精品解析：陕西省延安市高新区2026年九年级第一次模拟考试数学试题

2026年陕西省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行10次空翻记作，则人形机器人向后进行15次空翻记作（ ） A. B. C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱锥 3. 把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置在两条平行线之间．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在正比例函数（为常数，且）中，随的增大而减小，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，于点D．若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 7. 图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（ ） A. 门的最大高度为 B. 门的底部宽度为 C. 离地面处的门的水平宽度为 D. 当门的水平宽度为时，门的高度为 第二部分（非选择题 共99分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 8. 写出一个大小在之间的无理数：________． 9. 一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 10. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 11. 如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，且轴．若，则的值为________． 13. 如图，在矩形纸片中，点E是边上一点，将纸片沿直线折叠，使点A落在点F处，连接并延长，交边于点G，若点F为线段的中点，，则_____． 三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知平行四边形．利用尺规作图的方法，在上找一点，在上找一点，使四边形为菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，与相交于点，与相交于点，，，，求证：． 19. 三秦沃土孕育万千非遗瑰宝．为宣扬陕西非遗文化，某学校推出“非遗体验日”活动，设置了三项代表性体验项目：A．黄陵面花，B．凤翔泥塑，C．西安鼓乐．甲、乙两名学生各自独立地从三项活动中随机选择一项参与体验． （1）甲同学选择B项目（凤翔泥塑）的概率为_______； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名学生至少有一人选择项目C的概率． 20. 缅怀革命先烈，传承红色基因．人民英雄纪念碑是纪念近代革命先烈的标志性建筑（图1）．小辰利用无人机测量纪念碑的高度，具体过程如下： 如图2，是水平面，点A是纪念碑顶部一点，即为纪念碑的高度，且垂直于水平面．无人机在纪念碑上方点C处时，测得纪念碑顶部A处的俯角，底部B处的俯角，无人机沿水平方向由点C向前飞行105米到达点D处，在D处测得A处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求纪念碑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（cm），装置内液体体积为V（mL）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（cm） 装置内液体体积V（mL） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（mL）与x（cm）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求V与x之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积． 22. 为了调查学生对AI赋能课堂教学的满意度，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89． 九年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94． 八年级所抽取的学生满意度评分扇形统计图 八、九年级所抽取的学生满意度评分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 82 78 九年级 82 83 （1）上述图表中：________，________，________； （2）根据以上数据判断，对AI赋能课堂教学的满意度更高的是哪个年级？请说明理由； （3）若该校八年级有800人，九年级有1000人，估计该校八、九年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 23. 如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，是的切线，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 解答： （1）【初步探究】 如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，，则的度数为________； （2）【类比探究】 如图2，在正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，已知，，，求正方形的边长； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足，将绕点C顺时针旋转到，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑． 5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行10次空翻记作，则人形机器人向后进行15次空翻记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，正负数可以表示一对相反意义的量，已知一个方向记为正，相反方向就记为负，据此得出结论即可． 【详解】解：∵向前进行次空翻记作，即规定向前为正方向，向后与向前是相反意义的量， ∴向后进行次空翻记作． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱锥 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 主视图和左视图都是三角形， ∴ 该几何体是锥体． ∵ 俯视图是圆且带有圆心， ∴ 该几何体的底面是圆． 综上所述，该几何体是圆锥． 3. 把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置在两条平行线之间．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图， ∵两条直线平行，， ∴， ∴结合三角板可得． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，运用同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方的运算法则，逐个计算判断即可得到正确选项． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 5. 在正比例函数（为常数，且）中，随的增大而减小，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， ∴函数的图象大致是 ， 故选项A符合题意． 6. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，于点D．若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：是的中点，，  （线段垂直平分线的性质）， ，是的中点，  ， 在中，，，  ， ， ，分别是边，的中点，  是的中位线， ． 7. 图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（ ） A. 门的最大高度为 B. 门的底部宽度为 C. 离地面处的门的水平宽度为 D. 当门的水平宽度为时，门的高度为 【答案】C 【解析】 【分析】以抛物线的解析式为基础，通过代入或解方程，分别验证每个选项里门的高度和水平宽度是否符合计算结果，从而找出错误选项． 【详解】解：选项：当，，即门的最大高度为，正确； 选项：，令可得，解得或，即点的坐标为，点的坐标为，故，正确； 选项：，令可得，解得或，故离地面处的门的水平宽度为，错误； 选项：当门的水平宽度为，此时，当，，即门的高度为，正确． 第二部分（非选择题 共99分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 8. 写出一个大小在之间的无理数：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设这个无理数为，则，则，然后选择一个开方开不尽的数即可． 【详解】解，设这个无理数为， 则根据题意得， ∴， ∴均满足题意， 当时， 这个无理数为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了无理数的估算，读懂题意，能准确得出一个无理数所处的整数范围是解本题的关键． 9. 一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据任意多边形的外角和为，结合已知外角度数求出正多边形的边数，再根据边形一个顶点引出对角线条数的规律计算即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角为， 该正多边形的边数为， 从边形的一个顶点出发，除去自身及其两个相邻顶点，剩余顶点均可连接得到对角线， 可引出的对角线条数为． 10. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设线段的长为，用含的代数式表示出，代入已知等式建立关于的一元二次方程，解方程并根据线段长为正数取舍即可． 【详解】解：设， ∵，点在线段上，， ∵， ∴ ，整理得：， 解得：， ∵为线段长，， ∴， 即线段的长为． 11. 如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理得到及，进而求出的度数，最后在中利用勾股定理或含30度角的直角三角形性质求出的长即可求解． 【详解】解：是的直径，， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理得， ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，且轴．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标利用勾股定理求出的长，由得到的长，根据轴确定点的纵坐标，结合确定点的横坐标，最后代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：点的坐标为， ， ， ， ∵轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点在第二象限， 点的横坐标为，且， 点的横坐标为， 点的坐标为， 将点代入得． 13. 如图，在矩形纸片中，点E是边上一点，将纸片沿直线折叠，使点A落在点F处，连接并延长，交边于点G，若点F为线段的中点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意设，则，再根据勾股定理求出，进而得出，然后设，则，作，可得，再表示出，接下来根据勾股定理求出，根据折叠性质表示出，再根据勾股定理可得，即可得，进而得出，则此题可解． 【详解】解：在中，， 设，则， 由勾股定理，得， ∴． ∵点F为线段的中点， ∴． 设，则，连接，过点F作，交于点H， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 根据折叠的性质得， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 所以原不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对原式中的多项式因式分解，再计算括号内的异分母分式加法，最后约分得到最简结果，代入的取值计算即可得到答案． 【详解】解：原式， 将代入得原式． 17. 如图，已知平行四边形．利用尺规作图的方法，在上找一点，在上找一点，使四边形为菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作对角线的垂直平分线分别交边于点E，F，则四边形是菱形． 【详解】解：如图，四边形是菱形． 由作图知，是对角线的垂直平分线， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是对角线的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 18. 如图，与相交于点，与相交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再利用证明即可证明结论成立． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 19. 三秦沃土孕育万千非遗瑰宝．为宣扬陕西非遗文化，某学校推出“非遗体验日”活动，设置了三项代表性体验项目：A．黄陵面花，B．凤翔泥塑，C．西安鼓乐．甲、乙两名学生各自独立地从三项活动中随机选择一项参与体验． （1）甲同学选择B项目（凤翔泥塑）的概率为_______； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名学生至少有一人选择项目C的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算，总共有3种等可能选择，选择B的结果只有1种，即可得到结果； （2）通过画树状图列出所有等可能的结果，统计出至少一人选C的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：甲从3个项目中随机选择一项，共有3种等可能的结果，选择B项目的结果只有1种 ．因此甲同学选择B项目的概率为． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名学生至少有一人选择项目C的结果有5种． 因此甲、乙两名学生至少有一人选择项目C的概率为． 20. 缅怀革命先烈，传承红色基因．人民英雄纪念碑是纪念近代革命先烈的标志性建筑（图1）．小辰利用无人机测量纪念碑的高度，具体过程如下： 如图2，是水平面，点A是纪念碑顶部一点，即为纪念碑的高度，且垂直于水平面．无人机在纪念碑上方点C处时，测得纪念碑顶部A处的俯角，底部B处的俯角，无人机沿水平方向由点C向前飞行105米到达点D处，在D处测得A处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求纪念碑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 【答案】纪念碑的高度约为38米． 【解析】 【分析】延长交于点，由题意知，设米，则米，根据得出，利用的正切函数求出，利用的正切函数求出的长即可． 【详解】解：延长交于点，由题意知， 设米，则米， ， 米， ， ， ， 解得，（米）， （米），（米）， ， ， ， 解得，（米）， 答：纪念碑的高度约为38米． 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（cm），装置内液体体积为V（mL）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（cm） 装置内液体体积V（mL） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（mL）与x（cm）满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求V与x之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【小问1详解】 解：设，代入 和得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，． 22. 为了调查学生对AI赋能课堂教学的满意度，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生评分在B组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89． 九年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94． 八年级所抽取的学生满意度评分扇形统计图 八、九年级所抽取的学生满意度评分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 82 78 九年级 82 83 （1）上述图表中：________，________，________； （2）根据以上数据判断，对AI赋能课堂教学的满意度更高的是哪个年级？请说明理由； （3）若该校八年级有800人，九年级有1000人，估计该校八、九年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数． 【答案】（1），， （2）九年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由见解析 （3）370 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数和众数分析即可得出结果； （3）用800乘以八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，用1000乘以九年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：八年级20名学生评分在A组中的数据有（人）， 在D组中的数据有（人）， 在B组中的数据有8人， 在C组中的数据有（人）， 将八年级20名学生评分按照从小到大排列后的第10和11个数据是80，83，故； ∴，即； 九年级20名学生评分中出现次数最多的是86，故； 【小问2详解】 解：九年级的学生对辅助学习工具的满意度更高，理由如下： 八、九年级所抽取学生满意度评分统计表可得，八、九年级的平均数相等，但九年级的中位数和众数均高于八年级的中位数和众数，故九年级的学生对辅助学习工具的满意度更高； 【小问3详解】 解：（人）， 故该校八、九年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的总人数370人． 23. 如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，是的切线，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，可得，再由是直径，可得，再由，可得，可得，再利用角平分线定理即可求证； （2）连接，，证明是等腰直角三角形，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，据此计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ∵，且， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵是直径， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的长度． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）； （3）点M的坐标为． 【解析】 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． 25. 解答： （1）【初步探究】 如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，，则的度数为________； （2）【类比探究】 如图2，在正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，已知，，，求正方形的边长； （3）【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足，将绕点C顺时针旋转到，连接，若，，求的长． 【答案】（1） （2）正方形的边长为6； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质易得为等边三角形，结合等边三角形的性质求解即可； （2）将绕点顺时针旋转得到，证明，设正方形边长为，则，，结合勾股定理即可解题； （3）证明，最后用勾股定理即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， 为等边三角形， ； 【小问2详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到， 由旋转的性质可得，，，， ， ∴，，三点共线． ， ． ，， ． ． ， ． 设正方形的边长为，则，， 在中，，即， 解得，（负值舍去）． ∴正方形的边长为6； 【小问3详解】 解：由旋转的性质可得，，，， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $