期中模拟试卷（第20-23章）2025-2026学年八年级数学下册人教版（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末模拟卷）

八年级数学第二学期期中模拟试卷 （满分：150分 时间：120分钟） （考试范围：第20、21、22、23章） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024秋•昆都仑区期末）若正比例函数的图象经过点（4，﹣5），则这个图象必经过点（　　） A．（﹣5，﹣4） B．（4，5） C．（5，﹣4） D．（﹣4，5） 2．（2025春•海淀区期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C． D． 3．（2025春•南通期中）如图，矩形ABCO如图放置在平面直角坐标系中，其中AB＝8，∠AOB＝30°，若将其沿着OB翻折后，A′为点A的对应点，则A′的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•新都区模拟）下列说法中，错误的是（　　） A．平行四边形的两组对边分别相等 B．菱形的两条对角线相等 C．正方形的四条边都相等 D．矩形的四个角都相等 5．（2025•绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（　　） A．25 B．25 C．25 D．50 6．（2025春•东莞市期中）如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H．若对角线AC、BD的长分别是10cm、20cm，则四边形EFGH的周长是（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 7．（2025•武汉模拟）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（　　） A． B． C． D． 8．（2025春•江夏区期末）下列说法中正确的是（　　） A．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线相等且垂直的四边形是正方形 D．经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积 9．（2025•新宾县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 10．（2025春•南通期中）直线y＝x+n与直线y＝mx+6n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线的距离总是一个定值，则m的值是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分） 11．（2025春•通州区期中）在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，AB＝2，则对角线AC的长为 　 　 ． 12．（2025•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝13，若点B的坐标为（8，12），点D的坐标为（8，2），则点A的坐标为 　 　 ． 13．（2025春•海门区期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长为 　 　 ． 14．（2025秋•深圳期中）如图，直线yx+1与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A顺时针旋转45°得到的新的直线的解析式为　 　 ． 15．（2025春•通州区期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点P（0，4），点Q在一次函数y＝﹣x+5的图象上，点M在x轴负半轴上．若PM＝PQ，∠MPQ＝90°，则点M的坐标是 　 　 ． 16．（2025春•南通期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，M是CD边上任意一点，分别过点A，C，D作射线BM的垂线，垂足分别是E，F，G，若AE+CF+DG＝m，则m的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共9小题，共98分） 17．（8分）（2025秋•河南月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，AD＝1，，求四边形ABCD的面积． 18．（10分）（2025春•通州区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC． （1）求作菱形ABDC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若AB＝13，BC＝10，求菱形ABDC的面积． 19．（10分）（2024春•海淀区期中）如图所示，点D为△ABC内一点，AD平分∠BAC，且AD⊥BD交AC于点G，点E为边BC的中点，点F在AC上，且CF＝DE． （1）证明：四边形CEDF是平行四边形； （2）请直接写出线段AB，CF，AC之间的数量关系：　 　 ． 20．（10分）（2025秋•莱西市期末）如图，▱ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC，BE． （1）求证：CE＝CD； （2）∠AFC与∠D满足什么关系时，四边形ABEC是矩形？请证明． 21．（10分）（2025春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线相交于点． （1）求直线l1的函数表达式； （2）点C为x轴上一点，若△ABC的面积为12，求点C的坐标． 22．（10分）（2025春•海安市期中）某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共600kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于160kg，且不高于400kg，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 23．（12分）（2025秋•宁江区期末）如图①，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C向终点C运动，设点P的运动时间为ts． （1）PC＝　 　 cm；（用含t的代数式表示） （2）若△ABP≌△DCP，求出此时t的值； （3）如图②，当点P从点B开始运动时，动点Q同时从点C出发，以xcm/s的速度沿C→D向终点D运动．是否存在这样的x值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 24．（14分）（2025春•海门区期中）如图①，直线y＝2x﹣8与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（2，﹣4）． （1）直接写出点A，B的坐标：A（ 　 　 ，　 　 ），B（ 　 　 ，　 　 ）； （2）点P是y轴上一点，若△PBC的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 25．（14分）（2025春•海安市期中）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二学期期中模拟试卷 （满分：150分 时间：120分钟） （考试范围：第20、21、22、23章） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B B B C D C C 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•昆都仑区期末）若正比例函数的图象经过点（4，﹣5），则这个图象必经过点（　　） A．（﹣5，﹣4） B．（4，5） C．（5，﹣4） D．（﹣4，5） 【分析】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），将点（4，﹣5），代入解析式中求出k的值，再将各个选项的横纵坐标依次代入解析式中去验证即可． 【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）， 因为正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（4，﹣5）， 所以﹣5＝4k， 解得：， 所以， 将x＝﹣5代入得，，故A选项错误； 将x＝4代入得，，故B选项错误； 将x＝5代入得，，故C选项错误； 将x＝﹣4代入得，，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查求正比例函数解析式，以及函数图象上的点，能够运用待定系数法求解正比例函数解析式是解决本题的关键． 2．（2025春•海淀区期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C． D． 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，故A选项不符合题意； B、62+82＝102，能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3．（2025春•南通期中）如图，矩形ABCO如图放置在平面直角坐标系中，其中AB＝8，∠AOB＝30°，若将其沿着OB翻折后，A′为点A的对应点，则A′的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】作AD⊥x轴，根据含 30°角直角三形的性质，及勾 股定理，求出AO，根据折叠的性质，求出AO，∠AOD，在Rt△ADO中，求出DO，AD，根据 第二象限内点的特征，即可求解． 【解答】解：过点A作AE⊥x轴，交x轴于点E， 在 Rt△BAO中，AB＝8，∠AOB＝30°， ∴BO＝2AB＝2×8＝16，AO8， 由折叠的性质可得：AO＝AO＝8，∠A'OB＝∠AOB＝30°， 即∠AOD＝2∠AOB＝2×30°＝60°， 在Rt△A′EO中，EOA′O84，A'E12， ∵点A'在第二象限，A'（﹣4，12）， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定与性质，矩形的性质，坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 4．（2025•新都区模拟）下列说法中，错误的是（　　） A．平行四边形的两组对边分别相等 B．菱形的两条对角线相等 C．正方形的四条边都相等 D．矩形的四个角都相等 【分析】根据平行四边形的性质即可对选项A进行判断；根据菱形的性质即可对选项B进行判断；根据正方形的性质即可对选项C进行判断；根据矩形的性质即可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵平行四边形的两组对边分别相等， ∴选项A正确，不符合题意； ∵菱形的两条对角线互相垂直平分，不相等， ∴选项B错误，符合题意； ∵正方形的四条边都相等， ∴选项C正确，不符合题意； ∵矩形的四个角都是直角， ∴矩形的四个角都相等， ∴选项D正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形，平行四边形，菱形，矩形的性质，熟练掌握正方形，平行四边形，菱形，矩形的性质是解决问题的关键． 5．（2025•绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（　　） A．25 B．25 C．25 D．50 【分析】由矩形对角线性质得半对角线长为5，构造边长为5且夹角60°的等边三角形，求得矩形边长为5和，面积为：． 【解答】解：矩形对角线相等且互相平分， ∴每段长度为10÷2＝5． ∵对角线交角为60°，形成的三角形为两边长均为5，夹角为60°的三角形，符合等边三角形特征， 等边三角形的第三边长度为5， 因此矩形的一边长为5． 设矩形两邻边边长分别为a，b， 根据矩形性质，a2+b2＝102＝100，结合等边三角形边长关系，解得a＝5，． 矩形面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质与三角形面积公式的应用，解题关键在于利用对角线交角构造特殊三角形，通过三角函数求出矩形边长，再计算面积． 6．（2025春•东莞市期中）如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H．若对角线AC、BD的长分别是10cm、20cm，则四边形EFGH的周长是（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而求四边形周长即可． 【解答】解：∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点， ∴HGAC，EFAC，GF＝HEBD． 又∵AC＝10cm，BD＝20cm， ∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE（AC+AC+BD+BD）＝AC+BD＝30cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据． 7．（2025•武汉模拟）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【解答】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 【点睛】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．（2025春•江夏区期末）下列说法中正确的是（　　） A．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线相等且垂直的四边形是正方形 D．经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定以及平行四边形的性质分别进行判断即可． 【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意； C、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积，故本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形、菱形、矩形的判定定理以及平行四边形的性质．注意菱形与正方形的区别与联系、矩形与正方形的区别与联系． 9．（2025•新宾县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 【分析】连接AC，根据菱形的性质证得AC⊥BD，∠ABE＝∠CBE＝∠ADE，AB＝CB，进而得到∠EAD＝90°，证明△ABE≌△CBE（SAS），得到AE＝EC＝EF，由等腰三角形的性质得到∠EFA＝∠EAD＝90°，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ADE∠ABC，AB＝CB， ∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°， ∵CE⊥BD， ∴A，E，C三点共线， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC， ∵CE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠EFA＝∠EAD＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（90°）﹣（90°）＝α， ∴∠DEF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣α． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABE≌△CBE． 10．（2025春•南通期中）直线y＝x+n与直线y＝mx+6n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线的距离总是一个定值，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】联立两直线解析式组成方程组，解之可得出点A的坐标，结合点A的坐标，可得出点A在直线yx上，由“当n的值发生变化时，点A到直线的距离总是一个定值”，可得出直线yx与直线平行，进而可得出，解之即可得出m的值． 【解答】解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， ∴点A的坐标为（，）， ∴点A在直线yx上． ∵当n的值发生变化时，点A到直线的距离总是一个定值， ∴直线yx与直线平行， ∴， 解得：m． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数的图象，由点A到直线的距离不变，找出两直线平行是解题的关键． 二．填空题（共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分） 11．（2025春•通州区期中）在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，AB＝2，则对角线AC的长为 　4　 ． 【分析】根据矩形的性质，对角线相等，即AC＝BD，在△ABD中，已知∠ABD＝60°和AB＝2，结合直角三角形的边角关系，利用三角函数或特殊三角形比例直接求解BD即可知答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形．∠BAD＝90°，∠ABD＝60°， ∴AC＝BD，，即， 解得BD＝4． ∴AC＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、直角三角形的边角关系及三角函数的应用，解题的关键是掌握相关知识． 12．（2025•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝13，若点B的坐标为（8，12），点D的坐标为（8，2），则点A的坐标为 　（﹣4，7）　 ． 【分析】连接BD、AC，可得BD与AC垂直平分，利用勾股定理即可得出结果． 【解答】解：如图：连接BD、AC，交于点E，则：BD与AC垂直平分， ∵点B（8，12），D（8，2）， ∴BD∥y轴，，即E（8，7）， AC⊥y轴，BE＝DEBD（12﹣2）10＝5， ∵AB＝13， ∴， ∴A（8﹣12，7），即点A的坐标为（﹣4，7）． 故答案为：（﹣4，7）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 13．（2025春•海门区期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长为 　24　 ． 【分析】连接GD，证明△ADG≌△FDG（HL）得出AG＝FG，设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，勾股定理求得x＝4，则AG＝GF＝4，BG＝8，进而勾股定理求得GE，即可求解． 【解答】解：连接GD，如图所示， 由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴AG＝FG， ∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x， 由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2， 即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8， ∴， ∴△BEG的周长为BE+EG+GB＝6+8+10＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，关键是勾股定理的应用． 14．（2025秋•深圳期中）如图，直线yx+1与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点A顺时针旋转45°得到的新的直线的解析式为y＝﹣3x+6　 ． 【分析】依据题意，过点B作BM⊥BA于点B，交直线AC于点M，过P作MQ⊥y轴于Q，先通过AAS证△ABO≌△BMQ，从而求出M的坐标，然后使用待定系数法即可求解． 【解答】解：过点B作BM⊥BA于点B，交直线AC于点M，过P作MQ⊥y轴于Q． 由题意，∵∠BAM＝45°， ∴BA＝BM， ∴∠ABO＝90°﹣∠MBQ＝∠BMQ， 在△ABO和△BMQ中， ∴△ABO≌△BMQ（AAS）， ∴AO＝BQ，BO＝MQ． 由题意，∵直线yx+1与x轴、y轴分别交于点A，B， ∴令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝2． ∴A（2，0），B（0，1）． ∴OA＝2，OB＝1， ∴BQ＝2，MQ＝1， ∴OQ＝3，MQ＝1， ∴M（1，3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴． ∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+6． 故答案为：y＝﹣3x+6． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 15．（2025春•通州区期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点P（0，4），点Q在一次函数y＝﹣x+5的图象上，点M在x轴负半轴上．若PM＝PQ，∠MPQ＝90°，则点M的坐标是 　（﹣3，0）或（﹣5，0）　 ． 【分析】过点P作EF∥x轴，作ME⊥EF，QF⊥EF，垂足分别为E、F，先证明△MEP≌△PFQ，得到OM＝FQ，ME＝PF＝OP＝4，利用一次函数图象上点的坐标特征得到点Q的坐标，继而得到线段FQ长，最后得到点M的坐标．再同理得到点Q在第二象限的直线图象上时点M的坐标即可． 【解答】解：如图，过点P作EF∥x轴，作ME⊥EF，QF⊥EF，垂足分别为E、F， 在△MEP和△PFQ中， ， ∴△MEP≌△PFQ（AAS）， ∴OM＝FQ，ME＝PF＝OP＝4， ∴F（4，4）， 在直线y＝﹣x+5中，当x＝4时，y＝1， ∴Q（4，1）， ∴MO＝FQ＝4﹣1＝3， ∴M（﹣3，0）． 如图，当点Q在第二象限时，作QE⊥y轴，垂足为点E， 同理可得△POM≌△QEP（AAS）， ∴QE＝OP＝4， 当x＝﹣4时，y＝9， ∴M（﹣5，0）， 综上可知M的坐标是（﹣3，0）或（﹣5，0）． 故答案为：（﹣3，0）或（﹣5，0）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点及分类讨论是关键． 16．（2025春•南通期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，M是CD边上任意一点，分别过点A，C，D作射线BM的垂线，垂足分别是E，F，G，若AE+CF+DG＝m，则m的最小值是 　　 ． 【分析】先求出BM的取值范围2≤BM，利用2＝S矩形ABCD＝S△ABM+S△BCM+S△ADM，BM•AEBM•CBM•DGBM•（AE+CF+DG）求出AE+CF+DGm，继而确定m的最小值即可． 【解答】解：如图，连接BD、AM， ∵AB＝1，BC＝AD＝2， ∴BD，S矩形ABCD＝AB•BC＝2， ∴2≤BM， 由条件可知S△ADM＝S△BDMBM•DG， ∵2＝S矩形ABCD＝S△ABM+S△BCM+S△ADM，BM•AEBM•CBM•DGBM•（AE+CF+DG）， ∴AE+CF+DG， ∴m， ∵2≤BM， ∴m随MB的增大而减小， ∴BM时，m最小，m． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握将三角形面积和转化为线段和是解答本题的关键． 三．解答题（共9小题，共98分） 17．（8分）（2025秋•河南月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，AD＝1，，求四边形ABCD的面积． 【分析】连接AC，先由勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，然后由三角形面积公式求出△ABC和△ADC的面积，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝3， ∴AC3， ∵AD＝1，CD， ∴AD2+AC2＝12+（3）2＝19，CD2＝19， ∴AD2+AC2＝CD2， ∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°， 在Rt△ABC中，S△ABCBC•AB3×3， 在Rt△ADC中，S△ADCAD•AC1×3， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理解题的关键． 18．（10分）（2025春•通州区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC． （1）求作菱形ABDC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若AB＝13，BC＝10，求菱形ABDC的面积． 【分析】（1）结合菱形的判定与性质，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则菱形ABDC即为所求． （2）连接AD交BC于点O，由菱形的性质可得AD⊥BC，AD＝2AO，OB，由勾股定理得，OA12，则AD＝24，再根据菱形ABDC的面积为可得答案． 【解答】解：（1）如图，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD， 则菱形ABDC即为所求． （2）连接AD交BC于点O， ∵四边形ABDC为菱形， ∴AD⊥BC，AD＝2AO，OB， 由勾股定理得，OA12， ∴AD＝24， ∴菱形ABDC的面积为120． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（10分）（2024春•海淀区期中）如图所示，点D为△ABC内一点，AD平分∠BAC，且AD⊥BD交AC于点G，点E为边BC的中点，点F在AC上，且CF＝DE． （1）证明：四边形CEDF是平行四边形； （2）请直接写出线段AB，CF，AC之间的数量关系：AB+2CF＝AC ． 【分析】（1）先证明△ADB≌△ADG，可得BD＝DG．结合点E为边BC的中点，可得DE为△CGB的中位线，则DE∥AC．再结合已知条件可得结论； （2）由D、E分别是BG、BC的中点，可得．由△ADB≌△ADG，可得AB＝AG，结合AG+CG＝AC，可得答案． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BG， ∴∠ADB＝∠ADG＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴△ADB≌△ADG（AAS）． ∴BD＝DG． ∵点E为边BC的中点， ∴DE为△CGB的中位线， ∴DE∥AC． ∵CF＝DE， ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）解：如图，由（1）得：DE＝CF． ∵D、E分别是BG、BC的中点， ∴． ∵△ADB≌△ADG， ∴AB＝AG， ∵AG+CG＝AC， ∴AB+2CF＝AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形CEDF是平行四边形是解题的关键． 20．（10分）（2025秋•莱西市期末）如图，▱ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC，BE． （1）求证：CE＝CD； （2）∠AFC与∠D满足什么关系时，四边形ABEC是矩形？请证明． 【分析】（1）由在▱ABCD中，点F是边BC的中点，易证得△ABF≌△ECF，可得CE＝AB，继而可证得结论； （2）由（1）易得四边形ABEC是平行四边形，又由∠AFC＝2∠D，易证得AF＝BF，即可得AE＝BC，证得四边形ABEC是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABF＝∠ECF， ∵点F是边BC的中点， ∴BF＝CF， 在△ABF和△CEF中， ， ∴△ABF≌△ECF（ASA）， ∴CE＝AB， ∴CE＝CD； （2）解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形． 理由：∵AB∥CD，AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AE＝2AF，BC＝2BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABF＝∠D， ∵∠AFC＝2∠D，∠AFC＝∠ABF+∠BAF， ∴∠ABF＝∠BAF， ∴AF＝BF， ∴AE＝BC， ∴四边形ABEC是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 21．（10分）（2025春•海安市期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线相交于点． （1）求直线l1的函数表达式； （2）点C为x轴上一点，若△ABC的面积为12，求点C的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出l1的解析式即可； （2）先求出点B坐标得到OB＝3，设点C的坐标为（n，0），利用三角形面积公式流程关于n的方程求出n值即可得到点C坐标． 【解答】解：（1）∵点在直线l2上， ∴，解得m＝3， ∴， ∵点A（6，0），M（3，）在直线l1上， ，解得， ∴直线l1的解析式为：y； （2）由直线解析式可知点B（0，3）即OB＝3， 设点C的坐标为（n，0），则AC＝|6﹣n|， S△ABC12， 解得：n＝﹣2或14， ∴C（﹣2，0）或（14，0）． 【点睛】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点C坐标是解决本题的关键． 22．（10分）（2025春•海安市期中）某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共600kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于160kg，且不高于400kg，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）分当0≤x≤200时，当x＞200时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当160≤x≤200时，当200＜x≤400时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论． 【解答】解：（1）当0≤x≤200时，设y＝k′x， 根据题意可得，200k′＝3000， 解得k′＝15， ∴y＝15x； 当x＞200时，设y＝kx+b， 根据题意可得，， 解得， ∴y＝12x+600． ∴综上所述，y关于x的函数解析式为y； （2）根据题意可知，设购进乙种产品x千克，则购进甲种产品（600﹣x）千克， 当160≤x≤200时，乙种产品进价为3000÷200＝15（元/千克）， w＝（12﹣8）（600﹣x）+18x﹣15x＝﹣x+2400， ∵﹣1＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝160时，w的最大值为﹣1×160+2400＝2240（元）； 当200＜x≤400时，w＝（12﹣8）（600﹣x）+18x﹣（12x+600）＝2x+1800， ∵2＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝400时，w的最大值为800+1800＝2600（元）， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 23．（10分）（2025秋•宁江区期末）如图①，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C向终点C运动，设点P的运动时间为ts． （1）PC＝　（12﹣2t）　 cm；（用含t的代数式表示） （2）若△ABP≌△DCP，求出此时t的值； （3）如图②，当点P从点B开始运动时，动点Q同时从点C出发，以xcm/s的速度沿C→D向终点D运动．是否存在这样的x值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据P点的运动速度可得PC的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出BP＝CP即可； （3）可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【解答】解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP＝2tcm， 则PC＝（12﹣2t）cm； 故答案为：（12﹣2t）； （2）∵BP＝2t cm，CP＝（12﹣2t）cm， ∵△ABP≌△DCP， ∴BP＝CP， ∴2t＝12﹣2t， ∴t＝3， ∴△ABP≌△DCP时，t的值为3； （3）存在这样的x值，使得△ABP与△PQC全等；理由如下： ①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ， ∵AB＝8cm， ∴PC＝8cm， ∴BP＝12﹣8＝4（cm）， ∴2t＝4， 解得：t＝2， ∴CQ＝BP＝4，x×2＝4， 解得：x＝2； ②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP， ∵PB＝PC， ∴BP＝PC＝6cm， ∴2t＝6， 解得：t＝3， CQ＝AB＝8，x×3＝8， 解得：x， 综上所述，存在这样的x值，使得△ABP与△PQC全等；x＝2或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 24．（14分）（2025春•海门区期中）如图①，直线y＝2x﹣8与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（2，﹣4）． （1）直接写出点A，B的坐标：A（ 　4　 ，　0　 ），B（ 　0　 ，　﹣8　 ）； （2）点P是y轴上一点，若△PBC的面积为6，求点P的坐标； （3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 【分析】（1）把y＝0代入y＝2x﹣8求点A的坐标，把x＝0代入y＝2x﹣8求点B的坐标； （2）过点C作CE⊥y轴，垂足为E，由△PBC的面积为6，求PB的长度，从而得到点P的坐标； （3）由条件分①BC＝CQ，∠BCQ＝90°，②BC＝BQ，∠CBQ＝90°，③CQ＝BQ，∠BQC＝90°，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到m的值． 【解答】解：（1）把y＝0代入y＝2x﹣8，解得x＝4， ∴点A的坐标为（4，0）， 把x＝0代入y＝2x﹣8，解得y＝﹣8， ∴点B的坐标为（0，﹣8）， 故答案为：A（4，0），B（0，﹣8）； （2）过点C作CE⊥y轴，垂足为E， ∵△PBC的面积为6， ∴，即， 解得PB＝6， ∵点B（0，﹣8），PB＝6， ∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）； （3）存在以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， ①当BC＝CQ，∠BCQ＝90°时，过点C作MN⊥y轴，垂足为M，交直线l于点N， ∵MN⊥y轴，直线l⊥x轴， ∴MN⊥直线l， ∴∠BMC＝∠CNQ＝∠BCQ＝90°， ∵∠MBC+∠BCM＝90°，∠NCQ+∠BCM＝90°， ∴∠MBC＝∠NCQ， ∵∠BMC＝∠CNQ，BC＝CQ， ∴△BCM≌△CQN（AAS）， ∴BM＝CN， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， ∴BM＝CN＝4，CM＝2， ∴MN＝CM+CN＝2+4＝6， ∴m＝6， ②当BC＝BQ，∠CBQ＝90°时，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，过点Q作QN⊥y轴，垂足为N， 同理易证△BCM≌△QBN（AAS）， ∴QN＝BM， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， ∴BM＝QN＝4， ∴m＝4， ③当CQ＝BQ，∠BQC＝90°时，过点C作CM⊥直线l，垂足为M，过点B作BN⊥直线l，垂足为N， 同理易证△BNQ≌△QMC（AAS）， ∴CM＝QN，QM＝BN， 设CM＝QN＝t， ∵B（0，﹣8），C（2，﹣4）， ∴MN＝4， ∴MQ＝MN﹣QN＝4﹣t，BN＝2+t， ∴，解得， ∴m＝3， 综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m＝6或4或3． 【点睛】本题考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，通过三角形的面积求坐标，全等三角形的性质与判定等知识，第（3）题需要运用分类讨论思想解决问题． 25．（14分）（2025春•海安市期中）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°． （1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°． 【分析】（1）作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°； （2）延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，得出△EBC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠BEC＝∠BCE＝45°，证出∠BCE+∠MCN＝180°，得出E、C、N，三点共线，由SAS证明△ABM≌△EBM得出AM＝EM，∠1＝∠2，得出EM＝MN，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：（1）点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM， 易证△ABM≌△EBM（SAS）， ∴AM＝EM，∠1＝∠2； ∵AM＝MN， ∴EM＝MN， ∴∠3＝∠4； ∵∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°， ∴∠1＝∠2＝∠5． ∵∠2+∠6＝120， ∴∠5+∠6＝120°， ∴∠AMN＝60°； （2）拓展：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示： 则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM， ∴△EBC是等腰直角三角形， ∴∠BEC＝∠BCE＝45°， ∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点， ∴∠MCN＝90°+45°＝135°， ∴∠BCE+∠MCN＝180°， ∴E、C、N，三点共线， 在△ABM和△EBM中， ， ∴△ABM≌△EBM（SAS）， ∴AM＝EM，∠1＝∠2， ∵AM＝MN， ∴EM＝MN， ∴∠3＝∠4， ∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°， ∴∠1＝∠2＝∠5， ∵∠1+∠6＝90°， ∴∠5+∠6＝90°， ∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $