精品解析：2026年陕西西安市长安区九年级中考第一次模拟数学试题

长安区2026年九年级第一次模拟试题 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2. 在2026年央视春晚武术节目《武·BOT》中，26台人形机器人实现全自主运行，其集群控制同步误差低于秒，关节扭矩可达360牛·米，相关表演片段在海外平台的播放量超5800万次．将5800万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的规则（其中，为整数）确定和的值即可得到答案． 【详解】解：将5800万用科学记数法表示为． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意． 4. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ，，， ， ． 6. 一次函数的图象经过点P，且y随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，y随x值增大而增大时，，将各选项点坐标代入函数解析式求出，判断是否满足即可得到结果. 【详解】解：∵一次函数中，随值的增大而增大， ∴， A、将代入，得，解得，不符合题意； B、将代入，得，解得，不符合题意； C、将代入，得，解得，符合题意； D、将代入，得，解得，不符合题意. 7. 如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得到，，再利用勾股定理分别求出中的长和中的长，即可得，，进而证明，得到，，再结合直角三角形两锐角互余的性质，利用余角性质得，，即可证明，得到、的长度和，进而推出，然后计算出和的长度，最后在中用勾股定理求出的长，从而确定答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ​∴， ∴，，， ∴， ，， 在中，​． 8. 如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， 即， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即：， 将，代入，，得 ， 则， ∴， ∴， ∴． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 10. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故答案为：． 11. 小川今年6岁，他的祖父72岁，若再过x年后小川的年龄是他祖父年龄的，则x的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据“经过x年后小川的年龄是他祖父年龄的”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 12. 如图，是的外接圆，且为直径，为中点，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由圆周角定理可得的度数，再由平角的定义可得的度数，根据为中点，可得的度数，最后再根据圆周角定理可得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， 为中点， ， ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由反比例函数性质得，，所在直线的解析式为，求出，由的面积为，列式计算出即可解答． 【详解】解：∵、为反比例函数图象上两点， ∴，即， ∴， 设所在直线的解析式为， 当时， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， 如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算立方根，绝对值，零指数幂，再算乘法，后算加减即可． 【详解】解： 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母再解整式方程，最后要进行检验． 【详解】解： 原方程可化为， 去分母得，， 整理得，， 解得，， 经检验：是原分式方程的根． 18. 如图，在中，请分别在边、、上寻找点E、D、F，使得四边形为菱形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】①作的平分线，交于点D；②作的垂直平分线，分别交、于点、；③连接，，则四边形即为所求作． 【详解】解：①作的平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，分别交、于点、； ③连接，， 则四边形即为所求作． 证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 19. 如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，进而得到，利用判定定理证明，从而得出结论． 【详解】证明：在等边中， ，， ， 在和中， ， ， ． 20. 根据2026年3月最新公开资料，教育部部长怀进鹏对学生健康的要求集中体现为“健康第一”的教育理念，并通过“健康教育专项工程”具体落实，确保每天综合体育活动2小时．老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成：A．篮球、B．羽毛球、C．乒乓球、D．跳绳四组，以确保学生全员、有序的参加课间体育活动，让学生身上有汗，眼里有光． （1）明天王明同学恰好被分到球类运动项目的概率是______； （2）王明和李虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接计算可得结果； （2）用列表法得出所有等可能的结果，再看两个同学分在一组的结果共有几种计算即可． 【小问1详解】 解：因为篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动中，球类运动项目有3项，所以王明同学恰好被分到球类运动项目的概率是 ； 【小问2详解】 解：分别用表示四个运动项目，列表如下： A B C D A B C D 答：有16种等可能的结果，两人分在同一组有4种结果，两人分在同一组的概率为． 21. 实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼米的大树的底部C处向后移动，当移动到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着她继续向后移动到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度（参考数据：，，）． 【答案】校徽的高度为 【解析】 【分析】过点F作于点D，求出，推导出，得到，则，代入求解即可． 【详解】解：过点F作于点D，如图 ， 由题知：， ， 又， ， ， ． 答：校徽的高度为． 22. 某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上~次日） 峰段（白天~） 某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元． （1）写出与之间的函数解析式； （2）若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费． 【答案】（1） （2）每月总电费为元 【解析】 【分析】（1）先根据表格计算出每天的电费，乘以即可得到与之间的函数解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，每天消耗的谷段的电量为千瓦时，则消耗的峰段的电量为千瓦时， ∴每天的电费为（元）， ∴每月总电费； 【小问2详解】 解：当时，（元）． 答：每月总电费为元． 23. 年月日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自年以来的第十个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息： a：C组的数据为：，，，，，，，，，，， b：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______；随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是______分； （3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】（1）图见解析 （2）；分 （3）该校名学生中获得一等奖的学生人数约为48人 【解析】 【分析】（1）求出被调查学生的总数，利用总数乘其所占比值即可求出该组人数，补全频数分布直方图即可； （2）利用圆的度数乘其占比即可求出圆心角度数，利用中位数概念即可求解； （3）利用总数乘其占比即可求解． 【小问1详解】 解：该次抽样调查抽取总人数为（人）， B组人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：A组所在扇形的圆心角度数为； 该组中位数取其排序后的第位和位的平均数，该两数在C组， 所以，中位数为（分）； 故答案为：；分； 【小问3详解】 解：该校名学生中获得一等奖的学生人数为， （人）， 答：该校名学生中获得一等奖的学生人数约为48人． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点D，作交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等边对等角和平行线的性质得出，证明，得出，即可证明； （2）连接，证明，利用全等得出， 平行线分线段成比例求出，通过证明，列式求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ∵是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 为的直径， ， ， ，， ∴， ， ， ，， ， ， ， ． 25. 我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，经过实验发现仿青蛙机器人起跳后的运动路线可以看作抛物线，且路线的最高点距离地面，落地点距离起跳点．以仿青蛙机器人起跳点为原点O，以起跳点和落地点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，完成下面问题： （1）写出仿青蛙机器人运动路线的函数表达式； （2）如图所示，仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．在起跳点O和落地点之间的水平地面上，距离起跳点（）竖直放置一个高度为的挡板（）．请通过计算判断仿青蛙机器人能否安全通过？如果不能，实验员计划将起跳点向前移动一段距离，以便使仿青蛙机器人由新的起跳点起跳后能刚好安全通过挡板，请帮助实验员计算最少应向前移动多少距离（平移后抛物线的形状不变）． 【答案】（1） （2）最少向前移动 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，求得，得到不能跃过．再设最少向前平移，则平移后新的抛物线表达式为：，将点代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题知抛物线的顶点坐标为， 所以令抛物线表达式为：， 将点代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， 不能跃过． 设最少向前平移， 则平移后新的抛物线表达式为：， 将点代入得：， 解得：，， 答：最少向前平移． 26. 解答下列问题： （1）如图①，为等腰直角三角形，且，，点D为边上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的面积为______； （2）如图②，某公园有一四边形空地，已知，，；过B作交于点E，，计划在区域建一儿童游乐区；点P在上，，点M、N分别为、上的动点，且满足，计划在四边形区域种植某种花卉，已知种植这种花卉每平方米需要120元，求种植这种花卉费用最多为多少元？ 【答案】（1） （2）费用最多为48000元 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到，进而得到，根据勾股定理求出的长，设，勾股定理求出的值，再根据三角形的面积公式进行计算即可； （2）连接，过点作于点，易得四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，进而求出的长，进而求出，推出，，延长至点，使，证明，得到，，进而得到，，根据，得到当最小时，四边形的面积最大，此时花费的费用最多，作的外接圆，连接，作，设的半径为，推出，得到当最小时，最小，再根据，求出的最小值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得或， ∴当时，则， ； 当时，则， ； 综上：； 【小问2详解】 解：连接，过点作于点， ∵，， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 延长至点，使，则， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， ∴当最小时，四边形的面积最大，此时花费的费用最多， 作的外接圆，连接，作，设的半径为， 则，，， ∴，， ∵， ∴当最小时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最小为， ∴四边形的最大面积为， ∴（元）； 答：种植这种花卉费用最多为48000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长安区2026年九年级第一次模拟试题 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. 9 D. 2. 在2026年央视春晚武术节目《武·BOT》中，26台人形机器人实现全自主运行，其集群控制同步误差低于秒，关节扭矩可达360牛·米，相关表演片段在海外平台的播放量超5800万次．将5800万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 6. 一次函数的图象经过点P，且y随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 9 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：______． 10. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 11. 小川今年6岁，他的祖父72岁，若再过x年后小川的年龄是他祖父年龄的，则x的值为______． 12. 如图，是的外接圆，且为直径，为中点，连接，若，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为，则______． 14. 如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，请分别在边、、上寻找点E、D、F，使得四边形为菱形（不写作法，保留作图痕迹）． 19. 如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 20. 根据2026年3月最新公开资料，教育部部长怀进鹏对学生健康的要求集中体现为“健康第一”的教育理念，并通过“健康教育专项工程”具体落实，确保每天综合体育活动2小时．老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成：A．篮球、B．羽毛球、C．乒乓球、D．跳绳四组，以确保学生全员、有序的参加课间体育活动，让学生身上有汗，眼里有光． （1）明天王明同学恰好被分到球类运动项目的概率是______； （2）王明和李虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率． 21. 实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼米的大树的底部C处向后移动，当移动到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着她继续向后移动到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度（参考数据：，，）． 22. 某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上~次日） 峰段（白天~） 某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元． （1）写出与之间的函数解析式； （2）若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费． 23. 年月日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自年以来的第十个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息： a：C组的数据为：，，，，，，，，，，， b：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______；随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是______分； （3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校名学生中获得一等奖的学生人数． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点D，作交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，经过实验发现仿青蛙机器人起跳后的运动路线可以看作抛物线，且路线的最高点距离地面，落地点距离起跳点．以仿青蛙机器人起跳点为原点O，以起跳点和落地点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，完成下面问题： （1）写出仿青蛙机器人运动路线的函数表达式； （2）如图所示，仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．在起跳点O和落地点之间的水平地面上，距离起跳点（）竖直放置一个高度为的挡板（）．请通过计算判断仿青蛙机器人能否安全通过？如果不能，实验员计划将起跳点向前移动一段距离，以便使仿青蛙机器人由新的起跳点起跳后能刚好安全通过挡板，请帮助实验员计算最少应向前移动多少距离（平移后抛物线的形状不变）． 26. 解答下列问题： （1）如图①，为等腰直角三角形，且，，点D为边上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的面积为______； （2）如图②，某公园有一四边形空地，已知，，；过B作交于点E，，计划在区域建一儿童游乐区；点P在上，，点M、N分别为、上的动点，且满足，计划在四边形区域种植某种花卉，已知种植这种花卉每平方米需要120元，求种植这种花卉费用最多为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $