湖南岳阳市颐华高级中学2025-2026学年高二下学期第一次大练习数学试卷

颐华学校2024级高二下学期第一次大练习考试试卷 数学 满分：150 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数，其中是虚数单位，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的公差为2，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线（）上的点到其焦点的距离是点到轴距离的2倍，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 8. 现有6张分别标有数字的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取1张，将3次取到的卡片上的数字分别记为，若这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取卡片的所有不同方法种数为（ ） A. 32 B. 48 C. 54 D. 72 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 将图象上所有的点向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数 10. 已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列判断正确的是（ ） A. B. 当轴时（在第二象限），四边形的面积为 C. 直线的方程为 D. 圆心到直线的距离为 11. 已知正方体的棱长为2，为棱的中点，是底面内的动点，则（ ） A. 记过点的平面截正方体所得的截面为，若，则截面图形的面积为 B. 点到平面的距离为 C. 的最小值为 D. 若，则点在正方形内的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______. 13. 的二项展开式中的系数为______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与在第一、二象限分别交于两点，且，，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 16. 为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在的情况． （1）若采用补贴方案，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100元／月，求该家庭共生育2个婴儿的概率； （2）试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高； （3）若采用补贴方案的概率为，采用补贴方案的概率为，记单个家庭每月收到的补助额为，求的分布列与期望． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，，. （1）求证：平面； （2）若点为的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知函数． （1）若有两个极值点，求的取值范围； （2）当时，，求的取值范围． 19. 已知点为抛物线的焦点，点，，若过点作直线与抛物线顺次交于，两点，过点作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：直线过定点． 颐华学校2024级高二下学期第一次大练习考试试卷 数学 满分：150 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）方案B的补助额更高 （3）的分布列为 X 0 300 1000 1100 2600 P 的期望为. 【17题答案】 【答案】（1）∵，，， ∴，∴． ∴，∴，∵平面，而AC在平面ABCD中， ∴，，且都在平面内， ∴平面． （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $