精品解析：山东省临沂第一中学南校区2025-2026学年高二下学期第一次学科素养水平检测数学试题

临沂一中南校区2024级下学期第一次学科素养水平检测 2026.4 一、单选题 1. 的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 22024 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理得 . 故选：A. 2. 三个数，，的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 【详解】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 3. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 4. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 【答案】D 【解析】 【分析】按照分类加法和分步乘法计算原理，对5个区域进行分步、分类涂色即可. 【详解】先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB， C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种； 如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法； 所以满足题意的不同的涂色方法有种. 故选：D. 5. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得，，解得，因为，所以， 解得，所以，，所以，所以. 6. 灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（ ） A. 56 B. 72 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①指导老师和站在两端，全排列即可；②中间5人分2种情况讨论：相邻且与相邻、相邻且不与相邻，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空，最后再由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①指导老师和站在两端，有种情况， ②中间5人分2种情况讨论： 若相邻且与相邻，有种安排方法， 若相邻且不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有安排方法，则有种不同的安排方法. 故选：B. 7. 若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 8. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当个位数是时，有种； 当个位数是或时，有种， 所以组成的四位数的偶数共有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求概率为. 二、多选题 9. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， C. 当时， D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，是的极大值点，A正确； 对于B，在上单调递减，，则，B错误； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，令，，函数是奇函数， 函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称， 若函数的图象还有一个对称中心，则 ，而不为常数， 因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心， 则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，D正确. 故选：ACD 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第2026行的第1013个数最大 D. 第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【解析】 【分析】由组合数的性质计算可判断A；由杨辉三角的每行系数和性质可判断B；由杨辉三角图可知，第行有个数字，每行最中间项的系数最大可判断C；根据可判断D. 【详解】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 11. 下面正确的是（ ） A. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【解析】 【分析】先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果验证A；确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果验证B；只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证C；问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证D. 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 12. 若，______． 【答案】176 【解析】 【分析】分析所给等式特点：等式右边每一项都含有，故将已知等式左边等价变形为，结合二项展开式的通项即可求得. 【详解】因为， 所以展开后含有的项为， 所以. 故答案为：176. 13. 某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”，事件为“购买的灯泡是合格品”， 依题意，， 因此， ， 所以这个灯泡是甲厂生产的概率是. 故答案为： 14. 若直线与函数的图象相切，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义结合切点在直线与函数的图象上，列式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 直线与函数的图象相切，设切点为， 则，即； 而点既在直线，又在函数上， 故，，即得， 故，则， 则， 故答案为：1 四、解答题 15. 已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球. （1）求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率； （2）求乙袋中任取出1球为白球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分甲袋中任取出的2个球均为白色和均为黑色两种情况求解即可； （2）分甲袋中任取出的2个球均为白色和均为黑色，以及一黑一白三种情况，再分别求解对应情况从乙袋中任取出1球为白球的概率即可 【小问1详解】 由题意，从甲袋中任取出的2个球均为白色的概率为，任取出的2个球均为黑色的概率为，故从甲袋中任取出的2个球为同色球的概率为 【小问2详解】 由题意，从甲袋中任取出的2个球均为白色和均为黑色，或一黑一白三种情况. 当甲袋中任取出的2个球均为白色时，从乙袋中任取出1球为白球的概率为；当甲袋中任取出的2个球均为黑色时，从乙袋中任取出1球为白球的概率为； 当甲袋中任取出的2个球为一黑一白时，概率为，故再从乙袋中任取出1球为白球的概率为. 故乙袋中任取出1球为白球的概率为 16. （1）若，求的值； （2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， ①求的值； ②若第项是有理项，求的取值集合； ③求系数最大的项． 【答案】（1）；（2）①；②；③. 【解析】 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）①由二项式系数的性质可得；②利用通项中x的指数为整数可解；③先求系数绝对值最大项，然后验证即可求解. 【详解】（1）令得， 再令得， 所以. （2）①因为展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以，展开式共有9项，所以. ②第项为， 若第项为有理项，则为整数，则， 所以，第项为有理项，所以的取值集合为. ③因为第项的系数为， 所以第项的系数绝对值为， 设第项的系数的绝对值最大，则， 整理得，解得, 又因为第6项的系数，第7项的系数， 所以，第7项的系数最大，. 17. 某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. （1）求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； （2）已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 【答案】（1）； （2） ，. 【解析】 【分析】（1）求出随机检测1件该零件合格的概率，利用独立事件的乘法求解； （2）求出的所有可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，列出分布列，利用分布列求出期望. 【小问1详解】 由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是， 则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是. 【小问2详解】 由题意可知X的所有可能取值为，，，10，40. ， ， ， ， ， 则X的分布列为 故. 18. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值0． （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数判断函数的单调性即可； （2）将问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导函数求出的单调性和取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，则， 当变化时，的变化情况如下表所示： 1 0 0 单调递增 单调递减 0 单调递增 当时，函数取得极大值，极大值为， 当时，函数取得极小值，极小值为0． 【小问2详解】 由题意知方程有两个根，即有两个根， 则直线与曲线有两个交点， 设，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 则， 当时，，当时，． 综上，的取值范围是． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）4 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得， 可知的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间. 当时，令解得， 令，解得；令，解得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是4. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂一中南校区2024级下学期第一次学科素养水平检测 2026.4 一、单选题 1. 的值是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 22024 2. 三个数，，的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 3. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 5. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. 21 D. 22 6. 灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（ ） A. 56 B. 72 C. 36 D. 48 7. 若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， C. 当时， D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第2026行的第1013个数最大 D. 第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 11. 下面正确的是（ ） A. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 三、填空题 12. 若，______． 13. 某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 14. 若直线与函数的图象相切，则__________. 四、解答题 15. 已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球. （1）求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率； （2）求乙袋中任取出1球为白球的概率. 16. （1）若，求的值； （2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项， ①求的值； ②若第项是有理项，求的取值集合； ③求系数最大的项． 17. 某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. （1）求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； （2）已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 18. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $