ｆ作于点Ｍ， ， ， ， ， 设，则， 则， 根据题意，得， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得； 18. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接.以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，特殊三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先求算出平方根，化简绝对值，负指数幂，特殊三角函数值，然后再计算加减法即可； （）先化简分式，然后再代入数值计算即可． 【详解】解：（） ； （）， ， 当时， 原式 ． 20. 某校九年级组织的一次数学核心素养测评中，有一道满分为分的数学小作文题，其评分标准如下： ．未清楚表达，只有一个观点或结论，评为分； ．略有错误，基本满足要求，评为分； ．正确阐明观点，且有结构，评为分； ．能简明地表达原理或进行推理说明，评为分； ．完整、清晰、精准地概括和表达出立意，评为满分分． 为了解数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以人为一组进行了随机分组，并从中抽取了两个小组学生的答卷进行统计分析，结果如下： （1）请补全第小组得分条形统计图； （2）在第小组得分扇形统计图中，所对应的扇形圆心角的度数为_______； （3）填空： 平均数/分 众数/分 中位数/分 第小组 ________ 第小组 _______ （4）结合你的分析，请给第小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）； （3），； （4）平时多思考，用数学的眼光观察实际生活，用规范的数学符号及图形语言，勤于动笔． 【解析】 【分析】（）根据条形统计图求出第小组得分为的人数即可补图； （）用乘以的百分比即可求解； （）根据众数和中位数的定义即可求解； （）根据第组众数、中位数、平均数，提出相应的建议即可； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数，中位数，平均数，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由条形统计图可得，第小组得分为的人数为人， 【小问2详解】 解：所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：第小组得分次数最多的是分， ∴众数为， 第小组得分的中位数为， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：建议：平时多思考，用数学的眼光观察实际生活，用规范的数学符号及图形语言，勤于动笔． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 22. 如图，在中，点O是上一点，以点O为圆心长为半径的圆与相切于点D，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）与相切， 如图，连接， 与相切于点D， ， ， ，， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的应用等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）由圆的切线可知，由圆周角定理得出，进而推出，即可得到结论； （2）由特殊角的三角函数值得到，进而得到，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， 即的半径长为3． 23. “急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 3 4 竖直高度 0 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点，则抛物线的对称轴为：直线． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，那么该运动员竖直高度的最大值为，把顶点坐标连同代入所给的函数解析式，求得的值后即可求得相应的函数解析式； （2）落入沙坑，则竖直高度为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得后取正值即为和的长度，比较的大小即可． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：． ∴该运动员竖直高度的最大值为米． 设函数关系式为：． ∵经过点， ∴， 解得：． ∴函数解析式为：． 【小问2详解】 取． 第一次训练时，． 解得：(不合题意，舍去)，． ∴． 第二次训练时，． 解得：(不合题意，舍去)，． ， ， ． 24. 如图，在矩形中，为的中点，过点作交于点． （1）若，，求的长； （2）求证：平分； （3）在上截取，使，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作交于点， ∵四边形是矩形，为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可求出的长； （2）过点作交于点，得出四边形是矩形，得出，进而得出，利用平行线分线段成比例得出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得答案； （3）过点作，根据角平分线的性质得出，设，，则，，利用证明，，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵为的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：．（经检验，是分式方程的解，且符合题意） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴和是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴和是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 已知：抛物线y（x+k）（x﹣7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB＝OC． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）T（，） 【解析】 【分析】（1）由图象可得B点坐标，代入函数解析数即可求解； （2）表示出点P坐标，由正切公式可表示出d与m的关系，即可求出； （3）作出辅助线，得到□CGPW，利用正切函数求出m与k的值，得到G点坐标，然后表示出∠GAB的正切值，从而求出T点坐标． 【小问1详解】 当y＝0时，﹣（x+k）（x﹣7）＝0， 解得：x＝﹣k或7， ∴点B的坐标为（7，0），A（﹣k，0）， ∵OB＝OC， ∴OC＝OB＝7， ∴点C的坐标为（0，7）， 将点C的坐标代入抛物线表达式得：（0+k）（0﹣7）＝7， 解得：k＝2， ∴y（x+2）（x﹣7）x2x+7， 故抛物线的表达式为yx2x+7； 【小问2详解】 过点P作PK⊥AB与点K，PE⊥y轴于点E，如图1， ∵y（x+2）（x﹣7）， ∴P（m，（m+2）（m﹣7）），A（﹣2，0）， ∴AK＝m+2， tan∠PAB， ∴DO＝AO•tan∠PAB＝2（）＝7﹣m， ∴CD＝7﹣（7﹣m）＝m， ∴d＝m． 【小问3详解】 过点C作WC⊥ED使得WD＝PD，TL⊥AB，连接WD，WP， 设EC＝k， 则PG＝3k， ∵∠WCD＝∠DEP，CD＝EP，WD＝PD， ∴△WCD≌△DEP， 则△PWD为等腰直角三角形， ∴∠WPD＝45°＝∠CFD， ∴WP∥CG， ∴四边形CGPW为平行四边形， ∴CW＝PG＝3k＝ED， ∴CD＝2k＝PE， ∴tan∠APE， 由（2）可得tan∠PAB， ∴， ∴m＝4，k＝2， ∴EO＝7+2＝9，EG＝10， ∴G（10，9），A（﹣2，0）， ∴tan∠GAB， 再设T坐标为（t，（t+2）（t﹣7））， 则tan∠TAB， ∴t， ∴T（）． 【点睛】本题主要考查二次函数综合运用能力，涉及二次函数图象与解析式、平行四边形的证明和正切函数，难度较大，属于中考压轴题，第（3）小题的关键是构造平行四边形，运用正切公式求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $