精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】设等差数列的公差为d，则，所以，所以. 2. 已知在等比数列中，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质将转化为，结合已知数据可得解. 【详解】因为为等比数列，所以， 所以. 又，解得. 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，可得，解得， 由，得，，，…， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以，，所以. 4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解． 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 5. 对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”.已知“类数列”中，，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知的首项、第二项，代入递推公式求出未知参数，对递推公式进行构造，转化为熟悉的等比数列，利用等比数列通项公式求解. 【详解】由题意知，令，则，即，所以, 所以，故.又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 6. 在数列中，，数列的递推公式为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由已知递推公式，用裂项可得，通过累加法即可求得通项公式. 【详解】由，得， ∴，，，， ，. 累加上式可得， ， . 7. 表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（ ） A. -16 B. -15 C. -12 D. -10 【答案】C 【解析】 【分析】根据原数列可得，再结合取整函数的性质逐项求解并求和即可. 【详解】已知， 则，根据取整函数性质： 对任意整数，，因此. 由从到，依次计算得： 所以. 8. 已知数列满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，令，推出，可得，也即，再利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为，所以. 令，得，所以， 所以，即数列的周期为2， 因为，则，所以，即， 即， 因为时，≤，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列，…的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由于该数列的奇数项为负，偶数项为正， 故数列，…各项的符号可以用或表示，不能用， 又各项分母分别为，，，，…，故该数列各项的分母为， 故排除B选项，AC正确； 又该数列的奇数项为负，偶数项为正，也可用分段函数的形式表示，即，D正确. 10. 已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列的前项的和为 B. 数列的前项的和为 C. 在与之间插入三个数，使成等比数列，则 D. 当时， 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用并项求和即可求解； 对于B，运用平方差公式进行化简，转化为等差数列求解； 对于C，运用等比数列中项公式，并注意等比数列中奇数项都是同号的进行取舍； 对于D，运用数列的函数特性，从单调性观察数列的走势进而求得最值. 【详解】对于A，设数列的前项和为，则 ，故A正确; 对于B，设数列的前项和为， 则 = ，故B正确； 对于C，由等比数列的性质可得，又因为与同号，所以，故C错误； 对于D，，当时，单调递减， 故当时，取最大值，最大值为，故D正确. 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A. B. 该数列的前2024项中能被3整除的有507项 C. 是偶数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】观察分析“斐波那契数列”的特点和性质，探索其规律，依次判断各选项的准确性. 【详解】对A选项：因为，即， 所以， 又，所以.故A正确； 对B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它们除以3所得的余数为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以发现余数是以1,1,2,0,2,2,1,0为周期的，在一个周期内有两个能被3整除的数. 又，所以该数列的前2024项中能被3整除的有个.故B不正确； 对C：因为均为奇数，且奇数奇数为偶数，所以为偶数； 因为奇数偶数为奇数，所以为奇数；… 所以“斐波那契数列”中的项是“奇，奇，偶”规律出现的，又，所以 为奇数，故C不正确； 对D：因为 … 因为，所以.故D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：利用递推关系求数列中的项常见思路为： （1）项的序号较小时，逐步递推求出即可； （2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，，则______，______. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式求得公差，再根据通项公式列方程求得. 【详解】设公差为，则. 又，即，解得. 13. 已知数列满足是首项为2，公比为3的等比数列，则____. 【答案】 【解析】 【详解】因为是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 所以 . 14. 设正项数列的前项和为，，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用前项和与通项的关系求出数列的通项，再通过裂项相消法化简求和即可. 【详解】当时，由，得， 因为为正项数列，所以，所以， 当时， ① 当时，② 两式相减得：，因为 所以，整理得：， 因为数列的各项均为正项，所以， 所以当时，， 故数列是公差为1的等差数列，数列的通项公式为， 因为， 所以 . 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项为2的数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为Tn，若，求. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用的关系，转化为与的递推关系，再用累乘法求通项； （2）先对进行裂项，再用裂项相消法求和，最后解方程求. 【详解】（1）由，当时，得， ，，，……，，，，. 且当时，也符合上式，故. （2），. ，，即. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 已知等差数列满足　　　　． 从中任选一个填在题中的横线上，并解答下列问题． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 注:如果选择两个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，由等差数列的基本量计算得出，再根据等差数列通项公式即可求解； （2）由错位相减法即可求解． 【小问1详解】 若选①，设数列的公差为， 因为， 所以，解得，所以． 若选②，设数列的公差为， 因为，所以，解得，所以． 【小问2详解】 由已知得，则①， ②， 由①②得， 整理得，所以． 18. 已知在数列中， （1）求数列的通项公式. （2）记，在数列中，是否存在三项能构成等差数列?若存在，求出该三项;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)由题可得，即数列是首项分别为公差均为的等差数列，分别求出数列的通项公式即可求解. (2) 假设数列中存在三项 (其中)成等差数列，可得，代入通项化简即可求解. 【小问1详解】 令，则由得 　①，　②， 由得， 数列是首项分别为公差均为的等差数列. . 综上，数列的通项公式为 【小问2详解】 由(1)可知，，假设数列中存在三项 (其中)成等差数列， 则即， 两边同时除以，得. 为偶数，为奇数， 等式不成立， 数列中不存在三项构成等差数列. 19. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式. （2）设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）注意验证首项是否满足通项 （2）代入得到数列的通项公式，从函数的角度观察数列的单调性，从而将几个特殊的值比较一下即可. 【小问1详解】 当时，， 当时， 所以 【小问2详解】 ①当时， 当时，，所以 ②设，所以， 所以 当时，单调递增;当时，单调递减. 因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 2. 已知在等比数列中，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 8 D. 2 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”.已知“类数列”中，，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 6. 在数列中，，数列的递推公式为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（ ） A. -16 B. -15 C. -12 D. -10 8. 已知数列满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列，…的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列的前项的和为 B. 数列的前项的和为 C. 在与之间插入三个数，使成等比数列，则 D. 当时， 的最大值为 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A. B. 该数列的前2024项中能被3整除的有507项 C. 是偶数 D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等差数列中，，则______，______. 13. 已知数列满足是首项为2，公比为3的等比数列，则____. 14. 设正项数列的前项和为，，则____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项为2的数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和为Tn，若，求. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知等差数列满足　　　　． 从中任选一个填在题中的横线上，并解答下列问题． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 注:如果选择两个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 18. 已知在数列中， （1）求数列的通项公式. （2）记，在数列中，是否存在三项能构成等差数列?若存在，求出该三项;若不存在，请说明理由. 19. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式. （2）设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $